ALGEBRA
Wektory i wartości własne
J. Polańska R. Wawrzyniak
Politechnika Poznańska
16 grudnia 2012
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 1 / 18
ALGEBRA
Spis Treści
1
Przypomnienie podstawowych wiadomości.
2
Wektor własny
3
Wartość własna
4
Zastosowanie wektorów i wartości własnych
5
Równanie charakterystyczne macierzy
6
Åšlad macierzy
7
Wektory i wartości własne w środowisku Matlab
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 2 / 18
ALGEBRA
Przypomnienie podstawowych wiadomości.
Wymagania teoretyczne
Przed przystąpieniem do wykładu student powinien mieć opanowane:
Rodzaje macierzy.
Mnożenie dodawanie i odejmowanie macierzy.
Eliminacje Gauussa.
Rozwiązywanie układów równań.
Obliczanie wyznacznika macierzy.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 3 / 18
ALGEBRA
Wektor własny
Macierz kwadratowa działa na wektor zmieniając zarówno jego długość
jak i kierunek. W przypadku niektórych wektorów zamianie ulegają
jedynie długość ewentualnie zwrot, pozostawiając kierunek bez zmian.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 4 / 18
ALGEBRA
Wektor własny
Macierz kwadratowa działa na wektor zmieniając zarówno jego długość
jak i kierunek. W przypadku niektórych wektorów zamianie ulegają
jedynie długość ewentualnie zwrot, pozostawiając kierunek bez zmian.
Uwaga!
Takie wektory nazywa się wektorami własnymi (ang. eigenvectors) tej
macierzy.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 5 / 18
ALGEBRA
Wektor własny
Macierz kwadratowa działa na wektor zmieniając zarówno jego długość
jak i kierunek. W przypadku niektórych wektorów zamianie ulegają
jedynie długość ewentualnie zwrot, pozostawiając kierunek bez zmian.
Uwaga!
Takie wektory nazywa się wektorami własnymi (ang. eigenvectors) tej
macierzy.
Przykład:
1 0 1
A = Wektorem własnym dla tej macierzy będzie: x =
0 1 1
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 6 / 18
ALGEBRA
Wartość własna
Macierz działa na swój wektor własny zmieniając jego długość mnożąc
ją przez pewien współczynnik. Jeśli jest on dodatni, to nie zmienia się
zwrot wektora, a jeśli ujemny to zwrot ulega zmianie na przeciwny.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 7 / 18
ALGEBRA
Wartość własna
Macierz działa na swój wektor własny zmieniając jego długość mnożąc
ją przez pewien współczynnik. Jeśli jest on dodatni, to nie zmienia się
zwrot wektora, a jeśli ujemny to zwrot ulega zmianie na przeciwny.
Uwaga!
Ten współczynnik nazywa się wartośćią własną (ang. eigenvalue) dla
tego wektora własnego w tej macierzy.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 8 / 18
ALGEBRA
Wartość własna
Macierz działa na swój wektor własny zmieniając jego długość mnożąc
ją przez pewien współczynnik. Jeśli jest on dodatni, to nie zmienia się
zwrot wektora, a jeśli ujemny to zwrot ulega zmianie na przeciwny.
Uwaga!
Ten współczynnik nazywa się wartośćią własną (ang. eigenvalue) dla
tego wektora własnego w tej macierzy.
Przykład:
1 0
A = Wartością własną w tej macierzy dla wektora własnego
0 1
1
x = jest liczba  = 1,
1
1 0 1 1
ponieważ =
0 1 1 1
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 9 / 18
ALGEBRA
Zastosowanie wektorów i wartości własnych
Wartości własne i wektory własne odgrywaja zasadniczą rolę w
rozwiązywaniu równan różniczkowych liniowych, w badaniu ich
stabilności, w wyznaczaniu stanów stacjonarnych w zagadnieniach
mechaniki kwantowej oraz w równaniach cząstkowych.
Zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań różniczkowych
Rozwiążmy równanie x =Ax, gdzie A jest macierza kwadratową o
wymiarach n x n. Szukamy rozwiązań postaci:
x(t) = vet,  " C, v " Cn
d
Ponieważ (et) = et, więc x (t) = (vet) = vet.
dt
Podstawiając wyliczoną wartość x (t) do naszego układu otrzymujemy:
vet = A(vet) = etAv.
Zatem funkcja x(t) = vet jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko
wtedy, gdy stała  " C i wektor v " Cn spełniają równanie
Av = v
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 10 / 18
ALGEBRA
Zastosowanie wektorów i wartości własnych
Wartości własne i wektory własne odgrywaja zasadniczą rolę w
rozwiązywaniu równan różniczkowych liniowych, w badaniu ich
stabilności, w wyznaczaniu stanów stacjonarnych w zagadnieniach
mechaniki kwantowej oraz w równaniach cząstkowych.
Zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań różniczkowych
Jeżeli liczba  " C i nie zerowy wektor v " Cn spełniają powyższe
równanie, to  nazywamy wartością własną, a wektor v wektorem
własnym macierzy(odwzorowania) A. Jeżeli  jest wartością własną, a
v wektorem własnym macierzy A odpowiadającym , to spełniają one
równanie:
(A - I)v = 0
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 11 / 18
ALGEBRA
Zastosowanie wektorów i wartości własnych
Wartości własne i wektory własne odgrywaja zasadniczą rolę w
rozwiązywaniu równan różniczkowych liniowych, w badaniu ich
stabilności, w wyznaczaniu stanów stacjonarnych w zagadnieniach
mechaniki kwantowej oraz w równaniach cząstkowych.
Zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań różniczkowych
W istocie jest to jednorodny układ n równań liniowych o n
niewiadomych i ma on niezerowe rozwiÄ…zanie v wtedy i tylko wtedy,
gdy
det(A - I) = 0
Ostatnie równanie nazywamy równaniem charakterystycznym. Układ
złożony z wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom
własnym jest liniowo niezależny. W szczególności, jeżeli macierz
kwadratowa wymiaru n x n ma n róznych wartosci własnych, to
odpowiadające im wektory własne tworzą bazę w Cn
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 12 / 18
ALGEBRA
Równanie charakterystyczne macierzy
W algebrze liniowej każdej macierzy kwadratowej można przypisac jej
wielomian charakterystyczny. Zawiera on informacje o niektórych
własnościach tej macierzy, w szczególności o jej wartościach własnych,
wyznaczniku, i śladzie.
Definicja
Dla dowolnego ciała K (w szczególnosci mogą to być liczby rzeczywiste
lub zespolone) możemy rozważać macierze n x n nad tym ciałem.
Wielomian charakterystyczny takiej macierzy A, oznaczany przez
pA(t), definiuje siÄ™ jako:
pA(t) = det(tI - A)
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 13 / 18
ALGEBRA
Równanie charakterystyczne macierzy - przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy
2 1
A =
-1 0
Obliczamy wyznacznik macierzy
t - 2 -1
tI - A = otrzymujÄ…c:
1 t
(t - 2)t - 1(-1) = t2 - 2t + 1
Jest to wielomian charakterystyczny A.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 14 / 18
ALGEBRA
Åšlad macierzy
Ślad macierzy  w algebrze liniowej to suma elementów na głównej
przekÄ…tnej macierzy kwadratowej.
Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Śladem macierzy A
nazywamy wielkość:
n
tr(A) = aii = a11 + a22 + · · · + ann.
i=1
Stosuje się również oznaczenia Tr(A) oraz trace(A). Macierz, której
ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 15 / 18
ALGEBRA
Åšlad macierzy - zastosowanie przy obliczaniu wartosci
własnych
Niezwykle przydatnym faktem przy wyznaczaniu wartości własnych
jest to, że suma lambd (wartości własnych) jest równa śladowi
n n
macierzy.  = aii
i=1 i=1
Przykład!
1 0
Wez
my macierz Identycznościową I = , wiemy że jedna z wartości
0 1
własnych jest równa 1 = 1. Aby poznać drugą wartość własną
wystarczy policzyć ślad macierzy tr(I) = 1 + 1 = 2, a następnie od
wyniku odjąć pierwszą wartość własną. W ten sposób otrzymujemy:
2 = 1.
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 16 / 18
ALGEBRA
Åšrodowisko Matlab
A=[1 0;0 1]
A=
1 0
0 1
lambda = eig(A)
lambda=
1
1
trace(A)
ans=
2
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 17 / 18
ALGEBRA
Åšrodowisko Matlab
[V,E] = eig(A)
V=
0 0
1 1
E=
1 0
0 1
J. Polańska, R. Wawrzyniak (Politechnika Poznańska) 16 grudnia 2012 18 / 18
ALGEBRA