MB, Wykład 4 i 5
5. Podstawowe wiadomości o układach liniowych (UL)
5.1. Główne zało\
enia i pojęcia
W układzie liniowym (UL) obowiązuje zasada superpozycji. Zilustrujemy ją na
przykładzie obcią\
eń.
W układach mechanicznych podstawowym typem działań są obcią\
enia oznaczone przez
P, a odpowiedziami są przemieszczenia ". Są one wzajemnie przyporządkowane (są parą
"
dualną), tzn. ich iloczyn P ma wymiar pracy
"
[P][ ]= Nm . (21)
Zasada superpozycji jest podstawowym atrybutem UL. Piszemy ją w postaci dwóch
działań, jakimi są: 1) efekt równoczesnego działania kilku obcią\
eń jest równy sumie
działania ka\
dego z obcią\
eń oddzielnie, 2) zachodzi proporcjonalność do ustalonego
parametru k
" " " "n "
1 2
1) (P1 + P + K + Pn)= (P1)+ (P2 )+ K + (Pn ) = Pi n (22.1)
"
2
i=1
" "
2) (k Pi ) = k Pi (22.2)
i i
Główne zało\
enia UL:
A) Materiał jest liniowo sprę\
ysty (obowiązuje prawo Hooke`a);
B) Układ jest geometrycznie niezmienny;
C) Więzy są idealne (beztarciowe), a ich liczba i poło\
enie zapewniają geometryczną
niezmienność układu;
D) Obowiązuje zasada zesztywnienia i zgodność przemieszczeń. Wynikają stąd liniowe
równanie równowagi i liniowe równia geometryczne (kinematyczne).
5.2. Uogólniona siła i uogólnione przemieszczenia
Celem otrzymania ogólnych opisów zjawisk towarzyszących obcią\
eniu i deformacji
konstrukcji posługujemy się wielkościami uogólnionymi (wielkościami u).
"
U. siła i u. przemieszczenie P i są definiowane tak aby ich iloczyn dawał pracę L
"
P �" = L (23)
gdzie: [L]= Nm
Przykłady, Rys.1:
1) siła skupiona
"
P = F, = u oraz wymiar iloczynu L: [F] [u]= Nm ,
2) moment skupiony
P = M, " = � oraz wymiar iloczynu L: [M] [�]= Nm �" 1 = Nm ,
13
3) Obcią\
enie rozło\
one
P = p(x), " - powierzchnia pola ugięć wynikająca z całki (3.1) tak, \
e iloczyn (3)
"
"
"
"
daje [p] [ ]= N/m�" m2= Nm .
Ogólniej obliczamy pracę za pomocą całki
x2
L = p v dx (3.1)
+"
x1
Rys. 15
5.3. Praca obcią\
eń przykładanych statycznie
Obcią\
enie jest przykładane  statycznie ( w skrócie obcią\
enie statyczne), tzn. \
e jego
wartość wzrasta tak wolno (prędkości i przyśpieszenia są małe), \
e mo\
emy pomijać siły
bezwładności (d`Alemberta) lub energii kinetycznych.
Praca u. sił zewnętrznych jest definiowana wzorem, por. te\
Rys. 16
r
r
dL = P(s)dr (s)
Rys. 16
r
W podanym wzorze dr jest wektorem chwilowej prędkości, stycznym do trajektorii
ruchu, parametryzowanej zmienną s.
Praca u. sił zewnętrznych (obcią\
enia i r
reakcje) UL równowa\
nego z modelem układu
r
konstrukcyjnego wynika z kolinearności P i dr oraz proporcjonalności wzrostu u.
przemieszczenia względem obcią\
enia:
r
r
dLz = P(s) dr = P(v) dv = k v dv,
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności w zale\
ności P(v) = k v . Całkowita praca
wynosi:
14
" "
1 1 1
Lz = P(v) dv = k v dv = k = (k")" = P(")�" ".
+" +" "2
2 2 2
0 0
Interpretacją geometryczną całkowitej pracy jest pole powierzchni trójkąta OAB na
płaszczyz
nie (v, P), Rys. 17:
Rys.17
Praca u.siły na odpowiadającym jej u przemieszczeniu odpowiada statycznemu przyło-
\
eniu obcią\
eń i wyra\
a się wzorem
1
Lz = P " (24)
2
Korzystając z zasady superpozycji równoczesne działanie n u.sił skupionych i obcią\
enia
ciągłego wyra\
a się wzorem (rys. 3b):
n
1 1
Lz = Pi"i + q(x)�""(x)dx (24.1)
"
+"
2 2
i=1
n
5.4. Praca sił przekrojowych
Podczas działania obcią\
eń w UK powstają siły wewnętrzne przeciwdziałające
odkształcaniu się ustroju konstrukcyjnego i zapewniające jego spójności. W UP powstają pola
sił przekrojowych
N(x), Q(x), M (x).
W trakcie statycznego przykładania obcią\
enia zachodzi podstawowa zale\
ność
Lz = Lw , (25)
w której Lw jest pracą sił przekrojowych (wewnętrznych).
Elementarna praca siły podłu\
nej wyra\
a się wzorem
15
2
1 1 Ndx N
dLN = N " = N = dx, (26)
w
2 2 EA 2EA
gdzie EA jest przekrojową sztywnością pręta na rozciąganie, a " przyrostem długości osi o
elementarnej długości dx (rys. 18a). Całkowitą pracę pola sił podłu\
nych dla pręta o długości
l obliczamy za pomocą całki:
2 2
N (x) N
LN = dx = dx . (26.1)
+" +"
w
2EA 2EA
(l) (l)
Rys.18
Elementarna praca momentu zginającego jest określana wzorem:
2
1 1 1 ds 1 Mds M
dLM = M " = M d� = M = M = ds (27)
w
2 2 2 � 2 EI 2EI
gdzie: " = d� = ds/� i 1/� = M/EI ..
Dla pręta o długości l otrzymujemy:
2
M
LN = dx. (27.1)
+"
w
2EI
(l)
Elementarna praca siły poprzecznej jest obliczana ze wzoru wyprowadzanego na
wykładzie z wytrzymałości materiałów (dla PUP piszemy � = � , ł = ł )
xy xy
Q(x) Sz ( y) Q S( y)
dQ = � dA = dA a" dA
Izb( y) I b(y)
i stąd dla dQ = � dA, " = (� /G) dx otrzymujemy
2
2
�ł �ł
1 1 � 1 � 1 Q S(y)
3
d LQ = dQ�"" = (� dA) �"�ł dx�ł = dAdx = �ł �ł dA dx .
�ł �ł
w
�ł �ł
2 2 G 2 G 2G I b( y)
�ł łł
�ł łł
Obliczamy elementarną pracę siły poprzecznej:
16
2
2
�ł �ł
1 Q2 S( y) 1 A S (y) � Q2
dLQ = �ł �ł dAdx = Q2 2 +"+" dAdx = dx . (28)
+"+"
w
�ł �ł
2
2G b(y) 2GA 2GA
I I b2(y)
( A)�ł łł (A)
Całkowita praca siły poprzecznej Q(x) dla pojedynczego pręta wynosi:
� Q2
LQ = dx . (28.1)
+"
w
2GA
(l)
We wzorach (8) występuje współczynnik kształtu przekroju poprzecznego
2
A S
� = dA . (29)
+"+"
2
I b2
( A)
W tablicy zestawiono wartości współczynnika � dla ró\
nych kształtów przekroju poprzecz-
nego
Współczynnik
kształtu
I
�%
kształt
6 32 A
= 1.2 = 1.18 H"
�
5 17 As
gdzie: A - całkowita powierzchnia pola przekroju, As - powierzchnia środnika
A
ączna praca sił przekrojowych w PUP wynosi:
2 2
�ł �ł
M � Q2 N
�ł
Lw = LM + LQ + LN = (30)
"
+" +"
w w w
�ł(+") 2EI dx + (l) 2GA dx + (l) 2EA dx�ł .
�ł
l
l
�ł łł
We wzorze (30) sumowanie oznacza, \
e nale\
y obliczyć pracę sił wewnętrznych dla ka\
dego
pręta i dodać.
5. Energia sprę\
ysta PUP
Praca sił wewnętrznych jest równa energii sprę\
ystej U odkształcenia, i jest gromadzona
w UK podczas jego deformacji. Podczas odcią\
enia dzięki tej energii ustrój powraca do stanu
początkowego. Energia U jest równa pracy sił przekrojowych Lw i w stanie równowagi jest
równa pracy sił zewnętrznych
U a" Lw = Lz . (31)
Ze wzoru (10) wynika, \
e energia sprę\
ysta jest zawsze nieujemna (wynosi 0 dla ustroju
nieobcią\
onego i dodatnia dla obcią\
onego). Ze wzoru (11) korzystamy przy obliczeniu
17
przemieszczeń. Ilustruje to prosty przykład obliczania kąta obrotu �0 wspornika obcią\
onego
momentem skupionym M .
0
Rys. 19
l 2 l 2
2
M (x) 1 M M l
0 0
U = dx =
+" +"dx = 2EI
2EI 2 EI
0 0
1
Lz = M �0
0
2
1 M0l M l
0
Lz = U M0� = � =
2 2EI EI
6. Podstawowe twierdzenia UL
6.1. Twierdzenie o wzajemności prac wirtualnych
Rozwa\
amy dwa stany obcią\
enia I i II ustroju liniowego (sprę\
ystego) znajdujące się w
stanie równowagi, por. Rys.6.
Rys. 20
Dwuindeksowe oznaczenie przemieszczeń "ij jest dalej u\
ywane, gdzie:
1) pierwszy indeks i oznacza punkt i kierunek rozpatrywanego przemieszczenia,
2) drugi indeks j oznacza przyczynę powstałego przemieszczenia (siła Pj).
Następny stan III odpowiada łączeniu działania sił P1 i P2, przy czym w stanie IIIa
najpierw działa statycznie przyło\
ona siła P1, a następnie siła P2. W stanie IIIb najpierw
działa P2, a potem P1. Dla tych stanów obliczamy pracę sił zewnętrznych, korzystając z
zasady superpozycji:
18
1 1
LIIIa = L11 + L22 + L12 = P1 "11 + P2 "22 + P1 "12,
2 2
1 1
LIIIb = L22 + L11 + L21 = P2 "22 + P1 "11 + P2 "21.
2 2
Stany końcowe są identyczne stąd otrzymujemy:
LIIIa = LIIIb .
Wynika stąd zasada
L11 = L21 = P1 "12 = P2 "21 (32)
którą sformułujemy po wprowadzeniu definicji pracy wirtualnej.
Przemieszczenie wirtualne jest dowolnym ale: 1) zgodne z więzami i 2) niezale\
ne od
obcią\
eń i przemieszczeń uogólnionych. Jest to uogólnione przemieszczenie współliniowe z
prędkością chwilową (mo\
liwą), por. Rys. 21.
Rys. 21
Przemieszczenie wirtualne mo\
e być wywołane ró\
nymi przyczynami np. wpływ
temperatury, osiadanie podpór itd.
Praca wirtualna jest wywołana przez działanie uogólnionej siły (układów sił) na
przemieszczeniu wirtualnym. Oznaczamy ją literą W lub � L . Na Rys. 22 pokazano ró\
nicę
między pracą L wywołaną przez statycznie przykładana uogólnioną siłę na zale\
nych od niej,
proporcjonalnie rosnącym uogólnionym przemieszczeniu v o końcowej wartości " . W
1
definicji L występuje mno\
nik , którego nie ma w definicji W = P " , wyra\
ają pole
2
powierzchni na Rys. 22:
Rys. 22
19
Zasada wzajemności pracy wirtualnej nazywana te\
zasadą Bettiego (1872) mo\
e być
wysłowiona w następujacy sposób:
Praca wirtualna pierwszego układu sił na przemieszczeniach wirtualnych drugiego
układu sił jest równa pracy wirtualnej drugiego układu sił na przemieszczeniach
wirtualnych pierwszego układu sił
W12 = W21 tj. P1 "12 = P2 "21 , (33)
gdzie: "12 i "21 są przemieszczeniami wirtualnymi.
6.2. Zasada wzajemności przemieszczeń
Zgodnie z zasadą superpozycji i-te uogólnione.przemieszczenie wynikające z działania n
uogólnionychsił wynosi
n
"i = " + "i2 +K+ "in = �i1 P1 + �i2 P2 +K+ �in Pn = �ij Pj , (34)
"
i1
j =1
gdzie �ij jest uogólnionym przemieszczeniem wywołanym przez jednostkową siłę Pj = 1, a
więc mo\
emy napisać
"ij = �ij Pj , (35)
gdzie pierwszy indeks i wią\
emy ze skutkiem, a 2-gi indeks j jest połączony z przyczyną. Na
Rys.9 siła Pj jest przyczyną powodującą przemieszczenie "ij w punkcie i po kierunku i .
Całkowite przemieszczenie jest rzutowane na ten kierunek. Jeśli uogólniona siła ma wartość
1, tj. Pj = 1 to uogólnione przemieszczenie jest �ij . Oczywiście uogólnione przemieszczenie
�ij mo\
e mieć inny charakter ni\
siła Pj .
Rys. 23
Korzystając z (33) zasadę wzajemności prac wirtualnych mo\
emy napisać w postaci
"12
"21
68
7
}
P1 �12 P2 = P2 � P1 ,
21
a po podzieleniu przez P1P2 mamy
�12 = � .
21
Tę nierówność mo\
emy napisać w postaci ogólniejszej:
20
�ij = � . (36)
ji
Która stanowi treść twierdzenia, które w literaturze jest znane pod nazwą
Zasada wzajemności przemieszczeń (Maxwell, 1864)
Uogólnione przemieszczeniu �ij wywołane siłą Pj = 1, odpowiadające sile Pi
działającej w punkcie i po kierunku i jest równe przemieszczeniu � , a więc jest
ji
wywołane siłą Pi = 1 i występuje w miejscu działania siły Pj po kierunku j .
Twierdzenie ze względu na jego wagę i powszechność stosowania zostało nazwane zasadą.
Jeszcze raz ilustrujemy tę zasadę na przykładzie belki prostej na Rys. 24.
Rys. 24
Poniewa\
zajmujemy się wielkościami fizycznymi (mechanicznymi) to nale\
y określić
ich wymiary. Z zale\
ności
"i = "ij = �ij Pj ,
wynika wzór
["i] wymiar i - tego uogólnionego przemieszczenia
[�ij]= = (37)
[Pj] wymiar j - tej uogólnionej siłi
Sprawdzimy ten wzór na przykładzie belki z Rys. 24.
m 1
[Pj]= N m, ["i]= m [�ij]= =
Nm N
1
[Pi]= N, [" ]= 1 [� ]=
j ji
N
6.3. Zasada wzajemności reakcji
Rozwa\
amy układ, w którym na skutek wymuszonego przemieszczenia " wystąpią
j
reakcje więzów Ri :
Ri = Ri1 + Ri2 + K + Rin = ri1 "1 + ri2 "2 + K + rin "n . (38)
Podobnie jak w przypadku przemieszczeń zachodzi związek
21
Rij = rij " , (39)
j
gdzie rij jest uogólnioną reakcją i-tego więzu wywołaną jednostkowym uogólnionym
przemieszczeniem " = 1.
"
"
"
j
W dalszym ciągu będziemy pisali reakcje Rij tak jak przemieszczenie "ij , to znaczy 1-
szy indeks wią\
emy ze skutkiem, 2-gi z przyczyną. Na Rys. 25 pokazano przykład ramy z
wymuszonym przemieszczeniem " (poziome przemieszczenie rygla) i uogólnionymi
j
reakcjami wywołanymi tym przemieszczeniem.
Rys. 25
Wymiar reakcji rij wynika ze wzoru (39)
[Ri ], N N m
[rij]= dla Rys.10 [r1 j]= , [r5 j]= = N (40)
[" ] m m
j
Teraz rozpatrzymy dwa stany układu pokazanego na Rys. 26.
Rys. 26
W stanie I przemieszczamy punkt przyło\
enia więzu i-tego i występujące reakcje od "i
oznaczono jako Rii oraz R . W stanie II reakcje Rij i R są wywołane przemieszczeniem
ji jj
" . Korzystamy z zasady wzajemności prac wirtualnych i przyjmując przemieszczenia
j
wirtualne ze stanu II dla sił działających w stanie I przyrównujemy do pracy wirtualnej sił
stanu II na przemieszczeniach wirtualnych stanu I:
22
Rii �" 0 + Rji �" " = R �" 0 + Rij �" "i .
144244 14 3
3j jj 4244
WI,II WII ,I
Stąd wynika:
R " = Rij"i
ji j
a po podstawieniu (39)
(rji �" "i)�" " = (rij " )�" "i
j j
dochodzimy do wzajemności reakcji
rij = rji. (41)
Zasada wzajemności reakcji Rayleigha (1873):
Uogólniona reakcja rij w punkcie i-tym wywołana j-tym jednostkowym przemiesz-
czeniem " = 1, jest równa reakcji rji w punkcie j-tym od przemieszczenia "i = 1.
" "
" "
" "
j
6.4. Zasada wzajemności przemieszczeń i reakcji
Rozpatrzmy dwa stany układu pokazanego na Rys. 27
Rys.27
,
W stanie I siła Pi = 1 wywołuje reakcje rij , a w stanie II przemieszczenie " = 1 powoduje
"
"
"
j
,
przemieszczenie � . A
ączne działanie obydwu stanów daje:
ji
, ,
Pi �ij + rji " = 0
"
"
"
j
skąd wynika dla Pi = 1 i " = 1 zasada wzajemności reakcji i przemieszczeń
"
"
"
j
' '
�ij = - rji . (42)
23
,
Nale\
y zwrócić uwagę na celowe u\
ycie  prim , gdy\
�ij odpowiada sile Pi lecz jest
,
wywołane przemieszczeniem " = 1 (a nie siłą Pj = 1,!). Tak samo rji jest reakcją nie od
"
"
"
j
przemieszczenia "i = 1 lecz od siły Pj = 1.
"
"
"
' '
Wymiary wielkości �ij i rji określamy zale\
nościami
[Pj] .
["i], ,
,
[�ij]= [rji]= (43)
[" ] [Pi]
j
W przykładzie na Rys. 12 będzie
m N m
, ,
[�ij]= = m, [rji]= = m .
1 N
24