Składanie przekształceń liniowych a
mnożenie macierzy
WYKA
AD 12
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Macierz przekształcenia liniowego 2
2 Mnożenie macierzy 4
1
1 Macierz przekształcenia liniowego
W tym paragrafie zajmiemy się zagadnieniem związania przekształcenia li-
niowego z macierzą. Oczywiście, nie zawsze tak można uczynić. Taki związek
znajdziemy tylko dla przekształceń liniowych skończenie wymiarowej prze-
strzeni liniowej w przestrzeń liniową skończenie wymiarową. W związku z
tym wszystkie przestrzenie liniowe rozważane w tym rozdziale będą prze-
strzeniami skończenie wymiarowymi.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że takie prze-
kształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez wartości tego prze-
kształcenia dla wektorów bazy. Niech więc V i W będą przestrzeniami linio-
wymi nad ciałem K i niech układ (x1, . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V ,
natomiast układ (y1, . . . , ym) będzie bazą przestrzeni W .
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Każdy wektor A(xj) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji
liniowej wektorów y1, . . . , ym, tzn. istnieją elementy aij ciała K takie, że
A(xj) = a1jy1 + . . . + amjym, gdy j " {1, . . . , n}.
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn

Oznaczamy tę macierz symbolem A lub MA lub krótko A. Macierz tę
Y,X
nazywamy macierzą przekształcenia A względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym).
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wek-
tora A(xj) względem bazy (y1, . . . , ym).
Twierdzenie 1 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz
dim V = n i dim W = m, to przestrzeń Hom(V , W ) jest izomorficzna z
przestrzeniÄ… Mm×n(K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
2

Wniosek 1 Niech V i V będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami li-

niowymi nad ciałem K oraz niech X będzie bazą przestrzeni V , a X  bazą

przestrzeni V . Jeśli A " Hom(V , V ), B " Hom(V , V ) i ą " K, to

A + B = A + B

X ,X X ,X X ,X

Ä… · A = Ä… · A

X ,X X ,X
Przykład 1 Niech funkcja A : R3 - R2 będzie określona wzorem

A (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3).
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni R3 w przestrzeń R2? Jeśli tak, to
znalez
ć macierz tego przekształcenia względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, x2, x3) i Y = (y1, y2)
oraz
x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = 0, 0, 1),
y1 = (1, 0), i y2 = (0, 1).
Niech x i y, gdzie
x = (x1, x2, x3) i y = (y1, y2, y3),
będą dowolnymi wektorami z przestrzeni R3 i ą dowolnym elementem ciała R.
Wtedy
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) i Ä…x = (Ä…x1, Ä…x2, Ä…x3).
Zatem

A(x + y) = 2(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 + y1) - 3(x2 + y2) + (x3 + y3) =

= 2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3) + 2y1 + y2, y1 - 3y2 + y3 =
3
= A(x) + A(y).
Podobnie

A(Ä…x) = 2(Ä…x1) + Ä…x2, Ä…x1 - 3(Ä…x2) + Ä…x3 =

= Ä…(2x1 + x2), Ä…(x1 - 3x2 + x3) =

= Ä…· (2x1 + x2), (x1 - 3x2 + x3) = Ä…·A(x).
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A(x1), A(x2) i A(x3) :

A(x1) = 2·1 + 0, 1 - 3·0 + 0 = (2, 1) = 2·(1, 0) + (0, 1) = 2y1 + y2,

A(x2) = 2·0 + 1, 0 - 3·1 + 0 = (1, -3) = (1, 0) - 3·(0, 1) = y1 - 3y2,

A(x3) = 2·0 + 0, 0 - 3·0 + 1 = (0, 1) = y2.
Z obliczeń tych wynika, że
îÅ‚ Å‚Å‚

2 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
A = .
Y,X
1 -3 1
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba,
że zaznaczymy inaczej), że została ustalona tylko jedna baza; niech to będzie

baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A endomorfizmu (ope-
X ,X
ratora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem

bazy X . Macierz tę oznaczamy jako A . Macierz takiego przekształcenia
X
jest więc macierzą kwadratową.
2 Mnożenie macierzy
Paragraf, dotyczący mnożenia macierzy, rozpoczniemy od twierdzenia, wska-
zującego na sposób określenia iloczynu dwóch macierzy.
4
Twierdzenie 2 Niech U , V i W będą skończenie wymiarowymi przestrze-
niami liniowymi nad ciałem K, w których bazami są:
X = (u1, . . . , un) w przestrzeni U ,
Y = (v1, . . . , vm) w przestrzeni V ,
Z = (w1, . . . , wk) w przestrzeni W .

Jeśli A " Hom(U , V ) i B " Hom(V , W ) oraz A i B są macie-
Y,X Z,Y

rzami przekształceń A i B, gdzie A = [aij] i B = [bli], to macierz
Y,X Z,Y

B ć% A przekształcenia Bć%A ma współczynniki clj, gdzie
Z,X
m

clj = bli·aij, gdy l " {1, . . . , k} i j " {1, . . . , n}.
i=1
D o w ó d. Z przyjętego sposobu wyznaczania macierzy przekształcenia
liniowego względem danych baz przestrzeni liniowych wynika, że
m

A(uj) = a1j ·v1 + . . . + amj ·vm = aijvi
i=1
oraz
k

B(vi) = b1i·w1 + . . . + bki·wk = bliwl,
l=1
gdzie j " {1, . . . , n} oraz i " {1, . . . , m}.
Składając przekształcenia B i A możemy zapisać
m


(Bć%A)(uj) = B A(uj) = aij ·B(vi) =
i=1

m k k m

= aij · bli·wl = bli·aij ·wl.
i=1 l=1 l=1 i=1
Oznacza to, że współczynnik clj macierzy złożenia przekształceń względem
m

baz X i Z w l-tym wierszu i j-tej kolumnie jest równy bli·aij.
i=1
Powyższe twierdzenie sugeruje, jak powinno być zdefiniowane mnożenie
macierzy i w jakich przypadkach.
5
Definicja 1 Niech A " Mm×n(K) i B " Mk×m(K). JeÅ›li
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 · · · a1n b11 · · · b1m
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = · · · · · · · · · i B = · · · · · · · · · ,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 · · · amn bk1 · · · bkm
to iloczynem macierzy B i A nazywamy macierz C taką, że
l=1,...,k
m

C = clj i clj = bli·aij.
j=1,...,n
i=1
"
Macierz tÄ™ oznaczamy symbolem B A.
Element clj tego iloczynu nazywamy iloczynem l-tego wiersza macierzy B
przez j-tÄ… kolumnÄ™ macierzy A.
Zachowując oznaczenia poprzedniego twierdzenia, sformułujemy je nieco
inaczej:
Wniosek 2 Jeśli A " HomK(U , V ) i B " HomK(V , W ), to

"
Bć%A = B A .
Z,X Z,Y Y,X
Jeśli macierz B przedstawimy jako ciąg wierszy zapisanych w postaci jed-
nej kolumny
îÅ‚ Å‚Å‚
B[1]
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
B[2]
ïÅ‚ śł
B = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . .
ðÅ‚ ûÅ‚
B[k]
i macierz A jako ciÄ…g kolumn zapisanych w postaci jednego wiersza

A = A[1], A[2], . . . , A[n] ,
to
îÅ‚ Å‚Å‚
B[1]
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
B[2]
ïÅ‚ śł
" "
B A = ïÅ‚ śł A[1], A[2], . . . , A[n] =
ïÅ‚ śł
. . .
ðÅ‚ ûÅ‚
B[k]
6
îÅ‚ Å‚Å‚
B[1]·A[1] B[1]·A[2] . . . B[1]·A[n]
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
B[2]·A[1] B[2]·A[2] . . . B[2]·A[n] śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
· · · · · · · · · · · ·
ðÅ‚ ûÅ‚
B[k]·A[1] B[k]·A[2] . . . B[k]·A[n]
Mnożenie macierzy możemy też traktować jako odwzorowanie
"
: Mk×m(K) × Mm×n(K) - Mk×n(K).
Przykład 2 Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2
ïÅ‚ śł
5 -1 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
A = i B = 3 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
4 2 3
-2 1
" "
Obliczyć iloczyny B A i A B.
îÅ‚ Å‚Å‚
1·5 + 2·4 1·(-1) + 2·2 1·3 + 2·3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"
B A = 3·5 + 0·4 3·(-1) + 0·2 3·3 + 0·3 =
ðÅ‚ ûÅ‚
(-2)·5 + 1·4 (-2)·(-1) + 1·2 (-2)·3 + 1·3
îÅ‚ Å‚Å‚
13 3 9
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
15 -3 9 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-6 4 -3
îÅ‚ Å‚Å‚
5·1 + (-1)·3 + 3·(-2) 5·2 + (-1)·0 + 3·1
" ðÅ‚ ûÅ‚
A B = =
4·1 + 2·3 + 3·(-2) 4·2 + 2·0 + 3·1
îÅ‚ Å‚Å‚
-4 13
ðÅ‚ ûÅ‚
.
4 11
" "
W tym przypadku oba iloczyny A B i B A istnieją, ale nie są równe; co
więcej mają różne wymiary. Nawet, gdy mnożymy macierze kwadratowe A i
" "
B o tej samej liczbie wierszy, ich iloczyny A B i B A mogą być różne.
Zauważmy, że mnożenie macierzy zostało zdefiniowane w taki sposób, aby
iloczyn macierzy odpowiadał składaniu przekształceń liniowych.
7
Twierdzenie 3 JeÅ›li E jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n oraz A " Mm×n(K)
i B " Mn×m(K), gdzie m jest dowolnÄ… liczbÄ… naturalnÄ… dodatniÄ…, to
" "
A E = A i E B = B.

D o w ó d. Niech A = aij i oczywiÅ›cie, E = ´ij , gdzie ´ij jest deltÄ…
"
Kroneckera. Wtedy współczynnik cij macierzy A E, w i-tym wierszu i j-tej
kolumnie ma postać:
n

cij = aik·´kj,
l=1
czyli
cij = aij ·´jj = aij,
"
co dowodzi, że A E = A.
"
Podobnie dowodzi się równości E B = B.
Twierdzenie 4 Mnożenie macierzy jest łączne.
D o w ó d. Niech A " Mn×m(K), B " Mm×k(K) i C " Mk×l(K). Zgodnie
z twierdzeniem 1 istnieją przekształcenia liniowe A, B i C takie, że
A " Hom(Km, Kn), B " Hom(Kk, Km) i C " Hom(Kl, Kk)
oraz
A = [A], B = [B] i C = [C]
względem baz kanonicznych w odpowiednich przestrzeniach. Wtedy
Ać%(Bć%C) = (Ać%B)ć%C,
zatem dla odpowiadających im macierzy spełniony jest warunek
" " " "
A (B C) = (A B) C.
Podobnie dowodzi się następującej własności:
8
Własność 1 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macie-
rzy (tak z lewej strony jak i z prawej), to znaczy:
" " "
(B + B ) A = B A + B A,
" " "
B (A + A ) = B A + B A .
Warto teraz przypomnieć macierze transponowane i odnotować odpowied-
nie własności transponowania macierzy. W rozdziale czwartym zdefiniowa-
liśmy macierze transponowane w sposób następujący: Jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = · · · · · · · · · ,
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn
to
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . am1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
At = · · · · · · · · · .
ðÅ‚ ûÅ‚
a1n . . . amn
Bez najmniejszego trudu możemy udowodnić następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5 JeÅ›li A " Mm×n(K), B " Mm×n(K) i Ä… " K, to
t
At = A, (A + B)t = At + Bt i (Ä…·A)t = Ä…·At.
Twierdzenie 6 JeÅ›li A " Mm×l(K), B " Ml×n(K) i Ä… " K, to

" " " " "
A B)t = Bt At, (Ä…·A) B = Ä…·(A B) = A (Ä…·B).
D o w ó d. Załóżmy, że

"
A = aij , B = bjk , A B = fik
oraz

" "
At = cji , Bt = dkj , (A B)t = gki i Bt At = hki .
9
Wtedy
cji = aij, dkj = bjk, gki = fik
oraz
l l

fik = aij ·bjk i hki = dkj ·cji.
j=1 j=1
Wynika stÄ…d:
l l l

hki = dkj ·cji = bjk·aij = aij ·bjk = fik = gki,
j=1 j=1 j=1
" "
a stąd wynika równość (A B)t = Bt At.
A
atwiej dowodzimy drugiej równości. Z równości
ëÅ‚ öÅ‚
l l l

íÅ‚
Ä…·fik = Ä… · aij ·bjkÅ‚Å‚ = (Ä…·aij)·bjk = aij ·(Ä…·bjk)
j=1 j=1 j=1
wynikają równości
" " "
(Ä…·A) B = Ä…·(A B) = A (Ä…·B).
10