Wyznacznik macierzy kwadratowej
Macierzy kwadratowej stopnia n ( n wierszy i n kolumn) przyporzÄ…dkowujemy liczbÄ™
zwanÄ… jej wyznacznikiem stopnia n.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|
Liczby tej (wyznacznika) szukamy następująco ( wykorzystując twierdzenia):
1. Jeśli macierz jest stopnia pierwszego [a], wtedy jej wyznacznik jest równy temu wyrazo-
wi, czyli det [a] = |a| = a.
a b
îÅ‚ Å‚Å‚
2. det = ad  bc.
ïÅ‚c d śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3. det A = det AT ; wyznacznik danej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy trans-
ponowanej
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A są zerami, to
det A = 0.
5. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch wierszy (ko-
lumn), to det B =  det A.
6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez
liczbÄ™ k i otrzymamy macierz B, to: det B = k det A.
7. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez dodanie do elementów pewnego wiersza (ko-
lumny) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez liczbę k,
to det B = det A.
8. Jeżeli wszystkie elementy leżące w macierzy A poniżej (powyżej) głównej przekątnej są
równe zero ( A jest macierzą trójkątną), to det A jest równy iloczynowi elementów głównej
przekÄ…tnej.
Wskazówka:
a) Przy obliczaniu wyznaczników stopnia pierwszego oraz drugiego wykorzystujemy wprost
własności 1 i 2.
b) Przy obliczaniu wyznaczników stopnia wyższego niż drugi najkorzystniej jest tak prze-
kształcać daą macierz (zgodnie z tymi twierdzeniami), aby otrzymać macierz w postaci
trójkątnej i następnie wykorzystać własność 8.
1
 Przykład 1.
Oblicz wyznacznik macierzy
îÅ‚- 5 2 3 4 5
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 - 4 3 4 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = 1 2 - 3 4 5
ïÅ‚ śł
1 2 3 - 2 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
1 2 3 4 -1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Macierz A jest kwadratowa, zatem ma wyznacznik. Jest ona stopnia 5. Przekształcamy ją:
a) Od wiersza w1 odejmuję wiersz w5 , czyli w1  w5 , otrzymujemy macierz B, w której
wiersz w1 jest równy w1  w5 a pozostałe wiersze się nie zmieniły:
îÅ‚- 6 0 0 0 6
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 - 4 3 4 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
B = 1 2 - 3 4 5 .
ïÅ‚ śł
1 2 3 - 2 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
1 2 3 4 -1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Z własności 7 wynika, że det B = det A.
b) WykonujÄ…c analogiczne operacje na wierszach opisane wzorami: w2  w5 , w3  w5 ,
w4  w5 oraz na kolumnach zgodnie ze wzorem k3 + (k1 + k2 + k3 + k4 ) i otrzymujmy
macierz trójkątną:
îÅ‚- 6 0 0 0 0
Å‚Å‚
ïÅ‚
0 - 6 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
M = 0 0 - 6 0 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 - 6 0śł
ïÅ‚
ïÅ‚
1 2 3 4 9śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Wykorzystując własność 7 oraz własność 9 mamy:
det M = 9 (-6)4 = 11664, a tym samym det A = 11664.
Twierdzenie
2
Przykład 2.
1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚4
det 5 6śł = 1Å" 5 Å" 9 + 2 Å" 6 Å" 7 + 3 Å" 4 Å" 8  3 Å" 5 Å" 7  1 Å" 6 Å" 8  2 Å" 4 Å" 9 =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚7 8 9ûÅ‚
= 45 + 84 + 96  105  48  72 = 0.
Definicja
Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0 (det A `" 0) nazywa się macierzą
nieosobliwÄ….
3
Ćwiczenia
1.Oblicz wyznacznik:
2 -1 1 - a - a
1 - 2 5 - 2
a) , b) , c) ,
3 4 a 1 + a
2 + 5 2 + 1
- 1 5 4 1 1 1 (-1)n - 2 (-1)3
d) 3 - 2 0 , e) 1 2 3 , f) 2 - 1 - 2 .
- 1 3 6 - 1 - 4 - 6 (-1)2n+1 2 (-1)n+1
2 3 0 3 2
2 - 1 3 0 3 - 2 0 5
0 3 2 0 0
0 2 0 1 - 2 1 - 2 2
g) , h) , i) , 0 0 3 2 1 .
- 1 2 1 3 0 - 2 5 0
- 3 0 2 3 2
2 2 0 4 5 0 3 4
1 0 1 0 4
2. Oblicz:
2
îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
cos a
îÅ‚ - sin a cosb - sin b 2 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ - 1
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
a) det Å" , b) det , c) det ([1,-2, 3, 4] Å" ).
ïÅ‚sin a cos a śł ïÅ‚sin b cosb śł ïÅ‚3 - 2śł
ïÅ‚- 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
3. Sprawdz
, czy det (AÅ"B) = det A Å" det B, gdy
1 1 - 4 0 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚2 śł ïÅ‚3
A = 1 0 , B = 1 2śł .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 -1 2 śł ïÅ‚1 0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4. Zbadaj, która macierz jest osobliwa:
3 2 1 0 1 3 2 3 2 1 4 1
1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
4 3 -1 1 1 3 2 0 - 3 2 1 2
ïÅ‚4
a) , b) , c) , d) 5 6śł .
ïÅ‚ śł
7 5 0 1 - 2 1 4 4 1 1 -1 - 2
ïÅ‚7 8 9śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 4 1 2 -1 2 - 2 5 2 3 2 -1
5. Dane sÄ… punkty A = (2, 3), B = (4, 7), C = ( 3, 8).
AC CB CB AC
a) Wyznacz składowe wektorów AB , , , BA + 3 , -2 AB + 4 .
BC
b) Oblicz pole równoległoboku  rozpiętego na wektorach BA, .
AC
c) Oblicz pole trójkąta ABC,  rozpiętego na wektorach -2 AB , 4 .
4