ALGEBRA WYKA
AD 7
RzÄ…d macierzy
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Baza i rząd układu wektorów 2
2 RzÄ…d macierzy 7
3 Twierdzenie Kroneckera-Capellego 12
1
1 Baza i rząd układu wektorów
Definicja 1 Niech S będzie dowolnym skończonym układem wektorów z prze-
strzeni V . Bazą tego układu nazywamy podukład (u1, . . . , ur) wektorów na-
leżących do S taki, że
wektory u1, . . . , ur są liniowo niezależne,
każdy wektor a należący do układu S daje się przedstawić w postaci
r

a = Ä…juj,
j=1
gdzie ą1, . . . , ąr są pewnymi elementami ciała K.
Twierdzenie 1 Baza układu wektorów a1, . . . , am jest także bazą podprze-
strzeni liniowej span (a1, . . . , am).
Definicja 2 Liczbę wektorów bazy układu wektorów S nazywamy rzędem tego
układu.
Jeśli S = (a1, . . . , am), to rząd ten będziemy oznaczali symbolem rz (a1, . . . , am)
lub rank (a1, . . . , am) lub rz (S) lub rank (S).
Jeśli wszystkie wektory układu S są zerowe, to przyjmujemy, że rzędem
tego układu jest zero, tzn.
rank (S) = 0.
Z poprzedniego twierdzenia mamy więc:
rank (a1, . . . , am) = dim (span (a1, . . . , am)) .
Definicja 3 Niech S będzie (skończonym) układem wektorów. Operacjami
elementarnymi na wektorach układu S nazywamy następujące operacje:
1. zmiana kolejności wektorów tego układu,
2. dodanie do jednego z wektorów tego układu innego wektora pomnożonego
przez dowolny element ciała K,
2
3. pomnożenie jednego z wektorów układu S przez liczbę z ciała K, różną
od zera.
Twierdzenie 2 Niech S będzie układem powstałym z układu S w wyniku
wykonania skończonej liczby operacji elementarnych. Wtedy
span (S ) = span (S) i rank (S ) = rank (S) .
D o w ó d. Niech S będzie układem wektorów (x1, x2, x3, . . . , xn).
1ć% Niech S będzie układem powstałym z układu S przez przestawienie
dwóch wektorów.
Ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne, więc każda kombinacja
liniowa wektorów układu S jest jednocześnie kombinacją liniową układu S i
na odwrót.
To znaczy
span (S ) = span (S) ,
a co za tym idzie
dim (span (S )) = dim (span (S)) .
2ć% Przez S oznaczmy układ powstały z układu S przez dodanie do wektora
x1 wektora x2 pomnożonego przez skalar ą, czyli
S = (x1 + Ä…x2, x2, x3, . . . , xn) .
Jeśli x " span (S) , to istnieją liczby ą1, . . . , ąn z ciała K takie, że
x = Ä…1x1 + Ä…2x2 + Ä…3x3 + . . . + Ä…nxn.
Wtedy
x = Ä…1 (x1 + Ä…x2) + (Ä…2 - Ä…1Ä…)x2 + Ä…3x3 + . . . + Ä…nxn,
co oznacza, że x " span (S ) .
Załóżmy teraz, że x " span (S ).
3
Wtedy istnieją elementy ą1, ą2, . . . , ąn z ciała K takie, że
x = Ä…1 (x1 + Ä…x2) + Ä…2x2 + Ä…3x3 + . . . + Ä…nxn,
czyli
x = Ä…1x1 + (Ä…Ä…1 + Ä…2)x2 + Ä…3x3 + . . . + Ä…nxn,
skąd wynika, że x " span (S) .
Z powyższych rozważań wynika, że
span (S) = span (S ) ,
a stąd już bezpośrednio wnioskujemy, że rank (S ) = rank (S) .
3ć% Niech S = (x1, x2, x3, . . . , xn), gdzie  " K oraz  = 0.

Ponieważ
Ä…1x1 + Ä…2(x2) + . . . + Ä…nxn = Ä…1x1 + (Ä…2)x2 + . . . + Ä…nxn
oraz
²1x1 + ²2x2 + ²3x3 + . . . + ²nxn =

= ²1x1 + ²2·-1 ·(x2) + ²3x3 + . . . + ²nxn,
więc
span (S ) = span (S) ,
a co za tym idzie
rank (S ) = rank (S) .
Każda pojedyncza operacja elementarna nie zmienia rzędu układu wek-
torów, zatem i po dokonaniu skończonej liczby takich operacji na układach
wektorów ich rząd się nie zmienia.
Definicja 4 Układ wektorów a1, . . . , ar w przestrzeni Kn nad ciałem K, ma-
jących postać
a1 = (0, 0, . . . , Ä…1,t , . . . , Ä…1,t , . . . , Ä…1,t . . . , Ä…1,n) ,
1 2 r
4
a2 = (0, 0, . . . , 0, . . . , Ä…2,t , . . . , Ä…2,t . . . , Ä…2,n) ,
2 r
· · · · · · · · · · · ·
ar = (0, 0, . . . , 0, . . . , 0, . . . , Ä…r,t , . . . , Ä…r,n) ,
r
gdzie 1 t1 < t2 < · · · < tr n i Ä…1,t = 0, Ä…2,t = 0, ... , Ä…r,t = 0,

1 2 r
nazywamy układem schodkowym.
Twierdzenie 3 Schodkowy układ wektorów jest liniowo niezależny.
Przykład 1 Znalez
ć bazę układu wektorów a1, a2, a3, a4 i a5, gdzie
a1 = (1, 1, -1), a2 = (2, 3, 1), a3 = (-2, 1, 4),
a4 = (1, 2, 2), a5 = (-1, 2, 0)
i przedstawić każdy z wektorów, nienależących do tej bazy, w postaci kombi-
nacji liniowej wektorów znalezionej bazy.
a1 = [1, 1, -1]
a2 = [2, 3, 1 ]
a3 = [-2, 1, 4]
a4 = [1, 2, 2]
a5 = [-1, 2, 0]
a1 = [1, 1, -1]
a2 - 2a1 = [0, 1, 3]
a3 + 2a1 = [0, 3, 2]
a4 - a1 = [0, 1, 3]
a5 + a1 = [0, 3, -1]
a1 = [1, 1, -1]
a2 - 2a1 = [0, 1, 3]
a3 - 3a2 + 8a1 = [0, 0, -7]
a4 - a2 + a1 = [0, 0, 0]
a5 - 3a2 + 7a1 = [0, 0, -10]
5
a1 = [1, 1, -1] = b1
a2 - 2a1 = [0, 1, 3] = b2
a3 - 3a2 + 8a1 = [0, 0, -7] = b3
a4 - a2 + a1 = [0, 0, 0]
10 9 31
a5 - · a3 + · a2 - · a1 = [0, 0, 0]
7 7 7
Widzimy teraz, że wektory b1, b2 i b3 są liniowo niezależne i należą do
podprzestrzeni span (a1, a2, a3).
Z wniosku z twierdzenia Steinitza wynika, że również wektory a1, a2, a3
są też liniowo niezależne.
Ponieważ
31 9 10
a4 = -a1 + a2 i a5 = · a1 - · a2 + · a3,
7 7 7
więc bazą układu (a1, a2, a3, a4, a5) jest układ (a1, a2, a3).
Tak więc
rank (a1, a2, a3, a4, a5) = 3.
6
2 RzÄ…d macierzy
Definicja 5 Rzędem kolumnowym macierzy A nazywamy wymiar podprze-
strzeni generowanej przez kolumny macierzy A.
Oznaczamy go jako rk(A).
Definicja 6 Rzędem wierszowym macierzy A nazywamy wymiar podprze-
strzeni generowanej przez wiersze macierzy A.
Oznaczamy go jako rw(A).
Zgodnie z definicjami rzędów mamy więc:

rk(A) = dim span A[1], . . . , A[n] ,

rw(A) = dim span A[1], . . . , A[m] .
Definicja 7 Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
następujące operacje:
1. zmiana kolejności dwóch wierszy tej macierzy,
2. dodanie do jakiegoś wiersza tej macierzy innego wiersza pomnożonego
przez dowolny element ciała K,
3. skreślenie wiersza tej macierzy złożonego z samych zer.
Definicja 8 Operacjami elementarnymi na kolumnach macierzy nazywamy
następujące operacje:
1. zmiana kolejności dwóch kolumn tej macierzy,
2. dodanie do jakiejś kolumny tej macierzy innej kolumny pomnożonej
przez dowolny element ciała K,
3. skreślenie kolumny tej macierzy złożonej z samych zer.
7
Definicja 9 Operacje elementarne na wierszach macierzy i operacje elemen-
tarne na kolumnach macierzy nazywamy operacjami elementarnymi na ma-
cierzach.
Twierdzenie 4 Jeśli macierz A powstała z macierzy A w wyniku zastoso-
wania operacji elementarnej na wierszach tej macierzy, to
rw(A ) = rw(A).
Twierdzenie 5 Jeśli macierz A powstała z macierzy A w wyniku zastoso-
wania operacji elementarnej na kolumnach tej macierzy, to
rw(A ) = rw(A).
Twierdzenie 6 Jeśli macierz A powstała z macierzy A w wyniku zastoso-
wania operacji elementarnej na kolumnach tej macierzy, to
rk(A ) = rk(A).
Twierdzenie 7 Jeśli macierz A powstała z macierzy A w wyniku zastoso-
wania operacji elementarnej na wierszach tej macierzy, to
rk(A ) = rk(A).
Twierdzenie 8 Każdą niezerową macierz o m wierszach i n kolumnach
można przekształcić, stosując operacje elementarne na wierszach i kolum-
nach, w macierz schodkowÄ…,
To znaczy  w macierz, mającą postać
îÅ‚ Å‚Å‚
c11 c12 . . . c1r . . . c1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 c22 . . . c2r . . . c2n śł
ïÅ‚ śł
C = ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . crr . . . arn
8
gdzie c11 = 0, . . ., crr = 0, r n oraz r m.

D o w ó d. Z dokładnością do kolejności kolumn, możemy przyjąć, że jakiś
element w pierwszej kolumnie jest różny od zera.
Jeśli potrzeba, zmieniamy kolejność wierszy tak, aby element na pozycji
(1, 1) był różny od zera. Tę macierz oznaczmy jako A, pełniej
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
Wtedy a11 = 0.

a21
Teraz pierwszy wiersz mnożymy przez - i dodajemy do drugiego wier-
a11
sza.
a31
Następnie pierwszy wiersz mnożymy przez - i dodajemy do trzeciego
a11
wiersza.
Postępując tak samo z pozostałymi wierszami, otrzymamy macierz, w któ-
rej w pierwszej kolumnie poza pierwszym elementem pozostałe są równe zeru.
Otrzymana w ten sposób macierz ma więc postać
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 a . . . a
ïÅ‚ śł
22 2n
ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 a . . . a
m2 mn
Jeśli któryś z wierszy powstałej macierzy jest złożony z samych zer, to go
skreślamy.
Jeśli wszystkie elementy drugiej kolumny z wyjątkiem być może elementu
w pierwszym wierszu są równe zeru, to przenosimy tę kolumnę na miejsce
ostatniej.
Jeśli któryś z elementów a , . . . a (czyli elementów drugiej kolumny) jest
22 m2
różny od zera, to zmieniając kolejność wierszy, możemy zakładać, że a = 0.

22
Operując drugim wierszem tak jak poprzednio przekształcamy rozważaną
macierz w macierz, mającą postać:
9
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 a a . . . a
ïÅ‚ śł
22 23 2n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 a . . . a .
ïÅ‚ 23 2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 a . . . a
m3 mn
Jak widać postąpiliśmy w taki sam sposób, jak poprzednio, tylko brali-
śmy pod uwagę tę część macierzy, która pozostała po (w myśli) wykreśleniu
pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.
Postępując tak dalej, po co najwyżej min{m, n} krokach otrzymamy ma-
cierz, mającą żądaną postać.
Twierdzenie 9 Dla dowolnej macierzy rząd wierszowy jest równy rzędowi
kolumnowemu.
Zgodnie z tym twierdzeniem, rzÄ…d wierszowy i rzÄ…d kolumnowy macie-
rzy A są sobie równe; ich wspólną wartość nazywamy rzędem macierzy A
i oznaczamy symbolem rank (A) lub rz(A) lub rzA.
Wniosek 1 Rząd macierzy transponowanej do macierzy A jest równy rzę-
dowi macierzy A.
Jak widzieliśmy, dowolną niezerową macierz można przekształcić, stosując
operacje elementarne, w macierz schodkową, nie zmieniając jej rzędu. Rząd
tej ostatniej jest równy liczbie wierszy, więc rząd macierzy A jest równy
liczbie wierszy macierzy schodkowej, do której sprowadza się macierz A. Tę
metodę będziemy stosowali, obliczając rzędy macierzy.
Przykład 2 Znalez
ć rząd macierzy A, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 -1 4 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
5 1 2 3 -1
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
3 -2 3 -1 -3
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -5 4 -5 -5
10
Zauważmy, że w ostatnim wierszu i w pierwszej kolumnie stoi element
równy 1.
Przenosimy więc IV. wiersz na miejsce wiersza pierwszego, a pozostałe
opuszczamy o jeden. Otrzymamy w ten sposób macierz B, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -5 4 -5 -5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 3 -1 4 2
ïÅ‚ śł
B = ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ śł
5 1 2 3 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
3 -2 3 -1 -3
majÄ…cÄ… ten sam rzÄ…d co macierz A.
Pozostawiając teraz I. wiersz bez zmian, mnożąc go przez -2, dodajemy
do II. wiersza,
następnie mnożąc go przez -5, dodajemy do III. wiersza
i na koniec, mnożąc go przez -3, dodajemy do IV. wiersza. Otrzymujemy
w ten sposób macierz A , mającą postać
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -5 4 -5 -5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 13 -9 14 12
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
0 26 -18 28 24
ðÅ‚ ûÅ‚
0 13 -9 14 12
Zauważamy teraz, że opuszczając pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę
otrzymamy macierz o wymiarach mniejszych o jeden od wymiarów macie-
rzy A.
Postępując teraz podobnie, jak poprzednio, ale biorąc pod uwagę wiersze
poczÄ…wszy od drugiego i kolumny poczÄ…wszy od drugiej, mamy do czynienia
z częścią macierzą, z którą będziemy postępowali tak samo jak poprzednio.
Mnożąc więc II. wiersz przez -2 i dodając go do wiersza trzeciego
oraz mnożąc II. wiersz przez -1 i dodając do wiersza czwartego otrzymu-
jemy następną macierz A , gdzie
11
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -5 4 -5 -5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 13 -9 14 12
ïÅ‚
A = ïÅ‚ .śł
śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 0 0
Po skreśleniu trzeciego i czwartego wiersza otrzymujemy macierz schod-
kowÄ… C, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -5 4 -5 -5
ðÅ‚ ûÅ‚
C =
0 13 -9 14 12
Tak więc
rz A = rz C = 2.
3 Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Definicja 10 Układem m równań liniowych algebraicznych o n niewiado-
mych x1, x2, . . ., xn w ciele K nazywamy układ równań, mający postać
Å„Å‚
ôÅ‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,
(1)
ôÅ‚
ôÅ‚ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
gdzie aij " K i bi " K, gdy i " {1, 2, . . . , m} oraz j " {1, 2, . . . , n}.
Element aij nazywamy współczynnikiem przy niewiadomej xj w i-tym
równaniu. Współczynnik bj nazywamy wyrazem wolnym j-tego równania.
Współczynniki b1, b2, · · · , bm nazywamy wyrazami wolnymi.
Definicja 11 Układ równań liniowych, w którym wszystkie wyrazy wolne są
równe zeru, nazywamy jednorodnym układem równań liniowych.
Jednorodny układ równań liniowych, który powstaje z układu (1) przez
zastąpienie wyrazów wolnych zerami nazywamy układem jednorodnym sto-
warzyszonym z układem (1).
12
Definicja 12 Rozwiązaniem układu równań (1) nazywamy taki wektor (x1, x2, . . . , xn)
Ü Ü Ü
z przestrzeni Kn, którego współrzędne podstawione w miejsce niewiadomych
x1, . . . , xn przekształcają wszystkie równania w równości.
Mówimy wtedy czasami, że wektor (x1, x2, . . . , xn) spełnia każde z równań
Ü Ü Ü
układu (29).
Mówiąc: rozwiązać układ równań liniowych, mamy na myśli rozstrzygnię-
cie, czy dany układ ma rozwiązania i znalezienie wszystkich rozwiązań danego
układu, czyli zbioru wszystkich rozwiązań układu.
Układ równań liniowych, który ma przynajmniej jedno rozwiązanie nazy-
wamy układem niesprzecznym.
Układ równań liniowych, który nie ma żadnego rozwiązania nazywamy
układem sprzecznym.
Układ równań, który ma jedno rozwiązanie nazywamy układem oznaczo-
nym; układ, który ma więcej niż jedno rozwiązanie, nazywamy układem nie-
oznaczonym.
Macierzą główną A układu równań liniowych (1) nazywamy macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
Macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) B układu równań liniowych (1) nazy-
wamy macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n b2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn bm
Twierdzenie 10 (Kroneckera Capellego) Układ równań liniowych (1) ma
rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy tego układu jest równy
rzędowi macierzy uzupełnionej.
13
D o w ó d. Załóżmy najpierw, że układ (1) ma rozwiązanie;
niech to będzie ciąg (ł1, . . . , łn). Wtedy
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚a11Å‚1 + a12Å‚2 + . . . + a1nÅ‚n = b1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21ł1 + a22ł2 + . . . + a2nłn = b2,
ôÅ‚
ôÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1ł1 + am2ł2 + . . . + amnłn = bm.
Wtedy Å‚1·A[1] + . . . + Å‚n·A[n] = b, gdzie A[i] jest i-tÄ… kolumnÄ… macierzy
głównej układu (1), natomiast b jest kolumną wyrazów wolnych tego układu.
Wynika stÄ…d

span A[1], . . . , A[n], b = span A[1], . . . , A[n] ,
skąd wnioskujemy, że rz A = rz B.
Załóżmy teraz, że rząd macierzy głównej A układu (1) jest równy rzędowi
macierzy uzupełnionej B.
Wtedy

dim span A[1], . . . , A[n], b =

= dim span A[1], . . . , A[n] ,
skąd wynika, że

span A[1], . . . , A[n], b = span A[1], . . . , A[n] ,
czyli

b " span A[1], . . . , A[n] .
Tak więc istnieją elementy 1, . . . , n w ciele K takie, że
b = 1·A[1] + . . . + n·A[n],
a to oznacza, że wektor (1, . . . , n) jest rozwiązaniem układu (1).
14