1
Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
RzÄ…d macierzy
Definicja
" Podmacierzą macierzy A nazywamy dowolną macierz powstałą z macierzy A w wyniku
skreślenia pewnej ilości wierszy i (lub) kolumn. Wyznacznik z podmacierzy kwadratowej nazywamy
minorem.
" Rzędem macierzy nazywamy liczbę r , taką że istnieje minor stopnia r różny od zera, a
wszystkie minory stopnia r + 1 jakie istnieją w danej macierzy są równe zero.
Przyjmujemy dodatkowo, że rząd macierzy zerowej jest równy zero.
RzÄ…d macierzy A oznaczamy R( A ) .
Wniosek Jeżeli A jest macierzÄ… wymiaru m × n , to R( A ) jest liczbÄ… caÅ‚kowitÄ… takÄ…, że
0 R( A ) min { m, n } .
Przykład Znajdz
rzÄ…d macierzy A :
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 4
ïÅ‚ śł
A = 1 -1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
4 1 4
RozwiÄ…zanie Macierz A jest wymiaru 3 × 3 , stÄ…d 0 R( A ) 3 . Co wiÄ™cej, ponieważ
tylko macierz zerowa ma rzÄ…d 0, to 1 R( A ) 3 .
Sprawdzamy, czy R( A ) = 3 ?


2 3 4 2 3


det A = 1 -1 0 1 -1 = -8 + 0 + 4 + 16 - 0 - 12 = 0


4 1 4 4 1
Ponieważ wyznacznik stopnia 3 (jedyny istniejący w macierzy A ) jest równy 0, to R( A ) = 3 .

Sprawdzamy, czy R( A ) = 2 , a więc pytamy, czy potrafimy w macierzy A wskazać wyznacznik
(minor) stopnia 2 różny od 0. Odpowiedz
brzmi: tak, bo:


2 3

= -2 - 3 = -5 = 0

-1

1
Zatem R( A ) = 2 .
2
Własności rządu macierzy
" Transponowanie macierzy nie zmienia rzędu macierzy, tym samym wszystkie własności prawdziwe
dla wierszy są również prawdziwe dla kolumn.
" Skreślenie w macierzy wiersza samych zer nie zmienia jej rzędu.
" Jeżeli w macierzy istnieją dwa wiersze proporcjonalne (równe), to skreślenie jednego z nich nie
zmienia rzędu macierzy.
" Przestawienie dowolnych dwóch wierszy nie zmienia rzędu macierzy.
" Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera nie zmienia rzędu macierzy.
" Jeżeli do dowolnego wiersza macierzy dodamy inny wiersz pomnożony przez liczbę, to rząd
macierzy nie zmieni siÄ™.
Uwaga DowolnÄ… macierz niezerowÄ… A = [ aij ] wymiaru m×n można za pomocÄ… przeksztaÅ‚ceÅ„
niezmieniających rzędu macierzy sprowadzić do postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
c11 c12 c13 . . . c1r c1,r+1 . . . c1n
ïÅ‚
ïÅ‚ 0 c22 c23 . . . c2r c2,r+1 . . . c2n śł
śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 c33 . . . c3r c3,r+1 . . . c3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 . . . crr cr,r+1 . . . crn
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ûÅ‚
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
gdzie elementy cii są różne od zera dla każdego i = 1, 2, . . . , r . Rząd macierzy A jest wówczas
równy r .
Zauważmy przy tym, że
" jeżeli r = m , to wiersz r-ty jest ostatnim wierszem,
" jeżeli r = n , to kolumna r-ta jest ostatnią kolumną.
Przykład Wykorzystując własności rzędu macierzy i ostatnią uwagę znajdz
rzÄ…d macierzy A :
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1 -2
ïÅ‚ śł
1 2 3 -1 2
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 0 1 -3 -2
2 4 6 -2 4
3
Rozwiązanie Macierz A sprowadzimy do postaci wskazanej w powyższej uwadze:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1 -2 1 2 3 -1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 2 3 -1 2 2 1 1 1 -2
W1"!W2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
R(A) = R ïÅ‚ śł = R ïÅ‚ śł =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 0 1 -3 -2 3 0 1 -3 -2
2 4 6 -2 4 2 4 6 -2 4
W2 - 2W1
îÅ‚ Å‚Å‚
W3 - 3W1 îÅ‚ 1 2 3 -1 2 Å‚Å‚
1 2 3 -1 2
W4 - 2W1 ïÅ‚ 0 -3 -5 3 2 śł W3-2W2 ïÅ‚ 0 -3 -5 3 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= R ïÅ‚ śł = R ïÅ‚ śł =
ðÅ‚ -6 -8 0 4 0 0 2 -6 0
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 -1 2
ïÅ‚ śł
= R 0 -3 -5 3 2 = 3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 2 -6 0
bo:


1 2 3


0 -3 -5 = 1 · (-3) · 2 = -6 = 0



0 0 2
Komentarz: W1 "! W2 oznacza  zamieniamy miejscami wiersze 1 i 2 , W2 - 2W1 oznacza  do
wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez (-2) .