Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 1
1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (&!, F, P ), gdzie &! jest zbiorem
przeliczalnym i F = 2&!. Udowodnij, że istnieja liczby pÉ e" 0, pÉ =
¸
É"&!
1 takie, że P (A) = pÉ dla wszystkich A " F.
É"A
2. Opisać wszystkie przestrzenie probabilistyczne z przeliczalnym zbiorem
zdarzeń elementarnych &!
3. Udowodnij, że każde nieskoÅ„czone Ã-cialo jest nieprzeliczalne
4. Udowodnij nast¸ ¸ tożsamoÅ›ci
epujace
(lim sup An) = lim inf(An), (lim inf An) = lim sup(An),
lim inf An ‚" lim sup An, lim sup(An *" Bn) = lim sup An *" lim sup Bn,
lim sup An )" lim inf Bn ‚" lim sup(An )" Bn) ‚" lim sup An )" lim sup Bn,
An A lub An A to A = lim sup An = lim inf An
5. Wykaż, że jeśli An = (-", xn) oraz x = lim sup xn to lim sup An =
(-", x) lub (-", x] oraz oba te przypadki mog¸ zajść.
a
6. Udowodnij, że nast¸ ace dwie pseudometryki na F
epuj¸
Á1(A, B) = P (A"B)
P (A"B)
jeśli P (A *" B) > 0
P (A*"B)
Á2(A, B) =
0 jeśli P (A *" B) = 0
spelniaja warunek trójk¸
¸ ata.
7. Rzucamy monet¸ dopóki nie wypadn¸ dwa orly pod rz¸ Znalez
ć praw-
a a ad.
dopodobieństwo, że rzucimy dokladnie k razy.
8. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi jest losowany jeden
uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każy uczeń
¸
b¸ przepytany.
edzie
9. W szafie znajduje si¸ n par butów, na chybil trafil wybieramy z nich 2k
e
butów przy czym 2k < n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
a) wśród wylosowanych butów jest conajmniej jedna para
b) wśród wylosowanych butów jest dokladnie jedna para
10. Roztrzepana sekretarka rozmieścila losowo N listów w N uprzednio za-
adresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokladnie
k listów trafilo do wlaściwej koperty.
11. W n rozróżnialnych urnach umieszczono w sposób losowy k rozróżnialnych
kul. Oblicz prawdopodobieństwo pm(k, n), że dokladnie m urn pozostanie
pustych 0 d" m d" n - 1. (Wskazówka: policz najpierw p0(k, n)).
1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 2
1. Na loterii jest 10 losów wygrywaj¸ 100 przegrywajacych i 1000 upraw-
acych, ¸
niaj¸ do kolejnego losowania. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo wygra-
acych
nia?
2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo,
że wylosowaliśmy dokladnie 3 asy jeśli wiadomo, że
a) mamy conajmniej jednego asa
b) mamy asa czarnego koloru
c) mamy asa pik
d) pierwsz¸ wylosowan¸ kart¸ jest as
a a a
e) pierwsz¸ wylosowan¸ kart¸ jest czarny as
a a a
f) pierwsz¸ wylosowan¸ kart¸ jest as pik.
a a a
3. K. wybral si¸ w odwiedziny do znajomych o których wiedzial, że maj¸
e a
dwójk¸ dzieci, ale nie znal ich plci ani wieku. Drzwi domu otworzyla
e
mu dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko zna-
jomych K. też jest dziewczynk¸
a?
4. (schemat urnowy Polya) Urna zawiera b kul bialych i c kul czarnych.
Wykonujemy kolejno nast¸ ace doÅ›wiadczenie: losujemy z urny kul¸
epuj¸ e,
a nast¸ wkladamy j¸ z powrotem do urny, a wraz z nia dokladamy
epnie a ¸
do urny a kul tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo
b
wylosowania w n-tym losowaniu kuli bialej jest .
b+c
5. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma n dzieci jest równe
Ä…pn n = 1, 2, . . .
pn = "
Ä…p
1 - Ä…pn = 1 - n = 0
n=1 1-p
Zakladaj¸ że wszystkie 2n rozkladów plci dzieci w rodzinie o n dzieciach
ac,
jest równoprawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana
rodzina ma
a) conajmniej jedn¸ córk¸
a e
b) dokladnie jedn¸ córk¸
a e?
c) Losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedn¸ córk¸ jakie jest praw-
a e,
dopodobieÅ„stwo, że jest ona jedynaczk¸
a?
6. Dwaj gracze rzucaj¸ symetryczn¸ monet¸ aż pojawi si¸ ciag OOO lub
a a a e ¸
ORO. JeÅ›li najpierw pojawi si¸ OOO wygrywa gracz A, jeÅ›li ORO gracz
e
B.
a) Udowodnij, że z prawdopodobieÅ„stwem 1 gra si¸ zakoÅ„czy
e
b) Jakie s¸ szanse, że gr¸ wygra gracz A?
a e
7. Dwaj gracze graj¸ w orla i reszk¸ monet¸ symetryczn¸ JeÅ›li wypadnie
a e a a.
orzel gracz A placi B 1 zl., jeÅ›li reszka to B placi A 1 zl. Gra si¸ koÅ„czy,
e
gdy któryÅ› z graczy zostanie bez pieni¸ Na pocz¸ gry gracz A ma
edzy. atku
a zl., a B b zl.
2
a) Oblicz prawdopodobieÅ„stwo, że gr¸ wygra gracz A.
e
b) Jak zmieni si¸ to prawdopodobieÅ„stwo, jeÅ›li moneta jest sfalszowana
e
tzn. orzel wypada z prawdopodobieństwem p = 1/2?

3
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 3
1. Na kiju dlugości l wybrano na chybil trafil 2 punkty i w tych punk-
tach przelamano kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymanych 3
kawalków można zbudować trójk¸
at.
2. (Igla Buffona) Igl¸ o dlugoÅ›ci l rzucono w sposób losowy na plaszczyzn¸ z
e e
zaznaczonymi liniami równoleglymi. Odleglość mi¸ s¸
edzy asiednimi liniami
wynosi d > l. Oblicz prawdopodobieÅ„stwo, że igla przetnie któr¸Å› z linii.
a
3. Wielok¸ wypukly o Å›rednicy mniejszej niż d rzucono na plaszczyzn¸ poli-
at e
niowan¸ jak w poprzednim zadaniu. Oblicz prawdopodobieÅ„stwo, że wielo-
a
k¸ przetnie któr¸Å› z linii.
at a
4. Udowodnij, że w definicji niezależności n zdarzeń każde z 2n-n-1 równań
jest niezb¸ (tzn. jeÅ›li odrzucimy jedno z równaÅ„ to istniej¸ zdarzenia
edne a
zależne spelniaj¸ wszystkie pozostale równania).
ace
5. Dla A " F zdefiniujmy A1 = A i A-1 = A . Udowodnij, że dla dowolnych
A1, . . . , An " F i µ1, . . . , µn " {-1, 1} zdarzenia A1, . . . , An s¸ niezależne
a
1
n
wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia Aµ , . . . , Aµ s¸ niezależne.
a
1 n
6. Niech F : R [0, 1] b¸ lewostronnie ciagla niemalej¸ a funkcj¸ tak¸
edzie ¸ ¸ ac¸ a a,
że F (") = 1 oraz F (-") = 0. Pokaż, że F jest dystrybuant¸ pewnej
a
rzeczywistej zmiennej losowej tzn. istnieje przetrzeń probabilistyczna i
zmienna X na niej okre:
ona takie, że F (t) = P (X < t) dla t " R.
7. Zalóżmy, że (E, B) jest przestrzenia mierzaln¸ oraz A pewn¸ klas¸ podzbiorów
¸ a a a
E tak¸ że Ã(A) = B. Niech X, Y b¸ a zmiennymi losowymi o wartoÅ›ciach
a, ed¸
w (E, B) takimi, że P (X " A) = P (Y " A) dla wszytkich A " A. Wykaż,
że powyższe zalożenia nie implikuj¸ równoÅ›ci rozkladów X i Y .
a
8. a) Pokazać, że funkcje Rademachera rn(x) = sgn(cos(2nÄ„x)) s¸ niezależnymi
a
zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|)
b) dla t " [0, 1] i n = 1, 2, . . . niech Xn(t) oznacza n-t¸ cyfr¸ rozwini¸
a e ecia
dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rowini¸Ä‡ wybieramy np. to ze
e
skoÅ„czon¸ liczb¸ 1). Udowodnij, że X1, X2, . . . s¸ niezależnymi zmien-
a a a
nymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]), |.|).
9. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 w ciagu niezależnych rzutów
¸
monet¸ wyst¸ każdy skoÅ„czony ciag zlożony z orlów i reszek.
a api ¸
4
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 4
1. Niech µ1, µ2, . . . b¸ ciagiem niezależnych zmiennych losowych takich,
edzie ¸
1
że P (µi = Ä…1) = (por. zad 3.8). Dla skoÅ„czonych podzbiorów A liczb
2
calkowitych dodatnich zdefiniujmy funkcje Walsha
µi jeÅ›li A = "

i"A
wA =
1 jeśli A = "
a) znajdz
rozklad wA
b) wykaż, że wA, wB s¸ niezależne gdy A = B. Czy wA, wB, wC musz¸
a a
być niezależne dla różnych indeksów A, B, C?
2. Niech X1, . . . , Xn b¸ a niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
ed¸
" "
rozkladzie z ciagla dystrybuant¸ F . Dla É " &! niech X1 (É), . . . , Xn(É)
¸ ¸ a
"
b¸ ustawieniem X1(É), . . . , Xn(É) w porz¸ rosn¸ X1 (É) d"
edzie adku acym
" " " "
X2 (É) d" . . . d" Xn(É) (czyli w szczegolnoÅ›ci X1 = min(X1, . . . , Xn), Xn =
" "
max(X1, . . . , Xn). Znajdz
dystrybuant¸ Xk dla k = 1, . . . , n (Xk nazy-
e
wamy k-t¸ statystyk¸ porz¸ a ciagu X1, . . . , Xn)
a a adkow¸ ¸
3. Zalóżmy, że X, Y zmienne losowe takie, że X jest Ã(Y )-mierzalne tzn.
Ã(X) ‚" Ã(Y ). Udowodnij, że istnieje Õ : R R mierzalna taka, że
X = Õ(Y ).
4. Niech X1, X2, . . . b¸ ciagiem niezależnych rzeczywistych zmiennych
edzie ¸
losowych. Określmy
Y = lim sup Xn, Z = lim inf Xn.
n"
n"
Udowodnij, że Y i Z s¸ zdegenerowanymi zmiennymi losowymi tzn. ist-
a
niej¸ c, d " R *" {Ä…"} takie, że P (X = c) = P (Y = d) = 1.
a
5
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 5
1. Niech X, Y b¸ a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie geome-
ed¸
trycznym z parametrami odpowiednio p i r. Oblicz P (X < Y ).
2. Rozwiaż zadanie j.w., ale w przypadku gdy X i Y maj¸ rozklad ekspo-
¸ a
nencjalny z parametrami  i µ.
3. Zmienne losowe X i Y s¸ niezależne, przy czym dystrybuanta X jest ciagla.
a ¸
Wykaż, że P (X = Y ) = 0.
4. Na skrzyżowaniu ulic na pewnym kierunku Å›wiatlo czerwone Å›wieci si¸
e
2 minuty, zaÅ› Å›wiatlo zielone 1 minut¸ (zakladamy, że nie ma Å›wiatla
e
żóltego). W losowym momencie samochód przyjeżdża na skrzyżowanie,
oznaczmy przez X dlugość oczekiwania na światlo zielone.
a) Znajdz
rozklad X
b) Znajdz
wartość oczekiwan¸ i wariancj¸ X.
a e
5. Niech X b¸  niestarzejac¸ si¸ zmienn¸ losow¸ tzn
edzie ¸ a e a a
"t,s>0P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
(zakladamy, że P (X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodnij, że X ma
rozklad eksponencjalny.
6. Niech µ1, µ2, . . . b¸ a niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi
ed¸
Bernoulliego tzn. P (µi = Ä…1) = 1/2. Jaki rozklad ma zmienna X =
"
2-iµi?
i=1
7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a1, . . . , an
n n
E( aiµi)4 d" 3(E( aiµi)2)2,
i=1 i=1
gdzie µ1, . . . , µn s¸ dobrane jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że stalej
a
3 nie można poprawić
8. Roztrzepana sekretarka umieścila w sposób losowy N listów w N uprzed-
nio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczb¸ listów, które trafily
e
do wlaściwej koperty. Znajdz
wartość oczekiwan¸ i wariancj¸ X.
a e
9. Niech F b¸ dystrybuant¸ pewnej zmiennej losowej X. Udowodnij, że
edzie a
jeÅ›li F jest funkcja różniczkowaln¸ w każdym punkcie to X ma rozklad
¸ a
ciagly.
¸
10. Przy oznaczeniach jak w zadaniu 7 wykaż, że dla wszystkich t e" 0
n
t2
P (| aiµi| e" t) d" 2 exp(- ).
n
2 a2
i=1 i
i=1
6
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 6
1. a) X <" N (a, Ã2), jaki rozklad ma bX = c dla b, c " R?
b) X <" N (0, 1), znajdz
rozklad eX (tzw. rozklad lognormalny).
2
c) X1, . . . , Xn niezależne zmienne losowe o rozkladach N (ai, Ãi ), udowod-
n
nij, że dla dowolnych liczn rzeczywistych bi, biXi ma rozklad nor-
i=1
malny, znajdz
parametry tego rozkladu.
d) X, Y niezależne zmienne losowe o rozkladzie N (0, 1), jaki rozklad maja
¸
zmienne X + Y, X - Y , czy s¸ niezależne?
a
2. X, Y niezależne zmienne losowe o rozkladzie “(Ä…1, ²) i “(Ä…2, ²). Udowod-
nij, że X + Y ma rozklad “(Ä…1 + Ä…2, ²).
3. Niech X1, X2, . . . b¸ ciagiem niezależnych zmiennych losowych o wspól-
edzie ¸
nym rozkladzie Exp(). Zdefiniujmy S0 = 0, S1 = X1, S2 = X1 + X2, . . . .
Dla t > 0 niech Nt = sup{n : Sn d" t}. Wykaż, że Nt ma rozklad Poissona
z parametrem t.
4. X, Y niezależne zmienne losowe o rozkladzie Cauchy ego z parametrami
h1 i h2, udowodnij, że X +Y ma rozklad Cauchy ego z parametrem h1 +h2
(inaczej jeśli X, Y niezależne o standardowym rozkladzie Cauchy ego to
h1X + h2Y <" (h1 + h2)X).
5. X, Y s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie eksponencjalnym
a
z parametrami  i µ, znajdz
rozklad zmiennej X/Y .
6. X, Y niezależne zmienne losowe o wartościach w T = {z " C : |z| = 1}.
Co można powiedzieć o rozkladzie XY jeśli X ma rozklad jednostajny na
T .
7. X0, X1, . . . s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkl]adzie
a
z ciagla dystrybuant¸ Niech N = inf{n : Xn > X0}. Znajdz
rozklad N i
¸ ¸ a.
oblicz EN.
"
1
8. Udowodnij, że dla 0 <  < rozklad nµn nie jest ciagly (µ1, µ2, . . .
¸
2 n=1
s¸ niezależnymi zmiennymi takimi, że P (µi = Ä…1) = 1/2).
a
9. Niech Z b¸ zmienn¸ losow¸ Cauchy ego z parametrem 1. Udowodnij,
edzie a a
że zmienne
n n n
Z - Z3 + Z5 - . . .
2Z 3Z - Z3
1 3 5
Z2 = , Z3 = , . . . , Zn = , . . .
n n
1 - Z2 1 - 3Z2
1 - Z2 + Z4 - . . .
2 4
maj¸ rozklad Cauchy ego.
a
7
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 7
1. Urna zawiera N kul w tym b kul bialych. Losujemy z urny bez zwracania
n kul (n d" N) i definiujemy zmienn¸ losow¸ X jako liczb¸ wylosowanych
a a e
kul bialych. Oblicz wartość oczekiwan¸ i wariancj¸ X.
a e
2. W urnie jest N kul w tym N - 1 bialych i 1 czerwona. Gracz ciagnie
¸
kule bez zwracania i wygrywa 1 zl za każd¸ wyciagni¸ a kul¸ biala, ale
a ¸ et¸ e ¸
traci wszystko i koÅ„czy gr¸ jeÅ›li wyciagnie kul¸ czerwon¸ Przed każdym
e, ¸ e a.
losowaniem kuli gracz może zdecydować (oczywiÅ›cie jeÅ›li nie pojawila si¸
e
kula czerwona) czy grać dalej czy zadowolić si¸ dotychczasow¸ wygran¸
e a a.
Znalez
ć strategi¸ optymaln¸ tzn maksymalizujac¸ Å›rednia wygran¸ Roz-
e a ¸ a ¸ a.
wiazać to samo zadanie przy zalożeniu, że losujemy kule ze zwracaniem.
¸
3. Oblicz wartość oczekiwan¸ i wariancj¸ rozkladu gamma “(Ä…, ²).
a e
4. Niech X b¸ mial rozklad N (0, 1). Oblicz E|X|p dla p " R, jak wyglada
edzie ¸
ta liczba dla p naturalnych?
5. X jest rzeczywist¸ zmienn¸ losow¸ udowodnij, że
a a a,
"
E|X|p = p tp-1P (|X| e" t)dt.
0
6. Rzeczywista zmienna losowa X spelnia E|X|p < ", udowodnij, że
lim tpP (|X| e" t) = 0.
t"
7. (Nierwność Chinczyna) Zmienne µ1, µ2, . . . s¸ niezależnymi Rademacherami
a
1
tzn P (µi = Ä…1) = . Udowodnij, że dla dowolnego p > 0 istnieje stala
2
Cp < " zależna tylko od p taka, że dla dowolnych liczb a1, a2, . . . , an
n n
(E| aiµi|)1/p d" Cp a2
i
i=1 i=1
8. X jest nieujemn¸ zmienn¸ losowa, udowodnij, że dla  " (0, 1)
a a
(EX)2
P (X > EX) e" (1 - )2 .
EX2
9. Niech (µi) b¸ a jak w zadaniu 7. Wykaż, że istnieje stala uniwersalna
ed¸
c > 0 taka, że dla dowolnych liczb a1, a2, . . . , an
n n
1
a*) pdfP | aiµi| e" a2 e" c
i=1 2 i=1 i
n n
b**) P | aiµi| e" a2 e" c.
i=1 i=1 i
8
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 8
1. Zmienne losowe X, Y s¸ niezależne o tym samym rozkladzie. Udowodnij,
a
że
X + Y
E(X|X + Y ) = E(Y |X + Y ) = p.w.
2
2. Niech X1, X2, . . . b¸ a niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym
ed¸
rozkladzie oraz Sk = X1 + X2 + . . . + Xk. Znajdz
dla i, n e" 1
E(Xi|Sn, Sn+1, . . . ) := E(Xi|Ã(Sn, Sn+1, . . . )).
3. Znajdz
przyklad zmiennych losowych X, Y , które nie s¸ niezależne, ale
a
E(X|Y ) = EX.
4. Wektor losowy (X, Y ) ma g¸
estość
x3
e-x(y+1) jeśli x > 0, y > 0
2
g(x, y) =
0 w przeciwnym przypadku
Znajdz
E(X|Y ).
5. X jest zmienn¸ losow¸ o rozkladzie wykladniczym z parametrem 1, zaÅ›
a a
Y - zmienn¸ losow¸ tak¸ że jeÅ›li X = x to Y ma rozklad wykladniczy z
a a a,
parametrem X.
a) Znajdz
rozklad Y
b) Oblicz P (X > r|Y ).
6. X1, X2, . . . , Xn s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie jednos-
a
tajnym na przedziale [0, a], oblicz E(X1| max(X1, . . . , Xn)).
7. Niech P b¸ miar¸ probabilistyczn¸ na (R2, (R2)) z g¸ ¸ f(x, y)
edzie a a estościa
wzgl¸ miary Lebesgue a (czyli P (A) = f(x, y)dxdy). Niech G =
edem
A
{A × R : A " B(R)}. Znajdz
(·|G) rozklad warunkowy P wzgl¸ G.
edem
8. (Wersja twierdzenia Bayesa dla rozkladów warunkowych) Zalóżmy, że
(&!, F, P ) jest przestrzenia probabilistyczn¸ G ‚" F Ã-podcialem, zaÅ›
¸ a,
(·|G) regularnym rozkladem warunkowym P wzgl¸ G. Wykaż, że
edem
dla wszystkich G " G, A " F takich, że P (A) > 0 zachodzi
(A|G)(É)dP (É)
G
P (G|A) = .
(A|G)(É)dP (É)
&!
9. Zalóżmy, że X jest nieujemn¸ zmienn¸ losow¸ na (&!, F, P ) oraz G ‚" F
a a a
Ã-podcialo. Udowodnij, że
"
a) E(X|G) = P (X > t|G)dt p.w.
0
b) P (X > t|G) d" t-kE(Xk|G) p.w.
9
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 9
1. X jest zmienn¸ losow¸ tak¸ że E|X|p < " dla pewnego p > 0. Wykaż, że
a a a,
limp0+(E|X|p)1/p = X := exp(E ln |X|) (przyjmujemy, że e-" = 0).
0
2. Dla p < 0 okreÅ›lmy podobnie jak dla p > 0, X = (E|X|p)1/p używaj¸
ac
p
dodatkowej konwencji "ą = 0 dla ą < 0. Wykaż, że X d" X dla
q p
-" < q d" p d" ".
3. Udowodnij, że limp" X = X := esssup|X|.
p "
4. Udowodnij, że funkcja f(r) = r ln E|X|1/r jest wypukla dla r " (0, ").
5. (Ogólna postać nierówności Chinczyna) Wykaż, że dla p, q > 0 istnieje
stala Cp,q < " taka, że dla dowolnych liczb a1, . . . , an
n n
(E| aiµi|p)1/p d" Cp,q(E| aiµi|q)1/q
i=1 i=1
(µ1, . . . , µn - niezależne zmienne losowe takie, że P (µi = Ä…1) = 1/2)
6. Dla przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) określmy L0(&!, F, P ) = {X; &!
R : mierzalne}. Dla X, Y " L0(&!, F, P ) niech d1(X, Y ) = E min(1, |X -
|X-Y |
Y |), d2(X, Y ) = E . Wykaż, że metryki d1 i d2 s¸ równoważne
a
1+|X-Y |
oraz zbieżność w każdej z tych metryk jest równoważna zbieżności wedlug
prawdopodobieństwa.
7. Wykaż, że zbieżność prawie wsz¸ jest niemetryzowalna tzn. nie istnieje
edzie
metryka na L0(&!, F, P ), która metryzowalaby zbieżność prawie na pewno.
8. Udowodnij, że dla dowolnych zmiennych losowych Xn, Yn, X, Y
P P
a) jeśli Xn X i Xn Y to P (X = Y ) = 1
P P
b) jeÅ›li Xn X i Yn X to limn"P (|Xn - Yn| > µ) = 0 dla każdego
µ > 0
P P P
9. Wykaż, że jeśli Xn X i Yn Y to aXn +bYn aX +bY dla dowolnych
liczb rzeczywistych a, b.
10. Udowodnij nierówność Levy ego: jeÅ›li X1, . . . , Xn s¸ niezależnymi syme-
a
trycznymi zmiennymi losowymi to dla t > 0
P ( max Sk e" t) d" 2P ( Sn e" t),
1d"kd"n
gdzie Sk = X1 + . . . + Xk.
11. Udowodnij, że istnieje stala C < " taka, że dla dowolnych niezależnych
zmiennych losowych o jednakowym rozkladzie i wartościach w ośrodkowej
przestrzeni Banacha (E, . ) dla dowolnego t > 0 zachodzi nierówność
P ( max Sk e" Ct) d" CP ( Sn e" t),
1d"kd"n
gdzie Sk = X1 + . . . + Xk.
10
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 10
"
1. Udowodnij, że dla ciagu nieujemnych zmiennych losowych Xi, Xi <
¸
i=1
"
Xi
" p.w. wtedy i tylko wtedy gdy E < ".
i=1 1+Xi
1
2. Zmienne Xi oraz µi s¸ niezależne przy czym P (µi = Ä…1) = . Wykaż,
a
2
"
2
że µiXi jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy Xi < " p.w.
i=1
(prosz¸ w miar¸ możliwoÅ›ci udowodnić ten fakt bez odwolywania si¸ do
e e e
twierdzenia Kolmogorowa o trzech szeregach)
3. Zmienne µi s¸ zdefiniowane jak w poprzednim zadaniu, wykaż, że dla liczb
a
rzeczywistych ai szereg aiµi jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy
a2 < ".
i
"
1
4. Z poprzedniego zadania wynika, że S = µn jest zbieżny p.w. Czy
n=1 n
S ma rozklad ciagly?
¸
"
5. Dla 0 <  < 1 zdefiniujmy zmienn¸ losow¸ S = nµn. Wykaż,
a a
n=1
że S ma ciagla dystrybuant¸ oraz czysto singularny rozklad tzn. istnieje
¸ ¸ e
zbiór borelowski A miary Lebesgue a zero taki, że P (S " A) = 1.
6. Wykaż, że dla dowolnych zmiennych losowych Xi o wartościach w ośrodkowej
"
przestrzeni Banacha E szereg Xi jest zbieżny wg prawdopodobieństwa
i=1
wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.w.
n
7. Zdarzenia A1, A2, . . . s¸ niezależne oraz pn = P (An), Nn = IA ,
a
i=1 i
n = 1, 2, . . . . Udowodnij, że
Nn p1 + p2 + . . . + pn
- 0
n n
wg prawdopodobieństwa.
8. Funkcja rzeczywista f jest ciagla na [0, 1]2. Dla x, y " [0, 1] określmy
¸
n
k l n n
Bf,n(x, y) = f( , ) xk(1 - x)n-kyl(1 - y)n-l.
n n k l
k,l=0
Udowodnij, że Bf,n(x, y) zbiega jednostajnie do f(x, y) na [0, 1]2.
9. Zmienne X1, X2, . . . s¸ niezależne o jednakowym rozkladzie, 0 d" Xi < 1
a
p.w., udowodnij, że X1 · X2 · . . . · Xn 0 p.w.
11
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 11
1. Zmienne losowe X1, X2, . . . s¸ niezależne o wspólnym rozkladzie ekspo-
a
nencjalnym z parametrem . Pokazać, że ciag zmiennych losowych
¸
X1X2 + X2X3 + . . . + XnXn+1
n
jest zbieżny prawie na pewno i znalez
ć jego granic¸
e.
2. Dla ciagu X1, X2, . . . niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkladzie
¸
o skoÅ„czonej wariancji definiujemy Å›rednia empiryczn¸ mn i dystrybuant¸
¸ a Å» e
empiryczn¸ Ãn wzorami
a Ż2
n
X1 + X2 + . . . + Xn 1
mn = , Ãn = (Xk - mn)2.
Ż Ż2 Ż
n n - 1
k=1
Udowodnij, że Emn = EX1, EÃn = V (X1) (tzn. mn i Ãn s¸ nieobciażonymi
Å» Å»2 Å» Å»2 a ¸
estymatorami Å›redniej i wariancji) oraz mn EX1, Ãn V (X1) prawie
Ż Ż2
na pewno gdy n ".
3. Dany jest ciag X1, X2, . . . niezależnych zmiennych losowych o wspólnym
¸
- +
rozkladzie taki, że EXi = " (tzn EX1 < " oraz EXi = "). Udowod-
X1+X2+...+Xn
nij, że " prawie na pewno gdy n ".
n
4. Zmienne losowe X1, X2, . . . s¸ niezależne oraz P (Xi = 1) = p, P (Xi =
a
-1) = 1 - p dla pewnego p " (1/2, 1]. Wykaż, że X1 + . . . + Xn "
prawie na pewno gdy n ". Co si¸ dzieje, gdy p = 1/2?
e
5. (Silne prawo wielkich liczb Marcinkiewicza) Niech X1, X2, . . . b¸ a niezależnymi
ed¸
jednakowo rozlożonymi zmiennymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodnij,
że
X1 + X2 + . . . + Xn
" p.w.
n1/p
wtedy i tylko wtedy gdy E|X|p < " oraz dodatkowo EX = 0 dla 1 d" p <
2.
6. Przy zalożeniach poprzedniego zadania udowodnij, że
X1 + X2 + . . . + Xn
" " p.w.
n
wtedy i tylko wtedy gdy Xi = 0 p.w..
12
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12
1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów xn, x w przestrzeni metrycznej E
´x Ò! ´x wtedy i tylko wtedy gdy xn x.
n
n
1
2. Wykaż, że ´k/n Ò! , gdzie  jest miar¸ Lebesgue a na [0, 1].
a
n k=1
3. Udowodnij, że jeÅ›li Xn Ò! c gdzie c jest stala to Xn c wedlug prawdo-
¸
podobieństwa.
4. Zmienne losowe Xn, X przyjmuja tylko wartości calkowite. Wykaż, że
¸
Xn Ò! X wtedy i tylko wtedy gdy P (Xn = k) P (X = k) dla wszystkich
liczb calkowitych k.
2
5. Udowodnij, że N (an, Ãn) Ò! N (a, Ã2) wtedy i tylko wtedy gdy an a,
2
Ãn Ã2.
6. Niech gX , gX b¸ a g¸
ed¸ estoÅ›ciami rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż,
n
że jeÅ›li gX (t) gX(t) dla p.w. t to Xn Ò! X.
n
7. Udowodnij, że jeÅ›li Xn Ò! X, p > 0 oraz supn E|Xn|p < " to E|X|p <
", ale niekoniecznie E|Xn|p E|X|p. Jest to jednak prawd¸ gdy dla
a
pewnego µ > 0, supn E|Xn|p+µ < ".
8. Niech x " (0, 1) b¸ liczb¸ niewymiern¸ Wykaż,że
edzie a a.
n
1
´{kxmod1} Ò! ,
n
k=1
gdzie  jest miar¸ Lebesgue a na [0, 1]. Co si¸ dzieje, gdy x jest wymierne?
a e
9. a) Wykazać, że dla rzeczywistych zmiennych losowych Xn Ò! X wtedy i
Ü Ü
tylko wtedu gdy istnieja zmienne losowe Xn <" Xn i X <" X takie, że Xn
¸
jest zbieżny do X wedlug prawdopodobieństwa.
b) Udowodnij powyższe stwierdzenie gdy Xn, X maj¸ wartoÅ›ci w dowolnej
a
przestrzeni metrycznej (E, Á).
10. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, Xn jest niezależne od Yn, X niezależne
od Y oraz Xn Ò! X i Yn Ò! Y to (Xn, Yn) Ò! (X, Y ).
11. Wykaż, że
d(µ, ½) = inf{µ : "t Fµ(t - µ) - µ < F½(t) < Fµ(t + µ) + µ}
definiuje metryk¸ na wszystkich rozkladach probabilstycznych na R zgodn¸
e a
ze slab¸ zbieżnoÅ›cia (tzn. µn Ò! µ Ô! d(µn, µ) 0).
a ¸
"
12. Zmienne losowe Xn s¸ niezależne. Wykaż, że Xn jest zbieżny wedlug
a
n=1
rozkladu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny wedlug prawdopodobieństwa.
1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 13
1. Wykaż, że jeÅ›li Xn Ò! X oraz dystrybuanta FX jest ciagla to FX zbiega
¸
n
jednostajnie do FX.
2. Niech Xn b¸ pierwsz¸ wspólrz¸ a rozkladu jednostajnego na kuli
edzie a edn¸
"
jednostkowej w Rn. Udowodnij, że nXn Ò! N (0, 1).
2
3. Wykaż, że rodzina zmiennych N (aÄ…, ÃÄ…) jest ciasna wtedy i tylko wtedy
2
gdy supÄ… |aÄ…| < ", supÄ… ÃÄ… < ".
4. Udowodnij, że twierdzenie Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej
tzn. metrycznej, zupelnej, ośrodkowej.
5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozkladów tzn.
a) geometrycznego z parametrem p
b) Poissona z parametrem 
c) dwumianowego z parametrami n, p
d) jednostajnego na przedziale [a, b]
e) normalnego N (a, Ã2)
f) eksponencjalnego z parametrem 
g) Cauchy ego z parametrem h.
6. Które z nast¸ ¸ funkcji s¸ funkcjami charakterystycznymi: cos t,
epujacych a
1 1+cos t 1
cos2 t, (1 + eit)2, , ?
4 2 2-eit
7. Udowodnij, że jeÅ›li ÕX(0) istnieje to EX2 < "
8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmuj¸ tylko wartoÅ›ci calkowite za-
acych
chodzi
Ä„
1
P (X = k) = e-iktÕX(t)dt.
2Ä„
-Ä„
9. Udowodnij, że jeÅ›li X ma rozklad ciagly z g¸ ¸ g to ÕX(t) " dla
¸ estoÅ›cia
|t| ".
2
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 14
1. Funkcja Õ jest funkcja charakterystyczn¸ pewnej zmiennej losowej. Czy
¸ a
funkcje a)Õ2, b) ReÕ, c) |Õ|2, d) |Õ| musz¸ być funkcjami charakterysty-
a
cznymi?
2. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy
gdy ÕX(t) " R dla wszystkich t.
3. Udowodnij, że splot rozkladów Cauchy ego ma rozklad Cauchy ego?
4. Udowodnij, że jeÅ›li µ1, µ2, . . . s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi takimi,
a
"
że P (µi = Ä…1) = 1/2 to zmienna 2-nµn ma rozklad jednostajny na
n=1
[-1, 1].
5. Znajdz
zmienne losowe X, Y takie, że ÕX+Y = ÕXÕY oraz zmienne X, Y
s¸ zależne.
a
6. a) Udowodnij, że Õ(x) = (1 - |x|)I(-1,1)(x) jest funkcj¸ charakterystyczn¸
a a
b) Udowodnij, że jeÅ›li Õ : R R jest parzysta, wypukla i malej¸ na
aca
[0, "), kawalkami liniowa oraz Õ(0) = 1 to Õ jest funkcja charakterysty-
¸
czn¸
a.
c)Udowodnij, że jeÅ›li Õ : R R jest parzysta, wypukla i malej¸ na
aca
[0, ") oraz Õ(0) = 1 to Õ jest funkcja charakterystyczn¸
¸ a.
Ä…
7. Wykaż, że funkcja e-|t|
a) jest funkcj¸ charakterystyczn¸ dla 0 < Ä… d" 1
a a
b) nie jest funkcj¸ charakterystyczn¸ dla Ä… > 2
a a
c) jest funkcj¸ charakterystyczn¸ dla 1 < Ä… d" 2.
a a
Ä…
8. Zmienna X ma funkcj¸ charakterystyczn¸ ÕX(t) = e-|t| dla pewnego
e a
ą " (0, 2]. Co można powiedzieć o rozkladzie zmiennej aX + bY , gdzie
a, b " R, a Y jest niezależn¸ kopia X.
a ¸
3
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 15
X
"k
1. Udowodnij, że uklad trójk¸ Xn,k = , k = 1, . . . , n, gdzie X1, X2, . . .
atny
n
s¸ niezależnym zmiennymi losowymi o wspólnym rozkladzie spelnia waru-
a
nek Lindeberga.
2. Rzucamy 1000 razy kostk¸ Oszacuj prawdopodobieÅ„stwo, że suma wyrzu-
a.
conych oczek b¸ mi¸ 3400 a 3600.
edzie edzy
3. Niech X1, X2, . . . b¸ a niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że
ed¸
1 1 1
P (Xn = Ä…1) = (1 - ), P (Xn = Ä…n) = .
2 n2 2n2
Udowodnuj, że V (Xn) 2 oraz
X1 + X2 + . . . + Xn
" N (0, 1) wedlug rozkladu.
n
4. Wykaż, że warunek Lyapunowa
"´>0 lim E|Xn,k - EXn,k|2+´ = 0
n"
kd"kn
implikuje warunek Lindeberga (zakladamy, że s2 Ã2).
n
5. Zmienne X maj¸ rozklad Poissona z parametrem . Wykaż, że
a
X - 
N (0, 1) wedlug rozkladu gdy  ".

6. Udowodnij, że
nk 1
lim e-n = .
n"
k! 2
kd"n
7. Zmienne X1, X2, . . . s¸ niezależne oraz P (Xi = a) = P (Xi = 1/a) = 1/2
a
"
dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Zn = (X1X2 · · · Xn)1/ n s¸
a
zbieżne wedlug rozkladu i znajdz
rozklad graniczny.
1
"
8. Dana jest zmienna losowa X taka, że EX2 < " oraz X <" (Y + Z),
2
gdzie Y, Z s¸ niezależnymi kopiami X. Wykaż, że X <" N (0, Ã2) dla
a
pewnego à e" 0.
4
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 16
1. Podaj przyklad zależnych zmiennych losowych X, Y o rozkladzie N (0, 1)
takich, że Cov(X, Y ) = 0.
2. Udowodnij, że zmienna X <" N (a, B) ma g¸ wtedy i tylko wtedy gdy
estośś
B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona
"
(C(x-a),x-a)
detC
2
gX(x) = e , gdzie C = B-1.
(2Ä„)d/2
3. Zalóżmy, że zmienne Xn = (Xn,1, Xn,2, . . . , Xn,n) maj¸ rozklad jednosta-
a
" "
jny na kuli B(0, n) o środku w 0 i promieniu n. Wykaż, że dla każdego
k, zmienne (Xn,1, Xn,2, . . . , Xn,k) zbiegaja wedlug rozkladu do N (0, Idk).
¸
4. Niech X1, X2, . . . b¸ ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jed-
edzie ¸
2
nakowym rozkladzie takim, że EXi = 0, EXi = 1 oraz
1
Sn(t) = " Xi dla t e" 0, n = 1, 2, . . . .
n
1
d"[nt]
Udowodnij, że dla dowolnych 0 d" t1 < t2 < . . . < tk ciag wektorów
¸
losowych (Sn(t1), Sn(t2), . . . , Sn(tk)) jest zbieżny wedlug rozkladu. Jak
wyglada rozklad graniczny?
¸
5
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 17
1. Zmienne Ä i à s¸ momentami zatrzymania. Wykaż, że Ä ("Ã, Ä '"Ã, Ä +à s¸
a a
momentami zatrzymania. Czy Ä - 1, Ä + 1 też s¸ momentami zatrzymania
a
(przyj¸Ä‡ T = N)?
a
2. Zmienne losowe (Xn) s¸ adaptowalne wzgl¸ filtracji (Fn)" . Udowod-
a edem
n=0
nij, że nast¸ ¸ zmienne losowe s¸ momentami zatrzymania dla dowol-
epujace a
nego zbioru borelowskiego B
a) Ä1 = inf{n : Xn " B} - pierwsza wizyta w zbiorze B
b) Äk = inf{n > Äk-1 : Xn " B}, k = 2, 3, . . . - k-ta wizyta w zbiorze B.
3. Wykaż, że jeÅ›li Ä, à s¸ momentami zatrzymania (T = N) to
a
a) jeÅ›li Ä a" t to FÄ = Ft
b) jeÅ›li Ä < à to FÄ ‚" FÃ
c) A " FÄ wtedy i tylko wtedy gdy A " F oraz A )" {Ä = t} " Ft dla
wszystkich t.
4. Zmienne Ä i à s¸ momentami zatrzymania wzgl¸ filtracji (Fn)" .
a edem
n=0
Udowodnij, że {Ä < Ã}, {Ä d" Ã}, {Ä = Ã} " FÄ )"FÃ oraz FÄ )"FÃ = FÄ'"Ã.
5. Niech X1, X2, . . . b¸ a niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (Xi =
ed¸
Ä…1) = 1/2, Sn = X1 + X2 + . . . + Xn oraz Ä = inf{n : Sn = 1}. Wykaż,
że EÄ = ".
6. Zmienne X1, X2, . . . s¸ niezależne oraz E|Xi| < " dla wszystkich i.
a
Udowodnij, że Mn = X1X2 · · · Xn jest martyngalem wzgl¸ Fn =
edem
Ã(X1, . . . , Xn) wtedy i tylko wtedy gdy EXi = 1 dla wszystkich i lub
X1 = 0 p.n.p.
7. Niech Sn = X1+X2+. . .+Xn oraz Fn = Ã(X1, . . . , Xn), gdzie X1, X2, . . .
s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkladzie takim, że
a
2 2
EXi < ". Znajdz
liczby an, bn dla których Sn + anSn + bn jest mar-
tyngalem wzgl¸ Fn.
edem
8. Zmienne X1, X2, . . . s¸ niezależne o wspólnym rozkladzie N (0, 1), Sn =
a
X1 + X2 + . . . + Xn oraz Fn = Ã(X1, . . . , Xn). Dla  > 0 znajdz
liczby
n-an
an takie, że (eS , Fn) jest martyngalem.
6
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 18
1. Niech (Xn, Fn) b¸ adaptowalnym ciagiem calkowalnym. Udowodnij,
edzie ¸
że jest on martyngalem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczo-
nego momentu zatryzmania Ä, EXÄ = EX0.
2. Niech (Xn, Fn) b¸ adaptowalnym ciagiem calkowalnym. Udowodnij,
edzie ¸
że Xn = Yn + Zn, gdzie Yn jest martyngalem, a Zn ciagiem prognozowal-
¸
nym. Wykaż, że Xn jest nadmartyngalem wtedy i tylko wtedy gdy Zn
jest niemalejacy.
¸
3. Egzaminator przygotowal na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15
zdaj¸ studentów losuje 1 zestaw, który póz
niej nie jest już używany.
acych
Student S zna odpowiedz
na dokladnie 10 z 20 zestawów. Od wychodz¸
a-
cych z egzaminu dowiaduje si¸ jakie pytania s¸ już wylosowane. Jaka
e a
jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksy-
malizuj¸ szanse zdania egzaminu przez S?
aca
4. X1, X2, . . . s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkladzie
a
2
takim, że EXi < ". Udowodnij, że E(SÄ - ÄEX1)2 = EÄV (X1).
5. X1, X2, . . . s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi, zaÅ› t liczb¸ rzeczywist¸
a a a
tak¸ że ÕX (t) = 0 dla n = 1, 2, . . . . Udowodnij, że
a,
n
n
eitS
, gdzie Sn = X1 + X2 + . . . + Xn
ÕX (t)
jd"n j
jest martyngalem wzgl¸ filtracji generowanej przez (Xn). Wywnioskuj
edem
"
st¸ że Xn zbiega wedlug rozkladu wtedy i tylko wtedy gdy jest
ad,
n=1
zbieżny p.n.p.
6. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu gra-
czy) w grze orla i reszk¸ monet¸ niesymetryczn¸
e a a.
7. Oblicz Å›redni czas oczekiwania na ruin¸ któregoÅ› z graczy w grze orla i
e
reszk¸
e
a) monet¸ symetryczn¸
a a
b) monet¸ niesymetryczn¸
e a.
8. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitalem. Ile wynosi średni czas
oczekiwania na wygranie 1 zl. przez A w grze orla i reszk¸
e
a) monet¸ symetryczn¸
a a
b) monet¸ niesymetryczn¸
e a.
9. Podaj przyklad martyngalu Xn takiego, że Xn 0 p.n.p. oraz E|Xn|
".
10. Niech (Xn, Fn)0 b¸ martyngalem (z tzw. czasem odwróconym).
edzie
n=-"
Udowodnij, że granica X = limn-" Xn istnieje. Co można powiedzieć
o X?
7
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 19
1. Podaj przyklad martyngalu takiego, że supn E|Xn| < ", który nie jest
zbieżny w L1.
2. Udowodnij, że dla podmartyngalu (Xn, Fn)"
n=0
max1d"kd"n E|Xk|
"t>0P ( max |Xk| > t) d" 3
1d"kd"n t
oraz w przypadku Xn e" 0 lub Xn d" 0 dla wszystkich n, stala 3 można
¸
zamienić na 1.
3. Wyprowadz
z poprzedniego zadania nierówność Kolmogorowa
k n
1
2
P ( max | Xi| > t) d" EXi
1d"kd"n t2
i=1 i=1
dla niezależnych zmiennych losowych Xi takich, że EXi = 0.
4. Udowodnij, że istnieje stala C < " taka, że dla dowolnego martyngalu
(Xn, Fn)" zachodzi
n=0
E sup |Xn| d" C(1 + sup E|Xn| ln+ |Xn|).
n n
5. Udowodnij, że jeÅ›li zmienne losowe Xn s¸ zbieżne w Lp, p e" 1 to |Xn|p
a
jest jednostajnie calkowalny (zatem Xn X w Lp wtedy i tylko wtedy
gdy Xn X wedlug prawdopodobieństwa oraz |Xn|p jest jednostajnie
calkowalny).
6. Wykaż, że jeÅ›li Xt i Yt s¸ jednostajnie calkowalne to dla dowolnych a, b "
a
R, aXt + bYt jest jednostajnie calkowalny.
7. Znajdz
jednostajnie calkowalny ciag Xn taki, że E supn |Xn| = ".
¸
8. Niech Õ : R+ R+ spelnia warunek limx" Õ(x) = ". Wykaż, że jeÅ›li
x
supt EÕ(|Xt|) < " to (Xt) jest jednostajnie calkowalny.
9. Dany jest ciag zmiennych losowych X1, X2, . . . o jednakowym rozkladzie
¸
taki, że E|Xi| < ", niech Sn = X1 + . . . + Xn, Fn = Ã(Sn, Sn+1, . . . ).
Sn
a) Udowodnij, że ( , Fn) jest martyngalem z czasem odwróconym.
n
Sn
b) Wywnioskuj st¸ silne prawo wielkich liczb Kolmogorowa EXi
a
n
p.w. i w L1.
8
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 20
1. Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie Õn : E × R R, n =
1, 2, . . . (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E s¸ mierzalne). Zmienne
a
losowe X0 o wartościach w E i U1, U2, . . . o wartościach rzeczywistych
s¸ niezależne. Udowodnij, że ciag (Xn)" zdefiniowany rekurencyjnie
a ¸
n=0
wzorem Xn+1 = Õn(Xn, Un) jest laÅ„cuchem Markowa.
2. Dwa laÅ„cuchy Markowa (Xn), (Yn) z macierz¸ przejÅ›cia P s¸ niezależne.
a a
Udowodnij, że Zn = (Xn, Yn) też jest lańcuchem Markowa i znajdz
jego
macierz przejścia.
3. Zmienne µ0, µ1, . . . s¸ niezależne oraz P (µi = Ä…1) = 1/2. Czy ciagi Xn =
a ¸
µnµn+1, Yn = µn + µn+1 s¸ laÅ„cuchami Markowa?
a
4. (Xn) jest lańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej
funkcji f : E E, (f(Xn)) musi być lańcuchem Markowa?
5. Zmienne X0, X1, . . . s¸ niezależne oraz P (Xi = 1) = 1 - P (Xi = -1) =
a
p " (0, 1), Sn = X1 + X2 + . . . + Xn, Mn = max(S1, S2, . . . , Sn). Które z
ciagów |Sn|, Mn, Mn - Sn s¸ laÅ„cuchami Markowa? Znajdz
odpowiednie
¸ a
macierze przejścia.
6. Udowodnij, że lańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy
gdy nie ma wlaÅ›ciwych podzbiorów zamkni¸
etych.
7. Wykaż, że skończony lańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powra-
cajacy.
¸
k
1
8. Rozpatrzmy bladzenie w Zk z macierz¸ przejÅ›cia px,y = gdy |xi -
¸ a
2k i=1
yi| = 1 oraz px,y = 0 dla pozostalych x, y. Dla jakich k jest to bladzenie
¸
powracalne?
"
9. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to px,y(n) < " dla wszy-
n=0
stkich x, w szczególności limn" px,y(n) = 0.
10. Udowodnij, że laÅ„cuch Markowa jest powracaj¸ wtedy i tylko wtedy gdy
acy
Fx,y = 1 dla wszystkich x, y.
11. Dane s¸ dwa niezależne blazenia symetryczne Xn, Yn na prostej (lub ogól-
a ¸
niej w Zk). Czy P ("n e" 1 Xn = Yn) = 1 tzn. czy z prawdopodobieństwem
1 bladzenia si¸ kiedyÅ› przetn¸
¸ e a?
12. Prawopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi pn dla n =
0, 1, . . . . Zakladajac, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażaj¸ si¸ równo-
¸ a e
czeÅ›nie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licz¸ w chwili
aca
0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim
"
wtedy i tylko wtedy gdy kpk > 1.
k=0
9
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 21
1. Niech (Xn) b¸ nieprzywiedlnym okresowym laÅ„cuchem Markowa na
edzie
E z macierz¸ przejÅ›cia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozklad
a
E = S1 *" S2 *" . . . *" Sd taki, że zbiory Si spelniaj¸ warunki:
a
a) pxy > 0 Ô! x " Si, y " Si+1 dla pewnego i = 1, 2, . . . , d (przyjmujemy
Sd+1 = S1).
b) na każdym Si macierz (pxy(d))x,y"S definiuje nieprzywiedlny, nieokre-
i
sowy lańcuch Markowa.
2. W dwu urnach znajduje si¸ lacznie n kul. W każdej chwili wybieramy
e ¸
losowo kul¸ i przenosimy ja do innej urny. Znajdz
rozklad stacjonarny
e ¸
liczby kul w pierwszej urnie.
3. Ciag niezależnych zmiennych losowych Y1, Y2, . . . ma wspólny rozklad taki,
¸
że P (Yi = 1) = 1 - P (Yi = -1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciag Xn
¸
wzorami X0 = 1, Xn+1 = max(Xn, 1) + Yn. Wykaż, że ciag ten jest
¸
lańcuchem Markowa. Znajdz
rozklad stacjonarny o ile istnieje.
4. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym lańcuchu Markowa każdy
stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem 1.
5. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem
3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest praw-
dopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym
pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. jest piekarzem?
6. Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozkladu stacjonarnego dla lańcuchów
z przeliczaln¸ przestrzenia stanów bez używania twierdzenia Brouwera.
a ¸
10
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 22
1. Udowodnij, że dla laÅ„cuchów Markowa ze skoÅ„czon¸ przestrzenia stanów
a ¸
E i dowolnego niepustego podzbioru F ‚" E uklady równaÅ„
Å„Å‚
pF (x) = 1 dla x " F
òÅ‚
pF (x) = pxypF (y) dla x " F
/
y"E
ół
pF (x) = 0 jeśli "n"y"F pxy(n) = 0
Å„Å‚
mF (x) = 0 dla x " F
òÅ‚
mF (x) = 1 + pxymF (y) dla x " F
/
y"E
ół
mF (x) = " jeśli pF (x) < 1
maj¸ dokladnie jedno rozwiazanie
a ¸
2. Po wierzcholkach szeÅ›cianu porusza si¸ w sposób losowy mucha - w każdym
e
kroku z prawdopodobieÅ„stwem 1/3 przenosi si¸ do jednego z s¸
e asiednich
wierzcholków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu
wyjÅ›cia nie odwiedzaj¸ wczeÅ›niej przeciwleglego wierzcholka oraz Å›rednia
ac ¸
liczb¸ kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjÅ›cia
e
W zadaniach 3 6 W = (Wt)t"[0,") jest procesem Wienera
3. Udowodnij, że nast¸ ace procesy też s¸ procesami Wienera
epuj¸ a
a) Xt = -Wt (odbicie)
b) Yt = c-1/2Xct, c > 0 (przeskalowanie czasu)
c) Zt = tX1/t dla t > 0 oraz Z0 = 0 (inwersja czasu)
d) Ut = XT +t - XT , T e" 0
e) Vt = Xt dla t d" T , Vt = 2XT - X - t dla t > T , gdzie T e" 0.
4. Udowodnij, że Wt i Wt2-t s¸ martyngalami wzgl¸ filtracji Ft = Ã(Ws :
a edem
s d" t), t e" 0.
5. Udowodnij, że limt" Wt = 0 p.n.p.
t
6. Niech Ä„n = {t(n), t(n), . . . , t(n)}, gdzie a = t(n) < t(n) < . . . < t(n) = b
0 1 kn 0 1 kn
b¸ ciagiem podzialów odcinka [a, b] oraz Ä„n = maxk |t(n) - t(n) |
edzie ¸
k k-1
oznacza Å›rednic¸ Ä„n. Udowodnij, że
e
kn
Sn = |Wt - Wt |2 b - a, n " w L2(&!, F, P ),
(n) (n)
k k-1
k=1
jeśli Ąn 0 oraz Sn b - a p.n.p., jeśli Ąn < ".
n
7. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera maja nieskoń-
¸
czone wahanie na każdym przedziale.
11