2011-11-13
MACIERZ ODWROTNA
Def. MacierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
A-ð1 A×ð A-ð1 =ð A-ð1 ×ð A =ð I .
taką, że
Tw. Macierz kwadratowa A ma odwrotnÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy jest
nieosobliwą. Wówczas
1
T
A-ð1 =ð (ðDA )ð
DA =ð [ðDij]ð, Dij =ð (-ð1)i+ð j Mij .
, gdzie
det A
dopełnienia algebraiczne
transponowana macierz dopełnień algebraicznych
5Ø@Ü5ØVÜ5ØWÜ jest wyznacznikiem powstaÅ‚ym z macierzy A przez
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny
Z.KASPERSKI, t.4
PRZYKA
AD
1 0 jest odwrotna do
Sprawdzid, czy macierz 5Ø4Ü =
-1 1
1 0
macierzy 5Ø5Ü =
1 1
WA
ASNOÅšCI:
1
-ð1
a) I =ð I; b) (A-ð1)-ð1 =ð A; c) det A-ð1 =ð ;
det A
d) (AB)-ð1 =ð B-ð1A-ð1. (A-ð1)T =ð (AT )-ð1.
Z.KASPERSKI, t.4
1
2011-11-13
PRZYKA
AD.
1 2 -3
Znalez
ć A-1 jeÅ›li 5Ø4Ü = 2 1 -2 .
2 -1 0
Z.KASPERSKI, t.4
Def. Operacją elementarną na macierzy nazywamy każde z
następujących przekształceo:
1. mnożenie wiersza (kolumny) przez niezerową stałą,
2. dodawanie do wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny)
pomnożonego przez stałą,
3. zamiana dwóch wierszy (kolumn).
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez zastosowanie operacji
elementarnej, to A i B nazywamy równoważnymi i piszemy 5Ø4Ü~5Ø5Ü.
Z.KASPERSKI, t.4
2
2011-11-13
1
Def. Podmacierz macierzy A jest to macierz powstała z A przez
skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Wyznaczniki z podmacierzy
kwadratowych nazywamy minorami.
PRZYKA
ADY
Z.KASPERSKI, t.4
1
DEf. Rzędem macierzy nazywamy stopieo największego niezerowego minora tej
macierzy, czyli rozmiar jej największej kwadratowej podmacierzy o wyznaczniku
różnym od zera. Rząd macierzy A oznaczamy R( A).
1
PRZYKA
AD
Znalez
d rzÄ…d macierzy
2 4 1 5
éð Å‚ð
Ä™ð1
A =ð -ð1 1 3Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð3 3 2 8ûð
Z.KASPERSKI, t.4
3
2011-11-13
Tw. Operacje elementarne na macierzy nie zmieniają jej rzędu.
(Macierze równoważne mają ten sam rząd)
PRYKA
AD. Znalez
ć rząd macierzy
2 3 0 1
éð Å‚ð
Ä™ð4 6 0 2Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
1 1 0 1
Ä™ð Å›ð
ëð3 3 0 3ûð
Z.KASPERSKI, t.4
4