1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Wyznaczanie wartości własnych macierzy stopnia trzeciego
Fakt (Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia n = 3 ) Niech A będzie
macierzÄ… postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
A = a21 a22 a23 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać:
W () = - 3 + p1 2 - p2  + p3,
gdzie:
" p1 = a11 + a22 + a33 = tr A nazywamy śladem macierzy A ,
" p2 jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A , tj.


a11 a12 a11 a13 a22 a23

p2 = + + ,

a21 a22 a31 a33 a32 a33
" p3 = W (0) = det A jest wyznacznikiem macierzy A .
Przykład Korzystjąc z powyższego faktu wyznaczyć wartości własne macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0
ïÅ‚ śł
A = -4 4 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-2 1 2
RozwiÄ…zanie Obliczamy:
" p1 = a11 + a22 + a33 = 0 + 4 + 2 = 6 ,
"


0 1 0 0 4 0

p2 = + + = 4 + 0 + 8 = 12
-4 4 1 2
-2 2

" p3 = W (0) = det A = 8.
StÄ…d
W () = - 3 + 6 2 - 12  + 8 = -( - 2)3.
Zatem rozwiązując równanie charakterystyczne W () = 0, otrzymujemy  = 2.