Przykład 2.3. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu złożonym
Punkt materialny M porusza się wzdłuż krawędzi tarczy 1 (rysunek 3.A). Znając równanie
kąta obrotu pręta 2 i równanie drogi punktu M względem tarczy 1 wyznaczyć prędkość
i przyśpieszenie bezwzględne punktu M.
Do obliczeń przyjąć dane :
O1A = O2B = 20[cm]
R = 16[cm]
3
5Ä„ t
Õ t = rad
( ) [ ]
48
2
s t = AM = Ä„ t cm
( ) [ ]
t = 2 s
[ ]
rys. 3. A
ROZWI
ZANIE
W rozwiązaniu założymy, że ruch tarczy 1 stanowi dla punktu M ruch unoszenia. Znajdziemy
poÅ‚ożenie tarczy 1 i punktu M w zadanej chwili czasu. PoÅ‚ożenie tarczy 1 okreÅ›la kÄ…t Õ(t)
(rys.3.A)
5Ä„ 5
Õ t = 23 = Ä„ .
( )
48 6
s
Położenie punktu M na tarczy 1 określimy kątem ą: ą = , który w chwili t = 2 s
R
Ä„22 Ä„
osiąga wartość ą = = .
16 4
Położenie tarczy 1 i punktu M w zadanej chwili czasu przedstawia rysunek 3.B.
1
rys. 3. B
Bezwzględną prędkość punktu M znajdziemy jako sumę wektorową prędkości unoszenia
i prędkości względnej:
u w
VM = VM +VM
Miara rzutu wektora prędkości punktu M na oś styczną do trajektorii ruchu względnego
ds cm
îÅ‚ Å‚Å‚
w w
wynosi: VM = = 2Ą t i w chwili t = 2 s równa jest VM = 4Ą .
ïÅ‚ śł
dt s
ðÅ‚ ûÅ‚
w
Dodatni znak VM wskazuje, że ruch punktu M odbywa się w kierunku wzrostu
współrzędnej s. Wektor prędkości względnej przedstawiony jest na rysunku 3.C.
u
Określimy teraz prędkość unoszenia VM punktu M.
Zauważmy, że prędkości punktów A i B należących do tarczy 1 są zawsze równoległe. Zatem
tarcza 1 porusza się ruchem postępowym i stąd
u
VM = VA .
Ponieważ VA = O1 A × É , gdzie É oznacza prÄ™dkość kÄ…towÄ… prÄ™ta 2, zatem
2 2
u
VM = O1 A Å"É , gdyż É Ä„"O1 A .
2 2
dÕ 5
2
PrÄ™dkość kÄ…towa É2 obliczona jako É = = Ä„ t ,
2
dt 16
5 1
îÅ‚ Å‚Å‚
osiÄ…ga w chwili t = 2 s wartość É2 = Ä„ .
ïÅ‚s śł
4
ðÅ‚ ûÅ‚
Dodatni znak É2 oznacza, że ruch prÄ™ta 2 odbywa siÄ™ w kierunku wzrostu kÄ…ta obrotu Õ.
Moduł wektora prędkości unoszenia wynosi więc:
5
u
VM = VA = 20 Å" Ä„ = 25Ä„ = 78.5 cm s
[ ]
4
2
u
Wektor VM (zaznaczony na rysunku 3.C) skierowany jest prostopadle do osi pręta 2
w kierunku wzrostu kÄ…ta Õ.
Wektor prędkości bezwzględnej określimy obliczając jego składowe w prostokątnym układzie
współrzędnych Oxyz:
w u
VMx = VM cos45°-VM cos30°
w u
VMy = VM cos45°+VM cos60°
Ich wartości wynoszą:
VMx = -59.1 cm / s ,
[ ]
VMy = 48.2 cm / s .
[ ]
Ostatecznie długość wektora prędkości punktu M wynosi
2 2
VM = (VMx ) + (VMy ) = 76.3[cm / s].
rys. 3. C
Przyśpieszenie bezwzględne punktu, w przypadku postępowego ruchu unoszenia, jest równe
sumie geometrycznej przyśpieszenia względnego i unoszenia:
w u Cor
aM = aM + aM , gdyż aM = 0 .
Przyśpieszenie względne przedstawimy jako sumę składowej normalnej i stycznej :
w wn w
aM = aM + aMÄ .
2
d s
wÄ wÄ
Wartość przyśpieszenia stycznego aM wynosi: a = , co daje
M
2
dt
awÄ = 2Ä„ = 6.28 s2
M [cm ].
wÄ w
Dodatnia wartość awÄ oznacza, że wektor aM ma zwrot zgodny z wektorem prÄ™dkoÅ›ci VM .
M
2
w 2
(VM ) 16Ä„
wn wn 2
Przyśpieszenie normalne a ma wartość: aM = = = Ą = 9.87[cm / s2].
M
R 16
3
wn
Wektor aM skierowany jest wzdłuż promienia, w kierunku środka krzywizny toru ruchu
względnego punktu M.
Przyśpieszenie unoszenia punktu M wynika z ruchu postępowego tarczy 1. Zachodzi zatem:
u
a = a
M A
Punkt A uczestniczy w ruchu obrotowym pręta 2 wokół bieguna O1. Zatem jego
przyśpieszenie można przedstawić jako:
Ä n
aA = aA + aA ,
Ponieważ wektor przyÅ›pieszenia kÄ…towego prÄ™ta 2 - µ2 jest prostopadÅ‚y do osi prÄ™ta to
2
aÄ = O1A Å"µ2 i an = O1 A Å"É . .
A A 2
wn w un u
Wektory aM , aMÄ , aM , aMÄ przedstawione sÄ… na rysunku 3.D.
rys. 3. D
2
d Õ
PrzyÅ›pieszenie kÄ…towe µ2 wyznaczymy z zależnoÅ›ci: µ = .
2
2
dt
W rozpatrywanej chwili czasu t = 2s przyjmuje ono wartość:
5
µ = Ä„t = 3.93[1/ s2].
2
8
Dodatnia wartość µ2 wskazuje, że zwrot wektora przyÅ›pieszenia jest zgodny ze zwrotem
wektora prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É2.
WartoÅ›ci aÄ , an i wynoszÄ… :
A A
aÄ = auÄ = 20 Å" 3.93 = 79 / s2
A M [cm ],
25
2
an = aun = 20 Å" Ä„ = 308 / s2 .
A M [cm ]
16
Wektor przyśpieszenia bezwzględnego punktu M określimy obliczając jego składowe
w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz jako
4
wÄ
aMx = a - awn cos45°-auÄ cos30°-aun cos60° ,
()
M M M M
wÄ
aMx = a + awn cos45°+auÄ cos60°-aun cos30°.
()
M M M M
Ich wartości wynoszą:
aMx = -225 / s2 ,
[cm ]
aMy = -216 / s2
[cm ].
Ostatecznie długość wektora przyśpieszenia punktu M wynosi
2
2
a = a + a = 312 / s2 .
( )
( )
M Mx My [cm ]
5