Przestrzenie wektorów, baza
Aproksymacja/reprezentacja sygnału w przestrzeni  kombinacja
liniowa
 Liniowa aproksymacji/kombinacja wektorów bazy
 co to znaczy liniowa?
Definicja: Każdy wektor w przestrzeni można otrzymać jednoznacznie(w jeden sposób) za
pomocą liniowej kombinacji wektorów bazy.
np. w przestrzeni możemy przyjąć zbiór wektorów bazowych
R3
v1=śą0,0 ,1źą, v2=śą0,1 ,0źą , v3=śą1,0 ,0źą
w=śą3,6 ,2źą
wtedy wektor można przedstawić
w=2 v1�ą6 v2�ą3 v3
jako
w=�ą1 v1�ą�ą2v2�ą�ą3 v3
czyli
�ą1,�ą2,�ą3
gdzie to współczynniki reprezentacji
inny zestaw wektorów
v1=śą0,0 ,1źą, v2=śą0,2 ,0źą , v3=śą3,0 ,1źą
w=śą3,6 ,2źą
wtedy ten sam wektor można
w=1 v1�ą3 v �ą1 v3
przedstawić jako
2
v1=[0,0,1];v2=[0,2,0];v3=[3,0,1]; w=v1+3*v2+v3
 Wybór bazy
B
Definicja: Baza przestrzeni liniowej - to maksymalny zbiór liniowo niezależnych
wektorów tej przestrzeni Bą"V . Zbór ten spełnia dwa warunki
 elementy bazy są liniowo niezależne  co to znaczy?
 jest ich maksymalna ilość, ilość wektorów bazowych implikuje rozmiar przestrzeni  co to
znaczy?
Przykład w :
R2
v1=śą2,3źą
Czy wektor może być bazą przestrzeni ?
R2
v1=śą2,3źą v2=śą-2,-3źą
Czy wektory i mogą stanowić bazę ?
R2
Przykład geograficzny:
Punkt znajduje się - 4km na wschód, 3km na północ i 5km na północny wschód.
Jakie wektory podano?
Czy można je potraktować jako bazę w przestrzeni geograficznej (bez uwzględniania
wysokości)? Które wektory i ile ich jest?
A
atwy test na liniową zależność/niezależność:
V
Zbiór wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy kombinacja liniowa tych
wektorów jest równa wektorowi zerowemu (przy niezerowych współczynnikach kombinacji)
- 1 -
Inny przykład w przestrzeni RN
N=256;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*n);y=sin(2*pi*2*n);
plot(n,x,';x;',n,y,';y;');
iloczyn_skalarny = x*y'
Czy w powyższym przykładzie mamy już bazę?
Czy ilość wektorów bazy jest maksymalna?
 baza ortogonalna (wektory bazy są do siebie prostopadłe) przykład rysunkowy w 2D
Warunek  wszystkie wektory są prostopadłe np.
B=eye(3)*[1,0,0;0,3,0;0,0,2]
B*B'
 baza ortonormalna (jw. plus norma wektorów bazy = 1) przykład rysunkowy w 2D
norma_x = sqrt(x*x')
norma_y = sqrt(y*y')
 każda przestrzeń może mieć wiele baz !!!
ale najwygodniejsza jest baza ortonormalna
Wyznaczanie współczynników reprezentacji
Układ równań macierzowych
�ą1
�" �" �"
=�ą
�ą2
v1 v2 v3 =V jest bazą przestrzeni, wtedy w=V �ą
[ ]
[ ]
�" �" �" �ą3
�ą w V
Jak wyznaczyć znając i ?
-1
�ą=w V
 baza ortonormalna  najprostszy przypadek
 warunki istnienia bazy są wystarczające do istnienia odwrotności macierzy V
 istnieje wiele metod znajdowania odwrotności macierzy (np. procedura ortogonalizacji
Gramma-Schmidta)
V = eye(3)
w = [3,5,-3]
alfa = w/V
V = 2*eye(3)
alfa = w/V
a co będzie dla bazy innej?
V = [2,0,1; 0,3,-1; 5,-2,0]
czy to w ogóle baza?
v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3)
v1*v2'
itd.
Sprawdz
to samo dla macierzy
V = [[2;0;6], [0;3;-2], [1;0;3]]
- 2 -
Aproksymacja z błędem
Jeżeli dysponujemy zbiorem zupełnym (danej przestrzeni) czyli bazą to współczynniki
�ą1 , �ą2 ,�ą,�ąN =�ą
[ ] aproksymują nam dowolny wektor w przestrzeni bez błędu. A co jeżeli
RN
mamy zbiór wektorów bazowych niezupełny (lub inaczej mamy N-1 wektorów a przestrzeń ma
rozmiar N)?
 Dowolne elementy są ortogonalne(prostopadłe) w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zero.
 twierdzenie o rzucie ortogonalnym
V
V
Jeżeli jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta każdy element x "V da się
0
przedstawić jako:
x= x0�ąz , gdzie x0"V i zĄ" V
0 0
x0 V
x
Element jest rzutem ortogonalnym elementu na podprzestrzeń
0
(narysować rysunek)
 z powyższego wynika zwiększenie wymiaru przestrzeni
Przykładowe bazy
W przestrzeni Euklidesa
[1, 0,�ą, 0] , [0,1,0 ,�ą,0 ], �ą[0,0 ,�ą,1]
Wektory bazowe postaci tworzą bazę ortonormalną
Trygonometryczny szereg Fouriera
a0 "
sśąnźą= �ą ak cosśąk nźą�ąbk sin śąk nźą
" śą źą
2
k =1
gdzie
Ćą
1
ak=Ćą f śąnźącosśą knźą dn
+"
-Ćą
Ćą
1
bk= f śąnźąsinśą knźądn
+"
Ćą
-Ćą
f śąnźą
są zwane współczynnikami Fouriera dla funkcji na przedziale -Ćą Ćą
do
Przykład:
f śąnźą=n , dla -Ćą"ąn"ąĆą
niech
f śąn�ą2Ćą źą= f śąnźą , dla -""ąn"ą"
A
atwo zbudować funkcję okresową tzn
W tym przypadku współczynniki będą miały postać:
Ćą
1
ak=Ćą n cosśąknźą dn=0
+"
-Ćą
- 3 -
Ćą
śą-1źąk�ą1
1
bk= n sin śąknźą dn=2
+"
Ćą
k
-Ćą
Tak więc funkcja
"
a0 "
śą-1źąk�ą1
sśąnźą= �ą ak cosśąk nźą�ąbk sin śąk nźą =2 sinśą k nźą, dla -""ąn"ą"
" śą źą "
2 k
k=1 k=1
f śąnźą=n , dla -Ćą"ąn"ąĆą
Rozważana funkcja musi być okresowa!!! Jeżeli nie jest to trzeba ją
 uokresowić .
n = (-pi:.01:pi);
f = n;
plot(n,f);
K=1; s=0;
for k=1:K
s = s + (-1)^(k+1)/k * sin (k*n);
end
s = 2*s;
plot(n,f,';f;',n,s,';s;');
n = (-3*pi:.01:3*pi); f = mod(n-pi,2*pi)-pi;plot(n,f); # sygnał uokresowiony
Zespolony szereg Fouriera
Wzór Eulera
jkn
e =cosśą knźą�ą jsin śą knźą
Szereg Eulera-Fouriera ma postać
"
"
1 1
jkn jkt
f śąnźą= ck e f śątźą= cśąk źąe dk
" +"
2 Ćą 2Ćą
k =-"
-"
"
"
ck= f śąnźąe- jkn cśąkźą= f śątźą e- jkt dt
" +"
n=-"
-"
Inne bazy
Są też funkcje Walsha i Harra i również one stanowią bazę ortonormalną
- 4 -