ALGEBRA WYKA
AD 4
Przestrzenie liniowe
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
1
1 Określenie przestrzeni liniowej
Niech V będzie dowolnym zbiorem niepustym, a K ciałem liczb rzeczywistych
lub ciałem liczb zespolonych (o nich będzie w dalszej części wykładu).
FunkcjÄ™ przeksztaÅ‚cajÄ…cÄ… zbiór K × V w zbiór V nazywamy dziaÅ‚aniem
zewnętrznym w zbiorze V .
Często będziemy mówili wtedy, że jest to mnożenie elementów zbioru V
przez elementy ciała K. Ciało K nazywamy wtedy zbiorem operatorów (lub
ciałem skalarów).
JeÅ›li funkcjÄ™ tÄ™ oznaczymy symbolem ·, to również zamiast pisać
·(Ä…, x)
bÄ™dziemy pisali Ä…·x lub krócej Ä…x, gdzie Ä… " K i x " V .
Definicja 1 Przestrzenią liniową (lub przestrzenią wektorową) nad ciałem K
nazywamy niepusty zbiór V z dwoma działaniami: działaniem wewnętrznym
oznaczanym symbolem + i zwanym dodawaniem i działaniem zewnętrznym
oznaczanym symbolem · i nazywanym mnożeniem, które speÅ‚niajÄ… nastÄ™pu-
jÄ…ce warunki:
I. (V , +) jest grupÄ… przemiennÄ…,

II.  (v1 + v2) = (v1) + (v2) ,
" " "
"K v1"V v2"V

III. (1 + 2) v = (1v) + (2v) ,
" " "
1"K 2"K v"V

IV. (1·2)·v = (1·(2·v)) ,
" " "
1"K 2"K v"V

V. 1·v = v , gdzie 1 oznacza jedynkÄ™ w ciele K.
"
v"V
Rozpisując wszystkie własności stwierdzamy, że niepusty zbiór V z dzia-
Å‚aniem wewnÄ™trznym + i dziaÅ‚aniem zewnÄ™trznym · jest przestrzeniÄ… liniowÄ…
nad ciałem K, jeśli spełnione są następujące warunki:

a + b = b + a ,
" "
a"V b"V
2

(a + b) + c = a + (b + c) ,
" " "
a"V b"V c"V

Åš + a = a ,
" "
Åš"V a"V

a + a = Åš ,
" "
a"V a"V

 (a + b) = (a) + (b) ,
" " "
"K a"V b"V

(1 + 2) a = (1a) + (2a) ,
" " "
1"K 2"K a"V

(1·2)·a = (1·(2·a)) ,
" " "
1"K 2"K a"V

1·a = a , gdzie 1 oznacza jedynkÄ™ w ciele K.
"
a"V
Elementy zbioru V będziemy nazywali wektorami, natomiast elementy
ciała K skalarami.
Przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych nazywamy często rze-
czywistÄ… przestrzeniÄ… liniowÄ…,
natomiast przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych nazywamy ze-
spolonÄ… przestrzeniÄ… liniowÄ….
Wektor Ś spełniający warunek (3) nazywamy wektorem zerowym (czasem
krótko zerem); oznaczać go będziemy symbolem 0,
natomiast wektor a spełniający warunek (4) nazywamy wektorem prze-
ciwnym do wektora a i oznaczamy symbolem -a.
Przyjmujemy tradycyjne zwyczaje polegające na opuszczaniu nawiasów
w zapisie np. warunku II. w definicji uważając, że mnożenie jest wykonywane
przed dodawaniem wektorów.
Warunek ten będzie miał więc zapis:

(1 + 2) v = 1v + 2v .
" " "
1"K 2"K v"V
Przykład 1 Zbiór SA (En), gdzie n " {1, 2, 3}, wszystkich wektorów zacze-
pionych w punkcie A tworzy przestrzeń liniową nad ciałem R.
Przykład 2 Zbiór S (En), gdzie n " {1, 2, 3}, wszystkich wektorów swobod-
nych przestrzeni euklidesowej En tworzy przestrzeń liniową nad ciałem R.
Przykład 3 Niech V oznacza Kn, gdzie K jest pewnym ciałem. Dla elemen-
tów x = (x1, . . . , xn) i y = (y1, . . . , yn) należących do V określamy:
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
3
oraz
Ä…·x = (Ä…x1, . . . , Ä…xn)
dla dowolnego elementu ą z ciała K.
Elementarne rachunki przekonują nas, że V jest przestrzenią liniową nad
ciałem K.
Wektorem zerowym jest wektor (0, . . . , 0).
Wektorem przeciwnym do wektora a = (a1, . . . , an) jest wektor (-a1, . . . , -an),
oznaczany, jak zwykle, symbolem -a.
Przestrzeń tę nazywamy n-wymiarową przestrzenią liniową (wektorową)
współrzędnych nad ciałem K.
Czasami nazywamy tę przestrzeń liniową przestrzenią arytmetyczną o wy-
miarze n nad ciałem K. Oznaczamy ją zwykle symbolem Kn.
Przykład 4 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym, K dowolnym cia-
łem. Rozważmy zbiór F(X, K) wszystkich funkcji określonych w zbiorze X o
wartościach w zbiorze K. Zauważmy, że wzory
(f + g)(x) = f(x) + g(x), gdy x " X
oraz
(Ä…·f)(x) = Ä…·f(x), gdy x " X
określają działania w zbiorze F(X, K).
Udowodnimy, że powstała w ten sposób struktura algebraiczna jest prze-
strzenią liniową nad ciałem K.
Udowodnimy po kolei warunki przestrzeni liniowej.
1ć% Dodawanie jest przemienne.
Niech f i g będą dowolnymi funkcjami ze zbioru F(X, K).
Dla dowolnego elementu x zbioru X mamy:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x),
4
co oznacza równość
f + g = g + f.
2ć% Dodawanie jest łączne.
Niech f, g i h będą dowolnymi funkcjami ze zbioru F(X, K).
Dla dowolnego elementu x zbioru X mamy:
[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x) =
= f(x) + [g(x) + h(x)] = f(x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)](x),
co oznacza równość
(f + g) + h = f + (g + h).
3ć% Element zerowy.
Zauważamy bez trudu, że przeksztaÅ‚cenie ¸ okreÅ›lone wzorem:
¸(x) = 0, gdy x " X,
należy do zbioru F(X, K)
i jest elementem neutralnym dodawania, gdyż dla każdej funkcji f i ele-
mentu x zbioru X spełniony jest warunek
(f + ¸)(x) = f(x) + ¸(x) = f(x) + 0 = f(x),
skąd wynika równość
f + ¸ = f
dla dowolnej funkcji f.
4ć% Element przeciwny.
Udowodnimy teraz, że przekształcenie f określone wzorem
f(x) = (-1)·f(x),
gdzie f jest funkcjÄ… ze zbioru F(X, K), jest elementem przeciwnym do f wzglÄ™-
dem dodawania.
5
Dla dowolnego elementu x zbioru X mamy:

f + f (x) = f(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0 = ¸(x),
skąd wynika równość
f + f = ¸.
5ć% Rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów.
Załóżmy, że Ä… " K, ² " K, f " F(X, K). Wtedy dla dowolnego elementu
x ze zbioru X mamy:

(Ä… + ²)·f (x) = (Ä… + ²)·f(x) = Ä…·f(x) + ²·f(x) =

= Ä…·f (x) + ²·f (x) = Ä…·f + ²·f (x),
skąd wynika równość
(Ä… + ²)·f = Ä…·f + ²·f.
6ć% Rozdzielność mnożenia względem dodawania funkcji.
Załóżmy, że ą " K, f " F(X, K) i g " F(X, K).
Wtedy dla dowolnego elementu x zbioru X mamy:

Ä…·(f + g) (x) = Ä…·(f + g)(x) = Ä… · (f(x) + g(x)) =

= Ä…·f(x) + Ä…·g(x) = Ä…·f (x) + Ä…·g (x) = Ä…·f + Ä…·g (x),
skąd wynika równość

Ä…· f + g = Ä…·f + Ä…·g.
7ć%
Załóżmy, że Ä… " K, ² " K, f " F(X, K).
Wtedy dla dowolnego elementu x zbioru X mamy:


(Ä…·²)·f (x) = (Ä…·²)·f(x) = Ä…· ²·f(x) =
6


= Ä…· ²·f (x) = Ä…· ²·f (x),
skąd wynika równość

(Ä…·²)·f = Ä…· ²·f .
8ć% Oczywiście, dla dowolnej funkcji f
1·f = f,
gdyż

1·f (x) = 1·f(x) = f(x)
dla każdego x ze zbioru X.
Wniosek 1 W powyższym przykładzie omówiona została cała klasa prze-
strzeni liniowych i wiele przykładów przestrzeni jest w taki sposób skonstru-
owanych. Do tego typu przestrzeni będziemy się nieraz odwoływali.
2 Własności przestrzeni liniowych
Własność 1 W każdej przestrzeni liniowej istnieje tylko jeden wektor zero-
wy.
Własność 2 W każdej przestrzeni liniowej dla każdego wektora a istnieje
tylko jeden wektor przeciwny do a.
Własność 3 Dla każdego elementu ą z ciała K i wektora zerowego 0 z prze-
strzeni liniowej spełniony jest warunek
Ä…·0 = 0.
D o w ó d. Ponieważ
Ä…·0 = Ä…·(0 + 0) = Ä…·0 + Ä…·0,
wiÄ™c Ä…·0 = 0.
7
Własność 4 Dla każdego wektora a z przestrzeni liniowej i zera z ciała K
spełniony jest warunek
0·a = 0.
D o w ó d. Ponieważ
0·a = (0 + 0)·a = 0·a + 0·a,
wiÄ™c 0·a = 0.
Własność 5 Dla każdej przestrzeni liniowej V nad ciałem K spełnione są
następujące warunki:

1. (-1)·a = -a ,
"
a"V

2. (-)·a = -(a) ,
" "
"K a"V

3. a = 0 =Ò! ( = 0 (" a = 0 ,
" "
"K a"V

4. a = µa =Ò! ( = µ (" a = 0 .
" " "
"K µ"K a"V
D o w ó d. Ad. (1).
Niech a będzie dowolnym wektorem przestrzeni V . Ponieważ
a + (-1)·a = 1·a + (-1)·a = (1 + (-1))·a = 0·a = 0,
wiÄ™c (-1)·a = -a.
Ad. (2). Niech a będzie dowolnym wektorem przestrzeni V i   dowolnym
elementem z ciała K.
Wtedy

(-)·a = (-1)· ·a = (-1)·(·a) = -(·a).
Ad. (3). Niech a będzie dowolnym wektorem przestrzeni V i   dowolnym
elementem z ciała K. Przypuśćmy,
że  = 0. Wtedy istnieje element odwrotny do , jest nim -1.

8
Zatem z równości
·a = 0
wynika

0 = -1·0 = -1·(·a) = -1· ·a = 1·a = a,
czyli równość a = 0.
Ad. (4). Niech a bÄ™dzie dowolnym wektorem przestrzeni V oraz  i µ 
dowolnymi elementami z ciała K.
Z równoÅ›ci a = µa wynika
0 = a + (-µ)a,
czyli

0 =  + (-µ) ·a,
a stÄ…d
( - µ)·a = 0.
Z ostatniej równoÅ›ci wnioskujemy, że a = 0 lub  - µ = 0, czyli  = µ.
Definicja 2 Różnicą wektorów a i b z przestrzeni liniowej V nazywamy wek-
tor a + (-b), oznaczamy ten wektor jako a - b.
Własność 6 Dla każdych dwóch wektorów a i b należących do przestrzeni
liniowej V wektor a - b jest jedynym wektorem spełniającym równanie
b + x = a.
D o w ó d. Niech a i b będą dowolnymi wektorami przestrzeni V .
Załóżmy, że istnieje wektor x0 spełniający powyższe równanie.
Z warunków definicji przestrzeni liniowej wynika, że istnieje wektor -b,
przeciwny do wektora b.
Wtedy kolejno otrzymujemy:
-b + (b + x0) = -b + a,
9
(-b + b) + x0 = a - b,
x0 = a - b.
A
atwo sprawdzamy, że wektor a - b spełnia równanie b + x = a.
Istotnie, wstawiajÄ…c w miejsce wektora x wektor a - b mamy:

b + (a - b) = b + (-b) + a = 0 + a = a.
3 Podprzestrzenie liniowe
Definicja 3 Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K.
Niepusty podzbiór W zbioru V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrze-
ni V , jeśli W tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K względem działań w
przestrzeni V .
Twierdzenie 1 Niepusty podzbiór W zbioru V tworzy podprzestrzeń liniową
przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy

1. a + b " W ,
" "
a"W b"W

2. Ä…·a " W .
"Ä…"K a"W
"
D o w ó d. Warunki (1) i (2) są oczywiście warunkami koniecznymi na to,
aby podzbiór W był podprzestrzenią liniową, gdyż są to warunki na to, aby
+ i · byÅ‚y dziaÅ‚aniami w zbiorze W .
Załóżmy teraz, że spełnione są warunki (1) i (2).
Ponieważ W jest zbiorem niepustym, więc niech a będzie jakimkolwiek
wektorem tego zbioru. Z warunku (2) wynika, że wektor zerowy należy do
W , gdyż
0 = 0·a.
Niech teraz c będzie dowolnym wektorem ze zbioru W .
10
Wtedy również wektor przeciwny do niego też należy do W , gdyż
-c = (-1)·c,
więc z warunku (2) wynika, że -c " W .
Pozostałe warunki z definicji podprzestrzeni liniowej są oczywiście speł-
nione.
Przykład 5 Zbiór {0} stanowi podprzestrzeń liniową każdej przestrzeni li-
niowej.
Przykład 6 Oczywiście przestrzeń liniowa V jest sama swoją podprzestrze-
niÄ… liniowÄ….
Układem wektorów (skończonym) będziemy nazywali ciąg skończony, któ-
rego elementami sÄ… wektory.
Definicja 4 Kombinacją liniową układu wektorów (a1, . . . , an) nazywamy
wektor, mający postać
Ä…1·a1 + . . . + Ä…n·an,
gdzie ą1, . . . , ąn są pewnymi elementami ciała K.
Z uwagi na przemienność i łączność dodawania wektorów oraz rozdzielność
mnożenia wektorów przez elementy ciała K względem dodawania wektorów
i dodawania w ciele K, możemy bez żadnych nieporozumień stosować skróty,
polegające na opuszczaniu nawiasów w sumowaniu wektorów oraz kropek,
oznaczających mnożenie wektora przez liczby z ciała K.
Ponadto, mnożenie wektorów przez elementy ciała będziemy wykonywali
w pierwszej kolejności, a dodawanie wektorów  w drugiej.
Dla skrócenia zapisów będziemy stosowali również następujące oznaczenie:
n

Ä…kak = Ä…1a1 + . . . + Ä…nan.
k=1
11
Definicja 5 Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni li-
niowej V . Podprzestrzenią generowaną przez zbiór A (powłoką liniową zbioru
A) nazywamy zbiór wszystkich (skończonych) kombinacji liniowych wektorów
ze zbioru A.
Zbiór ten oznaczamy symbolem span (A) lub lin(A) lub L(A).
Jeśli A jest skończonym układem wektorów (a1, . . . , an), to będziemy rów-
nież stosowali oznaczenie span (a1, . . . , an) lub L (a1, . . . , an) .
Uwaga 1 StosujÄ…c zapis symboliczny, mamy:
span (A) =

n

= x " V : x = Ä…i·ai .
" " ,...,Ä…n
"
n"N (Ä…1
)"Kn (a1,...,an)"An
i=1
Twierdzenie 2 Dla każdego niepustego podzbioru A przestrzeni liniowej V
podprzestrzeń generowana przez zbiór A jest podprzestrzenią liniową prze-
strzeni V .
D o w ó d. Niech u i v będą dowolnymi wektorami ze zbioru span (A) .
IstniejÄ… liczby Ä…1, . . . , Ä…n oraz ²1, . . . , ²m z ciaÅ‚a K i wektory a1, . . . , an
oraz b1, . . . , bm, należące do zbioru A takie, że
n m

u = Ä…kak i v = ²ibi.
k=1 i=1
Wtedy
u + v = Ä…1a1 + . . . + Ä…nan + ²1b1 + . . . + ²mbm,
czyli u + v jest też kombinacją liniową wektorów ze zbioru A; należy więc do
zbioru span (A) .
Ponadto, jeśli  jest dowolnym elementem ciała K, to


n n

u = · Ä…kak = (·Ä…k)·ak ,
k=1 k=1
12
co oznacza, że również wektor v jest elementem zbioru span (A) .
Tak więc, zbiór span (A) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
Twierdzenie to wyjaśnia, że termin podprzestrzeń liniowa generowana
przez zbiór nie powoduje nieporozumień, gdyż zbiór span (A) jest, w rzeczy
samej, podprzestrzeniÄ… liniowÄ….
Zauważmy również, że jeśli W jest jakąkolwiek podprzestrzenią liniową
zawierajÄ…cÄ… zbiór A, to span (A) ‚" W . Wobec tego, span (A) jest najmniejszÄ…
podprzestrzenią liniową zawierającą zbiór A. To także tłumaczy, dlaczego
span (A) nazywamy podprzestrzenią generowaną przez zbiór A.
Przykład 7 Niech a będzie jakimkolwiek wektorem przestrzeni liniowej V .
Zbiór span (a) jest, oczywiście, podprzestrzenią liniową przestrzeni V . Po-
nadto

span (a) = x " V : x = a .
"
"K
Jeśli a = 0, to span (a) nazywamy podprzestrzenią jednowymiarową.

Twierdzenie 3 Przekrój dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni liniowych
przestrzeni liniowej V jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V .
D o w ó d. Niech {Ws : s " S} będzie dowolną rodziną podprzestrzeni li-
niowych przestrzeni liniowej V .
Oznaczmy

W = Ws.
s"S
Niech a i b będą dwoma wektorami zbioru W i  dowolną liczbą z ciała
K.
Ponieważ Ws jest podprzestrzenią liniową dla każdego elementu s ze zbioru
S, więc
a " Ws i a + b " Ws, gdy s " S.
Stąd wynika, że
a " W i a + b " W ,
co dowodzi, że W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
13