07 Rozdział III Kwaterniony jako macierze

Rozdział III Kwaterniony jako macierze
ż 1. Wprowadzenie, działanie dodawania
a b
�ł łł
W tej części pracy będziemy pisać , zamiast używać postaci
�ł śł
�łc d śł
�ł �ł
a b
�ł łł
macierzy , dla dowolnych a, b, c, d .
�ł śł
�łc d śł
�ł �ł
Definicja 14. [8]
ńł - t �ł
�ł�łz łł �ł
Niech M (C)=
�ł�ł śł : z,t "Cżł .
2
�ł�łt z śł �ł
�ł �ł
ół �ł
Przyjmujemy, że w zbiorze M (C) spełnione są równości:
2
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
(VII) = wtedy i tylko wtedy, gdy z = u , t = v ;
�ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
z
�ł - t u - v z + u - (t + v)
łł �ł łł �ł łł
(VIII) + = ;
�ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł �łt + v z + u śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
z
�ł - t u - v zu - tv - (zv + tu )
łł �ł łł �ł łł
(IX) =
�ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł �łzv + tu zu - tv śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
dla , " M (C).
�ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
[8]
Twierdzenie 68.
W zbiorze M2(C) działanie + jest przemienne.
http://chomikuj.pl/aligatorro 36
Dowód.
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
Wezmy , " M (C).
�ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
Na mocy twierdzenia 4
z
�ł - t u - v z + u - (t + v)
łł �ł łł �ł łł
+ = =
�ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł �łt + v z + u śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
u + z - (v + t) u - v z - t
�ł łł �ł łł �ł łł
= = + .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł v + t u + z śł �łv u śł �łt z śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
[8]
Twierdzenie 69.
W zbiorze M (C) działanie + jest łączne.
2
Dowód.
z
�ł - t u - v p - r
łł �ł łł �ł łł
Wezmy , , " M (C).
�ł śł �ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł �łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł z - t u - v �ł p - r z + u - (t + v) p - r
�ł łł �ł łł�ł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł
+ + = + =
�ł śł �ł śł�ł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł
�łt z śł �łv u śłłł �łr p śł �łt + v z + u śł �łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
(z + u)+ p - (t + v)- r z + (u + p) - (t + v + r)
�ł łł �ł łł
= = =
�ł śł �ł śł
�ł t + v + r z + u + p śł �ł t + v + r z + u + p śł
�ł �ł �ł �ł
z + (u + p) - t - (v + r) z - t u + p - (v + r)
�ł łł �ł łł �ł łł
= = + =
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł t + v + r z + u + p śł �łt z śł �ł v + r u + p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
z
�ł - t �ł u - v p - r �ł
łł �ł łł �ł łł
�ł �ł
= + + .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł
�łt z śł �łv u śł �łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł łł
http://chomikuj.pl/aligatorro 37
[8]
Twierdzenie 70.
0 0
�ł łł
Macierz postaci " M (C) jest elementem neutralnym dodawania
�ł śł
2
�ł0 0śł
�ł �ł
w zbiorze M (C) .
2
Dowód.
z
�ł - t 0 0 z + 0 - t + 0 z - t
łł �ł łł �ł łł �ł łł
+ = = .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł �ł0 0śł �łt + 0 z + 0 śł �łt z śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
[8]
Twierdzenie 71.
�ł- z t
łł
Macierz postaci " M (C) jest elementem przeciwnym do
�ł śł
2
�ł- t - zśł
�ł �ł
z
�ł - t
łł
macierzy w zbiorze M (C) .
�ł śł
2
�łt z śł
�ł �ł
Dowód.
z
�ł - t
łł �ł- z t z - z - t + t 0 0
łł �ł łł �ł łł
+ = = .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł �ł- t - zśł �ł t - t - z + zśł �ł0 0śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Definicja 15. [8]
�ł- z t
łł
Macierz " M (C) będziemy nazywać elementem
�ł śł
2
�ł- t - zśł
�ł �ł
z
�ł - t
łł
przeciwnym do macierzy " M (C) i będziemy oznaczać
�ł śł
2
�łt z śł
�ł �ł
z
�ł - t
łł
przez - �ł śł
.
�łt z śł
�ł �ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 38
Wniosek 72. [8]
Zbiór M2(C) z działaniem + jest grupą przemienną.
ż 2. Mnożenie
Twierdzenie 73.
Działanie mnożenia jest łączne w zbiorze M2(C) .
Dowód.
z
�ł - t u - v p - r
łł �ł łł �ł łł
Wezmy , , " M (C).
�ł śł �ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł �łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł z - t u - v �ł p - r zu - tv - (zv + tu) p - r
�ł łł�ł łł łł �ł łł�ł łł
�ł �ł�ł
= =
�ł śł�ł śł śł �ł śł�ł śł
�ł �ł�ł
�łt z śł�łv u śł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł łł�łr p śł �łzv + tu zu - tv śł�łr p śł
(zu
�ł - tv)p - (zv + tu )r - (zu - tv)r - (zv + tu)p
łł
= =
�ł śł
�ł(zu - tv)r + (zv + tu )p (zu - tv)p - (zv + tu)r śł
�ł �ł
zup
�ł - tvp - zvr - tur - zur + tvr - zvp - tup
łł
= ;
�ł śł
�łzur - tvr + zvp + tup zup - tvp - zvr - tur śł
�ł �ł
z
�ł - t �ł u - v p - r �ł z - t up - vr - (ur + vp)
łł�ł �ł łł�ł łł�ł �ł łł�ł łł
= =
�ł śł�ł �ł śł�ł śł�ł �ł śł�ł śł
�łt z śł�ł �łv u śł�łr p śłłł �łt z śł�łur + vp up - vr śł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł - vr)- t(ur + vp) - z(ur + vp)- t(up - vr)
łł
z(up
= �ł śł =
�łz + vp)+ t(up - vr) z(up - vr)- t(ur + vp) śł
(ur
�ł �ł
zup
�ł - zvr - tur - tvp - zur - zvp - tup + tvr
łł
.
�ł śł
�łzur + zvp + tup - tvr zup - zvr - tur - tvp śł
�ł �ł
Wobec przemienności mnożenia i dodawania liczb zespolonych
�ł z - t u - v �ł p - r z - t �ł u - v p - r �ł
�ł łł�ł łł�ł�ł łł �ł łł�ł �ł łł�ł łł�ł
�ł
= .
�ł śł�ł śł�ł�ł śł �ł śł�ł �ł śł�ł śł�ł
�ł
�łt z śł�łv u śłłł�łr p śł �łt z śł�ł �łv u śł�łr p śłłł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 39
[8]
Twierdzenie 74.
1 0
�ł łł
Macierz postaci " M (C) jest elementem neutralnym mnożenia.
�ł śł
2
�ł0 1śł
�ł �ł
Dowód.
z
�ł - t 1 0
łł �ł łł
Niech , " M (C) .
�ł śł �ł śł
2
�łt z śł �ł0 1śł
�ł �ł �ł �ł
z
�ł - t 1 0 z o1 - t o 0 z o 0 - t o1 z - t
łł�ł łł �ł łł �ł łł
= = ;
�ł śł�ł śł �ł śł �ł śł
�łt z śł�ł0 1śł �łt o1 + z o 0 t o 0 + z o1śł �łt z śł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 z
�ł łł�ł - t 1o z + 0 o t 1o (- t)+ 0 o z z - t
łł �ł łł �ł łł
= = .
�ł śł�ł śł �ł śł �ł śł
�ł0 1śł�łt z śł �ł0 o z + 1o t 0 o (- t)+ 1o zśł �łt z śł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Twierdzenie 75.
Elementem odwrotnym w sensie działania mnożenia do elementu
z t
�ł łł
2 2 2 2
�ł śł
z
�ł - t 0 0 z + t z + t
łł �ł łł
�ł śł
`" jest .
�ł śł �ł śł
�ł śł
- t z
�łt z śł �ł0 0śł
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
2 2 2 2
�ł śł
z + t z + t
�ł �ł
Dowód.
z t
�ł łł
2 2 2 2
�ł śł
z
�ł - t z + t z + t
łł
�ł śł
=
�ł śł
�ł śł
�łt z śł - t z
�ł �ł
�ł śł
2 2 2 2
�ł śł
z + t z + t
�ł �ł
2 2
�ł łł
z t
zt - zt
�ł + śł
2 2 2 2 2 2
1 0
�ł łł
�ł z + t z + t z + t śł
= = .
�ł śł
�ł śł
2 2
t z �ł0 1śł
�ł zt zt śł
�ł �ł
- +
�ł 2 2 2 2 2 2 2 2 śł
z + t z + t z + t z + t
�ł �ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 40
[8]
Twierdzenie 76.
Działanie mnożenia nie jest przemienne w zbiorze M2(C) .
Dowód.
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
Niech , " M (C) .
�ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
=
�ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
zu
�ł - tv - (zv + tu) uz - vt - ut - vz
łł �ł łł
= `" =
�ł śł �ł śł
�łzv + tu zu - tv śł �łvz + ut - vt + uzśł
�ł �ł �ł �ł
uz
�ł - vt - (ut - vz) u - v z - t
łł �ł łł�ł łł
= = .
�ł śł �ł śł�ł śł
�łvz + ut uz - vt śł �łv u śł�łt z śł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
Wniosek 77.
Zbiór M2(C) z mnożeniem jest grupą nieprzemienną.
[8]
Twierdzenie 78.
Działanie mnożenia jest rozdzielne względem dodawania w zbiorze
M2(C) .
Dowód.
z
�ł - t u - v p - r
łł �ł łł �ł łł
Wezmy , , " M (C).
�ł śł �ł śł �ł śł
2
�łt z śł �łv u śł �łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł z - t u - v �ł p - r z + u - (t + v) p - r
�ł łł �ł łł�ł�ł łł �ł łł�ł łł
�ł
+ = =
�ł śł �ł śł�ł�ł śł �ł śł�ł śł
�ł
�łt z śł �łv u śłłł�łr p śł �łt + v z + u śł�łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł
(z + u)p - (t + v) r - (z + u) r - (t + v)p
�ł łł
= =
�ł śł
�ł(t + v)p + (z + u) r - (t + v) r + (z + u)pśł
�ł �ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 41
zp + up - tr - vr - zr - ur - tp - vp
�ł łł
= ;
�ł śł
�łtp + vp + zr + ur - tr - vr + zp + upśł
�ł �ł
z
�ł - t p - r u - v p - r
łł�ł łł �ł łł�ł łł
+ =
�ł śł�ł śł �ł śł�ł śł
�łt z śł�łr p śł �łv u śł�łr p śł
�ł �ł�ł �ł �ł �ł�ł �ł
zp
�ł - tr - zr - tp up - vr - ur - vp
łł �ł łł
= + =
�ł śł �ł śł
�łtp + zr - tr + zpśł �łvp + ur - vr + upśł
�ł �ł �ł �ł
zp
�ł - tr + up - vr - zr - tp - ur - vp
łł
= =
�ł śł
�łtp + zr + vp + ur - tr + zp - vr + upśł
�ł �ł
zp + up - tr - vr - zr - ur - tp - vp
�ł łł
= .
�ł śł
�łtp + vp + zr + ur - tr - vr + zp + upśł
�ł �ł
Z powyższego wynika natychmiast, że
�ł z - t u - v �ł p - r z - t p - r u - v p - r
�ł łł �ł łł�ł�ł łł �ł łł�ł łł �ł łł�ł łł
�ł
+ = + .
�ł śł �ł śł�ł�ł śł �ł śł�ł śł �ł śł�ł śł
�ł
�łt z śł �łv u śłłł�łr p śł �łt z śł�łr p śł �łv u śł�łr p śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł
Wniosek 79.
�ł 0 0 1 0 �ł
�ł łł �ł łł
�ł
Układ �ł M (C), +, o, , jest ciałem nieprzemiennym.
�ł śł �ł śł
2
�ł �ł
�ł0 0śł �ł0 1śł
�ł �ł �ł �ł
�ł łł
ż 3. Definicja macierzy kwaternionu
z
�ł - t
łł
Niech q = (z,t)" H , " M (C) . Określmy odwzorowanie
�ł śł
2
�łt z śł
�ł �ł
z
�ł - t
łł
(X) f : H M (C) , f (q) = .
�ł śł
2
�łt z śł
�ł �ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 42
Definicja 16. [8]
z
�ł - t
łł
�ł śł
Wyrażenie postaci " M (C) będziemy nazywać macierzą
2
�łt z śł
�ł �ł
kwaternionu q = (z,t)" H .
Definicja 17. [8]
Ciało H kwaternionów i ciało macierzy kwaternionów M2(C) są
izomorficzne. Izomorfizmem jest odwzorowanie (X).
Dowód.
Niech q1 = (z,t), q2 = (u,v)" H .
z + u - (t + v)
�ł łł
f (q1 + q2)= f ((z,t) + (u,v))= f ((z + u,t + v))= =
�ł śł
�łt + v z + u śł
�ł �ł
z
�ł - t u - v
łł �ł łł
= + = f ((z,t))+ f ((u,v))= f (q1)+ f (q2);
�ł śł �ł śł
�łt z śł �łv u śł
�ł �ł �ł �ł
zu
�ł - tv - (zv + tu)
łł
f (q1q2)= f (zu - tv, zv + tu )= =
�ł śł
�łzv + tu zu - tv śł
�ł �ł
zu
�ł - tv - zv - tu z - t u - v
łł �ł łł�ł łł
= = = f (q1)f (q2);
�ł śł �ł śł�ł śł
�łzv + tu tv + zu śł �łt z śł�łv u śł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
1 0
�ł łł
f (1)= f ((1,0))= ;
�ł śł
�ł0 1śł
�ł �ł
0 0
�ł łł
f (0)= f ((0,0))= .
�ł śł
�ł0 0śł
�ł �ł
http://chomikuj.pl/aligatorro 43

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Meredith Pierce historia napisana przeze mnie Rozdział III
06 Rozdział II Kwaterniony
04 Rozdział III Od wojennego chaosu do papieża matematyka
Rozdział III
07 Rozdział 06
07 Rozdzial 5
4 Rozdział III
07 Historia III wer 3[1]
mat 07 2008 iii
07 Rozdzial 24 25
07 rozdział 07
05 Rozdział III Mnisi, czyli żywa świątynia Ducha Świętego
06 Rozdział III
M Sokół ABC języka HTML Rozdział III Znaczniki HTML formatujące tekst

więcej podobnych podstron