SPIS TREÅšCI 1
Równania II rzędu
Spis treści
1 Równania rzędu drugiego 2
1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Warunki poczÄ…tkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 14
2.1 Szeregi Fouriera - repetytorium do ćwiczenia samodzielnego . . . . . . . . . . . . . 14
1 Równania rzędu drugiego 2
1 Równania rzędu drugiego
1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego
Zadanie 1.1.
Określić typy poniższych równań.
a)yuxx - uyy =0.
Równanie to można sklasyfikować dwiema metodami: za pomoca wyróżnika cześci głównej lub warto-

ści własnych macierzy A oelementachbedacych współczynnikami cześci głównej. Zauważmy najpierw,

że równanie to składa sie tylko z cześci głównej. Określmy macierz

îÅ‚ Å‚Å‚
y 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ .
0 -1
Wtedy det(A - I ) =(y - )(-1 - ). Zatem wartościami własnymi sa 1 = y i 2 = -1. Wynika
stad, że równanie jest hiperboliczne, gdy y > 0, eliptyczne dla y < 0 i paraboliczne dla y =0, x " R.

Gdybyśmy policzyli natomiast wyróżnik cześci głównej: b2 - ac, to otrzymamy "=02 - y(-1) = y.

Widać wiec, że znak " zależy tylko od y i otrzymujemy ten sam wynik.

b)4uxx +2uyy - 6uzz +6uxy +10uxz +4uyz +2u =0.
Zauważmy, że cześć główna, to 4uxx +2uyy - 6uzz +6uxy +10uxz +4uyz, wiec macierz A ma

postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
4 3 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
.
3 2 2śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
5 2 -6
Wartościami własnymi sa rozwiazania równania det(A - I ) =0, czyli




4 -  35



=0,
3 2 -  2



5 2 -6 - 
1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 3
(66 - 2) =0,
" "
1 =0, 2 = 66, 3 = - 66.
Równanie to jest wiec niesklasyfikowane.

Zadanie 1.2.
Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej:
uxx +2uxy +5uyy - 32u =0.
A
atwo zauważamy, że wyróżnik czeÅ›ci głównej "=22 - 1 · 5 =-1, wiec równanie jest eliptyczne.

Równanie charakterystyk
2 2
Fx +2FxFy +5Fy =0
2
nie posiada rozwiazań w dziedzinie rzeczywistej, bo "=-16Fy , ale możemy je rozwiazać w dzie-

dzinie zespolonej. Wtedy funkcja F spełniajaca

"
-2Fy Ä… 4Fy i2
Fx = =(-1 Ä… 2i)Fy
2
jest funkjca zespolona F = Ć + iÈ, gdzie Ć i È sa już rzeczywiste. Dostajemy wiec równanie

Fx +(1- 2i)Fy =0,
dla którego szukamy zespolonej całki pierwszej układu:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = 1,
ôÅ‚
ół
y = 1 - 2i.
Jest nia F (x, y) =(-1+2i)x + y, czyli Ć(x, y) =-x + y, È(x, y) =2x. Stosujemy wiec zamiane

zmiennych:
¾ = Ć(x, y) =-x + y, · = È(x, y) =2x.
Stad mamy kolejno

ux = v¾¾x + v··x = v¾ · (-1) + v· · 2 =2v· - v¾,
uy = v¾¾y + v··y = v¾ · 1+v· · 0 =v¾,
uxx =2v·¾¾x +2v···x - v¾¾¾x - v¾··x =
=2v·¾ · (-1) + 2v·· · 2 - v¾¾ · (-1) - v¾· · 2 =4v·· + v¾¾ - 4v¾·,
uxy = v¾¾¾x + v¾··x = v¾¾ · (-1) + v¾· · 2 =2v¾· - v¾¾,
uyy = v¾¾¾y + v¾··y = v¾¾.
1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 4
Po wstawieniu do równania dostajemy:
4v·· + v¾¾ - 4v¾· +2(2v¾· - v¾¾) +5v¾¾ - 32u =0,
4v¾¾ +4v·· - 32u =0,
v¾¾ + v·· - 8v =0
i jest to szukana postać kanoniczna.
Zadanie 1.3.
Znalez
ć najprostsza postać kanoniczna dla równania:
uxx - 2uxy + uyy +9ux +9uy - 9u =0.
Ponieważ "=0, wiec równanie jest w całej płaszczyz
nie paraboliczne. Równaniem charakterystyk

jest
2 2
Fx - 2FxFy + Fy =0,
(Fx - Fy )2 =0,
Fx - Fy =0.
Znajdziemy całke pierwsza układu:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = 1,
ôÅ‚
ół
y = -1.
Jest nia Ć(x, y) =x + y. Możemy teraz zastosować zamiane zmiennych

¾ = Ć(x, y), · = È(x, y),
gdzie È jest dowolna funkcja klasy C2 o wÅ‚asnoÅ›ci:
îÅ‚ Å‚Å‚
Ćx Ćy śł
ïÅ‚
det ðÅ‚ ûÅ‚ =0.

Èx Èy
Możemy wiec wziać funkcje È(x, y) =x. Wtedy rzeczywiÅ›cie

îÅ‚ Å‚Å‚


Ćx Ćy śł 1 1
ïÅ‚
det ðÅ‚ ûÅ‚ = = -1 =0.


Èx Èy 1 0

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 5
Zatem stosujemy zamiane zmiennych: ¾ = x + y, · = x. W nowych zmiennych mamy

ux = v¾¾x + v··x = v· + v¾,
uy = v¾¾y + v··y = v¾,
uxx =2v·¾¾x +2v···x - v¾¾¾x - v¾··x = v·· + v¾¾ +2v¾·,
uxy = v¾¾¾x + v¾··x = v¾· + v¾¾,
uyy = v¾¾¾y + v¾··y = v¾¾,
wiec równanie przyjmuje postać:

v·· +18v¾ +9v· - 9v =0. (1)
Jest to oczywiście postać kanoniczna, ale czasami można jeszcze wprowadzić nowa zamiane zmien-

nych, aby jeszcze bardziej te postać uprościć. Funkcja v przyjać może wtedy postać:

v(¾, ·) =e¾+µ·w(¾, ·).
Różniczkujemy kolejno:
v¾ = e¾+µ· ·  · w + e¾+µ·w¾,
v· = e¾+µ· · µ · w + e¾+µ·w·,
v·· = µ2e¾+µ·w +2µe¾+µ·w· + e¾+µ·w··.
Obliczone pochodne wstawiamy do równania (1) i otrzymujemy (po skróceniu przez e¾+µ·):
w·· +(2µ +9)w· +18w¾ +(µ2 +18 +9µ - 9)w =0.
Należy teraz tak dobrać µ i , by jak najwiecej współczynników przy pochodnych czastkowych znikaÅ‚o.

Rozwiazujac układ równań:

2µ +9=0, µ2 +18 +9µ - 9 =0,
dostajemy:
9 25
µ = - ,  = .
2 2
Zatem ostatecznie przy podstawieniu
25 9
¾- ·
2 2
v(¾, ·) =e
otrzymujemy:
w·· +18w¾ =0
i to jest najprostsza postać wyjściowego równania.
1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 6
Zadanie 1.4.
Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej i znalez
ć jego rozwiazanie (o ile sie da):

uxx +4cos 2xuxy - 4sin2 2xuyy - 4sin2xuy =0.
Ponieważ wyróżnik " > 0 w całej płaszczyz
nie, wiec równanie jest hiperboliczne. Równanie charak-

terystyk:
2 2
Fx +4cos 2xFxFy - 4sin2 2xFy =0
można zapisać w postaci iloczynowej
(Fx +(2cos 2x +2)Fy)(Fx - (2 - 2cos2x)Fy) =0.
Wystarczy wiec znalez
ć po jednej całce pierwszej dla układów:

Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x = 1, x = 1,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
y = 2 cos 2x +2, y = -(2 - 2cos2x).
Te caÅ‚ki to: Ć(x, y) =y - sin 2x - 2x i È(x, y) =y - sin 2x +2x. Możemy zastosować zamiane

zmiennych ¾ = y - sin 2x - 2x i · = y - sin 2x +2x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe

funkcji u sa nastepujace:

ux = v¾¾x + v··x = v·(2 - 2cos2x) +v¾(-2 - 2cos2x),
uy = v¾¾y + v··y = v¾ + v·,
uxx =(v¾¾¾x + v¾··x)(-2 - 2cos2x) +v¾(4 sin 2x) +(v·¾¾x + v···x)(2 - 2cos2x)+
+v·(4 sin 2x) =v¾¾(2 + 2 cos 2x)2 + v¾·(-8+8cos2 2x)+
+v··(2 - 2cos2x)2 + v¾(4 sin 2x) +v·(4 sin 2x),
uyx = v¾¾¾x + v¾··x + v·¾¾x + v···x =
= v¾¾(-2 - 2cos2x) +v¾·(-4cos2x) +v··(2 - 2cos2x),
uyy = v¾¾¾y + v¾··y + v·¾¾y + v···y = v¾¾ +2v¾· + v··.
Po wstawieniu ich do równania i wykonaniu redukcji otrzymujemy prosta postać
v¾· =0.
Jego rozwiazaniem jest

v(¾, ·) =f (¾) +g(·).
Aby v " C2, musi być f , g " C2. Ostatecznie, dowolne rozwiazanie wyjściowego równania ma postać:

u(x, y) =f (y - sin 2x - 2x) +g(y - sin 2x +2x).
1.2 Warunki poczÄ…tkowe 7
1.2 Warunki poczÄ…tkowe
Zadanie 1.5.
Rozwiazać równanie

uxx +2cos xuxy - sinx uyy - sin xuy =0
z warunkami
u(x, sinx) =x +cos x, uy(x, sinx) =sin x. (2)
A
atwo sprawdzamy, że równanie jest hiperboliczne, wiec równanie charakterystyk:

2 2
Fx +2cos xFxFy - sin2 xFy =0
można zapisać w postaci iloczynowej
(Fx - (- cos x - 1)Fy)(Fx - (- cos x - 1)Fy) =0.
Wystarczy wiec znalez
ć po jednej całce pierwszej dla układów:

Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x = 1, x = 1,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
y = cos x +1, y = cos x - 1.
Te caÅ‚ki to: Ć(x, y) =y -sin x -x i È(x, y) =y -sin x +x. Możemy zastosować zamiane zmiennych

¾ = y - sin x - x i · = y - sin x + x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe funkcji u sa

nastepujace:

ux = v¾(- cos x - 1) + v·(- cos x +1),
uy = v¾ + v·,
uxx = v¾¾(- cos x - 1)2 + v¾·2(-1+cos2 x) +v··(- cos x +1)2 + v¾(sin x) +v·(sin x),
uyx = v¾¾(- cos x - 1) + v¾·(-2cosx) +v··(- cos x +1),
uyy = v¾¾ +2v¾· + v··.
Po wstawieniu do równania otrzymujemy
v¾· =0,
wiec

v(¾, ·) =f (¾) +g(·),
gdzie f , g " C2, i po powrocie do zmiennych x, y
u(x, y) =f (y - sin x - x) +g(y - sin x + x).
1.2 Warunki poczÄ…tkowe 8
Wykorzystamy teraz warunki (2):
x +cos x = u(x, sinx) =f (sin x - sin x - x) +g(sin x - sin x + x) =f (-x) +g(x),

sin x = uy(x, sinx) =1 · f (sin x - sin x - x) +1· g (sin x - sin x + x) =f (-x) +g (x).
Dostajemy wiec układ

Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x +cos x = f (-x) +g(x),
(3)
ôÅ‚

ół
sin x = f (-x) +g (x).
Po zróżniczkowaniu pierwszego równania tego układu, otrzymujemy nowy
Å„Å‚
ôÅ‚

òÅ‚
1 - sin x = -f (-x) +g (x),
ôÅ‚

ół
sin x = f (-x) +g (x),
z którego wyznaczamy
1 1

g (x) = , f (-x) =- - 2sinx.
2 2
Po scałkowaniu, uzyskujemy poszukiwane funkcje f i g :

1 1
g(x) = dx = x + C1, C1 " R,
2 2

1 1
f (-x) = - +sinx dx = - x - cos x + C2, C2 " R.
2 2
Wykorzystamy teraz pierwsze równanie układu (3), aby wyznaczyć stałe C1, C2. Ponieważ
f (-x) +g(x) =C1 + C2 - cos x,
wiec

C1 + C2 - cos x = x +cos x,
C1 + C2 = x +2cos x.
Znalezione funkcje f i g wstawiamy teraz do rozwiazania u :

1 1
u(x, y) = (y - sin x - x) - cos(y - sin x - x) +C2 + (y - sin x + x) +C1,
2 2
czyli
u(x, y) =x + y +2cos x - sin x - cos(y - sin x - x)
jest szukana postacia funkcji u.
1.2 Warunki poczÄ…tkowe 9
10
5
 4
 4
 2
y
x
2
2
4
4
 5
 10
RozwiÄ…zanie problemu poczÄ…tkowego
Zadanie 1.6.
Rozwiazać równanie

eyuxy - uyy + uy =0
z warunkami poczatkowymi:

1
u(x, 0) = - x2, (4)
2
uy(x, 0) = - sin x. (5)
Równanie to ma już praktycznie postać kanoniczna. Zatem, by je rozwiazać, wystarczy wykonać

podstawienie uy = w. Wtedy dostajemy równanie
eywx - wy + w =0,
które jest pierwszego rzedu. Znajdziemy wiec dwie całki pierwsze układu

Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = ey,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y = -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
w = -w.
Całkujemy drugie równanie, aby uzyskać y(t) = -t + A, A " R. Uzyskany wynik wstawiamy do
pierwszego równania i również całkujemy:
x (t) =e-t+A,
1.2 Warunki poczÄ…tkowe 10
x(t) =-e-t+A + B, B " R.
Z otrzymanych x i y rugujemy parametr t:
x + ey = B,
zatem szukana caÅ‚ka pierwsza jest È1(x, y, w) =x + ey . Rozwiażmy teraz trzecie równanie ukÅ‚adu.

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, a jego rozwiazaniem jest

w(t) =Ce-t, C " R.
Z w i uzyskanego poprzednio x znowu rugujemy parametr t:
we-y = Ce-A,
zatem druga caÅ‚ka pierwsza jest È2(x, y, w) =we-y. Rozwiazanie dane jest wiec w postaci uwikÅ‚anej

Åš(È1, È2) =0, czyli
Åš(x + ey, we-y) =0.
Zauważmy, że spełnione sa założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, wiec

we-y = f (x + ey),
czyli
w = eyf (x + ey),
przy czym o funkcji f należy założyć, że jest klasy C1. Ponieważ uy = w, to z warunku (5) mamy
- sin x = uy(x, 0) = f (x +1),
co daje postać funkcji f (t) =- sin(t - 1). Stad

uy = -ey sin(x - 1+ey).
Całkujac ten wynik względem zmiennej y, otrzymamy

u(x, y) =cos(x - 1+ey) +D(x), D " C2.
Postać funkcji D możemy wyznaczyć teraz z warunku (4):
1
- x2 = u(x, 0) = cosx + D(x),
2
czyli
1
D(x) =- x2 - cos x.
2
Ostatecznie rozwiazaniem równania jest

1
u(x, y) =cos(x - 1+ey) - cos x - x2.
2
1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 11
 8
 6
 4x y  4
 2
4
2
6
8
4
 2
 4
 6
 8
 10
 12
 14
RozwiÄ…zanie problemu poczÄ…tkowego
1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego
1. Sprowadzić naste ¸ce równania do najprostszej postaci kanonicznej:
¸puja
(i) uxx +4uxy +10uyy - 24ux +42uy +2(x + y) =0,
(ii) 9uxx - 6uxy + uyy +10ux - 15uy - 50u + x - 2y =0,
(iii) uxx - 4uxy +5uyy - 3ux + uy + u =0,
(iv) uxx - 6uxy +9uyy - ux +2uy =0,
(v) 2uxy - 4uyy + ux - 2uy + u + x =0,
(vi) uxy +2uyy - ux +4uy + u =0,
(vii) 2uxx +2uxy + uyy +4ux +4uy + u =0,
(viii) uxx +2uxy + uyy +3ux - 5uy +4u =0,
2
"2u "2
(ix) +2"" u - 3"xz +2"u +6"u =0,
2
"x2 x"y "x "y
"2u "2u "2 "u
(x) - 2cosx - (3 + sin2 x)"xz - y =0,
2
"x2 "x"y "y
"2u "u
(xi) y2 "2u +2xy +2x2 "2z + y =0,
"x2 "x"y "x2 "y
"2u "2u "u
(xii) tg2x - 2ytgx + y2 "2z +tg3x =0,
"x2 "x"y "x2 "x
"2u "2z
(xiii) y + =0,
"x2 "x2
"2u "u "u
(xiv) x2 "2u +2xy - 3y2 "2z - 2x +4y +16x4u =0,
"x2 "x"y "x2 "x "y
2
"2 "u "u
(xv) (1 + x2)" u +(1+y2)"xz + x + y =0,
2
"x2 "x "y
"2u "2u
(xvi) sin x - 2y sin x + y2 "2z =0.
"x2 "x"y "x2
1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 12
Pierwsze dziewie równań, to równania o stałych współczynnikach.
¸Ä‡
2. Znalez
ć rozwia ogólne równań:
¸zania
"2u "2u "2z "u
(i) - 2sinx - cos2 x - cos x =0,
"x2 "x"y "x2 "y
"2u "2z 1 "u
(ii) x - y + ("u - ) =0, x > 0, y > 0,
"x2 "x2 2 "x "y
(iii) x2uxx - y2uyy - 2yuy =0,
(iv) x2uxx - 2xyuxy + y2uyy + xux + yuy =0,
"
(v) (x2 "u ) =x2 "2z ,
"x "x "x2
2
"u "u
(vi) (x - y)"" u - + =0,
x"y "x "y
"2u "2u "2u
(vii) ( ) x2 "2u +2xy + y2 "2z +2yz + z2 "2u +2zx =0,
"x2 "x"y "x2 "y"z "z2 "z"x
"4u "4u "u
(viii) ( ) - 2"x "y2 + =0.
"x4 2 "y4
3. Znalez
ć obszary hieperboliczności, eliptyczności i paraboliczności, a także ogólne (o ile istnieje)
rozwia równań:
¸zanie
(i) (1 - x2)uxx - 2xyuyx - (1 + y2)uyy - 2xux - 2yuy =0,
(ii) (x2 - 1)uxx +2xyuxy +(1+y2)uyy +2xux +2yuy =0.
4. ( ) Pokazać, że ogólne rozwia równania:
¸zanie
1 "2u "2u 2 "u n(n +1)
= + - u
a2 "t2 "x2 x "x x2
ma postać:
n
1 " Ć(x - at) +¸(x + at)
u = xn ,
x "x x
gdzie Ć i ¸ sa dowolnymi odpowiednimi (jednej zmiennej, odpowiedniej klasy) funkcjami.
¸
5. Znalez
ć ogólne rozwia równania:
¸zanie
"2u 2 "u 3 "u 3
- + - u =0.
"x"y x - y "x x - y "y (x - y)2
6. Rozwia naste ¸ce zagadnienia Cauchy ego:
¸zać ¸puja
2y
(i) 4y2uxx +2(1- y2)uxy - uyy - (2ux - uy) =0, u(x, y)|y=0 = Õ(x), uy(x, y)|y=0 = È(x),
1+y2
(ii) uxx - 2uxy +4ey =0, u(0, y) =Õ(y), ux(0, y) =È(y),
(iii) 3uxx - 4uxy + uyy - 3ux + uy =0, u(x, 0) = Õ(x), uy(x, 0) = È(x),
(iv) eyuxy - uyy + uy =0, u(x, 0) = -1x2, uy(x, 0) = - sin x,
2
1
(v) uxx - 2sinxuxy - (3 + cosx)uyy - cos xuy =0, u(x cos x) =sin x, uy(x, cosx) = ex,
2
1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 13
(vi) uxx -2sinxuxy -(3+cos2 x)uyy +ux +(2-sin x -cos x)uy =0, u(x, cosx) =0, uy(x, cosx) =
-x
2
e cos x,
(vii) uxx+2 sin xuxy-cos2 xuyy+ux+(sin x+cos x+1)uy =0, u(x, - cos x) =1+2 sin x, uy(x, - cos x) =
sin x,
2y
(viii) 4y2uxx +2(1- y2)uxy - uyy - (2ux - uy) =0, u(x, 0) = Õ0(x), uy(x, 0) = Õ1(x),
1+y2
(ix) uxx +4sinxuxy - 4cos2 xuyy +2cos xuy =0, u(x, -2cosx) =16x3, uy(x, -2cosx) =16x.
7. Znalez
ć wszystkie charaketrystyki równania drgań struny:
uxx - utt =0.
8. Określić powierzchnie charakterystyczne drugiego rze dla równania drgań membrany:
¸du
ux x1 + ux x2 - utt =0.
1 2
9. Znalez
ć wszystkie płaszczyzny charakterystyczne równania falowego:
ux x1 + ux x2 + ux x3 - utt =0.
1 2 3
10. Funkcja u(x, t) o cia pochodnych cza ¸du ¸zaniem równania
¸gÅ‚ych ¸stkowych trzeciego rze jest rozwia
uXX - utt =0.
Wykazać, że równanie to spełnia także funkcja:
"u "u
v(x, t) = .
"x "t
11. Wykazać, że wraz z funkcja u(x, t) rozwia
¸ ¸zaniem równania
uXX - utt =0
sa i funkcje:
¸
(i) xux + tut,
2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 14
2 2
(ii) ux + ut ,
ut 2 2
(iii) , ux = ut .

2 2
ux -ut
12. Wykazać, że najogólniejsze rozwia równania
¸zanie
ux x1 + ux x2 + ux x3 - utt =0
1 2 3
zależne tylko od r i t ma postać:
f1(r + t) f2(r - t)
u(r, t) = + , r =0,

r r
2 2 2
gdzie r2 = x1 + x2 + x3 , a f1 i f2 sa dowolnymi funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w sposób
¸
cia (rozwia te nazywamy falami sferycznymi).
¸gÅ‚y ¸zania
2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera
2.1 Szeregi Fouriera - repetytorium do ćwiczenia samodzielnego
13. Znalez
ć szereg Fouriera funkcji 2Ą-okresowej, która na przedziale -Ą, Ą) dana jest wzorem
Ä„
f (x) =x. Zbadać jej zbieżność. Obliczyć wartość szeregu dla x = .
2
14. Znalez
ć szereg Fouriera funkcji 2Ą-okresowej, która na przedziale 0, 2Ą) jest określona g(x) =
2
Ä„-x
. Zbadać jej zbieżność.
2
2Ä„
15. Rozwina w szereg Fouriera funkcje f (x) =sin 3x na przedziale 0, ). Zbadać zbieżność.
¸Ä‡ ¸
3
"
16. Funkcje g(x) = sin x przedstawić w postaci sumy szeregu a0 + an cos nx na przedziale
¸
n=1
(0, Ä„).
17. Co należy założyć o funkcji f : [0, l] R, aby można ja było przedłużyć do funkcji:
¸
(i) nieparzystej na przedział [-l, l], a nasc
epnie okresowo (o okresie 2l) na R do funkcji klasy
C1, C2, Ck,
(ii) parzystej i dalej j.w.
BIBLIOGRAFIA 15
18. Załóżmy, że dana jest funkcja f " Cp(R) o okresie 2a oraz

a a
1 nĄ 1 nĄ
an = f (t)sin t dt, bn = f (t)cos t dt.
a -a a a -a a
A B
(i) Wykazać, że: |an| , |bn| , gdzie A, B sa pewnymi stałymi.
¸
np np
"
b0 nĄ nĄ
(ii) Wykazać, że szereg + (an sin t + bn cos t) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na
n=1
2 a a
przedziale (-a, a). Co trzeba założyć o p?
(iii) Co trzeba założyć o p, aby szereg z poprzedniego podpunktu był dwukrotnie różniczkowalny
2
wyraz po wyrazie, a tym samym funkcja wyrażona poprzez ten szereg była klasy C ? Co trzeba
założyć o p, by ta funkcja była klasy Cp?
Bibliografia
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.
[4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.

[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.

[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.
[11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002.
[12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
[13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1972.

[14] J. Musielak, Wstep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University
Press, 2003.
BIBLIOGRAFIA 16
[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu
Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu A
ódz-

kiego, A
ódz
2000.
[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu A
ódzkiego,
A
ódz
2003.
[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1970.

[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu War-

szawskiego, Warszawa 2006.
[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.
[23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-
Chichester-Brisbane-Toronto 1989.