Rozdział II Kwaterniony
ż 1. Wprowadzenie
[6]
Definicja 7.
Niech H = C � C = {(z,t): z, t " C}.
Przyjmujemy, że w zbiorze H spełnione są równości:
(I) (z, t) = (u, v) wtedy i tylko wtedy, gdy z = u , t = v ;
(II) (z, t) + (u, v) = (z + u, t + v);
(III) (z, t)(u, v) = (zu - tv, zv + tu)
dla (z, t), (u, v) " H .
ż 2. Działanie dodawania
[6]
Twierdzenie 30.
Działanie + jest łączne: ((z,t) + (u,v)) + (p,r) = (z,t) + ((u,v) + (p,r))
dla każdego (z,t), (u,v), (p, r)" H .
Dowód.
((z, t) + (u, v)) + (p, r) = (z + u, t + v) + (p, r) = (z + u + p, t + v + r) =
= (z + (u + p), t + (v + r)) = (z, t) + (u + p, v + r) =
= (z, t) + ((u, v) + (p, r)).
[6]
Twierdzenie 31.
Para uporządkowana (0,0) liczb zespolonych jest elementem neutralnym
działania + (dodawania) w zbiorze H , (z,t)+ (0,0)= (0,0)+ (z,t)= (z,t)
dla każdego (z,t)" H .
http://chomikuj.pl/aligatorro 17
Dowód.
(z,t)+ (0,0)= (z + 0,t + 0)= (z,t).
[6]
Twierdzenie 32.
Elementem przeciwnym w sensie działania + , do elementu
(z,t)" H jest (- z,-t).
Dowód.
(z,t)+ (- z,-t)= (z + (- z),t + (- t))= (0,0).
[6]
Definicja 8.
Parę (- z,-t) będziemy nazywać elementem przeciwnym do elementu
(z,t) i będziemy oznaczać przez - (z,t).
[6]
Twierdzenie 33.
Działanie + jest przemienne: (z,t)+ (u,v)= (u,v)+ (z,t)
dla (z,t), (u,v)" H .
Dowód.
(z,t)+ (u,v)= (z + u,t + v)= (u + z,v + t)= (u,v)+ (z,t).
Wniosek 34. [3]
Zbiór H z działaniem + jest grupą przemienną.
http://chomikuj.pl/aligatorro 18
ż 3. Mnożenie
[6]
Twierdzenie 35.
Działanie mnożenia jest łączne, [(z, t)(u, v)](p, r) = (z, t)[(u, v)(p, r)] dla
(z,t), (u,v), (p,r)" H .
Dowód.
[(z, t)(u, v)](p, r) = (zu - tv, zv + tu )(p, r) =
= [(zu - tv)p - (zv + tu )r,(zu - tv)r + (zv + tu )p],
(z, t)[(u, v)(p, r)] = (z, t)(up - vr, ur + vp) =
= (z(up - vr) - t(ur + vp), z(ur + vp) + t(up - vr)),
a wobec tożsamości
(zu - tv)p - (zv + tu)r = z(up - vr) - t(ur + vp),
(zu - tv)r + (zv + tu )p = z(ur + vp)+ t(up - vr),
otrzymujemy [(z, t)(u, v)](p, r) = (z, t)[(u, v)(p, r)],
co kończy dowód twierdzenia.
[6]
Twierdzenie 36.
Element (1,0) jest elementem neutralnym (działania mnożenia) o , tzn.
(z, t)(1,0) = (1,0)(z, t) = (z, t) dla każdego (z,t)" H .
Dowód.
Mamy (z, t)(1,0) = (z o 1 - t o 0, z o 0 + t o 1) = (z, t)
oraz (1,0)(z, t) = (1 o z - 0 o t,1 o t + 0 o z) = (z, t).
Twierdzenie 37.
Elementem odwrotnym w sensie działania o do elementu (z,t), gdzie
z - t
�ł
(z,t)`" (0,0), jest �ł ,
�ł �ł.
zz + tt zz + tt
�ł łł
http://chomikuj.pl/aligatorro 19
Dowód.
- t
�ł
(z, t)�ł z , =
�ł �ł
zz + tt zz + tt
�ł łł
z - t - t z
�ł �ł
= z - t , z + t =
�ł �ł
zz + tt zz + tt zz + tt zz + tt
�ł łł
zz tt - zt zt
�ł �ł
= + , + =
�ł �ł
zz + tt zz + tt zz + tt zz + tt
�ł łł
zz + tt - zt + zt
�ł �ł
= , = (1,0).
�ł �ł
zz + tt zz + tt
�ł łł
[6]
Twierdzenie 38.
Działanie o nie jest przemienne, (z, t)(u, v) `" (u, v)(z, t)
dla (z,t)`" (u,v), (z,t), (u,v)" H .
Dowód.
L = (z, t)(u, v) = (zu - tv, zv + tu),
P = (u, v)(z, t) = (uz - vt, ut + vz),
L `" P.
Wniosek 39. [3]
Para (H \ {(0,0)},o) jest grupą nieprzemienną.
[6]
Twierdzenie 40.
Działanie o jest rozdzielne względem + ,
(z, t)[(u, v) + (p, r)] = (z, t)(u, v) + (z, t)(p, r),
[(u, v) + (p, r)](z, t) = (u, v)(z, t) + (p, r)(z, t)
dla (z,t), (u,v), (p,r)" H .
http://chomikuj.pl/aligatorro 20
Dowód.
(z, t)[(u, v) + (p, r)] = (z, t)(u + p, v + r) =
= (z(u + p) - t(v + r), z(v + r) + t(u + p)) =
= (zu + zp - tv - tr, zv + zr + tu + tp) =
= ((zu - tv) + (zp - tr), (zv + tu ) + (zr + tp)) =
= (zu - tv, zv + tu ) + (zp - tr, zr + tp) =
= (z, t)(u, v) + (z, t)(p, r)
oraz
[(u, v) + (p, r)](z, t) = (u + p, v + r)(z, t) =
= ((u + p)z - (v + r)t ,(u + p)t + (v + r)z) =
= (uz + pz - vt - rt , ut + pt + vz + rz) =
= ((uz - vt ) + (pz - rt ), (ut + vz) + (pt + rz)) =
= (uz - vt , ut + vz) + (pz - rt , pt + rz) =
= (u, v)(z, t) + (p, r)(z, t).
ż 4. Definicja kwaternionu
[6]
Definicja 9.
Kwaternionem nazywamy parę uporządkowaną postaci q = (z,t), gdzie
z , t są liczbami zespolonymi.
Uwaga. Kwaternion przedstawia się też w postaci q = z + tj .
Element j , podobnie jak i w liczbach zespolonych, nazywamy
2
jednostką urojoną, spełniającą warunki: j2 = -1; j = -1 ; (- j) = -1.
Powyższe trzy warunki dla j , zostaną udowodnione w Twierdzeniu 48.
http://chomikuj.pl/aligatorro 21
Wniosek 41. [3]
Układ (H, +, o, (0,0), (1,0)) jest ciałem, które nazywamy ciałem
kwaternionów. Jest to ciało nieprzemienne.
ż 5. Ciało liczb zespolonych jako podciało ciała
kwaternionów
[6]
Twierdzenie 42.
Dla dowolnych (z,0), (u,0)" H mamy (z,0)+ (u,0)= (z + u,0),
(z,0)(u,0) = (u,0)(z,0) = (zu,0).
Dowód.
(z,0)+ (u,0)= (z + u,0 + 0)= (z + u,0),
(z,0)(u,0) = (zu - 0 o 0, z o 0 + 0 o u) = (zu,0),
(u,0)(z,0) = (uz - 0 o 0, u o 0 + 0 o z) = (uz,0), ale mnożenie liczb
zespolonych jest przemienne, zgodnie z twierdzeniem 9,
więc (uz,0) = (zu,0).
Wniosek 43. [3]
~
Zbiór C = {(z,0): z "C} jest ciałem ze względu na działania
+ , o dziedziczone z H .
[3]
Twierdzenie 44.
~
Ciało C liczb zespolonych i ciało C są izomorficzne. Izomorfizmem
~
f : C C jest odwzorowanie określone wzorem f (z)= (z,0) dla z "C .
Dowód.
f (z + t)= (z + t,0)= (z,0)+ (t,0)= f (z)+ f (t),
f (zt) = (zt,0) = (z,0)(t,0) = f (z)f (t) dla dowolnych z , t "C .
http://chomikuj.pl/aligatorro 22
Ponadto
f (1)= (1,0),
f (0)= (0,0).
Uwaga. Odpowiadające sobie przy izomorfizmie elementy ciał
~
C i C będziemy identyfikować.
ż 6. Kiedy iloczyn dwóch kwaternionów jest równy zero?
Twierdzenie 45.
Iloczyn dwóch kwaternionów jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co
najmniej jeden z czynników jest zerem.
Dowód.
Udowodnimy twierdzenie bezpośrednio.
Niech (z,t)= (0,0), (u,v)`" (0,0),
(0,0)(u, v) = (0 o u - 0 o v,0 o v + 0 o u) = (0,0).
Niech teraz (u,v)= (0,0), (z,t)`" (0,0),
(z, t)(0,0) = (z o 0 - t o 0, z o 0 + t o 0) = (0,0).
Gdy natomiast (z,t)= (0,0), (u,v)= (0,0), to otrzymujemy
(0,0)o (0,0)= (0,0).
Wniosek 46. W iloczynie dwóch kwaternionów przynajmniej jeden
czynnik musi być równy (0,0), aby cały iloczyn był równy zero.
http://chomikuj.pl/aligatorro 23
ż 7. Oznaczenie jednostek urojonych,
zależności między nimi
Przyjmijmy teraz oznaczenia
(IV) (i,0)= i ,
(0,1)= j ,
(0,i)= k ,
gdzie i , j , k nie są liczbami zespolonymi, ale jednostkami urojonymi.
Zgodnie z (II) dla wszystkich liczb zespolonych z , t
(z,t)= (z,0)+ (0,t).
Na mocy (III) (0, t) = (t,0)(0,1).
Zgodnie z (IV) mamy (z,t)= z + tj
dla wszystkich liczb zespolonych z , t .
Jeśli teraz z = a + bi , t = c + di dla a, b, c, d " R , to
(V) (z, t) = a + bi + (c + di)j .
Na mocy prawa rozdzielności mnożenia kwaternionów względem
dodawania (twierdzenie 40) oraz łączności mnożenia (twierdzenie 35):
(z,t)= a + bi + cj + dij , ale wobec (IV)
ij = (i,0)(0,1) = (i o 0 - 0 o 1, i o 1 + 0 o 0) = (0, i).
Z (IV) otrzymujemy
(VI) ij = k .
http://chomikuj.pl/aligatorro 24
Powyższe uwagi możemy sformułować w postaci twierdzenia.
[6]
Twierdzenie 47.
Każdy kwaternion może być przedstawiony w postaci a + bi + cj + dk ,
gdzie a, b, c, d są liczbami rzeczywistymi, i, j, k to jednostki urojone.
Jak się okazuje każdy kwaternion jest wyznaczony przez cztery liczby
rzeczywiste (stąd jego nazwa).
[6]
Twierdzenie 48.
2
i2 = j2 = k = -1, jk = -kj = i , ki = -ik = j , ij = - ji = k ,
2 2 2
(- i) = (- j) = (- k) = -1.
Dowód.
Z twierdzenia 16 wynika, że i2 = (- i)2 = -1, udowodniono wcześniej,
że ij = k .
j2 = (0,1)(0,1) = (0 o 0 - 1 o 1,0 o 1 + 1 o 0) = (- 1,0) = -1;
(- j)2 = (0,-1)(0,-1) = (0 o 0 - (- 1) o (- 1),0 o (- 1) + (- 1) o 0) =
= (- 1,0) = -1.
k2 = (0, i)(0, i) = (0 o 0 - i o (- i),0 o i + i o 0) = (- 1,0) = -1;
(- k)2 = (0,-i)(0,-i) = (0 o 0 + i o i,0 o (- i) + (- i) o 0) = (- 1,0) = -1.
jk = (0,1)(0, i) = (0 o 0 - 1 o (- i),0 o i + 1 o 0) = (i,0) = i ;
- kj = -(0,i)(0,1)= -(0 o 0 - i o1,0 o1 + i o 0)= -(- i,0)= -(- i)= i .
ki = (0, i)(i,0) = (0 o i - i o 0,0 o 0 + i(- i)) = (0,1) = j ;
- ik = -(i,0)(0, i) = -(i o 0 - 0 o 0, ii + 0 o 0) = -(0,-1) = (0,1) = j .
- ji = -(0,1)(i,0) = -(0 o i - 1 o 0,0 o 0 + 1 o (- i)) = -(0,-i) = (0, i) = k .
http://chomikuj.pl/aligatorro 25
Z poznanych wcześniej własności i twierdzenia 48 wynika
[6]
Twierdzenie 49.
(a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) =
= (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i +
+ (ag - bh + ce + df )j + (ah + bg - cf + de)k
dla a, b, c, d, e, f , g, h"R .
[3]
Przykład 2.
Pokażemy, że jz = zj , kz = zk .
Istotnie korzystając z oznaczeń: j =(0,1), z =(z,0), mamy
z =(z,0), k =(0,i).
(0,1)(z,0) = (0 o z - 1 o 0,0 o 0 + 1 o z) = (0, z),
(z,0)(0,1) = (z o 0 - 0 o 1, z o 1 + 0 o 0) = (0, z),
jz = zj .
(0, i)(z,0) = (0 o z - i o 0,0 o 0 + iz) = (0, iz),
(z,0)(0, i) = (z o 0 - 0 o (- i), zi + 0 o 0) = (0, zi) = (0, iz),
kz = zk .
ż 8. Moduł kwaternionu, sprzężenie
Definicja 10. [6]
Modułem kwaternionu q =a +bi +cj + dk , nazywamy liczbę rzeczywistą
2
nieujemną a2 +b2 +c2 + d i oznaczamy ją przez a +bi +cj + dk .
[6]
Twierdzenie 50.
Dla dowolnych kwaternionów q1, q2 mamy q1q2 = q1 q2 .
http://chomikuj.pl/aligatorro 26
Dowód.
Niech q1 =a+bi+cj+dk , q2 =e+ fi + gj + hk .
q1q2 2 = (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk)2 =
= ae+afi+agj+ahk +bei-bf +bgij+bhik +
2
+cej+cfji-cg+chjk +dek +dfki+dgkj-dh =
= (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i +
2
+ (ag - bh + ce + df )j + (ah + bg - cf + de)k =
= (ae - bf - cg - dh)2 + (af + be + ch - dg)2 +
+ (ag - bh + ce + df )2 + (ah + bg - cf + de)2 =
2 2
=[(ae-bf )-(cg +dh)] +[(af +be)+(ch-dg)] +
2 2
+[(ag -bh)+(ce+df )] +[(ah+bg)-(cf -de)] =
= (ae - bf )2 - 2(ae - bf )(cg + dh) + (cg + dh)2 +
+ (af + be)2 + 2(af + be)(ch - dg) + (ch - dg)2 +
+ (ag - bh)2 + 2(ag - bh)(ce + df ) + (ce + df )2 +
+ (ah + bg)2 - 2(ah + bg)(cf - de) + (cf - de)2 =
2 2 2
=a2e2 -2aebf +b2 f -2aecg-2aedh+2bfcg+2bfdh+c2g +2cgdh+d h2 +
2 2 2
+a2 f +2afbe+b2e2 +2afch-2afdg+2bech-2bedg+c2h2 -2chdg+d g +
2 2 2
+a2g -2agbh+b2h2+2agce+2agdf -2bhce-2bhdf +c2e2+2cedf +d f +
2 2 2
+a2h2 +2ahbg+b2g -2ahcf +2ahde-2bgcf +2bgde+c2 f -2cfde+d e2=
2 2 2
= a2e2 + b2 f + c2g2 + d h2 + a2 f + b2e2 +
2 2 2
+ c2h2 + d g2 + a2g2 + b2h2 + c2e2 + d f +
2 2 2
+ a2h2 + b2g + c2 f + d e2 + (- 2aebf + 2afbe) +
+ (- 2aecg + 2agce) + (- 2aedh + 2ahde) +
+(2bfcg-2bgcf )+(2bfdh-2bhdf )+(2cgdh-2chdg)+
+(2afch-2ahcf )+(-2afdg+2agdf )+(2bech-2bhce)+
+ (- 2bedg + 2bgde)+ (- 2agbh + 2ahbg)+ (2cedf - 2cfde)=
http://chomikuj.pl/aligatorro 27
2 2 2 2
= a2(e2 + f + g + h2)+ b2(f + e2 + h2 + g )+
2 2 2
( ) ( )
+ c2 g2 + h2 + e2 + f + d h2 + g2 + f + e2 =
2 2 2
=(a2 + b2 + c2 + d ) (e2 + f + g + h2)=
2 2
= a + bi + cj + dk e + fi + gj + hk = q1 2 q2 2
Jeżeli q1q2 2 = q1 2 q2 2 , to q1q2 = q1 q2 .
Z powyższego wynika natychmiast
Wniosek 51. [6]
Dla dowolnych kwaternionów q1,..., qn , q1 o ... o qn = q1 o ... o qn .
Definicja 11. [6]
Niech q=a+bi+cj+dk . Kwaternion q=a-bi-cj-dk nazywamy
sprzężonym do q .
[3]
Twierdzenie 52.
q = q .
Dowód.
q = a - bi - cj - dk = a + (- b)i + (- c)j + (- d )k =
2
= a2 + b2 + c2 + d = q .
[3]
Twierdzenie 53.
(q)=q .
Dowód.
(q)=(a-bi-cj-dk)=a-(-b)i-(-c)j-(-d)k=a+bi+cj+dk=q .
http://chomikuj.pl/aligatorro 28
[6]
Twierdzenie 54.
Dla dowolnych kwaternionów q1, q2 mamy q1 + q2 e" q1 + q2 .
Dowód.
q1 = (q1 + q2)- q2 e" q1 + q2 - q2 ,
q1 + q2 e" q1 + q2 .
q2 = - q1 + (q1 + q2) e" - q1 + q1 + q2 ,
q2 + q1 e" q1 + q2 ,
q1 + q2 e" q1 + q2 .
[6]
Twierdzenie 55.
Dla dowolnych kwaternionów q1, q2 mamy q1 - q2 d" q1 + q2 .
Dowód.
q1 = (q1 + q2)- q2 d" q1 + q2 - q2 ,
q1 + q2 - q2 d" q1 + q2 + q2 ,
q1 - q2 d" q1+q2 .
q2 = (q1 - q2)- q1 d" q1 - q2 - q1 ,
q1 - q2 - q1 d" q1 + q2 + q1 ,
q2 - q1 d" q1+q2 ,
-(q1 - q2 )d" q1+q2 .
q1 - q2 d" q1+q2 .
[6]
Twierdzenie 56.
Dla dowolnych kwaternionów q1, q2 mamy
1. (q1 + q2)= q1 + q2 .
2. (q1 - q2)= q1 - q2 .
http://chomikuj.pl/aligatorro 29
3. (q1q2) = q2q1.
Dowód.
Niech q1 = a + bi + cj + dk , q2 = e + fi + gj + hk
dla a,b,c,d,e, f , g,h" R
1.
q1 + q2 = (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) =
= (a + e) + (b + f )i + (c + g)j + (d + h)k =
= (a + e) - (b + f )i - (c + g)j - (d + h)k =
= (a - bi - cj - dk) + (e - fi - gj - hk) = q1 + q2 .
2.
q1 - q2 = (a + bi + cj + dk) - (e + fi + gj + hk) =
= (a - e) + (b - f )i + (c - g)j + (d - h)k =
= (a - e) - (b - f )i - (c - g)j - (d - h)k =
= (a - bi - cj - dk) + (- e + fi + gj + hk) =
= (a - bi - cj - dk) - (e - fi - gj - hk) = q1 - q2 .
3. L = q1q2 = (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) =
= (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i +
+ (ag - bh + ce + df )j + (ah + bg - cf + de)k =
= (ae - bf - cg - dh) - (af + be + ch - dg)i +
- (ag - bh + ce + df )j - (ah + bg - cf + de)k .
P = q2q1 = (e + fi + gj + hk)(a + bi + cj + dk) =
= (e - fi - gj - hk)(a - bi - cj - dk) =
= (ea - fb - gc - hd ) + (- eb - fa + gd - hc)i +
+ (- ec - fd - ga + hb)j + (- ed + fc - bg - ha)k =
= (ae - bf - cg - dh) - (af + be + ch - dg)i +
- (ag - bh + ce + df )j - (ah + bg - cf + de)k .
L = P. Twierdzenie zostało udowodnione.
http://chomikuj.pl/aligatorro 30
ż 9. Zależności między modułem, sprzężeniem
i kwaternionem odwrotnym
Uwaga. Element q-1 będziemy nazywać kwaternionem odwrotnym
do q " H w sensie działania o . Oczywiście zgodnie z twierdzeniem 37
z - t
�ł �ł
q-1 = , .
�ł �ł
zz + tt zz + tt
�ł łł
[3]
Twierdzenie 57.
2
Dla każdego q"H , qq = q .
Dowód.
Niech z = (a, b), t = (c, d) dla z, t " C . Zauważmy, że
2 2 2
2
q = a2 + b2 + c2 + d = z + t . Niech teraz q = (z, t), q = (z,-t).
qq = (z, t)(z,-t) = (zz + tt ,-zt + tz) =
= (zz + tt ,0)= (zz,0)+ (tt ,0)=
2 2 2 2 2
2
( ) ( )
= z ,0 + t ,0 = z + t = a2 + b2 + c2 + d = q .
[3]
Twierdzenie 58.
1 1
Jeżeli kwaternion q `" 0, to mamy q q = qq = (1,0).
2 2
q q
Dowód.
2 2 2
( )
Niech q = (z, t), q = (z,-t), q = z + t ,0 . Zauważmy, że
�ł 2 2 �ł
�ł �ł
z + t
1 �ł �ł 1
�ł
= ,0�ł = ,0�ł , co jest zgodnie z twierdzeniem 37
�ł
2 2 2 2
�ł �ł
2 2
�ł �ł
q z + t
(z + t ) �ł łł
�ł łł
i twierdzeniem 57.
http://chomikuj.pl/aligatorro 31
Skorzystajmy teraz z prawa łączności mnożenia kwaternionów.
�ł �ł
1
q q = (z, t)�ł 1 ,0�ł(z,-t) =
2 2 2
�ł �ł
q z + t
�ł łł
�ł �ł
z t
�ł �ł
= - 0,0 + (z,-t)=
2 2 2 2
�ł �ł
z + t z + t
�ł łł
2 2
�ł �ł �ł �ł
z + t
zz tt - zt tz
�ł �ł �ł
= + , + = ,0�ł = (1,0).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł
z + t z + t z + t z + t z + t
�ł łł �ł łł
�ł �ł
1 1 1
�ł �ł
qq = (qq) = ((z,-t)(z, t)) =
2 2 2 2
�ł �ł
q q z + t
�ł łł
�ł �ł
1
�ł
= ,0�ł(zz + tt, zt - tz) =
2 2
�ł �ł
z + t
�ł łł
2 2
�ł �ł �ł �ł
z + t
1
2 2
�ł �ł
)
= ,0�ł(z + t ,0 = ,0�ł = (1,0).
2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł
z + t z + t
�ł łł �ł łł
[3]
Wniosek 59.
Każdy kwaternion q`"0 ma element odwrotny zdefiniowany wzorem
1
q-1 = q .
2
q
Dowód.
�ł �ł
z - t z - t
�ł
�ł
Niech q-1 = , ,�ł = , ,�ł,
�ł �ł
2 2 2 2
�ł �ł
zz + tt zz + tt
�ł łł
z + t z + t
�ł łł
�ł �ł �ł �ł
1 1 z - t
�ł �ł
q = ,0�ł(z,-t) = + 0, + 0�ł = q-1.
2 2 2 2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł
q z + t z + t z + t
�ł łł �ł łł
http://chomikuj.pl/aligatorro 32
ż 10. Dzielenie prawo- i lewostronne kwaternionów
i ich związek z modułem
Definicja 12.
Dzieleniem prawostronnym q1, q2 " H , q2 `" 0 nazywamy wyrażenie
�ł �ł
q1
�ł �ł ( )-1
postaci �ł �ł = q1 q2 .
q2
�ł łłP
Definicja 13.
Dzieleniem lewostronnym q1, q2 " H , q2 `" 0
�ł �ł
q1
�ł �ł ( )-1
nazywamy wyrażenie postaci �ł �ł = q2 q1.
q2
�ł łłL
Wniosek 60.
Dzielenie prawostronne kwaternionów jest różne od dzielenia
lewostronnego.
Dowód.
Wiemy, że mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.
Niech q3 = (q2)-1. Wówczas q1(q2)-1 = q1q3 `" q3q1 = (q2)-1q1.
Twierdzenie 61.
Dla dowolnych kwaternionów q1, q2 , gdzie q2 `" 0 oraz dla dzielenia
q1
�ł �ł
q1 �ł �ł
prawostronnego kwaternionów, mamy �ł �ł =�ł �ł .
�ł �ł
q2 �ł łłP
�ł łłP �ł q2 �ł
Dowód.
�ł �ł
q1
( )-1
q1 = �ł �ł q2 = q1 q2 q2,
�ł �ł
q2
�ł łłP
http://chomikuj.pl/aligatorro 33
( q2 = q1(q2)-1 q2 ,
q1 = q1(q2)-1)
q1 q2 -1 = q1(q2)-1 q2 q2 -1,
q1
�ł �ł
q1 �ł �ł
q1 q2 -1 = q1(q2)-1 . Stąd �ł �ł =�ł �ł .
�ł �ł
q2 �ł łłP
�ł łłP �ł q2 �ł
-1
Uwaga q = q-1 .
Twierdzenie 62.
Dla dowolnych kwaternionów q1,q2 , gdzie q2 `"0 oraz dla dzielenia
q1
�ł �ł
q1 �ł �ł
lewostronnego kwaternionów, mamy �ł �ł =�ł �ł .
�ł �ł
q2 �ł łłL
�ł łłL �ł q2 �ł
Dowód.
�ł �ł
q1
�ł �ł ( )-1
q1 = q2�ł �ł = q2 q2 q1,
q2
�ł łłL
)
q1 = q2 ((q2)-1q1 = q2 (q2)-1q1 ,
q2 -1 q1 = q2 -1 q2 (q2)-1q1 ,
�ł �ł
�ł �ł q1
q1
�ł �ł
q2 -1 q1 = (q2)-1q1 . Stąd �ł �ł = .
�ł �ł
q2
�ł łłL �ł q2 �ł
�ł łłL
Twierdzenie 63.
Dla dowolnego kwaternionu q i liczby zespolonej u mamy qu `" uq .
Dowód.
Niech q = (z, t), u = (u,0).
qu = (zu - t o 0, z o 0 + tu) = (zu, tu).
http://chomikuj.pl/aligatorro 34
uq = (uz - 0 o t, ut + 0 o z) = (uz, ut) = (zu, tu).
qu `" uq .
Wniosek 64.
Dla dowolnego kwaternionu q i liczby rzeczywistej h mamy qh = hq .
Dowód.
Niech h " R , q = z + tj .
qh = (z + tj)h = zh + tjh = hz + htj = h(z + tj) = hq .
Twierdzenie 65.
Dla dowolnych q1,q2"H mamy q1q2 = q2q1 .
Dowód.
q1q2 = q1q2 = q2q1 = q2 q1 = q2 q1 = q2q1 .
Wniosek 66.
Dla dwóch dowolnych kwaternionów mamy q1 q2 = q2 q1 .
Dowód.
q1 q2 = q1 q2 = q1q2 = q2q1 = q2q1 = q2 q1 .
Wniosek 67.
Dla dowolnych kwaternionów q1,q2, gdzie q2 `"0 mamy
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł q1 q1 �ł �ł
q1 q1
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł = = = �ł �ł .
�ł �ł �ł �ł
q2
�ł łłP �ł q2 �ł �ł q2 �ł �ł łłL
�ł łłP �ł łłL q2
Dowód.
�ł �ł �ł �ł
q1 q1
Z wniosku 66 otrzymujemy �ł �ł = q1 q2 -1 = q2 -1 q1 = �ł �ł .
�ł �ł �ł �ł
q2 q2
�ł łłP �ł łłL
http://chomikuj.pl/aligatorro 35