ALGEBRA WYKA
AD 8
Przekształcenia liniowe
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Przekształcenia liniowe 2
2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego 4
3 Twierdzenie o określaniu przekształcenia liniowego 9
1
1 Przekształcenia liniowe
Ważną rolę w teorii przestrzeni liniowych odgrywają pewne przekształce-
nia tych przestrzeni. Noszą one nazwę przekształceń liniowych lub homo-
morfizmów.
Definicja 1 Niech V i W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad (tym
samym) ciałem K. Funkcję A : V - W nazywamy przekształceniem linio-
wym lub homomorfizmem, jeśli spełnia ona następujące warunki:

(1) A(a + b) = A(a) + A(b) ,
" "
a"V b"V

(2) A(Ä…a) = Ä… ·A(a) .
"Ä…"K a"V
"
Warunek (1) nazywamy warunkiem addytywności, a warunek (2) wa-
runkiem jednorodności przekształcenia. Zbiór wszystkich przekształceń li-
niowych z przestrzeni V do przestrzeni W będziemy oznaczali symbolem
HomK(V , W ) lub Hom(V , W ), a czasem L (V , W ).
Często przekształcenie liniowe przestrzeni V w tę samą przestrzeń nazywa-
my operatorem liniowym lub endomorfizmem przestrzeni V . Zbiór wszystkich
endomorfizmów przestrzeni V oznaczamy symbolem EndK(V ) lub krócej
End(V ).
Definicja 2 Homomorfizm przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W
nazywamy izomorfizmem, jeśli jest on funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Często izomorfizm przestrzeni V na tę samą przestrzeń nazywamy auto-
morfizmem przestrzeni V . Zbiór wszystkich automorfizmów przestrzeni V
oznaczamy symbolem AutK(V ) lub krócej Aut(V ).
Przykład 1 Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową. Przekształcenie
tożsamościowe zbioru V w siebie jest, jak łatwo sprawdzić, przekształceniem
liniowym. Ponieważ (oczywiście) jest ono wzajemnie jednoznaczne, więc prze-
kształcenie tożsamościowe przestrzeni V w siebie jest izomorfizmem.
2
Przykład 2 Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad
ciałem K. Przekształcenie Ś : V - W określone wzorem
Åš(x) = 0, gdy x " V ,
jest, jak bardzo łatwo sprawdzić, przekształceniem liniowym. Nazywamy je
przekształceniem zerowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Twierdzenie 1 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i
A : V - W jest przekształceniem liniowym, to
(1) A(0) = 0,

(2) A(-a) = -A(a) ,
"
a"V
(3) A (ą1a1 + ą2a2) = ą1A(a1) + ą2A(a2) dla dowolnych wektorów a1, a2
z przestrzeni V i dowolnych elementów ą1, ą2 z ciała K.
D o w ó d. Ponieważ 0 = 0·0, wiÄ™c
A(0) = A(0·0) = 0·A(0) = 0.
Podobnie,
A(-a) = A((-1)·a) = (-1)·A(a) = -A(a).
Niech a1 i a2 będą dowolnymi wektorami przestrzeni V oraz ą1 i ą2 do-
wolnymi elementami z ciała K. Wtedy, korzystając najpierw z addytywności
a potem z jednorodności przekształcenia A mamy
A (Ä…1a1 + Ä…2a2) = A (Ä…1a1) + A (Ä…2a2) = Ä…1A(a1) + Ä…2A(a2).
Indukcyjnie dowodzimy następującego twierdzenia.
3
Twierdzenie 2 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i
A : V - W jest przekształceniem liniowym, to

n n

. . . A Ä…iai = Ä…i · A(ai) .
" " "Ä…1
" "Ä…n
n"N a1"V "K an"V "K
i=1 i=1
D o w ó d. Gdy n = 1 wzór jest oczywisty, a z twierdzenia 1. wiemy, że
wzór z tezy twierdzenia jest prawdziwy, gdy n = 2.
Załóżmy, że n jest dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną i prawdziwy jest
wzór z tezy dla liczby n. Udowodnimy, że z tego wzoru wynika
n+1
n+1

A Ä…iai = Ä…i · A (ai)
i=1 i=1
dla dowolnych wektorów a1, . . . , an+1 z przestrzeni V oraz dowolnych ele-
mentów ą1, . . . , ąn+1 z ciała K.
Istotnie, korzystając z addytywności przekształcenia A oraz założenia in-
dukcyjnego, otrzymujemy kolejno
n+1
n

A Ä…iai = A Ä…iai + Ä…n+1an+1 =
i=1 i=1

n n

A Ä…iai + A (Ä…n+1an+1) = Ä…i · A(ai) + Ä…n+1A(an+1) =
i=1 i=1
n+1

= Ä…i · A(ai).
i=1
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wzór z tezy jest prawdziwy dla
każdej liczby naturalnej n.
2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego
Definicja 3 Jeśli A jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V
nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem, to zbiór war-
tości funkcji A nazywamy obrazem przekształcenia liniowego A, natomiast
zbiór wszystkich wektorów z przestrzeni V , których obrazem jest wektor ze-
rowy (w przestrzeni W ), nazywamy jądrem tego przekształcenia.
4
Obraz przekształcenia liniowego A oznaczamy symbolem Im A, jądro tego
przekształcenia  symbolem Ker A. Mamy wtedy:

Im A = y " W : y = A(x) ,
"
x"V
Ker A = {x " V : A(x) = 0} .
Twierdzenie 3 Dla każdego przekształcenia liniowego przestrzeni liniowej
V w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem, obraz tego przekształcenia
jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni W .
Dla każdego przekształcenia liniowego przestrzeni liniowej V w przestrzeń
liniową W nad tym samym ciałem, jądro tego przekształcenia jest podprze-
strzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V .
D o w ó d. Niech V i W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad cia-
łem K, natomiast A : V - W  przekształceniem liniowym przestrzeni V
w przestrzeń W .
Zbiór Im A jest niepusty, gdyż wektor zerowy z przestrzeni W do niego
należy.
Niech a, b będą dwoma wektorami ze zbioru Im A, ą  dowolnym elemen-
tem ciała K. Wtedy istnieją wektory x i y w przestrzeni V takie, że
a = A(x) i b = A(y).
Wektor x + y należy do przestrzeni V , więc, korzystając z addytywności
funkcji A mamy
a + b = A(x) + A(y) = A(x + y),
co oznacza, że a + b " Im A.
Ponieważ ąx należy do przestrzeni V , więc z równości
Ä…a = Ä…·A(x) = A(Ä…x)
wynika, że również wektor ąa należy do zbioru Im A.
5
Z udowodnionych wyżej własności obrazu przekształcenia liniowego wnio-
skujemy, że zbiór Im A stanowi podprzestrzeń liniową przestrzeni W .
Zbiór Ker A jest też niepusty, gdyż wektor zerowy przestrzeni V do tego
zbioru należy.
Niech teraz x, y będą dwoma wektorami ze zbioru Ker A, ą  dowolnym
elementem ciała K. Wtedy A(x) = 0 oraz A(y) = 0, więc, korzystając
z addytywności funkcji A, mamy
A(x + y) = A(x) + A(y) = 0 + 0 = 0,
co oznacza, że x + y " Ker A.
Ponieważ
A(Ä…x) = Ä…·A(x) = Ä…·0 = 0,
więc również wektor ąx należy do zbioru Ker A.
Z warunków podprzestrzeni liniowej wnioskujemy, że zbiór Ker A stanowi
podprzestrzeń liniową przestrzeni V .
Definicja 4 Jeśli A jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w prze-
strzeń W nad wspólnym ciałem, to wymiar podprzestrzeni Ker A nazywamy
defektem przekształcenia A, natomiast wymiar podprzestrzeni Im A nazywa-
my rzędem przekształcenia A. Defekt przekształcenia A oznaczać będziemy
symbolem def(A), rząd przekształcenia A  symbolem rz (A).
Z definicji rzędu przekształcenia liniowego i twierdzenia Steinitza wynika
nierówność rz A min{dim V , dim W }.
Twierdzenie 4 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz
A  przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W , to A jest
funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy Ker A = {0}.
D o w ó d. Jeśli przekształcenie A jest różnowartościowe, to z uwagi na
równość A(0) = 0, wnioskujemy, że Ker A = {0}.
6
Załóżmy teraz, że Ker A = {0}. Niech x i v będą dwoma wektorami
przestrzeni V . Jeśli A(x) = A(v), to
A(x - v) = A(x) - A(v) = 0,
co oznacza, że x - v " Ker A. Z założenia wynika, że x - v = 0, czyli x = v.
Wynika stąd różnowartościowość funkcji A.
Definicja 5 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W nazywa-
my monomorfizmem, jeśli jest ono różnowartościowe.
Wniosek 1 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W jest mo-
nomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker A = {0}.
Definicja 6 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W nazywa-
my epimorfizmem, jeśli przekształca przestrzeń V na przestrzeń W .
Wniosek 2 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W jest epi-
morfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im A = W .
Z definicji izomorfizmu, monomorfizmu i epimorfizmu wynikają następu-
jÄ…ce wnioski:
Wniosek 3 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W jest izo-
morfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem i epimorfizmem.
Wniosek 4 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń W jest izo-
morfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker A = {0} i Im A = W .
Twierdzenie 5 Jeżeli A : V - W jest przekształceniem liniowym prze-
strzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym
ciałem i wektory a1, . . . , an z przestrzeni V są liniowo zależne, to wektory
A(a1), . . . , A(an) są też liniowo zależne.
7
D o w ó d. Z założenia liniowej zależności wektorów a1, . . . , an wynika, że
istnieją elementy ą1, . . . , ąn w ciele K nie wszystkie równe zeru i takie, że
Ä…1a1 + · · · + Ä…nan = 0.
Wtedy, zgodnie z twierdzeniami 1. i 2. mamy
0 = A(0) = A(Ä…1a1 + · · · + Ä…nan) =
= Ä…1A(a1) + · · · + Ä…nA(an),
co dowodzi liniowej zależności wektorów A(a1), . . . , A(an).
A
atwo zauważamy, że jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym
przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym sa-
mym ciałem i wektory a1, . . . , an są liniowo niezależne (w przestrzeni V ), to
wektory A(a1), . . . , A(an) nie muszą być liniowo niezależne. Przykładem na
potwierdzenie tej uwagi jest przekształcenie zerowe.
Jeśli jednak przekształcenie liniowe jest izomorfizmem, to obrazy wekto-
rów liniowo niezależnych stanowią układ liniowo niezależny.
Twierdzenie 6 Jeżeli A : V - W jest izomorfizmem przestrzeni liniowej
V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory
a1, . . . , an z przestrzeni V są liniowo niezależne, to wektory
A(a1), . . . , A(an)
(z przestrzeni W ) są też liniowo niezależne.
D o w ó d. Niech ą1, . . . , ąn będą dowolnymi elementami z ciała K. Jeśli
Ä…1A(a1) + · · · + Ä…nA(an) = 0,
to również
A(Ä…1a1 + · · · + Ä…nan) = A(0).
Z różnowartościowości funkcji A wnioskujemy, że
Ä…1a1 + · · · + Ä…nan = 0.
8
Ponieważ wektory a1, . . . , an są liniowo niezależne, więc
Ä…1 = 0, . . . , Ä…n = 0,
co dowodzi, że wektory A(a1), . . . , A(an) są też liniowo niezależne.
3 Twierdzenie o określaniu przekształcenia li-
niowego
Jednym z podstawowych twierdzeń o przekształceniach liniowych jest nastę-
pujÄ…ce twierdzenie.
Twierdzenie 7 Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad
(tym samym) ciałem K. Jeśli układ wektorów (x1, . . . , xn) stanowi bazę prze-
strzeni V , natomiast wektory y1, . . . , yn należą do przestrzeni W , to istnieje
jedyne przekształcenie liniowe Ś przestrzeni V w przestrzeń W takie, że
Åš(xi) = yi, gdy i " {1, . . . , n}.
D o w ó d. Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni V . Wtedy wek-
tor x ma jednoznaczny rozkład względem bazy (x1, . . . , xn), czyli istnieje
jedyny ukÅ‚ad (¾1, . . . , ¾n) elementów z ciaÅ‚a K taki, że
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn.
Przekształcenie Ś określamy następująco:
Åš(x) = ¾1y1 + . . . + ¾nyn, gdy x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn.
Z jednoznaczności przedstawienia wektora w postaci kombinacji liniowej wek-
torów bazy wynika, że powyższy wzór określa funkcję.
Ponadto, Ś(xi) = yi dla każdego wskaz
nika i ze zbioru {1, . . . , n}.
Niech teraz x i y będą dowolnymi wektorami przestrzeni V , mającymi
przedstawienia:
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn i y = ·1x1 + . . . + ·nxn.
9
Wtedy
x + y = (¾1 + ·1) x1 + . . . + (¾n + ·n) xn.
Z określenia funkcji Ś wynika więc zależność

Åš(x + y) = Åš (¾1 + ·1) x1 + . . . + ¾n + ·n xn =
= (¾1 + ·1) y1 + . . . + (¾n + ·n) yn =

= ¾1y1 + . . . + ¾nyn + ·1y1 + . . . + ·nyn = Åš(x) + Åš(y).
Ponadto, jeśli ą jest dowolnym elementem ciała K, to
Ä…x = (Ä…¾1)x1 + . . . + (Ä…¾n)xn,
skÄ…d wynika

Åš(Ä…x) = Åš Ä…¾1x1 + . . . + Ä…¾nxn =

= (Ä…¾1)y1 + . . . + (Ä…¾n)yn = Ä… ¾1y1 + . . . + ¾nyn = Ä… · Åš(x).
Z powyższych rozważań wnioskujemy, że Ś jest przekształceniem liniowym
przestrzeni V w przestrzeń W .
Przypuśćmy, że przeksztaÅ‚cenie liniowe ¨ : V - W speÅ‚nia warunek
¨(xi) = yi, gdy i " {1, . . . , n}.
Wtedy dla każdego wektora x z przestrzeni V , mającego postać
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn,
spełnione są równości
¨(x) = ¨ (¾1x1 + . . . + ¾nxn) = ¾1¨(x1) + . . . + ¾n¨(xn) =
= ¾1Åš(x1) + . . . + ¾nÅš(xn) = Åš (¾1x1 + . . . + ¾nxn) = Åš(x),
a stÄ…d wynika, że przeksztaÅ‚cenia Åš i ¨ sÄ… równe.
Tak więc Ś jest jedynym przekształceniem liniowym spełniającym warunki
twierdzenia.
10