Rzad macierzy

SPOSOBY OBLICZANIA RZDU MACIERZY
Niech ę będzie macierzą. Każda kolumna macierzy ę jest wektorem
m
przestrzeni m-wymiarowej . Maksymalną liczbę linowo niezależnych
R
kolumn macierzy ę nazywamy jej rzędem i oznaczmy symbolem R (ę)
(spotkać można też oznaczenie rz(A)). Rząd macierzy jest wiec równy
wymiarowi podprzestrzeni liniowej rozpiętej na kolumnach tej macierzy. Z
definicji rzędu macierzy wynika, że jeżeli wszystkie elementy macierzy ę są
równe zeru, to R ( ę )=0. Można udowodnić, że maksymalna liczba liniowo
niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo
niezależnych wierszy tej macierzy. Jeśli macierz ę nie jest zerową, to jej rząd R
( ę ) jest liczbą naturalną, nie większą od min (m, n), czyli R ( ę ) <=min (m, n).
Podstawą metody szukania rzędu macierzy może być fakt, że rząd
macierzy nie ulega zmianie, gdy dokonamy na tej macierzy dowolnej operacji
elementarnej. Znaczy to, że macierze równoważne mają ten sam rząd.
Przypomnijmy podstawowe operacje elementarne:
" działać można tylko na wierszach (lub tylko na kolumnach)
" wiersze można zamieniać miejscami
" wiersz można pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od 0 .
" do danego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez stałą.
Przykład 1
Znalezć rząd macierzy wyszukując liczbę kolumn (wierszy ) liniowo
niezależnych.
1 0 1 2
�ł łł
�ł2
ę = 1 2 1śł
�ł śł
�ł śł
�ł1 2 3 4�ł
1 0 1 2
�ł łł
R(ę) = R�ł2 1 2 1śł =
�ł śł
�ł śł
�ł1 2 3 4�ł
Do elementów trzeciego wiersza dodajemy odpowiednie elementy wiersza
drugiego pomnożone przez -2
1 0 1 2
�ł łł
= r�ł 2 1 2 1śł =
�ł śł
�ł- 3 0 -1 2�ł
śł
�ł
Do pierwszej i trzeciej i czwartej kolumny dodajemy drugą, pomnożoną
odpowiednio przez -2 -2-1
1 0 1 2
�ł łł
= R�ł 0 1 0 0śł =
�ł śł
�ł- 3 0 -1 2�ł
śł
�ł
Kolumna druga jest liniowo niezależna od pozostałych, podobnie jest z drugim
wierszem
1 1 2
�ł łł
= 1+ R�ł =
�ł- 3 -1 2śł
�ł
Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz
1 1 2
�ł łł
= 1+ R�ł =
�ł- 2 0 4śł
�ł
Do pierwszej i drugiej kolumny dodajemy pierwszą pomnożoną odpowiednio
przez -1 -2
0 1 0
�ł łł
= 1+ R�ł =
�ł- 2 0 4śł
�ł
Druga kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych. Podobnie jest z
pierwszym wierszem
=2+R[-2 4]=3
Przykład 2
Za pomocą przekształceń elementarnych obliczyć rząd macierzy
3 1 2 2 1
�ł łł
�ł4
ę = 3 1 2 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł2 2 2 1 1�ł
Odejmujemy od elementów pierwszej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny pomnożone przez dwa.
1 1 2 2 1
�ł łł
�ł0
ę = 3 1 2 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 2 2 1 1�ł
Odejmujemy od elementów drugiej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny
1 0 2 2 1
�ł łł
�ł0
ę = 1 1 2 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 1 2 1 1�ł
Odejmujemy od elementów trzeciego wiersza odpowiednie elementy drugiego
wiersza
1 0 2 2 1
�ł łł
�ł0 śł
ę = 1 1 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 -1 -1�ł
Odejmujemy od elementów pierwszego wiersza odpowiednie elementy
trzeciego wiersza pomnożone przez dwa
1 0 0 4 3
�ł łł
�ł0 śł
ę = 1 1 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 -1 -1�ł
Od elementów drugiego wiersza odpowiednie elementy trzeciego wiersza
otrzymujemy
1 0 0 4 3
�ł łł
�ł0 śł
ę = 1 0 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 -1 -1�ł
Postać kanoniczną macierzy ę. Macierz ęw postaci kanonicznej zawiera
podmacierz jednostkową stopnia trzeciego. Zatem rząd macierzy ę równy jest
3.
Wyznaczanie rzędu macierzy za pomocą wyznaczników.
Niech oznacza różny od zera minor stopnia r macierzy A wymiaru m�n
M
R
gdzie r<=min (m,n)
Jeżeli każdy minor macierzy A stopnia wyższego ok. r jest równy zeru to rząd
macierzy A jest równy r.
Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni tych jej minorów, które
są różne od zera
Rząd macierzy jednowierszowej (jednokolumnowej), o co najmniej
jednym elemencie różnym od zera, jest równy 1
Rząd macierzy jest równy zero jedynie wtedy, gdy macierz ta jest zerowa
Rząd macierzy A jest więc liczbą całkowitą taką że
0d"R(A)d"min(m, n)
Jeśli min (m,n)=m to rząd macierzy A jest równy m gdy co najmniej
jedena podmacierz stopnia m macierzy A jest nieosobliwa. Jeżeli natomiast
wszystkie podmacierze stopnia m macierzy A są osobliwe, to R(A)n
�ł
Wszystkich podmacierzy stopnia m macierzy A ma �ł �ł
�łm�ł
�ł
�ł łł
Przykład 3
Wyznacz rząd macierzy
1 2 1 3
�ł łł
A =
�ł2 4 2 6śł
�ł �ł
Ponieważ macierz A jest wymiaru 2x4 czyli min (2,4)=2 wiec liczba R(A)
może być co najwyżej równa 2. Jednak wszystkie podmacierze stopnia drugiego
macierzy A
1 2 1 1 1 3 2 1 2 3 1 3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł2 4śł �ł2 2śł �ł2 6śł �ł4 2śł �ł4 6śł �ł2 6śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
są osobliwe (wiersze są liniowo zależne) wiec R(A)<2
rząd R(A)=1 gdyż istnieje nieosobliwa podmacierz stopnia pierwszego np.
macierz [3]
ponieważ każda macierz A wymiaru jest m�n jest układem n wektorów
m n
przestrzeni (lub układem m wektorów przestrzeni ) wiec rząd macierzy A
R R
informuje o ich liniowej zależności (niezależności). Jeśli min (m,n)=n to
kolumny macierzy A są układem wektorów liniowo niezależnych (zależnych)
gdy R(A)=n(R(A)R(A)=m(R(A)Zadania do rozwiązania
Obliczyć rzędy następujących macierzy:
0 4 10 1 75 0 116 - 39 0
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
4 8 18 7 171 - 69 402 123 45
�ł �ł
a)�ł
�ł10 18 40 17�ł ; b) �ł
�ł301 0 87 - 417 -169�ł ;
�ł �ł �ł
�ł �ł �ł114 - 46 268 82 30 �ł
�ł
1 7 17 3
�ł łł �ł łł
1 0 0 1 4
�ł �ł
2 1 11 2 14 12 6 8 2 �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł 1 0 2 5
�ł
1 0 4 -1�ł 6 104 21 9 17�ł �ł0
�ł
c) �ł ; d) �ł ; e) �ł0 0 1 3 6 ;
�ł11 4 56 5 �ł �ł �ł
�ł �ł
7 6 3 4 1
�ł �ł �ł
�ł �ł35 30 15 20 5 �ł �ł1 2 3 14 32�ł
�ł
2 -1 5 - 6�ł
�ł łł �ł łł �ł4 5 6 32 77�ł
�ł łł
1
�ł - 2 3 -1 -1 - 2
�ł
�ł �ł
2 -1 1 0 - 2 - 2�ł
�ł
f) �ł- 2 - 5 8 - 4 3 -1�ł ;
�ł �ł
6 0 -1 2 - 7 - 5
�ł �ł
�ł �ł
-1 -1 1 -1 2 1
�ł łł
2 1 1 1
�ł �ł
�ł �ł 1
�ł -1 2 3 4
�ł
�ł 2 1 3 -1
�ł �ł
�ł1 3 1 1�ł �ł
�ł
�ł1 1 4 1�ł �ł 2 1 -1 2 0 �ł �ł
3 -1 2 0
�ł
�ł
�ł
g) �ł ; h) �ł-1 2 1 1 3 ; i) �ł
�ł1 3 4 - 2�ł ;
�ł �ł
1 1 1 5
�ł �ł
�ł1 2 3 4�ł �ł 1 5 - 8 - 5 -12�ł �ł
�ł4 - 3 1 1 �ł
�ł
�ł �ł �ł łł
�ł �ł
�ł1 1 1 1�ł �ł 3 - 7 8 9 13 łł
�ł łł
0 0 1 0 0
�ł �ł
�ł �ł
3 2 -1 2 0 1
�ł �ł
�ł0 1 0 0 0�ł
�ł �ł
�ł0 0 0 1 0�ł
�ł4 1 0 - 3 0 2 �ł
�ł �ł
j) �ł2 -1 - 2 1 1 - 3�ł ; k) 1 1 1 1 1 ;
�ł �ł
�ł �ł
�ł1 3 4 5 1�ł
3 1 3 - 9 -1 6
�ł �ł
�ł
�ł3 -1 - 5 7 2 - 7�ł �ł
�ł �ł
1 2 3 4 5
�ł łł
�ł �ł
�ł2 3 4 5 6łł
1
�ł -1 2 0 0 1
�ł
�ł �ł 1 0 1 0 0
�ł �ł
0 1 -1 2 0 1�ł �ł �ł 2 0 2 0 2
�ł �ł
�ł
�ł �ł
�ł1 1 0 0 0�ł
�ł
1 0 -1 0 2 1�ł 0 1 0 1 0�ł
�ł0
�ł
l) �ł ; m) 1 1 0 0�ł ; n) �ł
�ł2 1 0 2 1�ł ;
�ł �ł
1
�ł -1 0 0 1 2
�ł
�ł �ł
0 0 1 1 0
�ł �ł
�ł
�ł0 1 0 1 0�ł
2 0 0 1 -1 1�ł
�ł0 1 0 1 1�ł �ł łł
�ł �ł
�ł łł
�ł
�ł-1 1 0 1 1 2�ł
łł
2
�ł -1 1 3 4
�ł
�ł �ł
�ł2 -1 2 1 - 2�ł
�ł2 - 3 1 2 - 2�ł
�ł �ł
o) .
1 0 1 - 2 - 6
�ł �ł
�ł1 2 1 -1 0 �ł
�ł �ł
�ł4 -1 3 -1 - 8�ł
�ł łł

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
07 2 Rząd macierzy
t4 macierz odwrotna rzad macierzy
C02 rzad macierzy
Wykład 7 rząd macierzy
rzad macierzy
5 Obraz, rząd i jądro macierzy
zachowania macierzynskie klaczy i ich nieprawidlowosci
macierz0750
model Lesli ego, macierz Markowa
Fritzinger rzad internet
Komórki macierzyste tkanek zęba i możliwości odtwarzania struktur zęba
II rzad zadania

więcej podobnych podstron