Przykład 2.2. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu złożonym
Punkt materialny A porusza się wzdłuż przeciwprostokątnej trójkąta przedstawionego na
rysunku 2.A. Trójkąt ten znajduje się w ruchu obrotowym wokół dłuższej przyprostokątnej.
w
Prędkość punktu A względem trójkąta wynosi , a prędkość kątowa ruchu
VA = 2Éol = const
obrotowego wynosi .
É1 = Éo = const
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu A w chwili, gdy jego odległość
od osi obrotu wynosi l.
rys. 2. A
ROZWI
ZANIE
Z treści zadania wynika, że ruch punktu A jest złożeniem ruchu względnego z
w
prędkością VA i ruchu unoszenia z prędkością . Prędkość bezwzględną punktu A można
É1
więc przedstawić w postaci sumy:
VA = VAu +VAw .
PrÄ™dkość VAu jest prÄ™dkoÅ›ciÄ… unoszenia i wynosi VAu = É × rBA (rys. 2.B). UwzglÄ™dniajÄ…c,
1
u
że É Ä„" rBA , É = É , rBA = l otrzymujemy VA = É l . Kierunek tego wektora
11 o o
przedstawia rysunek 2.B.
rys. 2. B
Wprowadzając układ współrzędnych Oxyz jak na rysunku 2.B. możemy przedstawić wektor
prędkości punktu A przez jego składowe:
u w
VAx = VAx +VAx = 0 + 2É l cos30o = 3É l
oo
u w
VAy = VAy +VAy = -É l + 0 = -É l
oo
u w
VAz = VAz +VAz = 0 - 2É l sin 30o = -É l
oo
Długość wektora prędkości punktu A wynosi:
1
2
2 2
VA = VAx + VAy + VAz =
( ) ( )
( )
2
22
= 3É l + l + l = 5É l
(-É
) (-É
)
( )
ooo o
Podobnie wyznaczymy przyśpieszenie punktu A.
Wektor przyśpieszenia jest sumą trzech wektorów:
u w cor
a = a + a + a .
A A A A
w
Przyśpieszenie w ruchu względnym a = 0 , ponieważ zadana prędkość ruchu względnego
A
w
jest stała (VA = const ).
Przyśpieszenie unoszenia, jako przyśpieszenie w ruchu obrotowym, może być przedstawione
przez składową normalną i składową styczną:
u un u
aA = aA + aAÄ .
SkÅ‚adowa styczna auÄ = 0 , ponieważ ukÅ‚ad ruchomy obraca siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ…
A
u un
É = const . Zatem aA = aA .
1
2
SkÅ‚adowa normalna ma wartość aun = É l . Wektor przyÅ›pieszenia unoszenia przedstawiony
A o
jest na rysunku 2.C.
rys. 2. C
cor
PrzyÅ›pieszenie Coriolisa wynosi aA = 2É ×VAw .
1
OkreÅ›lajÄ…c skÅ‚adowe wektorów É i VAw w prostokÄ…tnym ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych Oxyz jako
1
É É ,0 ,0
[]
1 o
VAw 3É l ,0 ,- É l
[ oo ],
możemy wyznaczyć wektor przyśpieszenia Coriolisa analitycznie bezpośrednio z definicji:
cor w w w w w w
aA = 2[(É1yVAz -É1zVAy )i + (É1zVAx -É1xVAz ) j + (É1xVAy -É1yVAx)k]=
2
= 2Éol Å" j
Wektor przyśpieszenia Coriolisa przedstawiony jest na rysunku 2.D.
2
rys. 2. D
Ostatecznie przyśpieszenie bezwzględne punktu A wynosi
a = 0 + 0 = 0
Ax
2 2
aAy = 0 + 2É l = 2É l
o o
22
aAz = -É l + 0 = -É l .
o o
Długość wektora przyśpieszenia punktu A wynosi:
2
aA = aAx 2 + a + aAz 2 =
( ) ( )
( )
Ay
2 2
2
2 2 2
= 0 + 2É l + É l = 5É l .
( )
( ) ( )
oo o
3