Układy
liniowosprężyste
Clapeyrona
Liniowosprężysty układ
Clapeyrona
Ó!
zbiór połączonych ze sobą ciał odkształcalnych,
w których przemieszczenia są liniowymi funkcjami sił
Układ rzeczywisty może być traktowany jako liniowosprężysty gdy:
" składa się z połączonych ze sobą ciał liniowosprężystych
będących w równowadze,
" przemieszczenia nie wpływają na zmianę warunków równowagi,
" siły tarcia można pominąć.
Siła uogólniona =
(a) siła skupiona lub (b) moment skupiony,
(obciążenie rozłożone liniowo lub powierzchniowo)
Przemieszczenie uogólnione =
(a) przemieszczenie lub (b) kąt obrotu
�
A
M
Pi
A
Ui
Dowolne przemieszczenie uogólnione ui (i=1,2,..,n) spowodowane
jednoczesnym działaniem układu sił uogólnionych Pj (j=1,2,..,n)
można przedstawić w postaci:
n
ui = fijPj = fi1P1 + fi2P2 + ... + fijPj + ... + finPn
"
j=1
lub macierzowo:
u = FP
fij a" liczby wpływowe
u1 P1
ż# �# ż# �#
f11 f12 . f1n
Ą#ń#
�#u �# �#P �#
ó#
f21 f22 . f2n Ą#
�# �#, P = �# �#,
2 2
ó#Ą#
u =
F =a" macierz podatnosci
�# Ź# �# Ź#
ó#Ą#
. . fij .
�#. �# �#. �#
ó#Ą#
�#un �# �#Pn �#
fn1 fn2 . fnn Ś#
ó#Ą#
�#�# �# �#
Ł#
Dowolną siłę uogólnioną Pi (i=1,2,..,n) można przedstawić jako
liniową funkcję uogólnionych przemieszczeń uj (j=1,2,..,n):
n
Pi = kiju = ki1u1 + ki2u2 + ... + kiju + ... + kinun
j j
"
j=1
lub macierzowo:
P = Ku
k11 k12 . k1n
Ą#ń#
ó#k k22 . k2n Ą#
21
ó#Ą#
K = F-1
K =a" macierz sztywnosci
ó#
.. kij . Ą#
ó#Ą#
ó#Ś#
n1
Ł#k kn2 . knn Ą#
Zasada superpozycji
n
ui = fijPj = fi1P1 + fi2P2 + ... + fijPj + ... + finPn
"
j=1
uij uin
u1 ui2
i
ui = u1 + ui2 + ... + ...uij + ... + uin
i
Jeżeli zachodzą liniowe związki między skutkami i przyczynami,
to skutek spowodowany jednoczesnym działaniem wszystkich
przyczyn jest sumą skutków wywołanych pojedynczymi przyczynami
Energia sprężysta
Na układ liniowosprężysty działają siły uogólnione P1, P2,..., Pi,.., Pn.
Zwiększają się one w sposób quasi-statyczny od zera do pełnych
swoich wartości. Obciążenia te wywołują odpowiadające im
przemieszczenia u1, u2,..., ui,.., un.
Energia kinetyczna:
Pi
E = L + A
praca siłyPi
L= praca sił zewnętrznych Pi
1
A= praca sił wewnętrznych
Pui
i
2
ui
Ponieważ E=0, więc
n
L = -A a" V
1
L = V =
i i
"Pu
2
V= energia sprężysta, równa pracy
i=1
sił wewnętrznych A wziętych ze znakiem (-)
n
1
L = V =
i i
"Pu
2
i=1
n
n
Pi =
ui = fijPj
ij j
"k u
"
j=1
j=1
n n n n
11
L = V = PiPj fij = uiu kij
j
"" ""
22
i=1 j=1 i=1 j=1
Energia sprężysta układu liniowosprężystego jest jednorodną kwadratową
funkcją sił lub przemieszczeń uogólnionych.
Ponieważ V nie jest liniową funkcją Pi oraz ui, nie można do obliczania
energii sprężystej stosować zasady superpozycji.
Twierdzenie o wzajemności prac Bettiego
Niech na układ liniowosprężysty działają w sposób quasi-statyczny
dwie siły, w kolejności Pi i Pj oraz Pj i Pi.
11
�#ś#
11
�#ś#
Lji = Pju + Piuii + Pju
Lij = Piuii + Pju + Piuij ź#
=
jj ji
ś#ź#
jj
ś#
22
22
�# #
�# #
Puij = Pjuji
i
Praca siły Pi na odpowiadającym jej przemieszczeniu uij wywołanym siłą Pj jest
równa pracy siły Pj na odpowiadającym jej przemieszczeniu uji wywołanym siłą Pi.
Twierdzenie o wzajemności
przemieszczeń Maxwella
Załóżmy, że Pi=Pj. Wówczas z tw. Bettiego wynika, że
uij = u
ji
Przemieszczenie uij opowiadające sile Pi spowodowane siłą Pj
jest równe przemieszczeniu uji odpowiadającemu sile Pj
spowodowanemu siłą Pi jeśli Pi=Pj.
u = f Pi = f
Jeśli Pi=Pj=1, to uij = fijPj = fij oraz
ji ji ji
stąd
fij = f oraz kij = k
ji ji
Macierze podatności F i sztywności K są symetryczne
Twierdzenie Castigliana
Na układ liniowosprężysty działają uogólnione siły P1, P2, .., Pi,.., Pn.
Siły te doznają przyrostów dP1, dP2, .., dPi,..,dPn.
Praca przyrostów sił dPi na odpowiadających im przemieszczeniach ui
jest równa:
n
dL = dPiui
"
i=1
Różniczka energii sprężystej V=V(P1, P2, .., Pi,.., Pn) jako funkcji wielu
zmiennych wyraża się zależnością:
n
"V
dV = dPi
"
"Pi
i=1
dL = dV
nn
n
"V
�#ś#
"V
dPiui = dPi
ś#ui -
""
"
ś#ź#dPi = 0
"Pi
"Pi ź#
�# #
i=1 i=1
i=1
dla dowolnych
Twierdzenie Castigliana:
przyrostów dPi
"V
ui =
"Pi
Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem siły uogólnionej jest
równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.
Energia sprężysta układu prętowego
Pręt rozciągany (ściskany):
Rozważamy pręt o długości dx, polu przekroju A, rozciągany
(ściskany) siłą N. Siła N wykonuje pracę:
1
E= moduł Younga
dV = Ndu
2
Ndx
du =
gdzie
Dla pręta o długości l:
EA
l
2
22
NN l
N dx
V = dx =
dV =
+"
2EA 2EA
2EA
0
Skręcanie:
Rozważamy pręt o długości dx, przekroju kołowym o biegunowym
momencie bezwładności IS skręcany momentem skręcającym MS.
Moment skręcający wykonuje pracę:
G= moduł Kirchhoffa
1
dV = MSd�
2
MSdx
d� =
gdzie
Dla pręta o długości l:
GIS
l
2
MS2
MSl
2
MSdx
V = dx =
+"
dV =
GIS 2GIS
0
2GIS
Zginanie:
Rozważmy pręt (belkę) o długości dx zginany momentem gnącym Mg.
Moment gnący wykonuje pracę na kącie ugięcia
dŃ
E= moduł Younga
1
1
I = moment bezwładności
dV = M dŃ
dV = MgdŃ
g
przekroju
2
2
M M dx
dŃ 1
Dla pręta o długości l:
= = -gg
skąd dŃ = -
dx � EI EI
22
l
2
M dx M l
gg
M dx
g
V ==
dV =
+"
2EI 2EI
0
2EI
Ścinanie:
Rozważany jest pręt o długości dx ścinany siłą poprzeczną T.
Siła T wykonuje pracę na ugięciu środka ciężkości przekroju dvT:
1
dV = TdvT
2
Ugięcie dvT oblicza się porównując energię sprężystą w elemencie
zastępczym (przekrój płaski) z energią w rzeczywistym elemencie
pręta (przekrój wypaczony):
2
TSz wzór
1 �
TdvT = dxdA
� =
gdzie
Żurawskiego
+"
22G
Ib
A
Ścinanie cd:
2
2 2
Ą#ń#
1 T Sz A Sz Tdx
TdvT = dx dA
dvT = dAĄ#
ó#
2
+"
2
+"
2 I b2 2G
I b2Ś# GA
A
Ł# A
� = bezwymiarowy współczynnik
zależny od kształtu przekroju
�Tdx
gdzie
dvT =
2
A Sz
GA
� = dA
2
+"
I b2
A
Dla pręta o długości l:
2
1 �T dx
l
22
dV = TdvT =
�T dx �T l
V ==
22GA
+"
2GA 2GA
0
Podsumowanie
2
Sila wewnętrzna
dV 1 ()
=
dx 2 Sztywnosc
()
2
2
dV 1 Ms
dV 1 N
=
Rozciąganie:
=
Skręcanie:
dx 2 GIs
dx 2 EA
2
2
dV 1 �T
M
dV 1
g
Ścinanie:
Zginanie: =
=
dx 2 GA
dx 2 EI