Zakres zagadnień
Algebra
Macierze
1 Wpływ algebry na sztukę filmową
Adam Dąbrowski
2 Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Politechnika Poznańska
3 Działania na macierzach
Wydział Informatyki i Zarządzania
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
4 Macierz odwrotna
31 stycznia 2009
5 Macierz ortogonalna i macierz unitarna
6 Macierze blokowe
7 Podsumowanie
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 1 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 2 / 44
Wpływ algebry na sztukę filmową Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Matrix
Definicja macierzy
 Matrix (macierz, matryca)  tytuł amerykańskiego filmu science fictiona.
Macierzą (dokładniej  macierzą dwuwskaz
nikową) nazywamy funkcję
Pierwszy z trylogii filmowej o tym samym tytule. Scenariusz i reżyseria
dwóch zmiennych, która każdej parze liczb naturalnych (k, l),
braci Larry ego i Andy ego Wachowskich. Treść filmu zawiera ukryte
k = 1, 2, . . . , m, l = 1, 2, . . . , n przyporządkowuje jeden element oznaczany
przesłania i aluzje, ukazujące topos życia i snub.
np. akl, którego wartość (przy określonych parametrach) jest liczbą
a
Data premiery: 31 marca 1999. (rzeczywistą lub zespoloną), wektorem, a nawet operatorem.
b
Topos  powtarzający się motyw, który często występuje w sztuce np. w literaturze
Macierz zapisuje się za pomocą tablicy
określonego kregu kulturowego, czy cywilizacyjnego. Wskazuje na związki kultury z
Ą# ń#
naturą i pierwotnymi wzorcami myśli człowieka.
a11 a12 � � � a1n
ó#
a21 a22 � � � a2n Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
Informacje uzupełniające A =
.
ó# Ą#
.
.
Ł# Ś#
Kontynuacją filmu  Matrix są dwa dalsze filmy:  Matrix-Reaktywacja i
am1 am2 � � � amn
 Matrix-Rewolucje . Odniosły one sukces kasowy, ale  zgodnie z
opiniami wielu osób  nie dorównują artyzmem części pierwszej.
lub krócej A =[akl]. Element akl znajduje sie w k-tym wierszu i w l-tej
Świat pokazany w tych filmach jest mieszaniną rzeczywistości i złudzeń
kolumnie macierzy A.
(tj. sztucznej rzeczywistości kreowanej przez komputery).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 3 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 4 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Wymiar macierzy
Wyznacznik macierzy
Wymiarem macierzy A =[akl], k = 1, 2, . . . , m, l = 1, 2, . . . , n nazywamy
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =[akl], k, l = 1, 2, . . . , m,
parę uporządkowaną oznaczoną przez m � n, złożoną z liczby wierszy m i z
oznaczanym jako
liczby kolumn n. Macierz nazywamy kwadratową stopnia m, jeśli m = n.

Jeśli nie czyni się tego założenia, to w celu podkreślenia rozpatrywania
a11 a12 � � � a1m


ogólnego przypadku używa się określenia macierz prostokątna.
a21 a22 � � � a2m


det A = |A| =
.

.
.

Rząd macierzy


am1 am2 � � � amm
Pojęć wymiar i stopień macierzy nie należy mylić z pojęciem rząd
macierzy. Rzędem macierzy, oznaczanym rank A, nazywa się maksymalną m

nazywa się wartość wyrażenia det A = (-1)s(p) ak,p(k)
liczbę jej liniowo niezależnych kolumn (lub równoważnie  wierszy).
p
k=1
przy czym p oznacza dowolną m-elementową permutację, a s(p) jest
Zbiór liniowo niezależnych wektorów
funkcją parzystości równą 0 dla permutacji parzystych i 1 dla permutacji
Wektory al, l = 1, 2, . . . , n nazywa się liniowo niezależnymi, jeżeli z
nieparzystych.
n
równości ą�
a� = 0 wynika, że ą1 ą2 ąn
= = . . . = = 0.
�=1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 5 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 6 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Macierz osobliwa
Macierz diagonalna i jednostkowa
Macierz kwadratową nazywamy osobliwą, jeżeli jej wyznacznik jest równy
Macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną
zeru. W przeciwnym przypadku macierz kwadratowa jest nazywana
przekątną są zerami
nieosobliwą.
Ą# ń#
a11 0 � � � 0
ó# Ą#
0 a22 � � � 0
Główna przekątna macierzy ó# Ą#
ó# Ą#
A =
.
ó# Ą#
.
Wektor złożony z elementów akk macierzy kwadratowej A =[akl], .
Ł# Ś#
k, l = 1, 2, . . . , m, nazywamy główną przekątną tej macierzy.
0 0 � � � amm
nazywa się macierzą diagonalną i zapisuje również w postaci
Ślad macierzy
Sumę elementów głównej przekątnej macierzy A nazywamy śladem
A = diag [a11, a22, . . . , amm] .
macierzy i oznaczamy tr A, czyli
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna,
m

której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe akk = a. Jeśli
tr A = akk .
a = 1, to macierz nazywa się macierzą jednostkową (stopnia m).
k=1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 7 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 8 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Leopold Kronecker
Macierz jednostkowa
Korzystając z symbolu Kroneckera

1 dla k = l
�kl =
0 dla k = l

macierz jednostkową
Ą# ń#
1 0 � � � 0
ó# Ą#
0 1 � � � 0
ó# Ą#
ó# Ą#
1m =
.
ó# Ą#
.
.
Ł# Ś#
Leopold Kronecker urodził się 7. grudnia 1823 r. w Legnicy w rodzinie
0 0 � � � 1
żydowskiej, zmarł 29. grudnia 1891 r. w Berlinie. Od 1883 r. był członkiem
Akademii Nauk w Berlinie i profesorem Uniwersytetu Humboldta.
można zapisać w postaci
Zajmował się algebrą, teorią liczb i teorią funkcji. Propagował
 arytmetyzację matematyki , tj. wyprowadzenie tej nauki od arytmetyki
1m =[�kl]m�m .
liczb całkowitych.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 9 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 10 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Leopold Kronecker
Macierz zerowa
Macierz, której wszystkie elementy są równe zeru nazywamy macierzą
zerową
�#
Ą# ń#
0 0 � � � 0 �#
�#
ó# Ą#�#
�#
0 0 � � � 0
ó# Ą#Ź#
ó# Ą#
0mn = m wierszy
.
ó# Ą#�#
.
.
Ł# Ś#�#
Talent matematyczny Leopolda Kroneckera odkrył już w gimnazjum
�#
�#
�#
0 0 � � � 0
Eduard Kummer. Od 1841 r. Kronecker studiował matematykę, chemię,

astronomię i meteorologię na uniwersytecie w Berlinie. W 1843 r. podjął
n kolumn
pracę u boku Kummera na Uniwersytecie we Wrocławiu, gdzie pracował
nad teorią liczb. Następnie wrócił do Legnicy, by zająć się prowadzeniem
rodzinnych interesów. Firma, którą przejął po rodzinie matki, przyniosła
takie dochody, że wkrótce mógł przenieść się z rodziną do Berlina i
ponownie poświęcić się pracy naukowej.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 11 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 12 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Macierz symetryczna Macierz hermitowska
Macierz kwadratową, której elementy spełniają warunek
Macierz kwadratową, której elementy spełniają warunek
"
akl = alk, k, l = 1, 2, . . . , m
akl = alk, k, l = 1, 2, . . . , m
"
nazywa się macierzą hermitowską lub macierzą Hermite a. Znak oznacza
nazywa się macierzą symetryczną.
sprzężenie liczb zespolonych.
Przykład
Przykład
Macierze: jednostkowa, skalarna, diagonalna, zerowa kwadratowa są
Przykładem macierzy hermitowskiej jest macierz
szczególnymi przypadkami macierzy symetrycznych.
Ą# ń#
4 2 - j 3j
ó# Ą#
Macierz antysymetryczna Ł# 2 + j 2 -5 .
Ś#
-3j -5 1
Macierz kwadratową, której elementy spełniają warunek
Uwaga
akl = -alk, k, l = 1, 2, . . . , m
Część rzeczywista macierzy hermitowskiej jest symetryczna, a część
nazywa się macierzą antysymetryczną lub skośniesymetryczną. urojona jest antysymetryczna.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 13 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 14 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy
Charles Hermite
Charles Hermite
Charles Hermite, matematyk francuski, urodził się 24. grudnia 1822 r., a
Charles Hermite pracował także nad teorią funkcji i zastosowaniem funkcji
zmarł 14. stycznia 1901 r.
eliptycznych do rozwiazywania równań algebraicznych piątego stopnia, o
Zajmował się teorią liczb, algebrą i analizą matematyczną. W 1873 r. jako
których wiadomo, dzięki pracom Abela i Galois, że nie można ich
pierwszy dowiódł, że liczba e jest przestępna (transcendentalna).
rozwiązywać tak, jak równania niższych stopni (pierwszego, drugiego,
Liczba przestępna (być może zespolona), to liczba, która nie jest zerem
trzeciego i czwartego) za pomocą skończonej liczby dodawań
wielomianu o współczynnikach całkowitych, tzn. nie jest liczbą
(odejmowań), mnożeń (dzieleń) i pierwiastkowań.
algebraiczną żadnego stopnia. Każda liczba przestępna jest niewymierna,
gdyż z definicji liczby wymierne są algebraiczne pierwszego stopnia.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 15 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 16 / 44
Podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy Własności macierzy trójkątnych
Pytanie i odpowiedz
!
Czy kwadratowy obiekt matematyczny może jednocześnie być
trójkątny?
Twierdzenie
Tak  macierz!!!
Niech A będzie macierzą trójkątną (górną lub dolną) stopnia m. Macierz
A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy jej głównej
Macierze trójkątne
przekątnej są różne od zera, tj. gdy akk = 0, k = 1, 2, . . . , m.

Macierz kwadratową nazywamy górnotrójkatną (dolnotrójkątną), jeśli
Ponadto jej wyznacznik jest równy
wszystkie elementy poniżej (powyżej) jej głównej przekątnej są równe zeru.
m

Macierz górnotrójkatna (dolnotrójkątna) stopnia m ma postać
det A = akk .
Ą# ń# Ą# ń#
k=1
a11 a12 � � � a1m a11 0 � � � 0
ó# Ą#
0 a22 � � � a2m Ą# ó# a21 a22 � � � 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
, .
. .
ó# Ą# ó# Ą#
. .
. .
Ł# Ś# Ł# Ś#
0 0 � � � amm am1 am2 � � � amm
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 17 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 18 / 44
Działania na macierzach Dodawanie macierzy
Relacja równości macierzy
Dwie macierze A =[akl] i B =[bkl] nazywamy równymi, jeśli mają te
same wymiary (np. m � n) a ich odpowiednie elementy są równe
Własności dodawania macierzy
akl = bkl , k = 1, 2, . . . , m , l = 1, 2, . . . , n . przemienność
A + B = B + A
Relacja równości macierzy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
łączność
A +(B + C) =(A + B) +C
Suma (różnica) macierzy
neutralność macierzy zerowej
Dwie macierze A =[akl] i B =[bkl] o tych samych wymiarach można
dodać (odjąć), a macierz C =[ckl], która jest ich sumą (różnicą)
A + 0 = 0 + A = A
C = A ą B
ma elementy równe
ckl = akl ą bkl .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 19 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 20 / 44
Właściwości mnożenia macierzy przez skalar
Działania na macierzach Działania na macierzach
przemienność
ąA = Aą
Mnożenie macierzy przez skalar
łączność
Iloczynem macierzy A =[akl] przez skalar ą jest macierz B =[bkl] o tym ą(�A) =(ą�)A
samym wymiarze i o elementach, które są iloczynami odpowiednich
rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania skalarów
elementów macierzy A przez skalar ą, tj. macierz
(ą + �)A = ąA + �A
B = ąA = Aą
rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania macierzy
ma elementy równe
bkl = ąakl = aklą.
ą(A + B) =ąA + ąB
Obserwacja neutralność jedynki
1 � A = A
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n, wówczas
wyzerowanie macierzy przez pomnożenie przez zero
det(ąA) =ąn det A .
0 � A = 0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 21 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 22 / 44
Działania na macierzach Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy
Przykład
Dwie macierze można przez siebie pomnożyć, jeśli pierwsza ma tyle
Parę macierzy kwadratowych A, B spełniających warunek
kolumn ile druga wierszy. Neich A =[akl] będzie macierzą o wymiarze
m � n, a B =[bli ]  macierzą o wymiarze n � p, wówczas iloczyn tych
AB = BA
macierzy C = AB jest macierzą o wymiarze m � p i o elementach
nazywamy przemienną parą macierzy.
n

Na przykład para macierzy
cki = aklbli .

l=1
1 2 -3 2
A = , B =
-2 0 -2 -4
Uwaga
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, choć np. mnożenie
jest przemienna, gdyż
macierzy kwadratowej przez element neutralny, którym jest macierz

jednostkowa, jest przemienne -7 -6
AB = BA = .
6 -4
1A = A1 = A .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 23 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 24 / 44
Iloczyn macierzy Działania na macierzach
Interpretacja iloczynu macierzy
Właściwości mnożenia macierzy
Oznaczmy wiersze macierzy A przez a i kolumny macierzy B przez bi
k
łączność
Ą# ń#
a
A(BC) =(AB)C
1
ó# Ą#

a
ó# Ą#
2
ó# Ą#
ą(BC) =(ąB)C
A = , B = b1 b2 . . . bp .
.
ó# Ą#
.
Ł# . Ś#
rozdzielność mnożenia względem dodawania
a
m
(A + B)C = AC + BC
Wówczas iloczyn tych macierzy możemy zapisać za pomocą iloczynów
skalarnych wszystkich par a bi powyższych wektorów
k
A(B + C) =AB + AC
Ą# ń#
a b1 a b2 � � � a bp
1 1 1 wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych
ó#
a b1 a b2 � � � a bp Ą#
ó# Ą#
2 2 2
ó# Ą#
AB = .
.
ó# Ą#
det(AB) =det(BA) =det A det B
.
.
Ł# Ś#
a b1 a b2 � � � a bp
m m m
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 25 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 26 / 44
Działania na macierzach Działania na macierzach
Właściwości transpozycji macierzy
dwukrotna transpozycja jest operacją tożsamościową
Transpozycja macierzy
Macierzą transponowaną A (lub At) macierzy A =[akl] o wymiarze m � n
(A ) = A
nazywamy macierz, której kolejne wiersze są kolejnymi kolumnami (tym
transpozycja sumy macierzy jest równa sumie macierzy
samym kolejne kolumny  kolejnymi wierszami) macierzy A, tzn.
transponowanych
Ą# ń# Ą# ń#
a11 a12 � � � a1n a11 a21 � � � am1
(A + B) = A + B
ó# ó#
a21 a22 � � � a2n Ą# a12 a22 � � � am2 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# transpozycja iloczynu skalaru przez macierz jest równa iloczynowi
A = , A = At =
. .
ó# Ą# ó# Ą#
. .
. .
Ł# Ś# Ł# Ś#
tego skalaru przez macierz transponowaną
am1 am2 � � � amn a1n a2n � � � amn
(ąA) = ąA
Wniosek
transpozycja iloczynu macierzy jest równa iloczynowi macierzy
Macierz transponowana A =[alk] ma wymiar n � m.
transponowanych pomnożonych w odwrotnej kolejności
(AB) = B A
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 27 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 28 / 44
Działania na macierzach Działania na macierzach
Macierz sprzężona
Macierzą sprzężoną A" do macierzy A =[akl] o wymiarze m � n
Właściwości macierzy transponowanej
nazywamy macierz, której elementy są sprzężone względem elementów akl
"
Transpozycja nie zmienia stopnia macierzy kwadratowej A" =[akl]" =[akl] .
Transpozycja nie zmienia rzędu macierzy
Macierz transsprzężona
rank A = rank A
Macierzą transsprzężoną A" do macierzy A =[akl] o wymiarze m � n
nazywamy macierz sprzężoną i transponowaną
Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika macierzy kwadratowej
"
A" =([akl]") = [akl] =[alk]" .
det A = det A
Operację transsprzężenia nazywa się sprzężeniem hermitowskim.
Jeśli macierz A jest symetryczna, to A = A
Wniosek
Macierz transsprzężona A" ma wymiar n � m.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 29 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 30 / 44
Działania na macierzach Macierze transponowane i transsprzężone
Przykład
Poniżej przedstawiono macierz U i jej macierz transsprzężoną U"
Właściwości sprzężenia i transsprzężenia macierzy
Ą# ń# Ą# ń#
1 1 1 j
" " " "
(A + B)" = A" + B" oraz (A + B)" = A" + B" 0 0
2 2 2 2
ó# Ą# ó# Ą#
j j j
1
, U" = 0 Ś#
(A")" = A oraz (A")" = A U = -" " " .
Ł# 0 Ś# Ł# -"
2 2 2 2
0 0 j
(A")" =(A")" = A 0 0 -j
(ąA)" = ą"A" oraz (ąA)" = ą"A"
Przykład
(AB)" = A"B" oraz (AB)" = B"A"
Poniżej przedstawiono macierz rzeczywistą V i jej macierz transponowaną,
det A" = det A" =(det A)"
a więc także transsprzężoną V
Jeśli macierz A jest hermitowska, to A" = A.
Ą# ń# Ą# ń#
1 1 1 1
Rzeczywista macierz transsprzężona jest macierzą transponowaną. " " " -"
0 0
2 2 2 2
ó# Ą# ó# Ą#
1 1 1 1
V = -" " " "
Ł# 0 , V = 0 .
Ś# Ł# Ś#
2 2 2 2
0 0 1 0 0 1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 31 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 32 / 44
Macierz odwrotna Macierz odwrotna
Definicja macierzy odwrotnej
Definicja minora
Macierzą odwrotną A-1 macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy
Minorem Mij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy Mij
macierz spełniającą warunek
powstałej przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.
AA-1 = A-1A = 1n .
Definicja dopełnienia algebraicznego
Twierdzenie
Dopełnienie algebraiczne Aij macierzy kwadratowej A definiuje się wzorem
Macierz odwrotna A-1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
Aij =(-1)i+jMij .
kwadratowa A jest nieosobliwa (czyli det A = 0).

Macierz dołączona
Dowód
Konieczność: Macierzą dołączoną Aad macierzy kwadratowej A nazywa się macierz
det A det A-1 = det 1n = 1 , transponowaną dopełnień algebraicznych, tzn.
zatem det A = 0.

Aad =[Aij] =[Aji ] .
Dostateczność: dowód poprzez konstrukcję macierzy odwrotnej.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 33 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 34 / 44
Macierz odwrotna Macierz odwrotna
Twierdzenie Własności macierzy dołączonej i odwrotnej
Macierz odwrotna A-1 macierzy kwadratowej A wyraża się wzorem Z zależności
(zakładamy, że det A = 0) AAad = 1n det A .

wynika, że
1
A-1 = Aad .
det A det Aad =(det A)n .
det A
Zatem
det Aad =(det A)n-1 .
Dowód
Ponadto, jeśli det A = 0, to

Z własności wyznaczników wiadomo, że
1
n
det A-1 = .
0 dla i = j

det A
ailAjl = .
det A dla i = j
l=1
Wniosek
Stąd
AAad = 1n det A . Wszystkie trzy macierze A, A-1 i Aad są nieosobliwe.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 35 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 36 / 44
Macierz odwrotna Macierz odwrotna
Przykład
Dalsze własności macierzy odwrotnej
Rozważmy macierz
Ą# ń#
Dwukrotne odwrócenie macierzy jest operacją tożsamościową
2 7 3
ó# Ą#
-1
A = 3 9 4 .
Ł# Ś#
A-1 = A .
1 5 3
Odwrotność iloczynu macierzy jest odwróconym co do kolejności
Wyznacznik tej macierzy jest równy det A = -3. Macierz dołączona to
czynników iloczynem ich odwrotności
Ą# ń#
7 -6 1
ó# Ą#
(AB)-1 = B-1A-1 .
Aad = -5 3 1 , det Aad = 9 =(det A)2 .
Ł# Ś#
6 -3 -3
Transponowanie (sprzężenie, transsprzężenie) macierzy odwrotnej jest
Stąd macierz odwrotna jest równa równoważne odwróceniu macierzy transponowanej (sprzężonej,
transsprzężonej)
Ą# ń#
-7 6 -1

1
ó# Ą# -1 "
A-1 = 5 -3 -1 .
Ł# Ś#
A-1 = A oraz A-1 =(A")-1 oraz A-1 =(A")-1 .
3
"
-6 3 3
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 37 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 38 / 44
Macierz ortogonalna i macierz unitarna Macierze ortogonalne i unitarne
Przykład
Definicja macierzy ortogonalnej
Macierz U jest unitarna a macierz V jest ortogonalna i unitarna
Nieosobliwa macierz kwadratowa A, której macierz odwrotna jest jej
macierzą transponowaną, tzn. Ą# ń# Ą# ń#
1 1 1 1
" " " "
0 0
2 2 2 2
ó# Ą# ó# Ą#
j j 1 1
, V = 0 .
A-1 = A U = -" "
Ł# 0 Ś# Ł# -" "
Ś#
2 2 2 2
0 0 j 0 0 1
jest nazywana macierzą ortogonalną.
Wnioski
Definicja macierzy unitarnej
Macierz ortogonalna to rzeczywista macierz unitarna.
Nieosobliwa macierz kwadratowa A, której macierz odwrotna jest jej
Kolumny (wiersze) macierzy unitarnej (ortogonalnej) są
macierzą transsprzężoną, tzn.
jednostkowymi wektorami ortogonalnymi (tzw. wektorami
ortonormalnymi).
A-1 = A"
Moduł wyznacznika macierzy ortogonalnej (unitarnej) jest równy
jest nazywana macierzą unitarną.
jeden.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 39 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 40 / 44
Macierze blokowe Macierze blokowe
Mnożenie macierzy blokowych
Podział macierzy na bloki
Niech macierz C będzie iloczynem macierzy A przez B. Jej wymiar to
Rozważmy macierze A i B o wymiarach odpowiednio m � n i n � p.
m � p. Macierz tę rozkładamy następująco
Macierze te rozkładamy na następujące bloki
p1 p2

n1 n2
m1 C11 C12 m1 + m2 = m
C = ,
m1 A11 A12 m1 + m2 = m
m2 C21 C22 p1 + p2 = p
A = ,
m2 A21 A22 n1 + n2 = n
Bloki macierzy C oblicza się ze wzorów
p1 p2

Cij = Ai1B1j + Ai2B2j , i, j = 1, 2 ,
n1 B11 B12 n1 + n2 = n
B = ,
n2 B21 B22 p1 + p2 = p
czyli stosując do bloków macierzowych takie same reguły mnożenia
Powstałe bloki Aij, Bij, i, j = 1, 2, mogą być traktowane jako elementy
macierzy jak do elementów macierzy.
(makroelementy) macierzy, choć same są macierzami.
Powyższą obserwację można uogólnić na przypadek podziału macierzy na
dowolne liczby bloków zarówno w poziomie jak i w pionie.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 41 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 42 / 44
Mnożenie macierzy blokowych Zestawienie właściwości macierzy nieosobliwych
Przykład Podsumowanie
Poniższe twierdzenie podsumowuje właściwości macierzy nieosobliwych.
Rozważmy macierze A, B i C = AB podzielone na następujące bloki
Ą# ń# Ą# ń#
1 3 2 1 0 1
Twierdzenie
ó# Ą# ó# Ą#
A = 2 1 1 , B = 2 1 1 ,
Ł# Ś# Ł# Ś#
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Niżej wymienione warunki
-1 0 1 -1 2 0
są równoważne, tzn. jeśli jeden z nich jest spełniony, to są spełnione
Ą# ń#
wszystkie:
5 7 4
ó# Ą#
istnieje macierz A-1,
C = AB = 3 3 3 .
Ł# Ś#
det A = 0,

-2 2 -1
nieistnieje wektor x = 0 taki, że Ax = 0,

Sprawdz
my np., że
kolumny macierzy A są liniowo niezależne,


1 3 2 2 5
wiersze macierzy A są liniowo niezależne,
C11 = A11B11 + A12B21 = 1 + = .
2 1 1 -1 3
rank A = n.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 43 / 44 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 44 / 44