ÿþR o z d z i a l 5
O b r a z , r z a d i j a d r o m a c i e r z y
5 . 1 O b r a z i r z a d m a c i e r z y
N i e c h A " K m , n ,
A = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] , a j " K m , 1 d" j d" n .
O b r a z m a c i e r z y A d e f i n i u j e m y j a k o
R ( A ) : = { A " x : x " K n } = s p a n ( a 1 , a 2 . . . , a n ) †" K m .
D a l e j , r z a d k o l u m n o w y m a c i e r z y A d e f i n i u j e m y j a k o
r z k ( A ) : = d i m ( R ( A ) ) .
O c z y w i [c i e , 0 d" r z k ( A ) d" m i n ( m , n ) . P o d o b n i e , p r z e d s t a w i a j a c A j a k o
w e k t o r y - w i e r s z e ( f u n k c j o n a l y ) ,
îø ùø
â T
1
ïø úø
.
ïø úø
.
A = ,
.
ðø ûø
â T
m
d e f i n i u j e m y r z a d w i e r s z o w y m a c i e r z y A j a k o
r z w ( A ) = d i m R ( A T ) = d i m ( s p a n ( â 1 , â 2 , . . . , â n ) ) .
P o d o b n i e j a k d l a r z e d u k o l u m n o w e g o , 0 d" r z w ( A ) d" m i n ( m , n ) .
M a m y n a s t e p u j a c e w a |n e t w i e r d z e n i e .
4 3
4 4 R O Z D Z I A L 5 . O B R A Z , R Z A D I J A D R O M A C I E R Z Y
T w i e r d z e n i e 5 . 1 D l a d o w o l n e j m a c i e r z y A " K m , n m a m y
r z k ( A ) = r z w ( A ) .
D o w ó d . O z n a c z m y
k = r z k ( A ) o r a z w = r z w ( A ) .
Z a u w a |m y n a j p i e r w , |e p e r m u t a c j a k o l u m n m a c i e r z y n i e z m i e n i a a n i j e j
r z e d u k o l u m n o w e g o ( b o t o t y l k o z m i a n a k o l e j n o [c i w e k t o r ó w ) a n i j e j r z e d u
w i e r s z o w e g o ( b o t o t y l k o p r z e n u m e r o w a n i e w s p ó l r z e d n y c h , i d e n t y c z n e d l a
k a |d e g o z w e k t o r ó w ) . P o d o b n i e r z e d ó w n i e z m i e n i a p e r m u t a c j a w i e r s z y .
D o k o n a j m y w i e c , d l a u p r o s z c z e n i a , t a k i e j p e r m u t a c j i k o l u m n , a p o t e m
w i e r s z y , a b y o t r z y m a n a m a c i e r z  b y l a p o s t a c i
 = A I A I I ,
g d z i e A I " K m , k , A I I " K m , n - k , r z k ( A I ) = k , o r a z
A 1
A I = ,
A 2
w 1 : = r z w ( A I ) = r z w ( A 1 ) . O c z y w i [c i e
w 1 d" w ,
b o w i e r s z e A 1 s a o b c i e t y m i w i e r s z a m i  .
P o n i e w a | w e k t o r y - w i e r s z e m a c i e r z y A 2 s a l i n i o w o z a l e |n e o d w e k t o r ó w -
1
w i e r s z y m a c i e r z y A 1 t o i s t n i e j e m a c i e r z B " K w , m - w 1 t a k a , |e A T = A T "
2 1
B ( g d z i e k o l e j n e k o l u m n y B s a w s p ó l c z y n n i k a m i o d p o w i e d n i c h k o m b i n a c j i
l i n i o w y c h ) , c z y l i A 2 = B T " A 1 . D l a d o w o l n e g o x " K k m a m y w i e c
A 1 " x A 1 " x
A I " x = = .
A 2 " x B T " A 1 " x
S t a d , A 1 " x = 0 w t e d y i t y l k o w t e d y g d y A I " x = 0 , a p o n i e w a | k o l u m n y
m a c i e r z y A I s a l i n i o w o n i e z a l e |n e , o z n a c z a t o t a k |e l i n i o w a n i e z a l e |n o [ k o -
l u m n m a c i e r z y A 1 . A j e [l i t a k t o i c h l i c z b a k n i e m o |e p r z e k r o c z y w 1 , c z y l i
w y m i a r u p r z e s t r z e n i d o k t ó r e j n a l e |a .
5 . 2 . P R Z E S T R Z E C Z E R O W A ( J A D R O ) M A C I E R Z Y 4 5
O t r z y m a l i [m y w i e c , |e
r z k ( A ) = r z k ( Â ) = k d" w 1 d" w = r z w ( Â ) = r z w ( A ) .
P r z e p r o w a d z a j a c p o d o b n e r o z u m o w a n i e d l a m a c i e r z y A T o t r z y m u j e m y
r z w ( A ) d" r z k ( A ) , a s t a d o s t a t e c z n i e r z w ( A ) = r z k ( A ) , c o n a l e |a l o p o k a z a .
N a p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a 5 . 1 p o p r a w n a j e s t n a s t e p u j a c a d e f i n i c j a r z e d u
m a c i e r z y .
D e f i n i c j a 5 . 1 R z e d e m m a c i e r z y A n a z y w a m y l i c z b e
r z ( A ) : = r z k ( A ) = r z w ( A ) .
5 . 2 P r z e s t r z e D z e r o w a ( j a d r o ) m a c i e r z y
D l a A " K m , n z b i ó r
N : = x " K n : A " x = 0
n a z y w a m y j a d r e m m a c i e r z y A .
N i e c h k = r z ( A ) . Z a l ó |m y , |e k o l u m n y m a c i e r z y A z o s t a l y t a k p r z e s t a -
w i o n e , |e o t r z y m a n a m a c i e r z  m a p o s t a
 = A I A I I ,
g d z i e A I " K m , k , A I I " K m , n - k , o r a z r z ( A I ) = r z ( Â ) ( = r z ( A ) ) . J e [l i
t a k t o k o l u m n y m a c i e r z y A I I s a l i n i o w o z a l e |n e o d k o l u m n m a c i e r z y A I .
W k o n s e k w e n c j i A I I = A I " B d l a p e w n e j B " K k , n - k . Z a l ó |m y t e r a z , |e
x " N ( Â ) . P r z e d s t a w i a j a c x w p o s t a c i
x I
x = ,
x I I
x I " K k , x I I " K n - k , m a m y
x I
0 = Â " x = A I A I I = A I " x I + A I I " x I I
x I I
= A I " x I + A I " B + x I I = A I " ( x I + B " x I I ) .
4 6 R O Z D Z I A L 5 . O B R A Z , R Z A D I J A D R O M A C I E R Z Y
O s t a t n i e w y r a |e n i e j e s t l i n i o w a k o m b i n a c j a k o l u m n m a c i e r z y A I , a p o n i e w a |
k o l u m n y t e s a l i n i o w o n i e z a l e |n e t o k o m b i n a c j a t a d a j e w e k t o r z e r o w y t y l k o
w t e d y g d y x I + B " x I I = 0 , c z y l i x I = - B " x I I . S t a d
- B " x I I - B
N ( Â ) = : x I I " K n - k = " x : x I I " K n - k .
x I I I n - k
P r z e d s t a w i a j a c B k o l u m n o w o , B = [ b 1 , . . . , b n - k ] , o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n i e
- B
- b 1 , . . . , - b n - k ,
N ( Â ) = R = s p a n
I n - k
e 1 e n - k
g d z i e j a k z w y k l e e j " K n - k j e s t j - t y m w e r s o r e m . P o n i e w a | e 1 , . . . , e n - k s a
l i n i o w o n i e z a l e |n e t o l i n i o w o n i e z a l e |n e s a t e | w e k t o r y w p o w y |s z y m s p a n .
S t a d d i m ( N ( Â ) ) = n - k = n - r z ( A ) . W o b e c r ó w n o [c i d i m ( N ( Â ) ) =
d i m ( N ( A ) ) ( b o p e r m u t a c j a k o l u m n s k u t k u j e j e d y n i e p r z e s t a w i e n i e m w s p ó l -
r z e d n y c h w j a d r z e ) d o s t a j e m y n a s t e p u j a c y w n i o s e k .
W n i o s e k 5 . 1 D l a d o w o l n e j m a c i e r z y A " K m , n
d i m ( N ( A ) ) + d i m ( R ( A ) ) = n .
5 . 3 R o z k l a d p r z e s t r z e n i w z g l e d e m o b r a z u i
j a d r a
Z a t r z y m a j m y s i e n a c h w i l e n a p r z y p a d k u g d y K †" C . P o n i e w a | w t e d y
ëø öø
n n
íø
a j " x j øø = a j " x j
j = 1 j = 1
( g d z i e s p r z e |e n i e w e k t o r a o z n a c z a s p r z e |e n i e p o w s p ó l r z e d n y c h ) t o w e k t o r y
( a 1 , . . . , a n ) o r a z ( a 1 , . . . , a n ) s a j e d n o c z e [n i e a l b o l i n i o w o n i e z a l e |n e , a l b o
l i n i o w o z a l e |n e . S t a d r z ( A ) = r z ( A ) ( g d z i e z n ó w s p r z e |e n i e m a c i e r z y o z n a c z a
s p r z e |e n i e p o w s p ó l r z e d n y c h ) . W k o n s e k w e n c j i ,
T
r z ( A H ) = r z ( A ) = r z ( A T ) = r z ( A ) .
L a t w o m o |n a t e | w y w n i o s k o w a i n n a w l a s n o [; m i a n o w i c i e , j e [l i
A = B " C ,
5 . 3 . R O Z K L A D P R Z E S T R Z E N I W Z G L E D E M O B R A Z U I J A D R A 4 7
A " K m , n , B " K m , k , C " K k , n , t o
r z ( A ) d" m i n ( r z ( B ) , r z ( C ) ) .
R z e c z y w i [c i e , r ó w n o [ A = B "C o z n a c z a , |e k o l u m n y m a c i e r z y A s a l i n i o w a
k o m b i n a c j a k o l u m n m a c i e r z y B , a s t a d R ( A ) †" R ( B ) i w k o n s e k w e n c j i
r z ( A ) d" r z ( B ) . B i o r a c z k o l e i t r a n s p o z y c j e m a m y A T = C T " B T i t o s a m o
r o z u m o w a n i e d a j e R ( A T ) †" R ( B T ) o r a z
r z ( A ) = r z ( A T ) d" r z ( B T ) = r z ( B ) .
N a k o n i e c j e s z c z e j e d n o i s t o t n e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e 5 . 2 N i e c h K †" C i A " K m , n . W t e d y
K m = R ( A ) •" N ( A H )
K n = R ( A H ) •" N ( A ) .
D o w ó d . W y s t a r c z y p o k a z a p i e r w s z a z t y c h r ó w n o [c i . W t y m c e l u n a j -
p i e r w u z a s a d n i m y , |e s u m a j e s t s u m a p r o s t a . R z e c z y w i [c i e , j e [l i y " R ( A ) )"
N ( A ) t o A H " y = 0 o r a z i s t n i e j e x " K n t a k i , |e A " x = y . S t a d
2
y = y H " y = ( A " x ) H " y = x H " ( A H " y ) = 0 ,
2
c z y l i y = 0 i s u m a p o d p r z e s t r z e n i j e s t p r o s t a .
P o z o s t a j e p o k a z a , |e w y m i a r s u m y p r o s t e j w y n o s i m . M a m y b o w i e m
d i m R ( A ) •" N ( A H ) = d i m ( R ( A ) ) + d i m N ( A H )
= d i m ( R ( A ) ) + m - d i m R ( A H )
= d i m ( R ( A ) ) + [ m - d i m ( R ( A ) ) ]
= m .
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