Temat wykładu:
Macierze. Układy równań liniowych
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
kursywa  komentarz
"  materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Zagadnienia  Macierze
1. Pojęcia
2. Działania na macierzach
3. Wyznacznik macierzy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 2
Pojęcie macierzy
Macierz to prostokątna tablica, w której
mo\
na wyró\
nić wiersze i kolumny.
Przykład zapisu macierzy:
îÅ‚2 -1 - 3Å‚Å‚
2 wiersze
ïÅ‚ śł
1 0,5ûÅ‚
ðÅ‚0
Macierze zapisuje
siÄ™ w nawiasach
kwadratowych.
3 kolumny
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 3
Pojęcie macierzy cd.
Na przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest element macierzy.
Przykład:
îÅ‚2 -1 - 3Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 0,5ûÅ‚
ðÅ‚0
Elementami macierzy mogą być np.: liczby, funkcje,
inne macierze.
Na ka\
dym przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest pewien element macierzy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 4
Wymiar macierzy
Jeśli macierz ma m wierszy i n kolumn, to
mówimy, \
e jest wymiaru m x n (czyt.: m
na n).
Przykład:
-1 10
îÅ‚ Å‚Å‚
4 wiersze, 2 kolumny
ïÅ‚
2 3śł
wymiar macierzy: 4 x 2
ïÅ‚ śł
(czyt.: cztery na dwa)
ïÅ‚ śł
- 0,3 Ä„
ïÅ‚
4,5 - 5,2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
4 x 2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 5
Przykład
Zapisz wymiary danych macierzy.
5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1,7śł
ïÅ‚ śł
3 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
13
ïÅ‚2
ïÅ‚ śł
1śł
ïÅ‚ śł
2,5śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
1ûÅ‚
ðÅ‚0
ïÅ‚
8śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 x 2
5 x 1 (wektor kolumnowy)
[2 - 4 0,2 - 3] [- 11]
1 x 1
1 x 4 (wektor wierszowy)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 6
Oznaczenia macierzy
Macierze oznacza siÄ™ du\
ymi literami:
A, B, ... lub A1, A2, ...
lub
[aij], i = 1, ..., m, j = 1, ..., n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 7
Identyfikowanie elementów macierzy
A  macierz wymiaru m x n,
aij  element macierzy A le\
Ä…cy na
przecięciu i-tego wiersza z j-tą kolumną,
gdzie i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
aij
numer numer
wiersza kolumny
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 8
Wybrane postacie macierzy
Jeśli w macierzy Am x n liczba wierszy m
jest równa liczbie kolumn n, to macierz A
nazywamy kwadratowÄ… stopnia n;
ozn.: An
Przykłady macierzy kwadratowych:
-1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 -1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 -1śł
ïÅ‚ śł
1 0 2ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
stopnia 2 stopnia 3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 9
Przykład
Zapisz macierz kwadratowÄ… An.
Zapis macierzy An na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 10
PrzekÄ…tna macierzy kwadratowej
W macierzy kwadratowej stopnia n
elementy aii , i = 1, & , n tworzą główną
przekÄ…tnÄ….
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
przekątna (główna)
ïÅ‚a
a22 K a2n śł macierzy An
21
ïÅ‚ śł
An =
ïÅ‚ śł
M M O M
ïÅ‚ śł
an2 K ann ûÅ‚
n1
ðÅ‚a
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 11
* Postacie macierzy kwadratowych
Macierz trójkątna górna:
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
wszystkie elementy pod przekÄ…tnÄ…
0 a22 K a2n śł
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
0 0 K ann ûÅ‚
ðÅ‚
aij = 0 dla i > j.
Przykłady:
-1 2 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 4 - 3
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 - 2 1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2
-1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1śł
ïÅ‚ śł
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚
0 2śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚0 0 - 2ûÅ‚
0 0 0 - 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 12
* Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz trójkątna dolna:
a11 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
wszystkie elementy nad przekÄ…tnÄ…
a22 K 0śł
21
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
an2 K ann ûÅ‚
n1
ðÅ‚a
aij = 0 dla i < j.
Przykłady:
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 2 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚2 0 0śł
-1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 3 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚5 2 1 0śł
3 2śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚4 5 0ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 13
Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz diagonalna:
a11 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
wszystkie elementy poza przekÄ…tnÄ…
0 a22 K 0śł
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
0 0 K ann ûÅ‚
ðÅ‚
aij = 0 dla i `" j.
Przykłady:
2 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 0
0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2 0śł
1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 0 -1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 - 2śł
ïÅ‚0 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
0 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 14
Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz jednostkowa stopnia n, ozn. In:
1 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
macierz diagonalna z jedynkami na
ïÅ‚0 1 K 0śł
przekątnej głównej,
ïÅ‚ śł
An =
ïÅ‚ śł
aii = 1 dla i = 1, 2, ..., n, M M O M
ïÅ‚ śł
aij = 0 dla i `" j.
ðÅ‚0 0 K 1ûÅ‚
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 15
Równość macierzy
Macierze A m x n oraz B p x q są równe, gdy
ich wymiary sÄ… jednakowe oraz
odpowiadające elementy są równe, czyli
m = p i n = q oraz aij = bij dla i = 1, ..., m,
j = 1, ..., n.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 16
Przykład
Dane sÄ… macierze A, B, C, D. Podaj
warunki, przy których zachodzą równości:
A = B, C = D.
2 -1 0 x -1 y
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A = B =
ïÅ‚0 ïÅ‚0
1 0,5śł z 0,5śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
x1
- 3 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
ïÅ‚
4śł
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
D =
C =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł x3
0
ïÅ‚x śł
ïÅ‚ śł
1ûÅ‚
ðÅ‚ 4 ûÅ‚
ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 17
Działania na macierzach
Dodawanie, odejmowanie
Mno\
enie macierzy przez liczbÄ™
Transponowanie
Mno\
enie macierzy przez macierz
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 18
Dodawanie macierzy
A m x n + B m x n = C m x n
cij = aij + bij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
[aij] + [bij] = [aij + bij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 19
Odejmowanie macierzy
A m x n  B m x n = C m x n
cij = aij - bij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
[aij] - [bij] = [aij - bij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 20
Mno\
enie macierzy przez liczbÄ™
k · A m x n = C m x n
cij = k · aij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
k · [aij] = [k · aij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 21
Transponowanie macierzy
(A m x n )T= C n x m
cij = aTij = aji i = 1, & , n, j = 1, & , m
krótszy zapis:
[aij]T = [ aTji]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 22
Mno\
enie macierzy przez macierz
A m x n · B n x p = C m x p
n
cij =
i = 1, & , m, j = 1, & , p
"a Å" bkj
ik
k =1
krótszy zapis:
n
[aij] · [bij] = [
"a Å" bkj ]
ik
k =1
i = 1, & , m, j = 1, & , p
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 23
Własność macierzy I
Dla dowolnej macierzy Am x n zachodzÄ…
równości:
Am x n·In = Am x n
Im·Am x n =Am x n
Zatem macierz I jest elementem obojętnym
mno\
enia macierzy.
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 24
Oznaczenia
W odniesieniu do macierzy kwadratowej A
stosuje siÄ™ oznaczenia:
A · A = A2 , A · A · A = A3,
A · A· ... · A = An
n czynników
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 25
Kolejność działań
Mno\
enie przed dodawaniem i odejmowaniem
Transponowanie przed innymi działaniami
Najpierw działania w nawiasach
Przykład na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 26
Prawa działań na macierzach
Ozn.: A, B, C, D  macierze, k  liczba rzeczywista.
Prawo łączności dodawania:
(A + B) + C = A + (B + C)
Prawo łączności mno\
enia:
(A · B) · C = A · (B · C)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 27
Prawa działań na macierzach cd.
Prawo przemienności dodawania:
A +B = B + A
Uwaga. Mno\
enie macierzy nie jest przemienne.
Mno\
enie iloczynu macierzy przez liczbÄ™:
k · (A · B) = (k · A) · B = A · (k · B)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 28
Prawa działań na macierzach cd.
Prawa rozdzielności mno\
enia względem
dodawania:
k · (A + B) = k · A + k · B
C · (A + B) = C · A + C · B
(A + B) · D = A · D + B · D
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 29
Prawa działań na macierzach cd.
Prawo transponowania sumy:
(A + B)T = AT + BT
Prawo transponowania iloczynu:
(A · B)T = BT · AT
Prawo podwójnej transpozycji:
(AT) T = A
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 30
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_dzialania.pdf
Uwaga
Do działań na macierzach mo\
na
wykorzystać funkcję arkusza EXCEL:
MACIERZ.ILOCZYN
oraz opcjÄ™
MENU Edycja - Wklej specjalnie - Transpozycja
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 31
Wyznacznik macierzy kwadratowej An
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
jest pewna liczba jednoznacznie
przyporzÄ…dkowana tej macierzy;
ozn.: det A (ang. determinant), |A|.
LiczbÄ™ tÄ… definiuje siÄ™ podajÄ…c metodÄ™ jej
obliczenia dla macierzy kwadratowej
stopnia n, przy n = 1, 2, ...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 32
Obliczanie wyznacznika  metoda Laplace'a
Dla n = 1, 2, ... wyznacznik macierzy An
oblicza siÄ™ metodÄ… Laplace a rozwijania
wyznacznika względem wiersza lub
kolumny macierzy An.
Dla n = 2 oraz n = 3 metodÄ™ Laplace a
mo\
na przedstawić w postaci uproszczonej.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 33
Obliczanie det A1
Dla n = 1:
det [a11] = a11
Przykłady:
det [-3] = -3
det [12] = 12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 34
Obliczanie det A2
Dla n = 2:
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det = a11 Å" a22 - a12 Å" a21
ïÅ‚a
a22śł
ðÅ‚ 21 ûÅ‚
Przykład:
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
det
ïÅ‚3 8śł =1Å"8 - 2 Å"3 = 8 - 6 = 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 35
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa
Dla n = 3 wyznacznik mo\
na obliczyć
stosujÄ…c schemat Sarrusa:
a11 a12 a13
1. Pod trzecim wierszem
îÅ‚ Å‚Å‚
przepisać pierwszy wiersz,
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
a pod nim drugi.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 36
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a11·a22·a33
a21 a22 a23
a21·a32·a13
2. Obliczyć iloczyny elementów
na przekątnej głównej i dwóch
a31·a12·a23
przekątnych równoległych do
niej; niech Sg oznacza sumÄ™
suma Sg = ...
tych iloczynów.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 37
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a13·a22·a31
3. Obliczyć iloczyny elementów
a23·a32·a11
na drugiej przekątnej i dwóch
a33·a12·a21
przekątnych równoległych do
niej; niech Sd oznacza sumÄ™
suma Sd = ...
tych iloczynów.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 38
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
4. det A = Sg  Sd
Uwaga
Zamiast dopisywać dwa pierwsze wiersze pod
trzecim, mo\
na dopisać dwie pierwsze
kolumny za trzecią lub wyznaczyć pewne
trójkąty w macierzy. Wszystkie te graficzne
sposoby słu\
ą ułatwieniu zapamiętania
i stosowania podanego dalej wzoru:
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 39
Obliczanie det A3
Wzór na det A3:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł = Sg - Sd ,
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
gdzie:
Sg = a11 Å" a22 Å" a33 + a21 Å" a32 Å" a13 + a31 Å" a12 Å" a23
Sd = a31 Å" a22 Å" a13 + a21 Å" a12 Å" a33 + a11 Å" a32 Å" a23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 40
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy.
1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
detïÅ‚-1 0 4śł =11-(- 6)=17
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚
1 2 3
0 0
0
-1 0 4
3
- 4
+
+ 8
- 2
Sd = - 6 Sg = 11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 41
Obliczanie wyznacznika macierzy An*
Metoda Laplace a rozwijania wyznacznika
względem i-tego (dowolnego) wiersza macierzy An
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
i+1
ïÅ‚ śł
det ai1 ai2 K ain = ai1 Å"(-1) Å" det Ai1 +
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚an1 an2 K annśł
ðÅ‚ ûÅ‚
i+2 i+n
+ ai2 Å"(-1) Å" det Ai2 +K+ ain Å"(-1) Å" det Ain
gdzie Aij jest macierzą, która powstaje po wykreśleniu
z macierzy A i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 42
* Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy A.
Polecenie mo\
na wykonać wybierając
rozwinięcie względem np. drugiego
wiersza.
1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1
1 0śł
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ śł
2 1 4 3
ïÅ‚ śł
3 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚0
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 43
* Przykład
1 -1 0 2 1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
det = 3 Å"(-1) Å" det +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 4 3 2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 0 2 1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+2 2+3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+ (-1)Å"(-1) Å" det + 1Å"(-1) Å" det
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 4 3 2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+4
ïÅ‚ śł
+ 0 Å"(-1) Å" det =
ïÅ‚ śł
2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 44
* Przykład
= - 33
= 3
-1 0 2 1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2+1 2+2
ïÅ‚ ïÅ‚2
= 3Å"(-1) Å" det 1 4 3śł + (-1)Å"(-1) Å" det 4 3śł +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚0 -1 1ûÅ‚
= 6
1 -1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczniki zakreślonych
2+3
ïÅ‚2
macierzy mo\
na policzyć
+1Å"(-1) Å" det 1 3śł + 0 =
ïÅ‚ śł
wg schematu Sarrusa lub
ïÅ‚ śł
3 1ûÅ‚
ðÅ‚0
ogólną metodą Laplace'a.
= 3Å"(-1)Å"(- 33)+ (-1)Å" 3Å"(-1)+ 3Å"(-1)Å" 6 = 90
Odp.: det A = 90.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 45
* Własności wyznacznika
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej
(dolnej) jest równy iloczynowi elementów
na głównej przekątnej.
2. Je\
eli macierz kwadratowa ma
w pewnym wierszu (lub kolumnie) same
zera, to jej wyznacznik jest równy zeru.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 46
* Własności wyznacznika cd.
3. Je\
eli dwa wiersze (lub kolumny)
macierzy kwadratowej sÄ…
proporcjonalne, to jej wyznacznik jest
równy zeru.
4. Wyznacznik macierzy jednostkowej
dowolnego stopnia jest równy jeden.
det In = 1
5. Wyznaczniki macierzy A oraz AT sÄ…
równe.
det A = det AT
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 47
* Własności wyznacznika cd.
6. Dla macierzy A stopnia n:
det (k·A) = kn·det A,
k " R
7. Wyznacznik iloczynu macierzy
kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych
macierzy:
det (A·B) = det A · det B
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 48
Macierz osobliwa, nieosobliwa
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy
osobliwÄ…, gdy det A = 0.
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy
nieosobliwÄ…, gdy det A `" 0 .
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 49
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_wyznacznik.pdf
Uwaga
Do obliczania wyznacznika macierzy
mo\
na wykorzystać funkcję arkusza
EXCEL:
WYZNACZNIK.MACIERZY
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 50
Zagadnienia  Układy równań liniowych
1. Zapis macierzowy
2. Układy Cramera
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 51
Wprowadzenie
Przykład 1.
Dla danych macierzy A, x, b wykonaj:
a) oblicz iloczyn A·x,
b) zapisz warunki, przy których zachodzi
równanie Ax = b.
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
-1 0 2 - 2 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2 1śł x = ïÅ‚x3 śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ 1ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚x4 ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 52
Przykład 1. cd.
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 - 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
2
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
A3x4 Å" x = 0 1 - 2 1śł Å" =
4 x 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x3
ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚
ðÅ‚x4ûÅ‚
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 - x1 + 2x3 - 2x4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
0 Å" x1 +1Å" x2 + (- 2)Å" x3 +1Å" x4 śł = x2 - 2x3 + x4 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł3x1 ïÅ‚ śł
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 +1Å" x3 + (-1)Å" x4 ûÅ‚
1
ðÅ‚ ðÅ‚2x - x2 + x3 - x4ûÅ‚3x1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 53
Przykład 1. cd.
- x1 + 2x3 - 2x4 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
Ax = x2 - 2x3 + x4 śł = 1śł = b
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚2x - x2 + x3 - x4 śł ïÅ‚ 1ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
Ax = b
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2 układ równań liniowych
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
w zapisie macierzowym
1
ół
układ równań liniowych
w zapisie klasycznym
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 54
Przykład 2.
Dany układ równań zapisz w postaci
macierzowej.
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
1
ół
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 55
Przykład 2. cd.
Macierzowy zapis układu równań: Ax = b.
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
1
ół
Układ równań zapisany z wyszczególnieniem
współczynnika przy ka\
dej niewiadomej:
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 = - 5
Å„Å‚
ôÅ‚
0 Å" x1 + 1Å" x2 + (- 2)Å" x3 + 1Å" x4 = 1
òÅ‚
ôÅ‚
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 + 1Å" x3 + (-1)Å" x4 = 1
ół
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 56
Przykład 2. cd.
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 = - 5
Å„Å‚
ôÅ‚
0 Å" x1 + 1Å" x2 + (- 2)Å" x3 + 1Å" x4 = 1
òÅ‚
ôÅ‚
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 + 1Å" x3 + (-1)Å" x4 = 1
ół
x1 x2 x3 x4
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 - 2 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
2
ïÅ‚ ïÅ‚
ïÅ‚ śł
x =
A = 0 1 - 2 1śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ 1ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚x4 ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 57
Zapis macierzowy układu równań liniowych
Układ równań liniowych:
a11x1 + a12x2 + K + a1nxn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22x2 + K + a2nxn = b2
ôÅ‚
21
òÅ‚
M M M
ôÅ‚
ôÅ‚am1x1 + am2x2 +
+ amn xn = bm
ół
mo\
na zapisać w postaci Ax = b, gdzie:
a11 a12 K a1n x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
a22 K a2n śł
21 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x = b =
A =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
am2 am n śł
ïÅ‚a
n m
m1 ðÅ‚x ûÅ‚ ðÅ‚b ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 58
Zapis macierzowy układu równań liniowych cd.
W odniesieniu do układu równań liniowych
w postaci Ax = b, stosowane są określenia:
A - macierz układu (wymiar m x n)
x - wektor niewiadomych (wymiar n x 1)
b - wektor prawych stron (wymiar m x 1)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 59
Układ równań liniowych Cramera
Układ równań liniowych
Ax = b
nazywa się układem Cramera, jeśli
macierz układu A jest kwadratowa
i nieosobliwa.
Układ Cramera posiada dokładnie jedno
rozwiÄ…zanie.
Uwaga na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 60
Metody rozwiązywania układu Cramera
wzory Cramera
metoda macierzy odwrotnej *
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 61
Wzory Cramera
Rozwiązanie układu równań Cramera Ax = b,
gdzie:
A  macierz stopnia n,
x = [x1, x2, ..., xn]T, b = [b1, b2, ..., bn]T,
podajÄ… wzory Cramera:
det A
i
xi = , i = 1, 2, ..., n
det A
gdzie: Ai - macierz powstała po zastąpieniu
i-tej kolumny macierzy A kolumnÄ…
prawych stron b.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 62
Przykład
Wyznacz rozwiązanie układu równań przy
u\
yciu wzorów Cramera.
2x1 + 2x3 = -1
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚- x1 - x2 + 3x3 = 0
ół
2 0 2 x1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚x śł ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł x = b = 1śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
3
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚x ûÅ‚ ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 63
Przykład cd.
Czy dany układ jest układem Cramera?
2 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A = det 0 1 - 2śł =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
3ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1
2 0 2
0 1 - 2
= [6 + 0 + 0] -[(-2) + 4 + 0] = 6 - 2 = 4
Dany układ jest układem Cramera.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 64
Przykład cd.
Macierz A1:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
-1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A1 = det 1 1 - 2śł = -3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 -1 3ûÅ‚
ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 65
Przykład cd.
Macierz A2:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
2 -1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A2 = det 0 1 - 2śł = 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 3ûÅ‚
ðÅ‚-1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 66
Przykład cd.
Macierz A3:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
2 0 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A3 = det 0 1 1śł = 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 67
Przykład cd.
Po podstawieniu do wzorów Cramera:
det A1 - 3 3
x1 = = = -
det A 4 4
det A 6 1
2
x2 = = =1
det A 4 2
det A3 1
x3 = =
det A 4
Uwaga na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 68