POLITECHNIKA CZ
STOCHOWSKA
WYDZIAA
BUDOWNICTWA
SAMODZIELNY ZAKA
AD
WYTRZYMAA
OŚCI MATERIAA
ÓW
LABORATORIUM
SPRAWOZDANIE NR V
TEMAT:
WYZNACZENIE MODUA
U SPR
ŻYSTOŚCI POPRZECZNEJ
Krzysztof Komisarczuk
Rok II, Grupa dziekańska II
Rok akademicki 2011/2012
Studia stacjonarne
PR
T O PRZEKROJU KOA
OWYM
W pryzmatycznym pręcie obciążonym w dwóch płaszczyznach prostopadłych do jego osi
dwiema parami sił o tych samych wartościach momentów, lecz przeciwnych zwrotach, powstaje
stan odkształcenia i naprężenia zwany czystym skręcaniem.
Jeśli gumowy pręt o przekroju kołowym, z narysowaną na nim siatką składającą się z
tworzących i okręgów kół prostopadłych do osi pręta, poddany zostanie czystemu skręcaniu, to
będzie można zaobserwować, że:
- oś pręta pozostanie po odkształceniu nadal linią prostą,
- okręgi kół nie ulegną zniekształceniu, a powierzchnie czołowe pozostaną nadal płaskie,
- promienie narysowane na powierzchniach czołowych pozostaną po odkształceniu nadal liniami
prostymi,
- tworzące odchylą się od pierwotnego swego położenia o pewien kąt g� , zwany kątem
odkształcenia postaciowego,
- powierzchnie czołowe pręta obrócą się względem siebie o pewien kąt j� , zwany kątem
skręcenia.
Na podstawie tych spostrzeżeń można wnioskować, że wszystkie przekroje poprzeczne
prętów o przekroju kołowym pozostają w trakcie skręcania płaskie, a promienie tych przekrojów
pozostają liniami prostymi. Jeżeli z pręta skręcanego momentem MS wytniemy (dwiema
płaszczyznami prostopadłymi do osi pręta) walec o wysokości dx:
to wartość kąta odkształcenia postaciowego na powierzchni zewnętrznej jest równa
rdj�
g� =� (1)
dx
a na powierzchni określonej dowolnym promieniem r�
r�dj�
g� =� (2)
r�
dx
Ponieważ stan odkształcenia elementu wyciętego z pręta poddanego skręceniu jest identyczny z
przypadkiem czystego ścinania, można wykorzystać zależność wynikającą z prawa Hook a dla
ścinania:
t�
r�
g� =� (3)
r�
G
A
ącząc powyższe zależności otrzymujemy:
dj�
t� =� Gr� (4)
r�
dx
Z warunków równowagi pręta skręcanego
otrzymujemy związek
M =� r�dF (5)
S r�
��t�
Po zestawieniu dwóch ostatnich zależności otrzymujemy:
a) wzór na kąt skręcenia odcinka pręta kołowego o wysokości dx i promieniu r:
M dx
S
dj� =� (6)
GI0
skąd kąt skręcenia całego pręta
M I
S
j� =� (7)
GI0
b) wzór na naprężenia styczne powstające w przekrojach prostopadłych do osi pręta
skręcanego (o kierunkach prostopadłych do promienia):
M
S
t� =� r� [MPa] (8)
r�
I0
Naprężenia te zmieniają się liniowo od t� =� 0 do t� =� t� . Przy obliczeniach
r� =�0 r� =�r max
wytrzymałościowych prętów skręcanych korzystamy ze wzoru:
M
S
t� =� Ł� kS (9)
max
W0
Symbole użyte we wzorach:
4
d p�d
M [MN"m]  moment skręcający, l [m]  długość pręta, r =� [m]  promień pręta, I0 =�
S
2 32
3
I0 p�d
[m4]  biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta, W0 =� =� [m3] 
r 16
wskaz
nik wytrzymałości przy skręcaniu, r� [m]  promień, kS [MPa]  naprężenie
dopuszczalne przy skręcaniu, G [MPa]  moduł sprężystości postaciowej.
Powyższe związki są słuszne w obszarze naprężeń mniejszych od granicy proporcjonalności
i można je stosować wyłącznie do prętów o przekroju kołowym.
Na rysunku przedstawiono przykładowo  w układzie współrzędnych j� , M - wykres
S
skręcania próbki wykonanej ze stali o średniej zawartości węgla. Charakterystyczne punkty na
tym wykresie:
MH  moment skręcający odpowiadający granicy proporcjonalności,
Msp  moment skręcający odpowiadający granicy sprężystości,
Mpl  moment skręcający odpowiadający wyraz
nej granicy plastyczności,
MRs  maksymalny moment skręcający (niszczący) przeniesiony przez próbkę.
Po przekroczeniu granicy proporcjonalności, przypadku pręta wykonanego z materiału
elastooptycznego, wykres naprężeń stycznych przechodzi stopniowo z trójkątnego w
prostokątny. W momencie końcowym w całym przekroju pręta skręcanego występuje naprężenie
styczne o wartości t� =� t� .
r�l
Przejście z trójkątnego rozkładu naprężeń do prostokątnego spowodowane jest tym, że z
chwilą osiągnięcia w zewnętrznej warstwie próbki granicy plastyczności naprężenia te nie
zmieniają swej wartości aż do momentu, gdy zostaną wyrównane wartości naprężeń w całym
przekroju. Dla takiego stanu naprężenia otrzymuje się proste wyrażenie na moment Mpl w
funkcji naprężeń t� :
r�l
2
M =� r�dF =� p�r3t� (10)
pl r�l r�l
��t�
3
F
Przyjmując współczynnik bezpieczeństwa
M
pl
n =� (11)
M
S
z poprzedniej zależności otrzymujemy prosty wzór na długość promienia pręta skręcanego:
3 M n
S
r =� 3 (12)
2 t�
pl
Powyższy wzór można stosować tylko wówczas, gdy:
- obciążenie pręta jest statyczne,
- stanem niebezpiecznym dla materiału pręta jest stan pełnego uplastycznienia.
CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej G materiału próbki o
przekroju kołowym przez pomiar jej kąta skręcenia.
M lp
S
G =� [MPa] (13)
j�I0
gdzie MS [N"m] jest momentem skręcającym próbkę, lp [m]  długością pomiarową próbki, j�
[rad]  kątem skręcenia odcinka pomiarowego, I0 [m4]  biegunowym momentem bezwładności
przekroju próbki.
PRÓBKI DO PRÓBY SKR
CANIA
W próbie skręcania używa się głównie próbek o przekroju kołowym. Próbki o innych
przekrojach stosowane są w przypadkach prób specjalnych. Dla pełnych próbek walcowych
długość pomiarową lp przyjmuje się w zakresie (5�20)d0; najczęściej lp=10 d0, gdzie d0 jest
średnicą pomiarową próbki.
Jako obróbkę końcową dla próbek na skręcanie przyjmuje się toczenie wykańczające.
W przypadku skręcania próbek stalowych aż do ich zniszczenia  zależnie od jakości i
rodzaju badanego materiału  rozróżniamy trzy charakterystyczne rodzaje złomów:
1. Złom poślizgowy (a). Występuje on w płaszczyz
nie prostopadłej do osi próbki (w płaszczyz
nie
tej wartości naprężeń stycznych są największe). Zniszczenie próbki następuje przez ścięcie.
Widoczne są ślady plastycznych poślizgów. Tego rodzaju złomy występują w próbkach
stalowych.
2. Złom kruchy (b). Występuje w materiałach takich, jak np. żeliwo. Zniszczenie powstaje tu na
skutek rozerwania w wyniku działania głównych naprężeń normalnych, które występują w
płaszczyznach nachylonych do osi próbki pod kątem 45�. Złom kruchy przebiega wzdłuż linii
śrubowej nachylonej pod kątem 45� do osi próbki.
3. Złom rozwarstwiony, drzazgowy (c) (o pęknięciach równoległych do osi próbki). Powodem
tego rodzaju złomów jest niejednorodna budowa materiału, powstała np. wskutek
zawalcowania lub obecności obcych wtrąceń.
BUDOWA SKR
CARKI
Próba skręcania przeprowadzana jest na maszynach zwanych skręcarkami, które
pozwalają na zamocowanie i obciążanie próbki dwoma równoważącymi się momentami
działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Skręcarka zapewnia w czasie
przeprowadzania próby jednoczesny pomiar działającego momentu skręcającego MS i
wywołanego tym momentem kąta skręcenia j� . Mamy zatem możliwość sporządzenia w
czasie próby wykresu MS=f(j� ) i wyznaczenia naprężeń skręcających. Wykres ten może być
kreślony samoczynnie lub sporządzony na podstawie wskazań przyrządów pomiarowych.
Ponieważ w czasie próby skręcenia w próbce nie tworzy się przewężenie (maksymalne
naprężenia skręcające nie przekraczają dopuszczalnych), można dokładnie wyznaczyć
odkształcenia i odpowiadające im naprężenia w czasie całego przebiegu próby.
Na rysunku przedstawiono jeden z typów skręcarki, przy czym zastosowano następujące
oznaczenia: 1  korpus skręcarki, 2  korba do obciążania próbki, 3  przekładnia ślimakowa, 4
 próbka, 5  uchwyt napędowy, 6  uchwyt pomiarowy, 7  dz
wignia z obciążnikami, 8  napęd
wskazówki, 9  wskazówka, 10  skala wartości momentu skręcającego, 11  urządzenie do
wyznaczania kąta skręcenia próbki.
Urządzenie do wyznaczania kąta skręcenia próbki:
Na kolejnym rysunku przedstawiono schemat układu dz
wigniowego skręcarki:
Jego górne ramię przesuwając zębatkę wywołuje obrót kółka zębatego, a tym samym
związanej z nim wskazówki. Jak wynika z rysunku,
M =� Qr sin a� (14)
S
z
sin a� =� (15)
a
Stąd otrzymujemy
z
M =� Qr (16)
S
a
Oznacza to, że wartość momentu skręcającego zmienia się liniowo.
Kąt obrotu względem siebie dwóch przekrojów prostopadłych do osi próbki i oddalonych
od siebie o lp można wyznaczyć przez pomiar czujnikiem przemieszczenia x wywołanego
skręceniem odcinka pomiarowego o długości lp. Kąt ten wynosi:
x
j� � [rad] (17)
R
gdzie: R  odległość osi skręcanej próbki od osi wrzeciona czujnika, x  przemieszczenie końca
wrzeciona czujnika wywołanego kątem skręcenia j� .
PRZEPROWADZENIE PRÓBY
Przed przystąpieniem do właściwej próby należy zmierzyć: średnicę próbki d0 w dwóch
wzajemnie prostopadłych kierunkach z dokładnością do 0,1 mm, długość odcinka pomiarowego
lp z dokładnością do 0,1 mm, promień R, na którym umieszczony jest czujnik, z dokładnością do
1 mm.
Następnie należy wykonać następujące czynności:
1. Ustawić czujnik pomiarowy tak, aby jego wrzeciono miało możliwość wychyleń o około
2 mm.
2. A
agodnie kręcąc korbą, zwłaszcza przy odciążaniu, skręcać próbkę kolejno momentami:0, 60,
120, 60 i 0 Nm. Dla tych momentów zanotować w tabeli wskazanie czujnika.
3. Obliczyć
D�x
��
D�xśr =� [mm] (18)
4
gdzie: D�x - jest przemieszczeniem wrzeciona czujnika wywołanym zmianą momentu
skręcającego o 60 N"m.
4. Wyznaczyć średnią zmianę kąta skręcenia odpowiadającą zmianie momentu skręcającego o
60 N"m:
D�xśr
D�j�śr =� [rad] (19)
R
5. Sprawdzić, czy maksymalne naprężenia skręcające, jakie wystąpiły w czasie próby, nie
przekroczyły naprężeń dopuszczalnych, wynoszących dla badanego materiału kS = 80 MPa.
6. Wyznaczyć moduł sprężystości postaciowej G [MPa].
PR
T O PRZEKROJU PROSTOK
TNYM
W przypadku skręcania prętów o innych kształtach niż kołowy, przekroje poprzeczne nie
pozostają płaskie, lecz ulegają spaczeniu.
Nie można stosować wtedy zasady proporcjonalności wartości naprężeń stycznych do ich
odległości od środka przekroju poprzecznego, ani też zasady ich prostopadłości do promienia,
jak przy skręcaniu prętów o przekroju kołowym.
W przypadku skręcania pręta o przekroju prostokątnym wykazuje się, że:
- naprężenia tnące w narożach są równe zeru,
- naprężenia tnące w punktach położonych przy konturze przekroju poprzecznego są styczne do
zarysu, to jest skierowane wzdłuż boków prostokąta,
- największe naprężenia styczne t�max występują w środku dłuższych boków prostokąta.
Wartość naprężeń t�max , powstających w pręcie o przekroju prostokątnym skręcanym
momentem MS, oblicza się ze wzoru podanego przez Saint-Venanta:
M
S
t� =� [MPa] (20)
max
a�ab2
We wzorze tym a i b oznaczają długości boków przekroju poprzecznego pręta
skręcanego, a ą jest współczynnikiem, którego wartość zależna jest od stosunku a/b.
Jednostkowy kąt skręcenia pręta (kąt, o jaki obrócą się względem siebie dwa przekroje
poprzeczne oddalone o jednostkę długości) oblicza się ze wzoru:
M
S
q� =� [rad] (21)
b�ab3G
w którym G jest modułem sprężystości postaciowej, a �  współczynnikiem zależnym od
stosunku a/b.
Kąt skręcenia pręta na długości pomiarowej lp (przy MS = const) wynosi
M l
S p
j� =� [rad] (22)
b�ab3G
CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej G materiału próbki o
przekroju prostokątnym przez pomiar jej kąta skręcenia. Wartość modułu wyznaczamy ze wzoru
powyżej. Próbę przeprowadza się na skręcarce omówionej wcześniej.
PRZEPROWADZENIE PRÓBY
Przed przystąpieniem do właściwej próby należy zmierzyć: długość boków przekroju
poprzecznego pręta z dokładnością do 0,1 mm, długość odcinka pomiarowego lp z dokładnością
do 0,1 mm, promień R, na którym umieszczony jest czujnik, z dokładnością do 1 mm.
Następnie należy wykonać następujące czynności:
1. Ustawić czujnik pomiarowy tak, aby jego wrzeciono miało możliwość wychyleń o około
2 mm.
2. A
agodnie kręcąc korbą (zwłaszcza przy odciążaniu) skręcać próbkę kolejno momentami:0, 30,
60, 90, 60, 30 i 0 N"m. Dla tych momentów zanotować w tabeli stan czujnika.
3. Obliczyć
D�x
��
D�xśr =� [mm] (23)
6
gdzie: D�x - jest przemieszczeniem wrzeciona czujnika wywołanym zmianą momentu
skręcającego o 30 N"m.
4. Wyznaczyć średnią zmianę kąta skręcenia odpowiadającą zmianie momentu skręcającego o
30 N"m:
D�xśr
D�j�śr =� [rad] (24)
R
5. Sprawdzić, czy maksymalne naprężenia skręcające, jakie wystąpiły w czasie próby, nie
przekroczyły naprężeń dopuszczalnych, wynoszących dla badanego materiału kS = 80 MPa.
6. Wyznaczyć moduł sprężystości postaciowej G [MPa].
Na podstawie:
1.Praca zbiorowa pod red. Mirosława Banasiaka, Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości
materiałów, wyd. III, Warszawa, PWN, 1985