Wyznaczniki macierzy
mgr Zofia Matusiewicz
13 maja 2005
1 Wprowadzenie
Niech będzie dana macierz kwadratowa A, stopnia n.
Definicja 1 Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorawanie, które danej
macierzy A = [aij]n×n przyporzÄ…dkowuje dokÅ‚adnie jednÄ… liczbÄ™ rzeczywistÄ…
det A.
Wartość wyznacznika det A, (oznaczaną również jako |A|), oblicza się ze
wzoru:

det A = sgn (i1, i2, . . . , in) ai11ai22 . . . ainn
gdzie sumowanie rozciÄ…ga siÄ™ na wszystkie permutacje (i1, i2, . . . , in) zbioru
{1, 2, . . . n}.
2 Minory i różne sposoby obliczania wyznaczni-
ków
Definicja 2 Minorem (podwyznacznikiem) elementu aij macierzy A nazywa
się wyznacznik macierzy powstałej z A przez skreślenie i - tego wiersza i
j - tej kolumny. Minor jest oznaczany przez Mij.
Definicja 3 Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywa
się wartość:
Aij = (-1)i+jMij
Zatem, nietrudno zatem zauważyć, że wyznacznik macierzy A = [aij]n×n
można obliczyć w sposób rekurencyjny:

a11 n = 1
n
det A =
a1i(-1)1+iM1i n > 1
i=1
Co można uogólnić dokonując rozwinięcia względem wiersza k:
n

det A = aki(-1)k+iMki
i=1
1
lub dokonując rozwinięcia względem kolumny k:
n

det A = aik(-1)k+iMik
i=1
co można również zapiasć jako (dokonując rozwinięcia względem wiersza k):
n

det A = akiAki
i=1
oraz (dokonując rozwinięcia względem kolumny k):
n

det A = aikAik
i=1
Ten sposób nazywa się rozwinięciem Laplace a.
Podsumowując nietrudno zauważyć, że wyznacznik macierzy stopnia pierw-
szego wynosi:
det[a11] = a11,
Wyznacznik macierzy stopnia drugiego:

a11 a12
det = a11 · a22 - a12 · a21.
a21 a22
Jeżeli natomiast jest dana macierz A stopnia 3, wówczas jej wyznacznik
można obliczyć ze wzoru (reguły) Sarrusa:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
det a21 a22 a23 śł =
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
det a21 a22 a23 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33 =
- a11 a12 a13 +
- a21 a22 a23 +
= a11·a22·a33+a21·a32·a13+a31·a12·a23-a13·a22·a31-a23·a32·a11-a33·a12·a21.
3 Własności wyznaczników
Definicja 4 Macierz kwadratowÄ… A = [aij]n×n, której wyznacznik jest rów-
ny zero nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz kwadratową, której
wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.
2
Dla danej macierzy A = [aij]n×n zachodzi:
1. det A = det AT ;
1
2. jeśli macierz jest macierzą nieosobliwą, to det A-1 = A;
det
3. jeżeli dana macierz posiada wiersz zerowy (lub kolumnę zerową), wów-
czas det A = 0;
4. jeżeli dana macierz posiada dwa identyczne wiersze (lub kolumny),
wówczas det A = 0;
5. jeżeli w danej macierzy zamienimy ze sobą dwa wiersze (lub kolumny),
wówczas znak wyznacznika zmieni się na przeciwny:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
ak1 . . . akn śł al1 . . . aln śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . - det
. . .
det =
ïÅ‚ . . . śł ïÅ‚ . . . śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
al1 . . . aln śł ak1 . . . akn śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . śł ïÅ‚ . . . śł
. . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . .
an1 . . . ann an1 . . . ann
6. jeżeli w danej macierzy elementy danego wiersza (lub kolumny) zosta-
ną przemnożone przez dowolną ą = 0, wówczas wartość wyznacznika

również zostanie przemżona przez ą:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ . . . śł ïÅ‚ . . . śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
det ïÅ‚ Ä… · ak1 . . . Ä… · akn śł = Ä… · det ïÅ‚ ak1 . . . akn śł
śł śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . .
an1 . . . ann an1 . . . ann
7. jeżeli macierz A różni się od macierzy B elementami jednego wiersza
(lub kolumny), wówczas det(A+B) jest równy wyznacznikowi macierzy
powstałej z macierzy A i B przez przepisanie wszystkich nieróżniących
się wierszy (kolumn) i dodanie odpowiednich elementów różniących się
wiersza macierzy A i B:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ . . . śł ïÅ‚ . . . śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
det ïÅ‚ al1 . . . aln śł + det ïÅ‚ ak1 . . . akn śł =
śł śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . .
an1 . . . ann an1 . . . ann
3
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
. . .
ïÅ‚ . . . śł
. . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
= det ïÅ‚ ak1 + al1 . . . akn + akn śł
śł
ïÅ‚ śł
. . .
ïÅ‚ śł
. . .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
an1 . . . ann
8. jeżeli jedna z kolumn (lub wierszy) danej macierzy A jest kombinacją
liniowÄ… innych kolumn (wierszy), to det A = 0;
9. jeżeli det A = 0 to jedna z kolumn (lub wierszy) danej macierzy A jest
kombinacjÄ… liniowÄ… innych kolumn (wierszy);
4 Przykłady
Oblicz wyznaczniki:
1.


1 2

= 1 · 4
- 2 · 3 = 4 - 6 = -2

3 4
2.


1 2 3


4 5 6 =


7 8 9


1 2 3


4 5 6


7 8 9 =
- 1 2 3 +
- 4 5 6 +
= 1 · 5 · 9 + 4 · 8 · 3 + 7 · 2 · 6 - 7 · 5 · 3 + 1 · 8 · 6 + 4 · 2 · 9 =
= 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0.
A
atwo zauważyć, że trzeci wiersz (w3) jest kombinacją liniową piersze-
go (w1) i drugiego wiersza (w2): w3 = 2 · w2 - w1.
3.


1 2 3 10


4 5 6 0

=
7 8 9 -10


0 1 -1 0
4
rozwijamy względem czwartej kolumny (lub czwartego wiersza), gdyż
zawiera najwięcej zer:


4 5 6 1 2 3


10 · (-1)1+4 · 7 8 9 + 0 · (-1)2+4 · 7 8 9 +


0 1 -1 0 1 -1


1 2 3 1 2 3


-10 · (-1)3+4 · 4 5 6 + 0 · (-1)4+4 · 4 5 6


0 1 -1 7 8 9


4 5 6 1 2 3


= -10 · 7 8 9 + 10 · 4 5 6


0 1 -1 0 1 -1
-10 · 9 + 10 · 9 = 0.
A
atwo zauważyć, że drugi wiersz (w2) jest kombinacją liniową pierszego
1
(w1) i trzeciego wiersza (w3): w2 = (·w3 + w1), wiÄ™c wyznacznik jest
2
równy 0.
5 Zadania
Policz wyznaczniki danych macierzy:
1.

1 9
-1 3
2.

1 2
2 3
3.

i i + 1
i - 1 i
4.

cos x sin x
sin x cos x
5.

cos 2x sin x
cos x 1
5
6.

1 -4
0 5
7.
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 3
ïÅ‚ śł
1 5 3
ðÅ‚ ûÅ‚
-2 4 2
8.
îÅ‚ Å‚Å‚
-2 -1 1
ïÅ‚ śł
1 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
2 4 2
9.
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1
ïÅ‚ śł
2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 0
10.
îÅ‚ Å‚Å‚
5 15 10
ïÅ‚ śł
4 8 12
ðÅ‚ ûÅ‚
3 3 6
11.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -1
ïÅ‚ śł
0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 5 1
12.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3
ïÅ‚ śł
1 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
1 4 2
13.
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 3
ïÅ‚ śł
1 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
5 -1 9
6
14.
îÅ‚ Å‚Å‚
i i + 1 0
ïÅ‚ śł
i
ðÅ‚ - 1 -2i i
ûÅ‚
0 i + 1 i
15.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 cos x sin x
ïÅ‚ śł
0 cos x sin x
ðÅ‚ ûÅ‚
sin 2x
sin x sin2 x
2
16.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 3 0
ïÅ‚ śł
1 2 3 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 0 4 0 1 ûÅ‚
1 2 1 1
17.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 0 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1 2 1 0
śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 3 3 1 ûÅ‚
2 2 -1 0
18.
îÅ‚ Å‚Å‚
12 0 0 6
ïÅ‚ śł
5 2 1 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 20 10 5 ûÅ‚
2 2 -1 0
Rozwiąż równania:
1.

1 x
det = 1
2 3
2.

5 x
det = 2
2x 6
3.

îÅ‚ Å‚Å‚
3x x 1 x
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 2x x 1 1 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
det = 1
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
2 7 2 5
ðÅ‚ ûÅ‚
-2 -4 3 8
7