Definicja i metody obliczania macierzy
odwrotnej
Marcin Detka
Katedra Informatyki Stosowanej
Kielce, Paz
dziernik 2004
1 Macierz odwrotna - definicja
Definicje uzupełniające (przypomnienie)
Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy nazywamy każdy wy-
znacznik, który otrzymujemy usuwając z macierzy danego wyznacznika
pewną liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn, zachowując kolejność
pozostałych elementów.
Minorem wyznacznika przynależnym do elementu aij macierzy nazywamy
podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z ma-
cierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których
znajduje siÄ™ ten element.
Dopełnieniem algebraicznym Aij elementu aij wyznacznika nazywamy
iloczym minora tego wyznacznika przynależnego do elementu aij oraz
czynnika (-1)i+j
Jeżeli poprzez A oznaczymy macierz dopełnień algebraicznych dla danej kwa-
dartowej macierzy A o wyznaczniku detA = 0 to definicje macierzy odwrot-

nej możemy zapisać:
1
A-1 = (A)T (1)
detA
Wartość każdego elementu macierzy odwrotnej możemy zapisać przyjmijmy
że: A-1 = B
Aji
bij = (2)
detA
1
2 MACIERZ ODWROTNA - METOD
GAUSSA-JORDANA 2
Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji:
îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 -1
ïÅ‚ śł
A = 4 2 -1 ûÅ‚
ðÅ‚
-2 -1 1
Wyznacznik macierzy wynosi:


3 1 -1


4 2 -1 = 1 = 0



-2 -1 1
Obliczamy dopełnienia algebraiczne dla każdego elementu macierzy


2 -1

A11 = (-1)1+1 = 1

-1 1



1 -1

A21 = (-1)2+1 = 0

-1 1

Po obliczeniu wszystkich (jeszcze 7) dopełnień algebraicznych macierz A wy-
nosi
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 0
ïÅ‚ śł
A = 0 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
1 -1 2
PodstawiajÄ…c do wzoru 1 otrzymujemy macierz odwrotnÄ…
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
1
ïÅ‚ śł
A-1 = -2 1 -1 ûÅ‚
ðÅ‚
1
0 1 2
2 Macierz odwrotna - metodÄ… Gaussa-Jordana
Metoda Gaussa-Jordana oparta jest na następujących równaniach
A-1A = I (3)
A-1I = A-1 (4)
Macierz A oraz macierz jednostkowÄ… I poddajemy tej samej sekwencji ope-
racji: z symetri powyższych równań wynika że jeżeli ta sekwencja doprowadzi
do przekształcenia macierzy A w macierz I to przekształcana równolegle ma-
cierz jednostkowa powinna stać się macierzą A-1
2 MACIERZ ODWROTNA - METOD
GAUSSA-JORDANA 3
Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej metodÄ… Gaussa-Jordana
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 1 2 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
1 1 2 0 0 1
aby uzyskać a11 = 1, dzielimy pierwszy wiersz przez warość elementu a11
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1/2 1/2 1/2 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 1 2 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
1 1 2 0 0 1
aby uzyskać wartość a21 = 0 odejmujemy od wiersza 2 wiersz 1 pomnożnony
przez warość a21 oraz aby uzyskać wartość a31 = 0 odejmujemy od wiersza 3
wiersz 1 pomnożnony przez warość a31
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1/2 1/2 1/2 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 3/2 1/2 ûÅ‚ ðÅ‚ -1/2 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1/2 3/2 -1/2 0 1
aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a22 = 1 dzielimy wiersz 2 przez
wartość a22, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a12 tak uzyskany wiersz
odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a12
aby uzyskać wartość 0 dla elementu a32 tak uzyskany wiersz odejmujemy od
wiersza 3 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a32
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1/3 2/3 -1/3 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 1 1/3 ûÅ‚ ðÅ‚ -1/3 2/3 0 ûÅ‚
ðÅ‚
0 0 4/3 -1/3 -1/3 1
aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a33 = 1 dzielimy wiersz 3 przez
wartość a33, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a13 tak uzyskany wiersz
odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a13
aby uzyskać wartość 0 dla elementu a23 tak uzyskany wiersz odejmujemy od
wiersza 2 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a23
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 3/4 -1/4 -1/4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 1 0 ûÅ‚ ðÅ‚ -1/4 3/4 -1/4 ûÅ‚
ðÅ‚
0 0 1 -1/4 -1/4 3/4
Zatem
îÅ‚ Å‚Å‚
3/4 -1/4 -1/4
ïÅ‚ śł
A-1 = -1/4 3/4 -1/4 ûÅ‚
ðÅ‚
-1/4 -1/4 3/4