Wykład 6 przestrzenie liniowe II

ALGEBRA WYKAAD 5
Przestrzenie liniowe
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
1
1 Liniowa zależność układu wektorów
Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K.
Definicja 1 Układ (u1, . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy linio-
wo zależnym, jeśli istnieją elementy ą1, . . . , ąm w ciele K, nie wszystkie równe
zeru i takie, że
ą1u1 + � � � + ąmum = 0.
Definicja 2 Układ (u1, . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy linio-
wo niezależnym, jeśli nie jest on układem liniowo zależnym.
Zauważamy więc, że układ wektorów (u1, . . . , um) z przestrzeni V jest li-
niowo niezależny, jeśli nie istnieją elementy ą1, . . . , ąm w ciele K, nie wszyst-
kie równe zeru i takie, że
ą1u1 + � � � + ąmum = 0,
czyli: dla każdego układu elementów (ą1, . . . , ąm) z ciała K warunek
ą1u1 + � � � + ąmum = 0
implikuje równości
ą1 = 0, . . . , ąm = 0.
Warto podkreślić, że jeśli ą1 = 0, . . . , ąm = 0, to
ą1v1 + . . . + ąnvm = 0
dla każdego układu v1, . . . , vm wektorów z przestrzeni V .
Przykład 1 Rozważmy przestrzeń R4 nad ciałem R. Wektory e1, e2, e3 i
e4, gdzie
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1),
są liniowo niezależne.
2
Istotnie, jeśli
ą1e1 + ą2e2 + ą3e3 + ą4e4 = 0,
to
(ą1, ą2, ą3, ą4) = (0, 0, 0, 0),
czyli
ą1 = 0, ą2 = 0, ą3 = 0, ą4 = 0.
Przykład 2 W tej samej przestrzeni R4 nad ciałem R wektory a1, a2 i a3,
gdzie
a1 = (-2, 1, 3, 4), a2 = (3, 4, 1, 1), a3 = (1, 2, 4, 5),
są liniowo niezależne.
Istotnie, jeśli ą1a1 + ą2a2 + ą3a3 = 0, to
(-2ą1 + 3ą2 + ą3, ą1 + 4ą2 + 2ą3, 3ą1 + ą2 + 4ą3, 4ą1 + ą2 + 5ą3) =
= (0, 0, 0, 0).
Powstaje w ten sposób układ równań
ńł
�ł
�ł
�ł-2ą1 + 3ą2 + ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ą1 + 4ą2 + 2ą3 = 0,
�ł
�ł
3ą1 +
�ł ą2 + 4ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
4ą1 + ą2 + 5ą3 = 0,
który jest równoważny układowi
ńł
�ł
�ł
�łą1 + 4ą2 + 2ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
11ą2 + 5ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł-11ą2 - 2ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
-15ą2 - 3ą3 = 0.
Stąd wynika, że ą3 = 0, ą2 = 0, ą1 = 0.
3
Przykład 3 W tej samej przestrzeni R4 nad ciałem R wektory a1, a2 i a3,
gdzie
a1 = (1, -1, 1, 1), a2 = (2, 1, 1, -1), a3 = (-5, 2, -4, -2),
są liniowo zależne,
gdyż 3a1 + a2 + a3 = 0.
Odnotujmy teraz podstawowe własności liniowo zależnych i liniowo nieza-
leżnych układów wektorów.
Własność 1 W każdej przestrzeni liniowej układ złożony z jednego wektora
jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest zerowy.
Własność 2 Jeśli m > 1, to układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo za-
leżny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z tych wektorów jest kombinacją liniową
pozostałych wektorów.
D o w ó d. Załóżmy, że układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo zależny.
Istnieje układ elementów (ą1, . . . , ąm) z ciała K taki, że
ą1a1 + � � � + amąm = 0
i przynajmniej jeden z elementów ą1, . . . , ąm jest różny od zera.
Przypuśćmy, że ą1 = 0.

Wtedy
ą1a1 = - (ą2a2 + � � � + ąmam) ,
czyli

ą2 ąm
a1 = - a2 + � � � + - am,
ą1 ą1
co oznacza, że wektor a1 jest kombinacją liniową wektorów pozostałych,
czyli wektorów a2, . . . , am.
Załóżmy teraz, że jeden z wektorów a1, . . . , am jest kombinacją liniową
wektorów pozostałych.
4
Przypuśćmy, że jest to wektor a1.
Wtedy istnieją elementy ą2, . . . , ąm w ciele K takie, że
a1 = ą2a2 + � � � + ąmam.
Wynika stąd, że
1 � a1 + (-ą2) a2 + � � � + (-ąm) am = 0,
skąd wnioskujemy, że układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo zależny.
Własność 3 Jeśli część układu wektorów jest liniowo zależna, to również
cały układ jest liniowo zależny.
D o w ó d. Załóżmy, że układ wektorów (a1, . . . , ak) jest liniowo zależny.
Wtedy układ wektorów (a1, . . . , ak, ak+1, . . . , am), gdzie m > k, jest linio-
wo zależny.
Istotnie, istnieją elementy ą1, ą2, . . . , ąk w ciele K nie wszystkie równe
zeru i takie, że
ą1a1 + � � � + ąkak = 0.
Wtedy również
ą1a1 + � � � + ąkak + 0 � ak+1 + . . . + 0 � am = 0
i przynajmniej jeden ze współczynników ą1, . . . , ąk, 0, . . . , 0 jest różny od
zera.
Bezpośrednim wnioskiem z tej własności jest:
Własność 4 Każda część układu liniowo niezależnego jest układem liniowo
niezależnym.
Własność 5 (Twierdzenie Steinitza)
Jeśli układ wektorów (x1, x2, . . . , xk), należących do podprzestrzeni
span (a1, . . . , am)
jest liniowo niezależny, to k m.
5
Przeprowadzimy dowód równoważnego sformułowania twierdzenia Stei-
nitza.
Własność 6 Jeśli wektory x1, x2, . . . , xk należą do podprzestrzeni
span (a1, . . . , am)
oraz k > m, to układ wektorów (x1, x2, . . . , xk) jest liniowo zależny.
D o w ó d. Wystarczy udowodnić tezę, gdy k = m + 1.
Dowód poprowadzimy metodą indukcji matematycznej.
Załóżmy, że m = 1.
Niech x1 i x2 będą wektorami należącym do przestrzeni generowanej przez
wektor a1.
Jeśli x1 = 0 lub x2 = 0, to układ wektorów (x1, x2) jest liniowo zależny.
Jeśli x1 = 0 i x2 = 0, to istnieją elementy ą1 i ą2 takie, że

ą1 = 0 i ą2 = 0 i x1 = ą1a1 i x2 = ą2a1.

Wtedy
ą2x1 + (-ą1) x2 = (ą2 � ą1) a1 + (-ą1 � ą2) a1 = 0
a ponieważ ą1 � ą2 = 0, więc wektory x1 i x2 stanowią układ liniowo

zależny.
Załóżmy teraz, że m jest dowolną (ustaloną) liczbą naturalną oraz każdy
układ m + 1 wektorów w podprzestrzeni generowanej przez m wektorów jest
liniowo zależny.
Udowodnimy, że układ m + 2 wektorów należących do podprzestrzeni ge-
nerowanej przez m + 1 wektorów jest liniowo zależny.
Niech x1, . . . , xm+1, xm+2 będą wektorami należącymi do podprzestrzeni
generowanej przez wektory a1, . . . , am+1.
Udowodnimy, że wektory
x1, . . . , xm+1, xm+2
6
są liniowo zależne.
Z założenia wynika, że istnieją elementy
ą1,1, . . . , ą1,m+1, . . . , ąm+2,1, . . . , ąm+2,m+1
ciała K takie, że
x1 = ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1,
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
xm+1 = ąm+1,1a1 + � � � + ąm+1,mam + ąm+1,m+1am+1,
xm+2 = ąm+2,1a1 + � � � + ąm+2,mam + ąm+2,m+1am+1.
Jeśli ą1,m+1 = 0, ą2,m+1 = 0, . . . ąm+2,m+1 = 0,
to wektory x1, . . . , xm+1 należą do podprzestrzeni span (a1, . . . , am)
i, stosując założenie indukcyjne, wnioskujemy, że tworzą one układ liniowo
zależny,
tak więc również układ wektorów (x1, . . . , xm+1, xm+2) jest liniowo zależ-
ny.
Załóżmy teraz, że przynajmniej jeden ze współczynników
ą1,m+1, . . . , ąm+2,m+1
jest różny od zera.
Niech np. ąm+2,m+1 = 0. Rozważmy wektory

ą1,m+1
y1 = x1 + - xm+2,
ąm+2,m+1

ą2,m+1
y2 = x2 + - xm+2,
ąm+2,m+1
...................................................
7

ąm+1,m+1
ym+1 = xm+1 + - xm+2.
ąm+2,m+1
Przedstawmy teraz wektor y1 w innej postaci, wstawiając w miejsce wek-
torów x1, xm+2 odpowiednie kombinacje liniowe wektorów a1, . . . , am+1 :
y1 = ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1+

ą1,m+1
+ - � (ąm+2,1a1 + � � � + ąm+2,m+1am+1) =
ąm+2,m+1
= ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1+

ą1,m+1ąm+2,1 ą1,m+1ąm+2,m
+ - � a1 + � � � + - � am+
ąm+2,m+1 ąm+2,m+1
+ (-ą1,m+1) � am+1 =

ą1,m+1ąm+2,1
= ą1,1 - � a1 + . . . +
ąm+2,m+1

ą1,m+1ąm+2,m
+ ą1,m - � am.
ąm+2,m+1
Udowodniliśmy, że wektor y1 należy do podprzestrzeni span (a1, . . . , am) .
Podobnie dowodzi się, że
y2 " span (a1, . . . , am) , . . . , ym+1 " span (a1, . . . , am) .
Korzystając z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że wektory
y1, . . . , ym, ym+1
są liniowo zależne.
Istnieją więc elementy �1, . . . , �m+1 w ciele K (nie wszystkie równe zeru)
takie, że
8
�1y1 + � � � + �m+1ym+1 = 0.
Z tego wynika, że również
�1x1 + � � � + �m+1xm+1 + �m+2xm+2 = 0,
gdzie

ą1,m+1�1 ąm+1,m+1�m+1
�m+2 = - + � � � + .
ąm+2,m+1 ąm+2,m+1
Ponieważ przynajmniej jeden z elementów �1, . . . , �m+1 jest różny od zera,
więc również i przynajmniej jeden z elementów �1, . . . , �m+1, �m+2 jest różny
od zera.
Dowodzi to, że układ wektorów (x1, x2, . . . , xm+1, xm+2) jest liniowo
zależny.
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wnioskujemy, że twierdzenie jest
prawdziwe dla każdej liczby naturalnej m.
2 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 3 Układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) z przestrzeni liniowej V
nazywamy bazą przestrzeni liniowej V , jeśli
układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) jest liniowo niezależny,
każdy wektor przestrzeni V można przedstawić w postaci kombinacji li-
niowej wektorów x1, x2, . . . , xn.
Inaczej mówiąc, układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) jest bazą przestrzeni
liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy
układ ten jest liniowo niezależny i
V = span (x1, x2, . . . , xn) .
Jeszcze inaczej możemy powiedzieć, że układ wektorów (x1, x2, . . . , xn)
jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy
układ ten jest liniowo niezależny
9
i każdy wektor a tej przestrzeni można przedstawić w postaci
(1) a = ą1x1 + � � � + ąnxn,
gdzie ą1, . . . , ąn są pewnymi elementami z ciała K.
Równość (1) nazywamy rozkładem wektora a względem bazy (x1, x2, . . . , xn).
Współczynniki ą1, . . . , ąn nazywamy współrzędnymi wektora a względem
tej bazy.
Twierdzenie 1 Rozkład wektora względem danej bazy przestrzeni liniowej
jest jednoznaczny.
D o w ó d. Załóżmy, że układ (x1, x2, . . . , xn) jest bazą przestrzeni linio-
wej V i istnieje wektor a, mający dwa rozkłady, tj.
a = ą1x1 + � � � + ąnxn
oraz
a = �1x1 + � � � + �nxn.
Wtedy
0 = (ą1 - �1) x1 + � � � + (ąn - �n) xn.
Z liniowej niezależności wektorów bazy wynika, że
ą1 - �1 = 0, . . . , ąn - �n = 0,
czyli ą1 = �1, . . . , ąn = �n, co kończy dowód.
Twierdzenie 2 Układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni
liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jed-
noznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej tego układu wektorów.
10
D o w ó d. Jeśli układ (x1, x2, . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni liniowej
V , to rzeczywiście każdy wektor ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
kombinacji liniowej tych wektorów.
Załóżmy teraz, że każdy wektor przestrzeni V ma jednoznaczne przedsta-
wienie w postaci liniowej kombinacji wektorów x1, x2, . . . , xn.
Wynika stąd bezpośrednio, że
V = span (x1, . . . , xn) .
Ponadto, jeśli
ą1x1 + . . . + ąnxn = 0,
to z uwagi na jednoznaczność tego przedstawienia i równość
0 � x1 + . . . + 0 � xn = 0
wnioskujemy, że
ą1 = 0, . . . , ąn = 0.
To znaczy, że układ (x1, x2, . . . , xn) jest liniowo niezależny. Tak więc
układ tych wektorów stanowi bazę przestrzeni V .
Twierdzenie 3 Każde dwie bazy przestrzeni liniowej mają tę samą liczbę
elementów.
D o w ó d. Niech (x1, x2, . . . , xn) oraz (y1, y2, . . . , ym) będą dwiema
bazami pewnej przestrzeni liniowej V .
Z równości
V = span (x1, . . . , xn) i V = span (y1, . . . , ym)
oraz twierdzenia Steinitza wynikają nierówności
m n i n m, co kończy dowód twierdzenia.
11
Definicja 4 Przestrzeń liniową V nazywamy n-wymiarową, jeśli ma bazę
złożoną z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem tej przestrzeni. Wymiar
przestrzeni V oznaczamy symbolem dim V .
W tym przypadku mówimy także, że przestrzeń V jest przestrzenią skoń-
czenie wymiarową. Przyjmujemy, że przestrzeń zerowa ma wymiar zero; mó-
wimy też, że przestrzeń zerowa jest przestrzenią zero-wymiarową.
Twierdzenie 4 Jeśli przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa, to każdy układ
wektorów liniowo niezależnych, złożony z n wektorów tej przestrzeni, jest bazą
tej przestrzeni.
D o w ó d. Załóżmy, że wektory x1, . . . , xn są liniowo niezależne.
Niech x będzie dowolnym wektorem tej przestrzeni.
Z twierdzenia Steinitza wynika, że układ (x1, . . . , xn, x) jest liniowo za-
leżny.
Istnieją więc liczby ą1, . . . , ąn, ą z ciała K nie wszystkie równe zeru i takie,
że
ą1x1 + . . . + xnąn + ąx = 0.
Gdyby ą był elementem zerowym, to otrzymalibyśmy sprzeczność z linio-
wą niezależnością wektorów x1, . . . , xn.
Zatem ą = 0. Z poprzedniej równości wynika więc, że

ą1 ąn
x = - � x1 + . . . + - � xn,
ą ą
skąd wnioskujemy, że
x " span (x1, . . . , xn) .
Udowodniliśmy w taki sposób, że układ x1, . . . , xn stanowi bazę przestrze-
ni liniowej V .
Twierdzenie 5 Przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa wtedy i tylko wte-
dy, gdy istnieje w tej przestrzeni układ wektorów liniowo niezależny złożony
z n wektorów i każdy układ wektorów złożony z większej liczby wektorów jest
liniowo zależny.
12
Liniowo niezależny układ wektorów nazywamy maksymalnym układem li-
niowo niezależnym, jeśli dołączenie do niego choćby jednego wektora powo-
duje, że układ taki staje się układem liniowo zależnym.
Twierdzenie 6 Układ wektorów stanowi bazę przestrzeni liniowej wtedy i tyl-
ko wtedy, gdy jest on maksymalnym układem liniowo niezależnym w tej prze-
strzeni.
Definicja 5 Przestrzeń liniową nazywamy nieskończenie wymiarową, jeśli
dla każdej liczby naturalnej n istnieje układ wektorów liniowo niezależny zło-
żony z n wektorów.
Przykład 4 Niech K będzie dowolnym ciałem. Przestrzeń liniowa Kn ma
wymiar n.
Istotnie, wektory e1, e2, . . . , en, gdzie e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . .,
en = (0, . . . , 0, 1), są liniowo niezależne
oraz każdy wektor x, gdzie x = (x1, x2, . . . , xn) , można przedstawić w
postaci
x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen.
Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną przestrzeni Kn.
Przykład 5 Przestrzeń S (E3) wektorów swobodnych jest trójwymiarowa,
gdyż istnieją trzy wektory liniowo niezależne, a każde cztery są liniowo zależ-
ne.
Niech e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K.
Wtedy dla wektorów a, b mających przedstawienia
a = ą1e1 + � � � + ąnen i b = �1e1 + � � � + �nen
i dowolnego elementu z ciała K mamy:
a = (ą1)e1 + � � � + (ąn)en,
13
a + b = (ą1 + �1)e1 + � � � + (ąn + �n)en.
Ze względu na te równości możemy powiedzieć, że przy dodawaniu wekto-
rów dodajemy ich współrzędne, a przy mnożeniu wektora przez skalar każdą
współrzędną mnożymy przez dany skalar.
Jeśli symbole [a] i [b] oznaczają ciągi współrzędnych wektorów a i b, to
[a + b] = [ą1 + �1, . . . , ąn + �n] = [a] + [b],
[�a] = [�ą1, . . . , ąn] = �[a] .
Twierdzenie 7 Jeśli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej
przestrzeni V i dim W = dim V , to W = V .
D o w ó d. Ponieważ W jest podprzestrzenią przestrzeni skończenie wy-
miarowej, więc istnieje skończona baza tej podprzestrzeni;
niech to będzie układ (w1, . . . , wn). Oczywiście wektory te należą do prze-
strzeni V i są liniowo niezależne.
Z równości wymiarów przestrzeni V i W wynika, że dim V = n, zatem
wektory w1, . . . , wn stanowią bazę przestrzeni V .
Tak więc
V = span (w1, . . . , wn) = W ,
co kończy dowód.
Twierdzenie 8 Jeśli układ (x1, . . . , xm) wektorów w przestrzeni liniowej
skończenie wymiarowej V , dla której dim V = n i m < n, jest liniowo nie-
zależny, to istnieją wektory xm+1, . . . , xn takie, że układ
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
jest bazą przestrzeni V .
14
D o w ó d. Ponieważ m < n, więc istnieje wektor xm+1 w przestrzeni V
taki, że
xm+1 " span (x1, . . . , xm) .
Jeśli m + 1 = n, to układ (x1, . . . , xm, xm+1), będąc liniowo niezależnym,
stanowi bazę przestrzeni V .
Załóżmy, że m+1 < n i dla każdego elementu k ze zbioru {m+1, . . . , n-1}
istnieją wektory xm+1, . . . , xk takie, że
xi " span (x1, . . . , xi-1) , i " {m + 1, . . . , k}.
Ponieważ k < n, więc istnieje wektor xk+1 taki, że
xk+1 " span (x1, . . . , xk) .
W ten sposób określiliśmy indukcyjnie, dla każdej liczby naturalnej k, ze
zbioru {m + 1, . . . , n} ciąg wektorów xm+1, . . . , xk taki, że układ
x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xk
jest liniowo niezależny.
Ponieważ k nie może być większe niż n, więc ciąg
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
stanowi bazę przestrzeni V .
Wniosek 1 Każdy liniowo niezależny układ wektorów skończenie wymiaro-
wej przestrzeni liniowej można uzupełnić do bazy tej przestrzeni.
Wniosek 2 Jeśli V1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni skończenie wy-
miarowej V , to dim V1 dim V .
15
3 Baza i rząd układu wektorów
Definicja 6 Niech S będzie dowolnym skończonym układem wektorów z prze-
strzeni V . Bazą tego układu nazywamy podukład (u1, . . . , ur) wektorów na-
leżących do S taki, że
1. wektory u1, . . . , ur są liniowo niezależne,
2. każdy wektor a należący do układu S daje się przedstawić w postaci
r

a = ąjuj,
j=1
gdzie ą1, . . . , ąr są pewnymi elementami ciała K.
Twierdzenie 9 Baza układu wektorów a1, . . . , am jest także bazą podprze-
strzeni liniowej span (a1, . . . , am).
Definicja 7 Liczbę wektorów bazy układu wektorów S nazywamy rzędem tego
układu.
Jeśli S = (a1, . . . , am), to rząd ten będziemy oznaczali symbolem rz (a1, . . . , am)
lub rank (a1, . . . , am) lub rz (S) lub rank (S).
Jeśli wszystkie wektory układu S są zerowe, to przyjmujemy, że rzędem
tego układu jest zero, tzn.
rank (S) = 0.
Z poprzedniego twierdzenia mamy więc:
rank (a1, . . . , am) = dim (span (a1, . . . , am)) .
Definicja 8 Niech S będzie (skończonym) układem wektorów. Operacjami
elementarnymi na wektorach układu S nazywamy następujące operacje:
1. zmiana kolejności wektorów tego układu,
2. dodanie do jednego z wektorów tego układu innego wektora pomnożonego
przez dowolny element ciała K,
16
3. pomnożenie jednego z wektorów układu S przez liczbę z ciała K, różną
od zera.
Twierdzenie 10 Niech S będzie układem powstałym z układu S w wyniku
wykonania skończonej liczby operacji elementarnych. Wtedy
span (S ) = span (S) i rank (S ) = rank (S) .
D o w ó d. Niech S będzie układem wektorów (x1, x2, x3, . . . , xn).
1ć% Niech S będzie układem powstałym z układu S przez przestawienie
dwóch wektorów.
Ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne, więc każda kombinacja
liniowa wektorów układu S jest jednocześnie kombinacją liniową układu S i
na odwrót.
To znaczy
span (S ) = span (S) ,
a co za tym idzie
dim (span (S )) = dim (span (S)) .
2ć% Przez S oznaczmy układ powstały z układu S przez dodanie do wektora
x1 wektora x2 pomnożonego przez skalar ą, czyli
S = (x1 + ąx2, x2, x3, . . . , xn) .
Jeśli x " span (S) , to istnieją liczby ą1, . . . , ąn z ciała K takie, że
x = ą1x1 + ą2x2 + ą3x3 + . . . + ąnxn.
Wtedy
x = ą1 (x1 + ąx2) + (ą2 - ą1ą)x2 + ą3x3 + . . . + ąnxn,
co oznacza, że x " span (S ) .
Załóżmy teraz, że x " span (S ).
17
Wtedy istnieją elementy ą1, ą2, . . . , ąn z ciała K takie, że
x = ą1 (x1 + ąx2) + ą2x2 + ą3x3 + . . . + ąnxn,
czyli
x = ą1x1 + (ąą1 + ą2)x2 + ą3x3 + . . . + ąnxn,
skąd wynika, że x " span (S) .
Z powyższych rozważań wynika, że
span (S) = span (S ) ,
a stąd już bezpośrednio wnioskujemy, że rank (S ) = rank (S) .
3ć% Niech S = (x1, x2, x3, . . . , xn), gdzie " K oraz = 0.

Ponieważ
ą1x1 + ą2(x2) + . . . + ąnxn = ą1x1 + (ą2)x2 + . . . + ąnxn
oraz
�1x1 + �2x2 + �3x3 + . . . + �nxn =

= �1x1 + �2�-1 �(x2) + �3x3 + . . . + �nxn,
więc
span (S ) = span (S) ,
a co za tym idzie
rank (S ) = rank (S) .
Każda pojedyncza operacja elementarna nie zmienia rzędu układu wek-
torów, zatem i po dokonaniu skończonej liczby takich operacji na układach
wektorów ich rząd się nie zmienia.
Definicja 9 Układ wektorów a1, . . . , ar w przestrzeni Kn nad ciałem K, ma-
jących postać
a1 = (0, 0, . . . , ą1,t , . . . , ą1,t , . . . , ą1,t . . . , ą1,n) ,
1 2 r
18
a2 = (0, 0, . . . , 0, . . . , ą2,t , . . . , ą2,t . . . , ą2,n) ,
2 r
� � � � � � � � � � � �
ar = (0, 0, . . . , 0, . . . , 0, . . . , ąr,t , . . . , ąr,n) ,
r
gdzie 1 t1 < t2 < � � � < tr n i ą1,t = 0, ą2,t = 0, ... , ąr,t = 0,

1 2 r
nazywamy układem schodkowym.
Twierdzenie 11 Schodkowy układ wektorów jest liniowo niezależny.
Przykład 6 Znalezć bazę układu wektorów a1, a2, a3, a4 i a5, gdzie
a1 = (1, 1, -1), a2 = (2, 3, 1), a3 = (-2, 1, 4),
a4 = (1, 2, 2), a5 = (-1, 2, 0)
i przedstawić każdy z wektorów, nienależących do tej bazy, w postaci kombi-
nacji liniowej wektorów znalezionej bazy.
a1 = [1, 1, -1] a1 = [1, 1, -1]
a2 = [2, 3, 1 ] a2 - 2a1 = [0, 1, 3]
a3 = [-2, 1, 4] a3 + 2a1 = [0, 3, 2]
a4 = [1, 2, 2] a4 - a1 = [0, 1, 3]
a5 = [-1, 2, 0] a5 + a1 = [0, 3, -1]
a1 = [1, 1, -1]
a2 - 2a1 = [0, 1, 3]
a3 - 3a2 + 8a1 = [0, 0, -7]
a4 - a2 + a1 = [0, 0, 0]
a5 - 3a2 + 7a1 = [0, 0, -10]
a1 = [1, 1, -1] = b1
a2 - 2a1 = [0, 1, 3] = b2
a3 - 3a2 + 8a1 = [0, 0, -7] = b3
a4 - a2 + a1 = [0, 0, 0]
10 9 31
a5 - � a3 + � a2 - � a1 = [0, 0, 0]
7 7 7
19
Widzimy teraz, że wektory b1, b2 i b3 są liniowo niezależne i należą do
podprzestrzeni span (a1, a2, a3).
Z wniosku z twierdzenia Steinitza wynika, że również wektory a1, a2, a3
są też liniowo niezależne.
Ponieważ
31 9 10
a4 = -a1 + a2 i a5 = � a1 - � a2 + � a3,
7 7 7
więc bazą układu (a1, a2, a3, a4, a5) jest układ (a1, a2, a3).
Tak więc
rank (a1, a2, a3, a4, a5) = 3.
20

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 5 przestrzenie liniowe
Wykład 11 Macierze i przekształcenia liniowe II
Geodezja wykład 5 pomiary liniowe i pomiary kątowe (04 04 2011)
przestrzenie liniowe 1
Wykład 9 przestępczość przestępczość ujawniona [10 11]
wyklad3 przestrzenie?zy
Wyklad i Era II Dziecinstwo
R Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab
Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierów
Wykład 6 przestępca koncepcje socjologiczne 2 [10 11]
R Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab
Algebra2p Przestrzeń Liniowa, Macierz
Algebra 1 02 przestrzenie liniowe, wektory
Wykład 7 przestępca charakterystyka [10 11]

więcej podobnych podstron