Wprowadzenie do teorii układów
liniowych
Transformacje Laplace'a, Fourier'a, Z
Adam Martowicz, Piotr Kurowski
Faculty of Mechanical Engineering and Robotics
Department of Robotics and Mechatronics
Agenda
" Układy liniowe  układy nieliniowe
" Wprowadzenie do teorii układó
liniowych
" Układy ciągłe i dyskretne
" Transformacja Laplace'a
" Transformacja Fourier'a
" Transformacja Z
" Wartości i wektory własne
Układy liniowe  układy nieliniowe
Układ mechaniczny  zbiór elementów fizycznych o określonych
parametrach mechanicznych połączonych razem
Układ mechaniczny
Element 1
przemieszczeni
e
prędkość
Element 2
Element 3
siła
przyspieszenie
Element 4
Inetrakcje z otoczeniem
Układy liniowe  układy nieliniowe
Określenie układu
Struktura rzeczywista
Model fizyczny
Interaction
Wymuszenia
with surroundings
zewnętrzne
Element 2
Masa
Element 1
Sprężystość
Model matematyczny
Ł
m� + kx = F
Układy liniowe  układy nieliniowe
Układy liniowe
Model matematyczny układu liniowego może zostać określony za pomocą
układów rónań różniczkowych lub różniczkowych cząstkowych
2 2
" u " u
c� + kx = F
= a2
" t2 " x2
Układ nieliniwy
Model mamatematyczny ukladu nieliniowego musi zostać określony jako
zestaw nieliniowych równań różniczowych lub różniczkowych cząstkowych.
Ł
m� + c� + kx2 = F
Układy liniowe  układy nieliniowe
Większość układów rzeczywistych jest nieliniowych
Przykłady nieliniowości:
- parametry materiałowe
Parametr
Zależności histerezowe pomiędzy
pametrami materiałowymi a
obciążeniem
Obciążenie
- warunki brzegowe
Nieciągłość warunków brzegowych
Układy liniowe  układy nieliniowe
W ogólności układu nieliniowe są trudno-wyznaczalne w sposób analityczny
Najczęściej stosowane rozwiązania w trakcie pracy z układami nieliniowymi:
" Zastosowanie technik numerycznych do uzyskania przybliżonego
rozwiązania modelu matematyczngo opisującego układ nieliniowy
" Wyznaczenie ścisłego rozwiązania analitycznego modelu przybliżonego
zidentyfikowanego na bazie parametrów modelu nieliniowego
Techniki linearyzacji pozwalają na znalezienie przybliżonego modelu
matematycznego ukladu nieliniowego:
" Metoda tangensowa  człony stałe i liniowe wyznaczane na podstawie
rozwinięć w szeregi Taylora
" Metoda siecznych jest wykorzystywana dla zdefiniowanego punktu
pracy lub w przypadku konieczności uwzględniania dużych amplitud
wymuszeń zewnętrznych
Układy liniowe
Przykład
Mathematical model
Model fizyczny
Ł
m� + c� + kx = F
Wymuszenia
zewnętrzne
Równanie ruchu masy
Masa
wyznaczone na bazie praw
Newtona lub równań
Lagrange'a drugiego rodzaju
Sprężystość
Tłumienie
Jedynie człony liniowe
(uwzględniając pochodne) są
uwzlędniane w opisie
zachowania układu
Układy liniowe
Przykładowy model mamtematyczny  równania różniczkowe:
Ł
m� + c� + kx = F
" u " u
( )
- a2 t u = 0
" t " x
Jednorodny / Niejednorodny
Pierwszego rzędu / Drugiego rzędu / Trzeciego rzędu / &
Liniowy / Nieliniowy
Stałe współczynniki / Zmienne współczynniki
Zwyczajne / Cząstkowe
Układy liniowe
Równania macierzowe opisujące mechaniczne układy liniowe modelowane
metodą elementów skończonych
Ł
M� + C� + Kx = F
gdzie:
M  globalna macierz mas
C  globalna macierz tłumień
K  globalna macierz sztywności
x  wektor kolumnowy przemieszczeń węzłowych
F  wektor kolumnowy sił węzłowych
M,C,K są zbudowane z elementów opisujących model w sposób liniowy
Układy liniowe
Metody rozwiązywania równań różniczkowych
Ułady mechaniczne opisywane równaniami:
Ł
m� + c� + kx = 0
odpowiedz
zakładana jest jako (przypadek drgań podkrytycznych):
x = Ae- nt sin(� t + � )
równanie ruchu przyjmuje postać:
2
Ae- nt[c� cos(� t + � ) + (k - m� )sin(� t + � )]= 0
następnie rozwiązanie wykorzystywane jest do wyznaczenia amplitudy
A oraz fazy �
Układy liniowe
Metody rozwiązywania równań różniczkowych
" Pryzpadki roywiyania:
" drgania podkrytyczne
(
x = Ae- nt sin � t + � )
" drgania krytyczne
x = ( A + Bt)e- � t
" drgania nadkrytyczne
x = Ae( - n- � )t + Be( - n+ � )t
Układy liniowe
Metody rozwiązywania równań różniczkowych
" Przez podstawienie
" Poprzez separację zmiennych
" Poprzez perturbację parametrów
" Poprzez poszukiwanie rozwiązania szczególnego
dla równania niejednorodnego
" Poprzez transfromację Laplace
Ukłądy ciągłe i dyskretne
Układy ciągłe mogą posiadać nieskończoną liczbę stanów
określonych w ciągłej dziadzinie czasu. Ich zachowanie jest
opisywane poprzez równania różniczkowe.
W przypadku układów dyskretnych może być rozpatrywane:
" Dyskretne stany systemu
" Czas dyskretny określający sygnały wejściowe i wyjściowe
Kolejne stany układu mogą być zdefiniowane za pomocą szeregów
czasowych. Układy dyskretne są charakteryzowane poprzez:
" x
" Równania różnicowe dla sygnałów
+ kx = 0
" t
" Zależności rekurencyjne jako zamiennik transmitancji
xi+ 1 = kxi - cxi- 1
Możliwa jest reprezentacja układu ciągłego jako układu
dyskretnego poprzez próbkowanie ciągłych sygnałów wejściowych i
wyjściowych
na dyskretnych przedziałach czasowych.
Układy ciągłe i dyskretne
Układy z czasem ciągłym  czasem dyskretnym
Sygnał oryginalny
Sygnał po
t
próbkowaniu w
dziedzinie czasu
Przetwornik analogowo/cyfrowy (a/d)  dostarcza ciągu danych
pomiarowych w systemie pomiarowym próbkującym ciągłe sygnały
czasowe
Układ Ciągły Dyskretny
Transmitancja/
Wyznaczona za pomocą Wyznaczona za pomocą
Funkcja przejścia
transformacji Laplace'a transformacji Z
Transformacja Laplace'a
Transformacja Laplace'a jest narzędziem pozwalającym na rozwiązywanie
szerokiej klasy równań różniczkowych. Idea polega na transformacji
równania różniczkowego sformułowanego w dziedzinie czasu do nowej
postaci zapisanej w formie operatorowej (operator s) w której wszystkie
równania przyjmują postać algebraiczną.
Złożony proces rozwiązywania równań różniczkowych sprowadzony jest w
ten sposób do zestawu operacji algebraicznych. Znalezione rozwiązania są
następnie transformowane do dziedziny czasu za pomocą przekształcenia
odwrotnego.
Transformacja Laplace
F( X(s)) = 0
Ł
f (x, �, �,�ą) = 0
Operacje
Rozwiązanie
algebraiczne
klasyczne
Odwrotna transformacja
X(s)
x(t)
Laplace'a
Transformacja Laplace'a
Definicja transformacji Laplace'a
Dla funkcji f(t) zdefiniownej w , transformacja Laplace'a jest
0 d" t d" "
oznaczana jako F(s). Transformacja uzyskiwana jest poprzez rozwiązanie
całki:
"
st
F(s) =
+"f (t)e- dt = L( f (t))
0
Warunki istnienia transformacji Laplace transform
" f(t) jest odcinkami ciągła dla
0 d" t d" "
" f(t)=0 dla t<0
" f(t) posiada skończoną wartość dla skończonego czasu
" f(t) jest różniczkowalna
Transformacja Laplace'a
Definicja odwrtonej transformacji Laplace'a
Jeśli transformacja Laplace z f(t) jest F(s) wtedy odwrotna transformacja
Laplace z F(s) jest f(t). Jest ona wyrażona jako:
f (t) = L- 1(F(s))
Warunki istnienia odwrotnej transformacji Laplace:
lim F(s) = 0
s "
lim sF(s)
wartość jest skończona
s "
Transmitancja
Y(s)
G(s) =
X (s)
Transformacja Laplace'a
Liniowość
L(af (t) + bg(t)) = aL( f (t)) + bL(g(t)) = aF(s) + bG(s)
L- 1(aF(s) + bG(s)) = aL- 1(F(s)) + bL- 1(G(s)) = af (t) + bg(t)
Przesunięcie
L(eat f (t)) = F(s - a)
f (t - a),t e" a
ńł
L(g(t)) = e- asF(s) g(t) =
for
�ł
0,t < a
ół
Transformacja Laplace'a
Transformacja zmiennych
1 s
L( f (at)) = F�ł �ł
�ł �ł
a a
�ł łł
Pochodne
L( f '(t)) = sL( f (t)) - f (0) = sF(s) - f (0)
L( f ''(t)) = s2L( f (t)) - sf (0) - sf '(0) = s2F(s) - sf (0) - f '(0)
(n) (n- 1)
L( f (t)) = snF(s) - sn- 1 f (0) - sn- 2 f '(0) - �ą - f (0)
L- 1(F'(s)) = - tf (t) L- 1(F''(s)) = t2 f (t)
n
(n)
L- 1(F (s)) = (- 1) tn f (t)
Transformacja Laplace'a
Całkowanie
t t
�ł �ł
1
n
L�ł
+"�ą+"f (� )(d� ) �ł = sn F(s)
�ł �ł
0 0
�ł łł
" "
�ł �ł
1
n
L- 1�ł
+"�ą+"F(� )(d� ) �ł = tn f (t)
�ł �ł
s s
�ł łł
Transformacja Laplace'a
Wartości startowe i końcowe
lim f (t) = lim sF(s)
t 0 s "
lim f (t) = lim sF(s)
t " s 0
Splot
t
L- 1(F(s)G(s)) =
+"f (� )g(t - � )d� = f (t)* g(t)
0
Transformacja funkcji periodycznej
T
1
st
L( f (t)) =
+"f (t)e- dt
1- e- sT 0
Transformacja Laplace'a
Najczęściej wykorzystywane transformacje Laplace'a
Oryginał Trasformata
� (t) 1
Oryginał Trasformata
1
1
1(t)
t
s
s2
1
�
e"at
sin� t
2
s ą a
s2 + �
s
cos� t
2
s2 + �
Transformacja Laplace'a
Równanie ruchu Warunki wstępne
x(t)
k
Ł
m� + kx = 0 x(0) = x0
m
�(0) = �0
Transformacja Laplace'a
Ł
L(m� + kx) = L(0) ms2 X (s) - msx(0) - m�(0) + kX (s) = 0
msx0 + m�0
( )
X (s) ms2 + k = msx0 + m�0
X (s) =
ms2 + k
sx0 �0
X (s) = + �0
k k x(t) = x0 cos� t + sin� t
s2 + s2 +
�
m m
� = k / m
Transformacja Fouriera
Transformacja Fouriera jest operacją transformującą funkcję zdefiniowaną w
dziedzinie czasu do dziedziny częstotliwości. Używana w przetwarzaniu
sygnałów do rozkładu sygnału na składniki sinusiodalne.
Istnieje możliwość zastosowania transformacji Fouriera zarówno dla sygnałów
ciągłych jak I dla dyskretnych.
Dla potrzeb transformacji wykorzystywany jest algorytm FFT (Fast Fourier
Transform) minimalizujący czas wykonywania przekształcenia
Definicja przekształcenia Fouriera
"
i� t
f (� ) =
+"f (t)e- dt = F( f (t))
- "
Przekształcenie odwrotne
"
1
t - 1
f (t) =
+"f (� )ei� d� = F (� )
2Ą
- "
Transformacja Fouriera
Liniowość
F(af (t) + bg(t)) = aF( f (t)) + bF(g(t)) = af (� ) + bg(� )
- 1 - 1
F (af (� ) + bg(� )) = aF ( f (� )) + bL- 1(g(� )) = af (t) + bg(t)
Różniczkowanie
(n- 1)
lim f (t) = lim f '(t) = �ą = lim f (t) = 0
dla
t ą " t ą " t ą "
" "
"
(n)
oraz jest zbieżne
f '(t)dt f (t)dt
f (t)dt
+" +"
+"
- " - "
- "
n
(n)
F( f (t)) = (i� ) f (� )
wtedy
Transformacja Fouriera
Splot
F( f (t)* g(t)) = F( f (t))F(g(t)) = f (� )g(� )
"
f (t)* g(t) =
+"f (t - � )g(� )d�
- "
Przesunięcie
F( f (t + a)) = eia� f (� )
- 1
F ( f (� + a)) = e- iat f (t)
Transformacja Fouriera
Dekompozycja
f (t) = A0 + A1 cos(� t + � ) + A2 cos(2� t + � ) +
1 2
+ �ą + An cos(n� t + � ) + �ą
n
+ "
f (t) = cnein� t
"
n= - "
cn
Analiza harmoniczna wykorzystywana do poszukiwania stałych
1 1
in� t
c0 = cn = dt
+"f (t)dt +"f (t)e-
� �
� �
�
- okres f(t)
Transformacja Fouriera
Układ
dyskretny
Transformacja Z
Transformacja Z może być rozpatrywana jako dyskretny odpowiednik
Transformacji Laplace'a. Zakres jej działania ogranicza się do dziedziny
dyskretnej a sygnały mogą przybierać formę szeregów czasowych wartości
określanych w wybranych chwilach czasowych:
x(iT ) = ai
Funkcje dyskretne mogą być otrzymywane poprzez sumowanie funkcji
ciągłych mnożonych przez impulsy Dirac'a przesunięte w dziedzinie czasu o 0,
T, 2T, &
� (t - iT )
� (t)
� (t - 2T ) � (t - 4T )
� (t - 5T )
� (t - T ) � (t - 3T )
X(t)
0 T 2T 3T 4T 5T t
Transformacja Z
Dla transfromacji Laplace:
L(� (t - iT )) = e- isT
transformacja funkcji x(iT) może być pokazana jako:
"
X (s) = aie- isT
"
i= 0
Poprzez podstawienie
operator  1 próbki w tył
e- isT = z- i
Funkcja X(s) przybiera postać:
"
X (z- 1) = ai z- i = a0 + a1z- 1 + a1z- 2 + �ą
"
i= 0
Transformacja Z
Liniowość
Z(afi + bgi) = aZ( fi ) + bZ(gi ) = aF(z- 1) + bG(z- 1)
Przesunięcie operatora czasu
Z( fi- k ) = z- k F(z- 1)
Skalowanie w dziedzinie transformacji
Z(ai fi ) = F(a- iz- 1)
Transformacja odwrotna
Z( f- i ) = F(1/ z- 1)
Transformacja Z
Wartość sprzężona
Z( fi*) = F *(z- 1*)
Różniczkowanie
dF(z- 1)
Z(ifi ) = - z
( )
d z- 1
Splot
Z( fi * gi ) = F(z- 1)G(z- 1)
Transformacja Z
Wartości początkowe I końcowe
lim F(z) = f0
z "
lim(1- z- 1)F(z) = f"
z 1
Transmitancja impulsowa / transmitancja dyskretna
Y(z- 1)
G(z- 1) =
X (z- 1)
Transformacja Z
Przykładowe transformacje Z
Oryginał Transformacja Laplace Transfomacja Z
� (t) 1 1
1
1(t) 1/ s
1- z- 1
Tz- 1
2
t
1/ s2
(1- z- 1)
1
1/(s + a)
e- at
1- e- aT z- 1
z- 1 sin aT
a
sin at
( )
s2 + a2
1- 2z- 1 cosaT + z- 2
Transformacja Laplace'a, Transformacja Z
Drugie prawo Kirchhoff a
R
1
V1 = iR + V2
V2 =
+"idt
C
V1(t) V2(t)
C
dV2
V1 = RC + V2
dt
Napięcie wejściowe
V1(t)
V2(s) 1 1
G(s) = = =
V1(s) RCs + 1 Ts + 1
t
V1(t) = 1(t)
Napięcie wyjściowe
1
V2(s) = G(s)V1(s)
V1(s) =
s
Transformacja Laplace'a, Transformacja Z
1 1
V2(s) = G(s)V1(s) = �"
Ts + 1 s
A B
V2(s) = +
A = - T B = 1
Ts + 1 s
1 1
V2(s) = -
V2(t) = 1(t) - et /T
s s + 1/T
V1(t)
V2(t)
t
Transformacja Z
"
X (z- 1) = ai z- i = a0 + a1z- 1 + a1z- 2 + �ą
"
i= 0
"
V1(t) = 1(t)
V1(z- 1) = ai z- i = 1+ z- 1 + z- 2 + �ą
"
i= 0
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
"
a
S = aqi = a + aq + aq2 + �ą =
"
1- q
i= 0
1
V1(z- 1) =
1- z- 1
Transformacja Z
V2(t) = 1(t) - et /T
"
( ) ( )
V2(z- 1) = bi z- i = 0 + 1- e� /T z- 1 + 1- e2� /T z- 2 + �ą
"
i= 0
V2(z- 1) = z- 1 + z- 2 + �ą - (e� /T z- 1 + e2� /T z- 2 + �ą)
z- 1 e� /T z- 1
V2(z- 1) = -
h = e� /T
1- z- 1 1- e� /T z- 1
( )- (
z- 1 hz- 1 z- 1 1- hz- 1 hz- 1 1- z- 1 )
V2(z- 1) = - =
1- z- 1 1- hz- 1 ( )( )
1- z- 1 1- hz- 1
Transformacja Z
z- 1 - hz- 2 - hz- 1 + hz- 2 (1- h)z- 1
V2(z- 1) = =
(1- z- 1)(1- hz- 1) (1- z- 1)(1- hz- 1)
Discrete transmittance
V2(z- 1) (1- h)z- 1
G(z- 1) = =
h = e� /T
V1(z- 1) 1- hz- 1
�
With sampling time
Transformacja Z
T = RC = 1
Transformacja dyskretna
(1- h)z- 1
Z czasem próbkowania
G(z- 1) = h = e� /T
1- hz- 1
� = 0.001 [s]
V1(t)
1
timestep=0.001;
0 . 8
RC=1;
V2(t)
h=exp(timestep/RC);
0 . 6
SYS = tf([1-h 0],[-h 1],timestep)
t=0:timestep:10;
V1=ones(size(t));
0 . 4
V2=lsim(SYS,V1,t);
figure(1);hold on
0 . 2
plot(t,V1);
plot(t,V2);
0
0 2 4 6 8 1 0
Zagadnienie własne
Wartości i wektory własne
Masowo znormalizowana
macierz sztywności
or
Rozwiązanie zagadnienia własnego

�ł łł
1
�ł śł
ń"
�ł śł
�ł śł
 [�] [0]
�ł łł
N
[�] = =
�ł śł
" �ł
 [0] [�" ]śł
1 �ł �ł
�ł śł
�ł śł
ń"
�ł śł
"

�ł śł
�ł N �ł
" "
" " "
�ł łł
�ł łł
 {� } �"  {� }  {� } �"  {� } [�][�] [�" ][� ]śł
1 1 N N 1 1 N N
[Ś ] = =
�ł śł
�ł
" "
"
{� } �" {� } {� } �" {� } [�] [� ]
�ł �ł
�ł 1 N 1 N �ł
where:
- biegun,
 = j�
i i
N  liczba stopni swobody,
�i  częstość drgań własnych.
*
- sprzężenie zespolone,
Przykład: Układ o dwóch stopniach
swobody
Przykład: Uwolnienie więzów masa m1
f (t)
1
k2( x2-x1)
k1 x1
m1
c1 �1
c2( �2-�1)
m1 ć1=-k x1-c1 �1+k (x2- x1)+c2( �2-�1)+ f (t)
1 2 1
m1 ć1+k1 x1+c1 �1-k2(x2-x1)-c2(�2- �1)= f (t)
1
m1 ć1+k1 x1-k2 x2+k2 x1-c2 �2+c2 �1= f (t)
1
m1 ć1+�1(c1+c2)+ x1(k1+k2)-c2 �2-k2 x2= f (t)
1
Przykład: Uwolnienie więzów masa m2
f (t)
2
k2( x2-x1) k3 x3
m2
c2( �2-�1) c3 �3
m2 ć2=-k2( x2- x1)-c2( �2-�1)-k3 x3-c3 �3+ f (t )
2
m2 ć2+k2(x2- x1)+c2( �2- �1)+k3 x3+c3 �3= f (t)
2
m2 ć2+k x2-k2 x1+c2 �2-c2 �1+k3 x3+c3 �3= f (t )
2 2
m2 ć2+ �2(c2+c3)+ x2(k2+k3)-c2 �1-k2 x1= f (t)
2
Układ o dwóch stopniach swobody
Równanie ruchu:
Ł Ł
M1�1(t) + (C1 + C2)�1(t) - C2�2(t) + (K1 + K2)x1(t) - K2x2(t) = f1(t)
Ł Ł
M2�2(t) + (C2 + C3)�2(t) - C2�1(t) + (K2 + K3)x2(t) - K2x1(t) = f2(t)
Sprowadzenie do postaci
macierzowej
Ł
M1 0 �1 C1 + C2 - C2 �1 K1 + K2 - K2 x1 f1
�ł łł ńł �ł �ł łł ńł �ł �ł łł ńł �ł ńł �ł
+ + =
�ł
Ł
0 M2 śł �ł �2 żł �ł - C2 C2 + C3śł �ł �2 żł �ł - K2 K2 + K3śł �ł x2 żł �ł f2 żł
�ł �ł ół �ł �ł �ł ół �ł �ł �ł ół �ł ół �ł
Ł
[M]{�} + [C]{�} + [K]{x} = {f} gdzie: [M]  macierz mas
[C]  macierz wsp. tłumienia
[K]  macierz sztywności
{f(t)}  wektor wymyszeń
{x(t)}  wektor odpowiedzi
Układy o wielu stopniach swobody
Transformując równanie czasowe do dziedziny Laplace a:
Zakładając zerowe warunki początkowe
(s2[M] + s[C] + [K]){X(s)} = {F(s)}
[Z(s)]{X(s)} = {F(s)} [Z(s)]  sztywność
dynamiczna
{X(s)} = [H(s)]{F(s)}
[H(s)]  macierz funkcji
przejścia
X1(s) H11(s) H12(s) �" H1n(s) F1(s)
ńł �ł �ł łł ńł �ł
�ł
X (s)�ł = �ł H21(s) H22(s) �" H2n(s)śł �ł F2(s)�ł
�ł �ł �ł �ł
2
�ł śł
�ł żł �ł żł
�ł śł
�" �" �" ń" �" �"
�ł �ł �ł �ł
�ł
X (s)�ł �ł Hn1(s) Hn2(s) �" Hnn(s)śł �ł Fn(s)�ł
ół n �ł �ł �ł ół �ł
Układy o wielu stopniach swobody
Rozwiązanie:
(s2[M] + s[C] + [K]){X(s)} = {F(s)}
s[M] - s[M] = [0]
Ć
(s[A] + [B]){Y} = {F}
[0] [M] - [M] [0] s{X} {0}
�ł łł �ł łł ńł �ł ńł �ł
Ć
[A] = [B] = {F}=
żł �ł
�ł śł �ł
[M] [C] [0] [K]śł {Y} = �ł {X} {F}żł
�ł �ł �ł �ł ół �ł ół �ł
Jeśli siła wymuszająca jest zerowa
co jest typowym zagadnieniem własnym
s[A] + [B] = 0
Układy o wielu stopniach swobody

�ł łł
1
�ł śł
ń"
�ł śł
�ł śł
 [�] [0]
�ł łł
N
[�] = =
�ł śł
" �ł
 [0] [�" ]śł
1 �ł �ł
�ł śł
�ł śł
ń"
�ł śł
"

�ł śł
�ł N �ł
" "
" " "
�ł łł
�ł łł
 {� } �"  {� }  {� } �"  {� } [�][�] [�" ][� ]śł
1 1 N N 1 1 N N
[Ś ] = =
�ł śł
�ł
" "
"
{� } �" {� } {� } �" {� } [�] [� ]
�ł �ł
�ł 1 N 1 N �ł
gdzie:
- zespolony biegun,
 = � + j�
i i i
N  liczba stopni swobody,
�i  współczynnik tłumienia,
*
- sprzężenie zespolone,
�i  tłumiona częstość drgań.