��Rozdzial 5 Obraz, rzad i jadro macierzy 5.1 Obraz i rzad macierzy Niech A " Km,n, A = [a1, a2, . . . , an], aj " Km, 1 d" j d" n. Obraz macierzy A definiujemy jako R(A) := { A " x : x " Kn } = span(a1, a2 . . . , an) �" Km. Dalej, rzad kolumnowy macierzy A definiujemy jako rzk(A) := dim (R(A)) . Oczywi[
cie, 0 d" rzk(A) d" min(m, n). Podobnie, przedstawiajac A jako wektory-wiersze (funkcjonaly), �� �� �T 1 �� �� . �� �� . A = , . �� �� �T m definiujemy rzad wierszowy macierzy A jako rzw(A) = dim R(AT ) = dim (span(�1, �2, . . . , �n)) . Podobnie jak dla rzedu kolumnowego, 0 d" rzw(A) d" min(m, n). Mamy nastepujace wa|
ne twierdzenie. 43 44 ROZDZIAL 5. OBRAZ, RZAD I JADRO MACIERZY Twierdzenie 5.1 Dla dowolnej macierzy A " Km,n mamy rzk(A) = rzw(A). Dow�d. Oznaczmy k = rzk(A) oraz w = rzw(A). Zauwa|
my najpierw, |
e permutacja kolumn macierzy nie zmienia ani jej rzedu kolumnowego (bo to tylko zmiana kolejno[
ci wektor�w) ani jej rzedu wierszowego (bo to tylko przenumerowanie wsp�lrzednych, identyczne dla ka|
dego z wektor�w). Podobnie rzed�w nie zmienia permutacja wierszy. Dokonajmy wiec, dla uproszczenia, takiej permutacji kolumn, a potem wierszy, aby otrzymana macierz � byla postaci � = AI AII , gdzie AI " Km,k, AII " Km,n-k, rzk(AI) = k, oraz A1 AI = , A2 w1 := rzw(AI) = rzw(A1). Oczywi[
cie w1 d" w, bo wiersze A1 sa  obcietymi wierszami �. Poniewa|
wektory-wiersze macierzy A2 sa liniowo zale|
ne od wektor�w- 1 wierszy macierzy A1 to istnieje macierz B " Kw ,m-w1 taka, |
e AT = AT " 2 1 B (gdzie kolejne kolumny B sa wsp�lczynnikami odpowiednich kombinacji liniowych), czyli A2 = BT " A1. Dla dowolnego x " Kk mamy wiec A1 " x A1 " x AI " x = = . A2 " x BT " A1 " x Stad, A1 " x = 0 wtedy i tylko wtedy gdy AI " x = 0, a poniewa|
kolumny macierzy AI sa liniowo niezale|
ne, oznacza to tak|
e liniowa niezale|
no[

ko- lumn macierzy A1. A je[
li tak to ich liczba k nie mo|
e przekroczy
w1, czyli wymiaru przestrzeni do kt�rej nale|
a. 5.2. PRZESTRZEC
ZEROWA (JADRO) MACIERZY 45 Otrzymali[
my wiec, |
e rzk(A) = rzk(�) = k d" w1 d" w = rzw(�) = rzw(A). Przeprowadzajac podobne rozumowanie dla macierzy AT otrzymujemy rzw(A) d" rzk(A), a stad ostatecznie rzw(A) = rzk(A), co nale|
alo pokaza
. Na podstawie twierdzenia 5.1 poprawna jest nastepujaca definicja rzedu macierzy. Definicja 5.1 Rzedem macierzy A nazywamy liczbe rz(A) := rzk(A) = rzw(A). 5.2 PrzestrzeD
zerowa (jadro) macierzy Dla A " Km,n zbi�r N := x " Kn : A " x = 0 nazywamy jadrem macierzy A. Niech k = rz(A). Zal�|
my, |
e kolumny macierzy A zostaly tak przesta- wione, |
e otrzymana macierz � ma posta
� = AI AII , gdzie AI " Km,k, AII " Km,n-k, oraz rz(AI) = rz(�) (= rz(A)). Je[
li tak to kolumny macierzy AII sa liniowo zale|
ne od kolumn macierzy AI. W konsekwencji AII = AI " B dla pewnej B " Kk,n-k. Zal�|
my teraz, |
e x " N (�). Przedstawiajac x w postaci xI x = , xII xI " Kk, xII " Kn-k, mamy xI 0 = � " x = AI AII = AI " xI + AII " xII xII = AI " xI + AI " B + xII = AI " (xI + B " xII). 46 ROZDZIAL 5. OBRAZ, RZAD I JADRO MACIERZY Ostatnie wyra|
enie jest liniowa kombinacja kolumn macierzy AI, a poniewa|
kolumny te sa liniowo niezale|
ne to kombinacja ta daje wektor zerowy tylko wtedy gdy xI + B " xII = 0, czyli xI = -B " xII. Stad -B " xII -B N (�) = : xII " Kn-k = " x : xII " Kn-k . xII In-k Przedstawiajac B kolumnowo, B = [ b1, . . . , bn-k], otrzymujemy ostatecznie -B - b1 , . . . , - bn-k , N (�) = R = span In-k e1 en-k gdzie jak zwykle ej " Kn-k jest j-tym wersorem. Poniewa|
e1, . . . , en-k sa liniowo niezale|
ne to liniowo niezale|
ne sa te|
wektory w powy|
szym  span . Stad dim(N (�)) = n - k = n - rz(A). Wobec r�wno[
ci dim(N (�)) = dim(N (A)) (bo permutacja kolumn skutkuje jedynie przestawieniem wsp�l- rzednych w jadrze) dostajemy nastepujacy wniosek. Wniosek 5.1 Dla dowolnej macierzy A " Km,n dim(N (A)) + dim(R(A)) = n. 5.3 Rozklad przestrzeni wzgledem obrazu i jadra Zatrzymajmy sie na chwile na przypadku gdy K �" C. Poniewa|
wtedy �� �� n n �� aj " xj�� = aj " xj j=1 j=1 (gdzie sprze|
enie wektora oznacza sprze|
enie  po wsp�lrzednych ) to wektory (a1, . . . , an) oraz (a1, . . . , an) sa jednocze[
nie albo liniowo niezale|
ne, albo liniowo zale|
ne. Stad rz(A) = rz(A) (gdzie zn�w sprze|
enie macierzy oznacza sprze|
enie  po wsp�lrzednych ). W konsekwencji, T rz(AH) = rz(A ) = rz(AT ) = rz(A). Latwo mo|
na te|
wywnioskowa
inna wlasno[

; mianowicie, je[
li A = B " C, 5.3. ROZKLAD PRZESTRZENI WZGLEDEM OBRAZU I JADRA 47 A " Km,n, B " Km,k, C " Kk,n, to rz(A) d" min(rz(B), rz(C)). Rzeczywi[
cie, r�wno[

A = B "C oznacza, |
e kolumny macierzy A sa liniowa kombinacja kolumn macierzy B, a stad R(A) �" R(B) i w konsekwencji rz(A) d" rz(B). Biorac z kolei transpozycje mamy AT = CT " BT i to samo rozumowanie daje R(AT ) �" R(BT ) oraz rz(A) = rz(AT ) d" rz(BT ) = rz(B). Na koniec jeszcze jedno istotne twierdzenie. Twierdzenie 5.2 Niech K �" C i A " Km,n. Wtedy Km = R(A) �" N (AH) Kn = R(AH) �" N (A). Dow�d. Wystarczy pokaza
pierwsza z tych r�wno[
ci. W tym celu naj- pierw uzasadnimy, |
e suma jest suma prosta. Rzeczywi[
cie, je[
li y " R(A) )" N (A) to AH " y = 0 oraz istnieje x " Kn taki, |
e A " x = y. Stad 2 y = yH " y = (A " x)H " y = xH " (AH " y) = 0, 2 czyli y = 0 i suma podprzestrzeni jest prosta. Pozostaje pokaza
, |
e wymiar sumy prostej wynosi m. Mamy bowiem dim R(A) �" N (AH) = dim (R(A)) + dim N (AH) = dim (R(A)) + m - dim R(AH) = dim (R(A)) + [m - dim (R(A))] = m.