Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej
Wywodząca się z teorii macierzy algebraicznych metoda macierzy odwrotnej znajduje
zastosowanie przy wielokrotnym rozwiązywaniu układów równań liniowych
których macierz współczynników A nie jest zmieniana. Innymi słowy, układ jest rozwiązywany
dla ró\
nych wartości wyrazów wolnych tworzących wektor B.
Macierz odwrotna A-1 względem nieosobliwej macierzy kwadratowej A (której wyznacznik jest
ró\
ny od 0) jest równie\
macierzą kwadratową, nieosobliwą tego samego rzędu. Zapisany poni\
ej
iloczyn
jest równy macierzy jednostkowej E, równie\
tego samego rzędu.
Rozwiązanie układu nie ulegnie zmianie w wyniku pomno\
enia obu jego stron przez macierz
odwrotną, tj.
Iloczyn macierzy jednostkowej E i wektora kolumnowego X jest to\
samy z wektorem X. Dzięki
tej właściwości mamy:
Z powy\
szej zale\
ności wynika, \
e wektor X stanowiący rozwiązanie oblicza się przez
pomno\
enie macierzy odwrotnej A-1 przez wektor wyrazów wolnych B.
Zatem zasadniczym i jednocześnie najtrudniejszym problemem, który nale\
y rozwiązać na
wstępie, jest wyznaczenie macierzy odwrotnej A-1.
Jednym ze sposobów jest przekształcenie macierzy
|
do postaci
|
Innymi słowy na macierzy A wykonujemy takie operacje elementarne aby stała się ,macierzą
jednostkową. Jednocześnie te same operacje wykonujemy na macierzy jednostkowej. Metoda ta
nazywana jest metodą eliminacji Gaussa-Jordana.