Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierów

Spis treści
Wstęp 8
1 Pojęcie ciała. Definicja ciała liczb zespolonych 10
1.1 Pojecie ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Konstrukcja ciała liczb zespolonych . . . . . . . . . . . 13
1.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 16

2 Własności ciała liczb zespolonych 17
2.1 Moduł, sprzeżenie, cześć rzeczywista i cześć urojona . . 17

2.2 Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . . 19
2.3 Pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . . . 20
2.4 Równanie kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 23

3 Działania na macierzach. Określenie wyznacznika 26
3.1 Określenie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Określenie wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 31

4 Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 34
4.1 Operacje elementarne na macierzach . . . . . . . . . . 34
4.2 Własności wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Odwracanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Algorytm wyznacznikowy odwracania macierzy . . . . 39
6 Spis treści
4.5 Odwracanie macierzy przy pomocy operacji
elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 43

5 Rzad macierzy. Układy równań liniowych 45

5.1 Minor macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Rzad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Operacje elementarne na układzie równań liniowych . 50
5.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 51

6 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera 53
6.1 Metoda eliminacji Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 59

7 Określenie przestrzeni liniowej 62
7.1 Określenie przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Własności działań na wektorach . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Liniowa niezależność wektorów . . . . . . . . . . . . . . 67
7.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 68

8 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 69
8.1 Baza przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 Operacje elementarne na układzie wektorów . . . . . . 72
8.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 75

9 Przekształcenia liniowe 76
9.1 Określenie przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . 76
9.2 Jednoznaczność przekształcenia liniowego . . . . . . . . 77
9.3 Jadro i obraz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . 78

9.4 Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . 81
9.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 82

Spis treści 7
10 Wektory i wartości własne 84
10.1 Wektory i wartości własne . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 88

11 Przestrzeń afiniczna En 90
11.1 Przestrzeń afiniczna En . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11.2 Podprzestrzenie afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 96

12 Ważne podzbiory En 97
12.1 Zbiory wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 Układy punktów w przestrzeniach afinicznych . . . . . 99
12.3 Wierzchołek zbioru wypukłego . . . . . . . . . . . . . . 101
12.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 101

13 Układy nierówności liniowych 103
13.1 Układy nierówności liniowych . . . . . . . . . . . . . . 103
13.2 Sprzeczny układ nierówności . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 107

14 Elementy geometrii analitycznej wielowymiarowej 109
14.1 Odległość punktów w En . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2 Proste w przestrzeniach En . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.3 Iloczyn skalarny wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.4 Wektory równoległe i wektory prostopadłe
do hiperpłaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.5 Iloczyn wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14.6 Zadania do samodzielnego rozwiazania . . . . . . . . . 115

Literatura 117
Indeks 118
Wstęp
Niniejsza książka jest podręcznikiem do przedmiotu algebra linio-
wa z elementami geometrii analitycznej, wykładanego w Wyż-
szej Szkole Finansów i Zarzadzania w Białymstoku Filia w Ełku

w oparciu o minima programowe MEN dla kierunku Informatyka
na studiach inżynierskich. Może być ona także bardzo przydatna
na innych kierunkach studiów inżynierskich takich jak np. zarzadzanie

i marketing, budownictwo, elektrotechnika.
Wieloletnie doświadczenia autora związane z wykładaniem algebry
liniowej pokazały, że przedmiot ten sprawia spore trudności studentom.
Okazało się, że nawet minima programowe nie jest łatwo zrealizować
w trakcie piętnastu wykładów w sposób przystępny dla słuchaczy bez
dysponowania dobrymi materiałami dydaktycznymi. Wydaje się też,
że odsyłanie studentów do literatury nie jest (z wielu powodów) sku-
tecznym rozwiązaniem problemu. Właśnie dlatego powstał ten skrypt.
W oparciu o materiał tu umieszczony można sprawnie prowadzić wyk-
łady ubogacając je dodatkowymi przykładami, dowodami wybranych
twierdzeń i własności, rysunkami, uwagami dydaktycznymi, informa-
cjami historycznymi, ciekawostkami, zadaniami, problemami, itp.
Moim zdaniem głównym celem wykładania algebry liniowej na stu-
diach inżynierskich jest zapoznanie studentów z podstawowymi poje-

ciami i twierdzeniami oraz nauczenie ich posługiwania sie ważnymi

algorytmami tego przedmiotu. Aby ułatwić realizacje tej idei, umiesz-

czono w skrypcie wiele przykładów oraz zadań do samodzielnego roz-
wiazania.

Rozdział 1
Pojęcie ciała. Definicja ciała
liczb zespolonych
1.1 Pojecie ciała

Majac dane dowolne dwa przedmioty a, b możemy z nich utworzyć

pare uporzadkowana (a, b) o poprzedniku a i nastepniku b.

Warunek na równość par uporzadkowanych:

(a, b) = (c, d) �!�! (a = c i b = d).
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór A � B
wszystkich par uporzadkowanych (a, b) takich, że a " A i b " B.

Definicja 1.1. Działaniem w niepustym zbiorze A nazywamy
każde odwzorowanie zbioru A � A w zbiór A. Jeżeli ć% jest działaniem
w zbiorze A i a, b " A, to ć%((a, b)) oznaczamy przez a ć% b i nazywamy
wynikiem działania ć% na parze (a, b).
Działania będziemy oznaczali symbolami: ć%, �, +, �", itd.
Definicja 1.2. Układ (A, ć%1, . . . , ć%n, e1, . . . , ek), w którym A jest
niepustym zbiorem, ć%1, . . . , ć%n sa działaniami w zbiorze A, zaś e1, . . . ,
ek " A sa wyróżnionymi elementami zbioru A nazywamy struktura
algebraiczna.

Pojęcie ciała. Definicja ciała liczb zespolonych 11
Definicja 1.3. Strukture algebraiczna (G, ć%, e) nazywamy grupa,

jeżeli spełnia ona nastepujace warunki (aksjomaty grupy):

G1. a ć% (b ć% c) = (a ć% b) ć% c, dla dowolnych a, b, c " G (tzn. działanie
ć% jest łaczne) .

G2. a ć% e = e ć% a = a, dla każdego a " G ( tzn. e jest elementem
neutralnym działania ć%).
G3. dla każdego a " G istnieje x " G taki, że a ć% x = x ć% a = e.
Przykład 1.4. Niech Sn oznacza zbiór wszystkich permutacji
zbioru X = {1, 2, . . . , n}. Wówczas Sn ze zwykłym składaniem prze-
kształceń i przekształceniem tożsamościowym idX tworzy grupe.

Nazywamy ja grupa permutacji zbioru n-elementowego.
Definicja 1.5. Mówimy, że grupa (G, ć%, e) jest abelowa, jeżeli
a ć% b = b ć% a
dla dowolnych a, b " G.
Przykład 1.6. Niech n bedzie dowolna liczba naturalna i niech

Zn = {0, 1, . . . , n - 1}.
Można wykazać, że Zn z działaniem �"n takim, że
a �"n b = reszta z dzielenia a + b przez n
i elementem neutralnym e = 0 tworzy grupe abelowa.

Definicja 1.7. Niech K bedzie zbiorem zawierajacym co najmniej

dwa różne elementy. Strukture algebraiczna (K, +, �, 0, 1) nazywamy

ciałem, jeżeli spełnione sa nastepujace warunki (aksjomaty ciała):

C1. a + (b + c) = (a + b) + c dla dowolnych a, b, c " K.
C2. a + b = b + a dla dowolnych a, b " K.
C3. a + 0 = a dla każdego a " K.
C4. dla każdego a " K istnieje x " K taki, że a + x = 0.
C5. a � (b � c) = (a � b) � c dla dowolnych a, b, c " K.
C6. a � b = b � a dla dowolnych a, b " K.
C7. a � 1 = a dla każdego a " K.
12 Algebra liniowa dla inżynierów
C8. a � (b + c) = a � b + a � c dla dowolnych a, b, c " K.
C9. dla każdego niezerowego a " K istnieje y " K takie,
że a � y = 1.
W dalszym ciagu samo ciało i jego zbiór elementów bedziemy ozna-

czać tym samym symbolem (zwykle litera K). To nadużycie nie
bedzie, jak sadzimy, prowadzić do żadnych nieporozumień czy dwu-

znaczności. Bedziemy wiec np. pisać: niech K bedzie ciałem a dalej

niech element a " K . Nie oznacza to oczywiście, by można było
utożsamić ciało ze zbiorem jego elementów. Należy pamietać, że ciało

jest pewnym układem złożonym ze zbioru, działań i wyróżnionych ele-
mentów, a wiec jest struktura matematyczna znacznie bogatsza niż

sam zbiór. Umowe analogiczna do powyższej bedziemy stosować też

do innych struktur algebraicznych.
Przykład 1.8. Niech p bedzie liczba pierwsza. W zbiorze Zp

określamy mnożenie p za pomoca wzoru:
a p b = reszta z dzielenia a � b przez p.
Można wykazać, że struktura algebraiczna (Zp, �"p, p, 0, 1) tworzy ciało.

Przykład 1.9. Zbiory: liczb wymiernych i liczb rzeczywistych,
ze zwykłym mnożeniem i dodawaniem liczb tworza ciała. Nazywamy
je odpowiednio ciałem liczb wymiernych i ciałem liczb rzeczywistych
oraz oznaczamy przez Q i R odpowiednio.
Element x w aksjomacie C4 jest wyznaczony jednoznacznie, nazy-
wa sie elementem przeciwnym do a i oznacza przez (-a).

Odejmowanie w ciele K określamy nastepujaco:

a - b = a + (-b)
dla dowolnych a, b " K.
Element y w aksjomacie C9 jest wyznaczony jednoznacznie, nazy-
1
wa sie elementem odwrotnym do a i oznacza przez a-1 lub .
a
Pojęcie ciała. Definicja ciała liczb zespolonych 13
Dzielenie przez niezerowe elementy w ciele K określamy wzorem:
a
= a � b-1
b
dla dowolnych a, b " K, b = 0.

W dowolnym ciele K mamy, że 0 = 1.

Dla a " K mamy, że a � 0 = 0, bo a � 0 = a � (0 + 0) = a � 0 + a � 0, skad

po dodaniu do obu stron elementu przeciwnego do a � 0 uzyskamy,
że a � 0 = 0.
Własności działań w dowolnym ciele K sa analogiczne jak w ciele
R. W szczególności dla a, b " K \ {0} mamy, że a � b = 0.

1.2 Konstrukcja ciała liczb zespolonych
W zbiorze C = R � R wprowadzamy działania + i � przy pomocy
wzorów:
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), (1.1)
(a1, b1) � (a2, b2) = (a1 � a2 - b1 � b2, a1 � b2 + a2 � b1), (1.2)
dla dowolnych a1, a2, b1, b2 " R.
Twierdzenie 1.10. Struktura algebraiczna (C, +, �, (0, 0), (1, 0))
tworzy ciało.
Otrzymane w ten sposób ciało oznaczamy przez C i nazywamy
ciałem liczb zespolonych. Elementy ciała C nazywamy liczbami zespo-
lonymi i oznaczamy literami: z, w, z1, z2 itd. Geometrycznie liczby
zespolone można wiec traktować jako punkty na płaszczyznie.

Ze wzoru (1.1) wynika, że liczby zespolone dodajemy analogicznie jak
wektory na płaszczyznie zaczepione w poczatku układu współrzednych.

Z tego powodu liczbe zespolona (a, b) możemy utożsamić z wektorem

o poczatku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (a, b).

Aatwo zauważyć, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0) � (b, 0) = (a � b, 0).
14 Algebra liniowa dla inżynierów
Z tego powodu dla liczb rzeczywistych a można dokonać utożsa-
mienia:
(a, 0) a" a. (1.3)
Przy takim utożsamieniu R ą" C.
Liczbe zespolona

i = (0, 1) (1.4)
nazywamy jednostka urojona. Zachodzi dla niej bardzo ważny wzór:

i2 = -1. (1.5)
Stosujac wzory (1.1)-(1.4) łatwo zauważyć, że dla liczb rzeczywistych

a, b można dokonać utożsamienia:
(a, b) a" a + bi. (1.6)
Otrzymujemy w ten sposób postać algebraiczna a + bi liczby zespolonej
(a, b).
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych zapisanych
w postaci algebraicznej wykonuje sie zatem tak samo jak dodawanie,

odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy czym należy
pamietać o tym, że w miejsce i2 należy zawsze podstawić (-1). Np.

(1+2i)�(3-i) = 3-i+6i-2i2 = 3+5i+2 = 5+5i, (1+2i)+(3-i) = 4+i,
(1 + 2i) - (3 - i) = -2 + 3i.
Natomiast przy dzieleniu liczb zepolonych wygodnie jest wyko-
rzystywać tzw. liczby sprzeżone. Jeżeli a i b sa liczbami rzeczy-

wistymi, to liczba sprzeżona do liczby z = a + bi nazywamy liczbe

z = a - bi. Aatwo zauważyć, że wówczas z � z = a2 + b2. Zatem
aby podzielić liczbe zespolona w przez liczbe zespolona z = 0

w
należy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez liczbe
z
w w�z w�z
sprzeżona z mianownikiem tego ułamka, czyli = = .
z z�z a2+b2
(2+3i)�(1-i)
2+3i 2-2i+3i-3i2 2+i+3 5 1
Np. = = = = + i.
1+i (1+i)�(1-i) 12+12 2 2 2
Pojęcie ciała. Definicja ciała liczb zespolonych 15
Przykład 1.11. Wyznaczymy wszystkie liczby zespolone z speł-
niajace równanie:

(1 + 2i) � (z - i) + (4i - 3) � (1 - i � z) + 1 + 7i = 0.
Mamy, że (1 + 2i) � (-i) = -i - 2 � (-1) = 2 - i oraz (4i - 3) � (-i) =
-4 � (-1) + 3i = 4 + 3i. Zatem nasze równanie przybiera postać:
(1 + 2i) � z + 2 - i + 4i - 3 + (4 + 3i) � z + 1 + 7i = 0,
czyli
(5 + 5i) � z = -10i.
-10i -2i -2i�(1-i) -2i-2
Zatem z = = = = = -1 - i. Stad jedynym
5+5i 1+i 12+12 2
rozwiazaniem naszego równania w liczbach zespolonych z jest z = -1-

i.
Jeżeli a, b sa liczbami rzeczywistymi oraz z = a + bi, to cześcia

rzeczywista liczby zespolonej z nazywamy liczbe re(z) = a, zaś cześcia

urojona liczby z nazywamy liczbe (rzeczywista!) im(z) = b. Np. re(i)

= 0 oraz im(i) = 1. Z tych oznaczeń wynika natychmiast, że dwie
liczby zespolone zapisane w postaci algebraicznej sa równe
wtedy, i tylko wtedy, gdy ich cześci rzeczywiste sa równe i ich

cześci urojone sa równe.

Przykład 1.12. Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste x, y
takie, że
x � (1 - i) � (2 + i) + 2y � (2 - i)2 = -6 + 8i.
W tym celu obliczamy najpierw (1-i)�(2+i) = 2+i-2i-(-1) = 3-i
oraz (2 - i)2 = 4 - 4i + (-1) = 3 - 4i. Zatem nasze równanie przybiera
postać:
x � (3 - i) + y � (6 - 8i) = -6 + 8i,
czyli
(3x + 6y) + (-x - 8y) � i = -6 + 8i.
16 Algebra liniowa dla inżynierów
Zatem z porównania cześci rzeczywistych i urojonych uzyskujemy,

że liczby x, y musza spełniać układ równań:

3x+ 6y = -6
.
-x- 8y = 8
Z drugiego równania wyliczamy x = -8y - 8 i podstawiamy do rów-
nania pierwszego. W ten sposób uzyskamy, że y = -1 oraz x = 0.
1.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 1.13. Znajdz takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodziły
równości:
" "
a) a(2 + 3i) + b(4 - 5i) = 6 - 2i, b) a(- 2 + i) + b(3 2 + 5i) = 8i,
2
a b 4-i
c) a(4-3i)2+b(1+i)2 = 7-12i, d) + = 1, e) a2+i +b =
2-3i 3+2i 3-i 1-3i
2a-3i 3b+2i
1 + i, f) + = 0.
5-3i 3-5i
Odp. a) a = b = 1. b) a = 3, b = 1. c) a = 1, b = 6. d) a = 2,
7
b = 3. e) a = 2, b = 0. f) a = -11, b = .
16 8
Zadanie 1.14. Przedstaw w postaci algebraicznej nastepujace

liczby zespolone:
(3+i)�(7-6i)
2+3i
a) (2 + i) � (4 - i) + (1 + 2i) � (3 + 4i), b) , c) (1 + 2i) � i + ,
3+i 1-4i
(1+3i)(8-i)
d) .
(2+i)2
28
Odp. a) 4 + 12i. b) 7 - 6i. c) -44 + i. d) 5 + i.
17 17
Zadanie 1.15. Przedstaw w postaci algebraicznej rozwiazania

nastepujacych równań liniowych z jedna niewiadoma z " C:

a) (a - bi)z = a + bi, b) (a + bi)2(1 - z) + (a - bi)2(1 + z) = 0,
c) (a + bi)z = (2a + 3b) + (2b - 3a)i, d) (1 - i)z = (2a - b) - (2a + b)i.
a2-b2 2ab b2-a2
Odp. a) z = + i. b) z = i. c) z = 2 - 3i.
a2+b2 a2+b2 4ab
d) z = 2a - bi.
Rozdział 2
Własności ciała liczb
zespolonych
2.1 Moduł, sprzeżenie, cześć rzeczywista

i cześć urojona

Niech a, b beda liczbami rzeczywistymi i niech

z = a + bi. (2.1)
Przypomnijmy, że liczba sprzeżona do z jest z = a - bi. Ponadto

cześcia rzeczywista liczby z jest liczba (rzeczywista) re(z) = a, zaś

cześcia urojona liczby z jest liczba (rzeczywista) im(z) = b.

Modułem liczby z postaci (2.1) nazywamy liczbe rzeczywista nie-

ujemna
"
|z| = a2 + b2. (2.2)
Z tych określeń mamy od razu, że
re(z) d" |z| oraz im(z) d" |z|, (2.3)
z � z = |z|2. (2.4)
18 Algebra liniowa dla inżynierów
Twierdzenie 2.1. Dla dowolnych liczb zespolonych z, w, z1, . . . , zn
zachodza nastepujace wzory:

z1 + z2 + . . . + zn = z1 + z2 + . . . + zn (2.5)
z1 � z2 � . . . � zn = z1 � z2 � . . . � zn (2.6)
zn = (z)n (2.7)

z z
= , w = 0. (2.8)

w w
Twierdzenie 2.2. Dla dowolnych liczb zespolonych z, w, z1, . . . , zn
zachodza nastepujace wzory:

|z1 � z2 � . . . � zn| = |z1| � |z2| � . . . � |zn| (2.9)

z |z|

= , w = 0 (2.10)

w |w|
|zn| = |z|n (2.11)
|z1 + z2 + . . . + zn| d" |z1| + |z2| + . . . + |zn| (2.12)
|z - w| = odległość punktu z od punktu w. (2.13)
Przykład 2.3. Wyznaczymy wszystkie liczby zespolone z takie,
że
|z| + z = 2 + i.
W tym celu zapiszmy liczbe z w postaci algebraicznej z = x + gdzie
yi,
x, y sa szukanymi liczbami rzeczywistymi. Ponieważ |z| = x2 + y2,
z = x - yi, wiec nasze równanie przybiera postać

x2 + y2 + x - yi = 2 + i,
czyli

( x2 + y2 + x) + (-y)i = 2 + i.
"
Zatem x2 + y2+x = 2 oraz -y = 1. Stad y = -1 oraz x2 + 1 = 2-

x. Po podniesieniu stronami do kwadratu ostatniej równości uzyskamy,
3
że x2 + 1 = 4 - 4x + x2, skad x = . Zatem jedynym rozwiazaniem
4
3
naszego równania jest z = - i.
4
Własności ciała liczb zespolonych 19
2.2 Postać trygonometryczna liczby zespo-
lonej
Niech z = 0 bedzie dowolna liczba zespolona. Wtedy istnieja liczby

rzeczywiste a, b takie, że z = a + bi oraz a = 0 lub b = 0. Liczbe z

możemy traktować jako punkt (a, b) płaszczyzny, którego odległość od
"
punktu (0, 0) jest równa |z| = a2 + b2. Oznaczmy przez Ć miare kata

skierowanego jaki tworzy wektor Oz z osia OX w orientacji płaszczyzny
przeciwnej do ruchów wskazówek zegara. Wtedy mamy, że Ć " 0, 2Ą)
oraz
a
"
cos Ć =
a2+b2
.
b
"
sin Ć =
a2+b2
Otrzymujemy stad wzór

z = |z|(cos Ć + i sin Ć), (2.14)
który nazywamy postacia trygonometryczna liczby zespolonej z. Liczbe

Ć nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy przez Arg(z).
Natomiast każda liczbe rzeczywista ą = Ć + 2kĄ dla całkowitych k

nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy przez arg(z). Oczywiście
dla takich ą mamy, że z = |z|(cos ą + i sin ą). Możemy wiec napisać

wzór
z = |z|[cos arg(z) + i sin arg(z)].
Na odwrót, niech r bedzie dodatnia liczba rzeczywista i niech � bedzie

liczba rzeczywista taka, z = r(cos � + i sin �). Wówczas |z| = |r| �

że
| cos � + i sin �| = r � sin2 � + cos2 � = r, skad cos � = cos Ć oraz

sin � = sin Ć, wiec z trygonometrii mamy, że istnieje liczba całkowita

k taka, że � = Ć + 2kĄ.
Dla niezerowych liczb zespolonych z, w równość arg(z) = arg(w)
bedziemy dalej rozumieli w ten sposób, że liczby arg(z) i arg(w) różnia

sie jedynie o całkowita wielokrotność liczby 2Ą.

Ą Ą
Przykład 2.4. Zauważmy, że 1 = cos 0+i�sin 0, i = cos +i�sin ,
2 2
" "
Ą Ą Ą Ą
1 + i = 2 � (cos + i � sin ), 3 + i = 2 � (cos + i � sin ).
4 4 6 6
20 Algebra liniowa dla inżynierów
Twierdzenie 2.5. Dla dowolnych niezerowych liczb zespolonych
z, w zachodza wzory:
arg(z � w) = arg(z) + arg(w) (2.15)

z
arg = arg(z) - arg(w). (2.16)
w
Twierdzenie 2.6 (Wzór de Moivre a). Dla dowolnej liczby
rzeczywistej ą i dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi wzór:
(cos ą + i � sin ą)n = cos ną + i � sin ną. (2.17)
" "
Przykład 2.7. Obliczymy ( 3 + i)2003. Ponieważ 3 + i =
"
Ą Ą
2 � (cos + i � sin ), wiec ze wzoru de Moivre a ( 3 + i)2003 =
6 6
Ą Ą Ą 11Ą
22003 � (cos 2003 � + i � sin 2003 � ). Ale 2003 � = 332Ą + ,
6 6 6 6
"
Ą 11Ą Ą 3
wiec cos 2003 � = cos = cos(2Ą - ) = cos(-Ą ) = oraz
6 6 6 6 2
" "
Ą
sin 2003 � = sin (-Ą ) = -1. Zatem ( 3 + i)2003 = 22002 � ( 3 - i).
6 6 2
Ze wzorów (2.9) i (2.15) otrzymujemy natychmiast, że aby pomno-
żyć niezerowe liczby zespolone należy pomnożyć ich moduły i dodać
ich argumenty. Niech z0 bedzie ustalona niezerowa liczba zespolona.

Wówczas ze wzoru (2.15) wynika, że przekształcenie z z0 � z dla
zespolonych z jest złożeniem obrotu o kat o mierze Arg(z0) i jedno-

kładności o środku O i skali |z0|.
2.3 Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każda
"
n
taka liczbe zespolona w, że wn = z. Piszemy wtedy: w = z. Jedy-

nym pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby 0 jest 0.
Pierwiastki kwadratowe z liczby z = a + bi (gdzie a, b sa liczbami
rzeczywistymi) znajdujemy w postaci w = x + yi, gdzie x i y sa szuka-
nymi liczbami rzeczywistymi. Sprowadza sie to do rozwiazania układu

równań

x2 - y2 = a
. (2.18)
2xy = b
Własności ciała liczb zespolonych 21
Jeżeli z = 0 i w2 = z, to wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi

z liczby z sa: w, -w.

Przykład 2.8. Obliczymy pierwiastki kwadratowe z liczby z =
11 + 60i. W tym celu rozwiazujemy układ równań:

x2 - y2 = 11
.
2xy = 60
Najpierw próbujemy wyznaczyć całkowite rozwiazanie tego układu

(gdyby to zawiodło, to z drugiego równania wyliczamy y i podsta-
wiamy do równania pierwszego). W tym celu z drugiego równania
otrzymujemy, że xy = 30. Zatem liczby x, y maja ten sam znak
i możemy założyć, że x, y " N. Teraz wyznaczamy wszystkie dzielniki
naturalne liczby 30: 1,2,3,5,6,10,15,30. Po uwzglednieniu pierwszego

równania mamy, że x > y, wiec x " {6, 10, 15, 30}, skad x = 6 i y = 5.

Zatem wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: 6 + 5i

oraz -6 - 5i.
Przy wyznaczaniu pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych
możemy też posługiwać sie nastepujacym twierdzeniem:

Twierdzenie 2.9. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b wszyst-
kie pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej z = a + bi dane sa
wzorami:
ńł
"
jeśli b = 0 i a e" 0
�ł
�ł
"a
+
jeśli b = 0 i a < 0
� =- .
-a � i "
"
�ł
ół a2+b2+a a2+b2-a
+ sgn(b) � � i jeśli b = 0

2 2
(2.19)
Przy czym
ńł
1 jeśli b > 0
�ł
sgn(b) = 0 jeśli b = 0 . (2.20)
ół
-1 jeśli b < 0
22 Algebra liniowa dla inżynierów
"
Dowód. Dla a e" 0 i b = 0 mamy, że ( a)2 = a = a + bi. Dla
"
a < 0 i b = 0 jest -a > 0 oraz ( -a � i)2 = (-a) � (-1) = a a + bi.
=
"
" +
a2+b2+a
Dla b = 0 mamy, że a2 + b2 - a > 0. Oznaczmy x = ,

2
"
" "
a2+b2-a a2+b2+a a2+b2-a
y = sgn(b)� . Wtedy x2 -y2 = - = a oraz
2 2
2
" " "
a2+b2+a a2+b2-a b2
2xy = 2sgn(b) � � = 2sgn(b) � = sgn(b) � |b| = b.
2 2 2
Zatem (x+yi)2 = (x2 -y2)+2xyi = a+bi. Kończy to dowód pierwszej
cześci twierdzenia.

Zauważmy, że (-�)2 = �2 = a + bi. Jeśli zaś z " C jest takie,
że z2 = a + bi, to z2 = �2, skad 0 = z2 - �2 = (z - �) � (z + �), wiec

z = � lub z = -�. Zatem wzór (2.19) jest udowodniony.
Przykład 2.10. Wyznaczymy wszystkie pierwiastki kwadratowe
z liczby z = 2 + 3i. Mamy tutaj b = 3 > 0, wiec sgn(b) = 1. Ponadto
" "
a2+b2+a a2+b2-a
a = 2, wiec a2+b2 = 4+9 = 13. Zatem +sgn(b)� �
2 2
" "
13+2 13-2
i = + i. Stad wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi
2
" 2 " "
"
13+2 13-2 13+2 13-2
z liczby z sa: + i oraz - - i.
2 2 2 2
Pierwiastki wyższych stopni n e" 3 z liczby zespolonej z = 0 obli-

czamy zapisujac najpierw te liczbe w postaci trygonometrycznej (2.14).

Wówczas zachodzi nastepujace

Twierdzenie 2.11. Jeśli z jest niezerowa liczba zespolona oraz
z = |z|(cos Ć + i sin Ć), to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków
n-tego stopnia z liczby z i wszystkie te pierwiastki daja sie ujać wzorem

Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n
�k = |z| cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n - 1.
n n
(2.21)
2.4 Równanie kwadratowe
Równanie kwadratowe
az2 + bz + c = 0, a = 0 (2.22)

Własności ciała liczb zespolonych 23
posiada zawsze rozwiazanie w liczbach zespolonych z dla dowolnych

ustalonych liczb zespolonych a, b, c. Mianowicie obliczamy najpierw
"
" = b2 - 4ac. Nastepnie wyznaczamy w = ". Wówczas wszystkimi

zespolonymi pierwiastkami równania (2.22) sa:

-b - w -b + w
z1 = , z2 = . (2.23)
2a 2a
Bardzo ważna własność liczb zespolonych wyraża nastepujace

zasadnicze twierdzenie algebry: Dla dowolnej liczby naturalnej n
i dla dowolnych liczb zespolonych a0, a1,...,an, takich że an = 0 równa-

nie algebraiczne
anzn + an-1zn-1 + . . . + a1z + a0 = 0
posiada pierwiastek zespolony.
2.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 2.12. Udowodnij tożsamości:
a) |z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2), b) |1 + z1z2|2 + |z1 - z2|2 =
(1 + |z1|2) � (1 + |z2|2),
2
|1-z2|2-|z-z|2 1-|z|2
c) |z1 + z2|2 = |z1|2 + 2re(z1z2) + |z2|2, d) = .
|1+z2|2+|z-z|2 1+|z|2
Zadanie 2.13. Rozwiaż równania:

a) |z| - z = 1 + 2i, b) |z| + z = 2 + i, c) zz + (z - z) = 3 + 2i,
d) i(z + z) + i(z - z) = 2i - 3, e) z2 = z, f) |z| + 2iz = 11 + 8i.
" "
3 3 5-1 5+1
Odp. a) z = - 2i. b) z = + 1. c) z = + i lub
2 4 2 2
" " " " " "
5+1 5-1 - 5+1 - 5+1 5-1 5-1
z = + i lub z = + i lub z = + i.
2 2 2 2 2 2
" "
3 3 3
d) z = 1 + i. e) z = 0 lub z = 1 lub z = -1 + i lub z = -1 - i.
2 2 2 2 2
35
f) z = 4 - i lub z = 4 - 3i.
3
Zadanie 2.14. Przedstaw w postaci algebraicznej pierwiastki kwa-
dratowe z nastepujacych liczb zespolonych:

a) i, b)-i, c) 8 + 6i, d) 8 - 6i, e) -8 + 6i, f) -8 - 6i, g) 3 + 4i,
h) -11 + 60i, i) -15 - 8i.
24 Algebra liniowa dla inżynierów
" " " " " " " "
2 2 2 2 2 2 2 2
Odp. a) + i oraz - - i. b) - i oraz - + i.
2 2 2 2 2 2 2 2
c) 3 + i oraz -3 - i. d) 3 - i oraz -3 + i. e) 1 + 3i oraz -1 - 3i.
f) 1 - 3i oraz -1 + 3i. g) 2 + i oraz -2 - i. h) 5 + 6i oraz -5 - 6i.
i) 1 - 4i oraz -1 + 4i.
Zadanie 2.15. Rozwiaż równania kwadratowe:

a) z2 - 3z + 3 + i = 0, b) z2 + (1 + 4i)z - (5 + i) = 0,
c) (4 - 3i)z2 - (2 + 11i)z - (5 + i) = 0, d) z2 + 2(1 + i)z + 2i = 0,
e) z2 - 5z + 4 + 10i = 0, f) z2 - 2z = 2i - 1.
Odp. a) z1 = 1 + i oraz z2 = 2 - i. b) z1 = -2 - 3i oraz z2 = 1 - i.
3 7
c) z1 = -1 + i oraz z2 = -4 + i. d) z1 = z2 = -1 - i. e) z1 = 2i
5 5 5 5
oraz z2 = 5 - 2i. f) z1 = 2 + i oraz z2 = -i.
Zadanie 2.16. Przedstaw w postaci trygonometrycznej (bez pomo-
cy tablic) nastepujace liczby zespolone:

" "
a) 1, -1, i, -i, b) + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i, c) 1 + i 3, 1 - i 3,
" "1 " " " "
-1 + i 3, -1 - i 3, d) 3 + i, 3 - i, - 3 + i, - 3 - i.
Odp. a) 1 = 1 � (cos 0 + i sin 0), -1 = 1 � (cos Ą + i sin Ą),
Ą Ą 3Ą 3Ą
i = 1 � (cos + i sin ), -i = 1 � (cos + i sin ).
2 2 2 2
" "
Ą Ą 5Ą 5Ą
b) 1 + i = � (cos + i sin ), 1 - i = 2 � (cos + i sin ),
4 2 2
"2 4 "
3Ą 3Ą 5Ą 5Ą
-1 + i = 2 � (cos + i sin ), -1 - i = 2 � (cos + i sin ).
4 4 4 4
" "
Ą Ą 5Ą 5Ą
c) 1 + i 3 = 2 � (cos + i sin ), 1 - i 3 = 2 � (cos + i sin ),
3 3 3 3
" "
2Ą 2Ą 4Ą 4Ą
-1 + i 3 = 2 � (cos + i sin ), -1 - i 3 = 2 � (cos + i sin ).
3 3 3 3
" "
Ą Ą 11Ą 11Ą
d) 3 + i = 2 � (cos + i sin ), 3 - i = 2 � (cos + i sin ),
6 6 6 6
" "
5Ą 5Ą 7Ą 7Ą
- 3 + i = 2 � (cos + i sin ), - 3 - i = 2 � (cos + i sin ).
6 6 6 6
Zadanie 2.17. Wykonaj działania, stosujac przedstawienie liczb

zespolonych w postaci trygonometrycznej:
1996
" "
"
(-1+i 3)15 (-1-i 3)15
1+i
"
a) (1 + i)10, b) (1 + i 3)15, c) , d) + .
(1-i)20 (1+i)20
1+i 3
"
1 3
Odp. a) 32i. b) 32768. c) - - i. d) -64.
2989 2989
Zadanie 2.18. Oblicz bez pomocy tablic pierwiastki 3-go stopnia
z nastepujacych liczb zespolonych:

a) 1, b) -1, c) i, d) -i.
Własności ciała liczb zespolonych 25
" " " " "
3 3 1 3 1 3 3 1
Odp. 1, -1 + i , -1 - i . b) -1, - i , + i . c) + i,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
" " "
3 1 3 1 3 1
- + i, -i. d) - - i, - i, i.
2 2 2 2 2 2
Rozdział 3
Działania na macierzach.
Określenie wyznacznika
3.1 Określenie macierzy
Niech K bedzie dowolnym ciałem oraz niech n i m beda dowolnymi

liczbami naturalnymi. Prostokatna tablice

�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
(3.1)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
am1 am2 . . . amn
utworzona z elementów aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) ciała K
nazywamy m � n-macierza nad ciałem K. Elementy aij nazywamy
wyrazami macierzy. Rzedy pionowe nazywamy kolumnami, a poziome-

wierszami tej macierzy. Zatem element aij stoi w i-tym wierszu i j-tej
kolumnie rozpatrywanej macierzy.
n � n-macierze, nazywamy macierzami kwadratowymi stopnia n.
Dwie macierze nazywamy równymi, jeżeli jako tablice sa identyczne.
Oznaczenia macierzy: A, B, C, itd.
Dla macierzy (3.1) piszemy też:
A = [aij]i=1,... ,m. (3.2)
j=1,... ,n
Działania na macierzach. Określenie wyznacznika 27
Zbiór wszystkich m � n - macierzy nad ciałem K oznaczamy przez
Mm�n(K).
Macierza transponowana AT m � n-macierzy A postaci (3.1) nazy-
wamy taka n � m-macierz, która jako swa i-ta kolumne, dla i =

1, 2, . . . , m, ma i-ty wiersz macierzy A. Zatem
�ł łł
a11 a21 . . . am1
�ł
a12 a22 . . . am2 śł
�ł śł
AT = . (3.3)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
a1n a2n . . . amn

1 2
Przykład 3.1. Macierza transponowana macierzy jest
3 4

1 3 1 2 3
macierz , a macierza transponowana macierzy jest
2 4 0 2 4
�ł łł
1 0
�ł �ł.
macierz 2 2
3 4
3.2 Działania na macierzach
a) Mnożenie macierzy przez skalar. Elementy ciała K nazy-
wamy skalarami. Aby pomnożyć macierz A (nad ciałem K) przez
skalar a należy wszystkie jej wyrazy pomnożyć przez a. Zatem
a � [aij]i=1,... ,m = [a � aij]i=1,... ,m. (3.4)
j=1,... ,n j=1,... ,n

1 2 2 4
Przykład 3.2. 2 � = .
3 4 6 8
b) Dodawanie macierzy. Macierze A i B nad ciałem K o tych
samych wymiarach możemy dodawać. Mianowicie, jeżeli A = [aij]i=1,... ,m
j=1,... ,n
oraz B = [bij]i=1,... ,m, to
j=1,... ,n
A + B = [aij + bij]i=1,... ,m. (3.5)
j=1,... ,n
28 Algebra liniowa dla inżynierów

1 2 2 3 3 5
Przykład 3.3. + = .
3 4 5 7 8 11
Dodawanie macierzy jest przemienne, łaczne i posiada element neu-

tralny tzw. macierz zerowa, która jest m�n-macierza o samych zerach.

c) Mnożenie macierzy. Jeżeli A jest m � n-macierza nad ciałem
K oraz B jest n � k-macierza nad ciałem K (tzn. liczba kolumn
macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B), to możemy
określić iloczyn A � B, który jest m � k-macierza, przy czym wyraz xij

macierzy A � B jest iloczynem (skalarnym) i-tego wiersza ma-
cierzy [ ai1 ai2 . . . ain ] przez j-ta kolumne macierzy B:

�ł łłA:
b1j
�ł śł
b2j
�ł śł, czyli
�ł śł
.
.
�ł �ł
.
bnj
xij = ai1 � b1j + ai2 � b2j + . . . + ain � bnj. (3.6)
Zatem aby pomnożyć macierz A " Mm�n(K) przez macierz B "
Mn�k(K) należy pierwszy wiersz macierzy A pomnożyć (skalarnie)
przez pierwsza kolumne macierzy B, nastepnie należy pomnożyć pierw-

szy wiersz macierzy A przez druga kolumne macierzy B, itd. W ten

sposób uzyskamy kolejne wyrazy pierwszego wiersza macierzy A � B.
Aby otrzymać drugi wiersz macierzy A � B należy pomnożyć drugi
wiersz macierzy A przez kolejne kolumny macierzy B. W końcu należy
pomnożyć ostatni wiersz macierzy A kolejno przez wszystkie kolumny
macierzy B.
�ł łł

2 1 1
1 0 2
�ł �ł.
Przykład 3.4. Niech A = i B = 3 1 0 Wów-
3 1 0
0 1 4
czas B � A nie ma sensu (gdyż liczba kolumn macierzy B nie jest równa

2 3 9
liczbie wierszy macierzy A) oraz A � B = , bo
9 4 3
1 � 2 + 0 � 3 + 2 � 0 = 2 3 � 2 + 1 � 3 + 0 � 0 = 9
1 � 1 + 0 � 1 + 2 � 1 = 3 3 � 1 + 1 � 1 + 0 � 1 = 4 .
1 � 1 + 0 � 0 + 2 � 4 = 9 3 � 1 + 1 � 0 + 0 � 4 = 3
Działania na macierzach. Określenie wyznacznika 29
Wynika stad, że mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.

Mnożenie macierzy jest łaczne i rozdzielne wzgledem dodawania

macierzy. Iloczyn macierzy kwadratowych stopnia n jest też macierza
kwadratowa stopnia n.
3.3 Określenie wyznacznika
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 nad ciałem K

i niech i, j beda liczbami naturalnymi d" n. Symbolem Aij oznaczać

bedziemy macierz kwadratowa stopnia n - 1 powstała z macierzy A

przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.

1 2
Przykład 3.5. Niech A = . Wówczas A12 = [3] oraz
3 4
A21 = [2].
Wyznacznikiem nazywamy taka funkcje przyporzadkowujaca każ-

dej macierzy kwadratowej A nad ciałem K pewien element tego ciała
(oznaczony przez det(A)), która spełnia nastepujace warunki:

(i) jeśli A = [a], to det(A) = a,
(ii) jeśli
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
A = , (3.7)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
an1 an2 . . . ann
gdzie n > 1, to
n

det(A) = (-1)i+n � ain � det(Ain). (3.8)
i=1
Wyznacznikiem macierzy A nazywa sie wartość det(A) tej funkcji dla

macierzy A.
Funkcja-wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczona przez warunki
(i) i (ii).
30 Algebra liniowa dla inżynierów
Wyznacznik macierzy A postaci (3.7) oznaczamy też nastepujaco:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

det(A) = . (3.9)

. . .
.
. . . .

.
. . .

an1 an2 . . . ann
Powyższa definicja daje również efektywna metode obliczania wyznacz-

nika dowolnej macierzy kwadratowej A.
Przykład 3.6. Z własności (ii) i (i) otrzymujemy wzór:

a b

= ad - bc. (3.10)

c d

a1 a2 a3

Przykład 3.7. Z własności (ii) i przykładu 3.6: b1 b2 b3 =

c1 c2 c3

b1 b2
+(-1)2+3 a1 a2 +(-1)3+3 a1 a2
= (-1)1+3�a3� �b3� �c3�

c1 c2 c1 c2 b1 b2
= a3(b1c2 - b2c1) - b3(a1c2 - a2c1) + c3(a1b2 - a2b1) = a3b1c2 + a2b3c1 +
a1b2c3-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3. Aby zatem obliczyć wyznacznik macie-
rzy stopnia 3 wystarczy dopisać do niej z prawej strony dwie pierwsze
kolumny i nastepnie wymnożyć prawoskośnie wyrazy ze znakiem +

oraz lewoskośnie ze znakiem - i dodać otrzymane wyniki. Taka metoda
obliczania wyznacznika stopnia 3 nazywa sie reguła Sarrusa. Istotnie:

a1 a2 a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a1b3c2 -

c1 c2 c3 c1 c2
a2b1c3.
Przykład 3.8. Stosujac regułe Sarrusa obliczymy wyznaczniki:

-3 4 1 -3 4

-2 3 2 -2 3 = -27 - 8 - 8 - (-3 - 24 - 24) = -43 + 51 = 8,

-1 4 3 -1 4

2 4 1 2 4

4 3 2 4 3 = 18 + 24 + 16 - (9 + 16 + 48) = 58 - 73 = -15,

3 4 3 3 4
Działania na macierzach. Określenie wyznacznika 31

2 -3 1 2 -3

4 -2 2 4 -2 = -12-18-4-(-6-4-36) = -34+46 = 12,

3 -1 3 3 -1

2 -3 4 2 -3

4 -2 3 4 -2 = -16-27-16-(-24-6-48) = -59+78 =

3 -1 4 3 -1
19.
3.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 3.9. Znajdz iloczyny � B i B � A, jeśli
�ł łłA

4

-2 3 0 1
�ł �ł,
a) A = 2 -3 0 , B = 3 b) A = , B =
1 1 2 -1
1
�ł łł
2 0
�ł śł
1 -1
�ł śł.
�ł �ł
-1 2
1 3
�ł łł

8 -12 0
0 0
�ł �ł.
Odp. a) A�B = [-1], B�A = 6 -9 0 b) A�B = ,
0 0
2 -3 0
�ł łł
-4 6 0 2
�ł śł
-3 2 -2 2
�ł śł.
B � A =
�ł �ł
4 -1 4 -3
1 6 6 -2
Zadanie 3.10. Oblicz iloczyn A � B � C, jeśli
�ł łł
�ł łł �ł łł
991 992 993
12 -6 -2 1 1
�ł śł
994 995 996
�ł śł, B = 18 -9 -3 C = 1 2
�ł �ł, �ł �ł.
A =
�ł �ł
997 998 999
24 -12 -4 3 0
1000 1001 1002
Odp. A � B � C = 04�2.
32 Algebra liniowa dla inżynierów
�ł łł
3
�ł �ł,
Zadanie 3.11. Oblicz iloczyn A � B � C � D, jeśli A = 5
7
�ł łł
3

�ł �ł,
B = 213 510 128 , C = -1 D = 1 -2 1 .
-1
�ł łł
3 -6 3
�ł �ł.
Odp. A � B � C � D = 5 -10 5
7 -14 7
Zadanie 3.12. Wykonaj podane działania macierzowe:
�ł łł
T
-1 0
1 2 3 2 1
�ł �ł.
� + -4 -3
0 1 2 1 2
-7 -6
�ł łł
1 1
�ł �ł.
Odp. 1 1
1 1
Zadanie 3.13. Rozwiaż równania macierzowe:

1 0 2 3 6 2 4
a) XT � = 1 5 12 , b) X � = .
3 -1 4 4 9 18
8
16 4a 2 - 3a
1
Odp. a) X = . b) X = � , gdzie a, c " R.
4
-5 4c 9 - 3c
T
Zadanie ,
�ł łł3.14. Oblicz D = [B � + (A C)T ]T gdzie A =
�łA łł�

2 1 1 -1 0
2 1 0
�ł �ł, �ł �ł.
1 -1 2 B = , C = 0 1
0 0 1
2 3 1 1 1
�ł łł
4 3
�ł �ł.
Odp. D = 2 3
6 5
Działania na macierzach. Określenie wyznacznika 33
Zadanie 3.15. Oblicz podane iloczyny:
�ł łł �ł łł

1 -3 2 2 5 6
3 -2 3 4
�ł �ł �ł �ł,
a) � , b) 3 -4 1 � 1 2 5
5 -4 2 5
2 -5 3 1 3 2
�ł łł �ł łł
2 -1 3 -4 7 8 6 9
�ł śł �ł śł
3 -2 4 -3 5 7 4 5
�ł śł �ł śł.
c) �
�ł �ł �ł �ł
5 -3 -2 1 3 4 5 6
3 -3 -1 2 2 1 1 2
�ł łł
�ł łł
10 17 19 23

1 5 -5
�ł śł
5 2
�ł
�ł �ł, 17 23 27 35 śł.
Odp. a) , b) 3 10 0 c)
�ł �ł
7 0 16 12 9 20
2 9 -7
7 1 3 10
podane wyznaczniki
Zadanie 3.16. Oblicz stopnia 2:

5 2 1 2 3 2 6 9 cos ą - sin ą
, b) , c) , d) , e) ,
a)

7 3 3 8 5 sin ą cos ą
4 8 12

4 + 2i 2 - 3i 5 + 4i 2 - 3i
, g) .
f)

3 - i 4 + 2i 2 + 6i 4 + 2i
Odp. a) 1. b) -2. c) -1. d) 0. e) 1. f) 9 + 27i. g) -10 + 20i.
Zadanie 3.17. Oblicz podane wyznaczniki stopnia 3 przy pomocy
reguły Sarrusa:

2 1 3 3 2 1 4 -3 5 3 2 -4

, , , ,
a) 5 3 2 b) 2 5 3 c) 3 -2 8 d) 4 1 -2

1 4 3 3 4 2 1 -7 -5 5 2 -3

3 4 -5 1 0 1 + i

, .
e) 8 7 -2 f) 0 1 i

2 -1 8 1 - i -i 1
Odp. a) 40. b) -3. c) 100. d) -5. e) 0. f) -2.
Rozdział 4
Własności wyznaczników.
Macierz odwrotna
4.1 Operacje elementarne na macierzach
Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw. opera-
cje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy. Niech A = [aij]
bedzie m � n-macierza nad ciałem K.

Operacje elementarne na wierszach macierzy A:
(i) Pomnożenie i-tego wiersza macierzy A przez niezerowy skalar a.
Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od i, zaś
każdy wyraz i-tego wiersza mnożymy przez a. Operacje te oznaczamy

symbolem a � wi.
(ii) Zamiana miejscami i-tego wiersza macierzy A z wierszem j-
tym (i = j) macierzy A. Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy

o numerach różnych od i oraz j. Operacje te oznaczamy symbolem

wi "! wj.
(iii) Dodanie do j-tego wiersza macierzy A i-tego (i = j) wiersza

tej macierzy pomnożonego przez dowolny skalar a. Przy tej operacji
nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od j, natomiast wiersz j-ty
przybiera postać nastepujaca:

aj1 + a � ai1, aj2 + a � ai2, . . . , ajn + a � ain.
Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 35
Operacje te oznaczamy symbolem wj + a � wi.

Operacje elementarne na kolumnach macierzy A określa sie

analogicznie.
4.2 Własności wyznaczników
Twierdzenie 4.1. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadra-
towej A przez zamiane miejscami dwóch wierszy (kolumn),

to det(B) = - det(A).
Twierdzenie 4.2. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadra-
towej A przez pomnożenie pewnego wiersza (kolumny) przez dowolny
skalar a, to det(B) = a � det(A).
Twierdzenie 4.3. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadra-
towej A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) innego wiersza
(innej kolumny) pomnożonego (pomnożonej) przez dowolny skalar,
to det(B) = det(A).
Stosujac operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy

kwadratowej A nad ciałem K możemy ja sprowadzić do postaci:
�ł łł
c11 c12 c13 . . . c1n
�ł
0 c22 c23 . . . c2n śł
�ł śł
�ł
0 0 c33 . . . c3n śł ,
C = (4.1)
�ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł . �ł
. . . .
0 0 0 . . . cnn
gdzie cij dla wszystkich i d" j sa dowolnymi elementami ciała K.
Twierdzenie 4.4. Wyznacznik macierzy C postaci (4.1) jest równy
iloczynowi wszystkich jej elementów na głównej przekatnej, czyli

det(C) = c11 � c22 � . . . � cnn.
Twierdzenia 4.1-4.4 umożliwiaja nam efektywne obliczenie dowol-
nego wyznacznika przy pomocy operacji elementarnych. Pokażemy
to na nastepujacym przykładzie.

36 Algebra liniowa dla inżynierów

1 -1 1 -2 1 -1 1 -2

1 3 -1 3 0 4 -2 5
w2-w1

Przykład 4.5. =

-1 -1 4 3 -1 -1 4 3

-3 -8 -13 -3 -8 -13
0 0

1 -1 1 -2 1 -1 1 -2

0 4 -2 5 0 4 -2 5
w3+w1 w4+3�w1 w2+w4

= = =

0 -2 5 1 0 -2 5 1

-3 0 -8 -13 0 -3 -5 -19

1 -1 1 -2 1 -1 1 -2

0 1 -7 -14 0 1 -7 -14
w3+2�w2 w4+3�w2

= =

0 -2 5 1 0 0 -9 -27

0 -3 -5 -19 0 -5 -19
-3

1 -1 1 -2 1 -1 1 -2

0 1 -7 -14 0 1 -7 -14
w4+26�w3

= (-9) � = (-9) �

0 0 -9 -27 0 0 1 3

0 0 -26 -61 0 0 -26 -61

1 -1 1 -2

0 1 -7 -14

= (-9) � 1 � 1 � 1 � 17 = -153.

0 0 1 3

0 0 0 17
Z twierdzenia 4.2 mamy natychmiast nastepujacy

Wniosek 4.6. Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadra-
towej A składa sie z samych zer, to det(A) = 0.

Z twierdzenia 4.3 i z wniosku 4.6 otrzymujemy od razu nastepujacy

Wniosek 4.7. Jeżeli macierz kwadratowa A ma identyczne dwa
wiersze (kolumny), to det(A) = 0.
Twierdzenie 4.8. Wyznacznik macierzy transponowanej macie-
rzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi macierzy A, czyli
det(AT ) = det(A).
Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 37
Twierdzenie 4.9 (Cauchy ego). Jeżeli A i B sa macierzami
kwadratowymi tego samego stopnia nad tym samym ciałem,
to det(A � B) = det(A) � det(B).
Twierdzenie 4.10 (Laplace a dla wierszy).

a11 a12 . . . a1n

. . .
.

. . . .
.
. . .

ai1 ai2 . . . ain =

. . .
.
. . . .
.
. . .

an1 an2 . . . ann
(-1)i+1 � ai1 det(Ai1) + . . . + (-1)i+n � ain det(Ain).
Twierdzenie 4.11 (Laplace a dla kolumn).

a11 . . . a1j . . . a1n

a21 . . . a2j . . . a2n

=

. . .
. .
. . . . .

. .
. . .

an1 . . . anj . . . ann
(-1)1+j � a1j det(A1j) + . . . + (-1)n+j � anj det(Anj).
W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest
stosowanie operacji elementarnych i rozwiniecia Laplace a wzgledem

takiego wiersza (kolumny), w którym wystepuje co najwyżej jeden nie-

zerowy wyraz. Pokażemy to w nastepnym przykładzie.

�!

1 1 3 4

1 3 4
1

2 0 0 8
w4-4�w1
2 0 0 8

Przykład 4.12. = = (-1)1+2�

3 0 0 2

3 0 0 2

4 4 7 5

0 0 -5 -11

�!

2 8
0
2 8
1� 3 0 2 = (-1)�(-1)3+2�(-5)� = (-5)�(2�2-3�8) =

3 2

0 -5 -11
100. Strzałkami �! oznaczyliśmy kolumne, wzgledem której zastoso-

wano rozwiniecie Laplace a.

38 Algebra liniowa dla inżynierów
4.3 Odwracanie macierzy
Oznaczmy przez Mn(K) zbiór wszystkich macierzy kwadratowych
stopnia n > 1 nad ciałem K. Macierza jednostkowa nazywamy taka
macierz In " Mn(K), która na głównej przekatnej ma same jedynki,

zaś na pozostałych miejscach same zera. Zatem
�ł łł
1 0 . . . 0
�ł śł
0 1 . . . 0
�ł śł
In = . (4.2)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
0 0 . . . 1
In jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze Mn(K)
tzn. A � In = In � A = A dla dowolnej macierzy A " Mn(K). Ponadto
z twierdzenia 4.4 mamy, że det(In) = 1.
Powiemy, że macierz A " Mn(K) jest odwracalna, jeżeli istnieje
macierz B " Mn(K) taka, że
A � B = B � A = In. (4.3)
W tej sytuacji mówimy, że B jest macierza odwrotna do macierzy A
i piszemy B = A-1.
Jeżeli macierz A " Mn(K) jest odwracalna, to z twierdzenia Cau-
chy ego wynika od razu, że det(A) = 0. Można udowodnić, że zachodzi

nastepujace

Twierdzenie 4.13. Macierz A " Mn(K) jest odwracalna wtedy,
i tylko wtedy, gdy det(A) = 0.

Z twierdzenia 4.13 łatwo można wyprowadzić nastepujace

Twierdzenie 4.14. Macierz B " Mn(K) jest macierza odwrotna
do macierzy A " Mn(K) wtedy, i tylko wtedy, gdy A � B = In.
Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 39
4.4 Algorytm wyznacznikowy
odwracania macierzy
Krok 1: Obliczamy det(A). Jeżeli det(A) = 0, to A-1 nie istnieje.
Jeżeli det(A) = 0, to przechodzimy do nastepnego kroku.

Krok 2: Dla i, j = 1, 2, . . . , n obliczamy det(Aij), czyli wyznacz-
niki macierzy powstajacych z macierzy A przez wykreślenie i-tego wier-

sza i j-tej kolumny. Obliczamy też dopełnienia algebraiczne dij ele-
mentu aij macierzy A: dij = (-1)i+j � det(Aij).
Krok 3: Tworzymy macierz dopełnień D
�ł łł
d11 d12 . . . d1n
�ł
d21 d22 . . . d2n śł
�ł śł
D = . (4.4)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
dn1 dn2 . . . dnn
Krok 4: Wypisujemy macierz odwrotna do macierzy A
1
A-1 = � DT . (4.5)
det(A)
Przykład 4.15. Wyznaczymy macierz odwrotna do macierzy A =
�ł łł
1 a c
�ł �ł
0 1 b nad ciałem liczb rzeczywistych. Z twierdzenia 4.4, det(A) =
0 0 1
1 � 1 � 1 = 1. Ponadto

1 b a c

d11 = (-1)1+1 � = 1, d21 = (-1)2+1 � = -a, d31 =

0 1
0 1

a c 0 b

(-1)3+1 � = ab - c, d12 = (-1)1+2 � = 0, d22 = (-1)2+2 �

1 b 0 1

1 c 1 c 0 1

= 1, d32 = (-1)3+2� = -b, d13 = (-1)1+3� = 0,

0 1 0 b 0 0

1 a 1 a

d23 = (-1)2+3 � = 0, d33 = (-1)3+3 � = 1.

0 0 0 1
�ł łł
1 0 0
1
�ł �ł
Zatem D = -a 1 0 oraz A-1 = � DT , czyli
det(A)
ab - c -b 1
40 Algebra liniowa dla inżynierów
�ł łł
1 -a ab - c
�ł �ł,
A-1 = 0 1 -b bo det(A) = 1.
0 0 1
Przykład 4.16. Wyznaczymy macierz odwrotna do macierzy
�ł łł
2 5 7
�ł �ł.
A = 6 3 4
5 -2 -3
Obliczamy najpierw wyznacznik macierzy A:

2 5 7 2 5

det(A) = 6 3 4 6 3 = -18+100-84-105+16+90 = -1,

5 -2 -3 5 -2
czyli det(A) = -1 = 0, wiec A-1 istnieje.

Teraz obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów ma-
cierzy A:

3 4

d11 = (-1)1+1 � = -9 + 8 = -1, d12 = (-1)1+2 �

-2 -3

6 4 6 3

= -(-18-20) = 38, d13 = (-1)1+3� = -12-15 =

5 -3 5 -2
-27.

5 7

d21 = (-1)2+1 � = -(-15 + 14) = 1, d22 = (-1)2+2 �

-2 -3

2 7 2 5

= -6-35 = -41, d23 = (-1)2+3 � = -(-4-25) =

5 -3 5 -2
29.

5 7 2 7

d31 = (-1)3+1 � = 20 - 21 = -1, d32 = (-1)3+2 � =

3 4 6 4

2 5

-(8 - 42) = 34, d33 = (-1)3+3 � = 6 - 30 = -24.

6 3
�ł łł
-1 38 -27
�ł �ł.
Tworzymy macierz dopełnień D = 1 -41 29 Zatem
-1 34 -24
�ł łł
-1 1 -1
1
�ł �ł,
A-1 = � DT = (-1) � 38 -41 34 czyli ostatecznie
det(A)
-27 29 -24
Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 41
�ł łł
1 -1 1
�ł �ł.
A-1 = -38 41 -34
27 -29 24
4.5 Odwracanie macierzy przy pomocy
operacji elementarnych
Z definicji mnożenia macierzy wynika, że dla dowolnej macierzy
A " Mn(K):
operacji elementarnej na wierszach macierzy A odpowiada pomno-
żenie macierzy A z lewej strony przez macierz, która powstaje z ma-
cierzy jednostkowej In przez wykonanie na niej tej samej operacji.
Stosujac operacje elementarne na wierszach nieosobliwej macie-

rzy A (tzn. takiej, że det(A) = 0) możemy ja przekształcić do macie-

rzy jednostkowej In. Wynika stad, że istnieja macierze B1, B2, . . . , Bs

takie, że
Bs � . . . � B2 � B1 � A = In. (4.6)
Zatem A-1 = Bs � . . . � B2 � B1, czyli A-1 = Bs � . . . � B2 � B1 � In. Stad

macierz A-1 powstaje z macierzy In przez wykonanie na niej
tych samych operacji elementarnych, co na macierzy A.
W praktyce przy obliczaniu macierzy odwrotnej do macierzy nie-
osobliwej A przy pomocy operacji elementarnych na wierszach postepu-

jemy w sposób nastepujacy. Z prawej strony macierzy A dopisujemy

macierz jednostkowa In tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej
w ten sposób macierzy blokowej [A|In] wykonujemy operacje elemen-
tarne aż do uzyskania macierzy blokowej postaci [In|B]. Macierz B
jest wtedy macierza odwrotna do macierzy A, tj. B = A-1.
operacje elementarne na wierszach
[A|In] - - - - -- - [In|A-1]
42 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 4.17. Stosujac operacje elementarne wyznaczymy

macierz odwrotna do macierzy
�ł łł
1 2 3 4
�ł śł
2 3 1 2
�ł śł.
A =
�ł �ł
1 1 1 -1
1 0 -2 -6
�ł łł
1 2 3 4 1 0 0 0
�ł śł
w1-w4, w2-2w4, w3-w4
2 3 1 2 0 1 0 0
�ł śł
Mamy: a"
�ł �ł
1 1 1 -1 0 0 1 0
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł łł �ł łł
0 2 5 10 1 0 0 -1 1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł �ł śł
w1"!w4
0 3 5 14 0 1 0 -2 0 3 5 14 0 1 0 -2
�ł śł �ł śł
a"
�ł �ł �ł �ł
0 1 3 5 0 0 1 -1 0 1 3 5 0 0 1 -1
1 0 -2 -6 0 0 0 1 0 2 5 10 1 0 0 -1
�ł łł
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł
w2-3w3, w4-2w3 w2"!w3
0 0 -4 -1 0 1 -3 1
�ł śł
a" a"
�ł �ł
0 1 3 5 0 0 1 -1
0 0 -1 0 1 0 -2 1
�ł łł
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł
w3-4w4
0 1 3 5 0 0 1 -1
�ł śł
a"
�ł �ł
0 0 -4 -1 0 1 -3 1
0 0 -1 0 1 0 -2 1
�ł łł
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł
w3"!w4
0 1 3 5 0 0 1 -1
�ł śł
a"
�ł �ł
0 0 0 -1 -4 1 5 -3
0 0 -1 0 1 0 -2 1
�ł łł
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł
(-1)w3, (-1)w4
0 1 3 5 0 0 1 -1
�ł śł
a"
�ł �ł
0 0 -1 0 1 0 -2 1
0 0 0 -1 -4 1 5 -3
�ł łł
1 0 -2 -6 0 0 0 1
�ł śł
0 1 3 5 0 0 1 -1
�ł śł
�ł �ł
0 0 1 0 -1 0 2 -1
0 0 0 1 4 -1 -5 3
Własności wyznaczników. Macierz odwrotna 43
�ł łł
1 0 -2 0 24 -6 -30 19
�ł śł
w1+6w4, w2-5w4 w1+2w3, w2-3w3
0 1 3 0 -20 5 26 -16
�ł śł
a" a"
�ł �ł
0 0 1 0 -1 0 2 -1
0 0 0 1 4 -1 -5 3
�ł łł
1 0 0 0 22 -6 -26 17
�ł śł
0 1 0 0 -17 5 20 -13
�ł śł. Zatem ostatecznie:
�ł �ł
0 0 1 0 -1 0 2 -1
0 0 1 4 -1 -5 3
�ł0 łł
22 -6 -26 17
�ł śł
-17 5 20 -13
�ł śł.
A-1 =
�ł �ł
-1 0 2 -1
4 -1 -5 3
4.6 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 4.18. Stosujac rozwiniecie Laplace a wzgledem drugiej

kolumny oblicz wyznacznik:

3 a 5 2

2 b 7 0
.

-3 c 2 0

5 d 1 2
Odp. -50a + 16b + 44c + 50d.
Zadanie 4.19. Oblicz nastepujace wyznaczniki:

1 2 3 4 4 -2 0 5 0 1 1 1

-3 2 -5 13 3 2 -2 1 1 0 1 1
, b) , c) ,
a)

1 -2 10 4 -2 1 3 -1 1 1 0 1

-2 9 -8 25 2 3 -6 -3 1 1 1 0

1 1 1 1 0 5 2 0

1 -1 1 1 8 3 5 4
, e) .
d)

1 1 -1 1 7 2 4 1

1 1 1 -1 0 4 1 0
Odp. a) 301. b) -21. c) -3. d) -8. e) 60.
44 Algebra liniowa dla inżynierów
Zadanie 4.20. Oblicz nastepujace wyznaczniki:

3 6 5 6 4 7 6 9 4 -4

5 9 7 8 6 1 0 -2 6 6

, .
a) 6 12 13 9 7 b) 7 8 9 -1 -6

4 6 6 5 4 1 -1 -2 4 5

2 5 4 5 3 -7 0 -9 2 -2
Odp. a) 5. b) 1932.
Zadanie 4.21. Wyznacz macierz odwrotna do macierzy
�ł łł
�ł łł
1 2 -1 -2

1 2 2
�ł śł
-2 3 3 8 0 -4
�ł �ł, �ł śł.
a) A = , b) B = 2 1 -2 c) C =
�ł �ł
-4 7 2 2 -4 -3
2 -2 1
3 8 -1 -6
�ł łł

1 2 2
-7 3
1
2 2
�ł �ł.
Odp. a) A-1 = . b) B-1 = � 2 1 -2
9
-2 1
2 -2 1
�ł łł
48 6 -8 -16
�ł śł
-23 -2 4 7
1
�ł śł.
c) C-1 = �
2
�ł �ł
20 2 -4 -6
-10 0 2 2
Zadanie 4.22. Rozwiaż równania macierzowe stosujac macierz

odwrotna:
�ł łł

1 2 3
1 2 3 0 6 9 8
�ł �ł
a) � X = , b) X � 2 3 4 = ,
3 4 7 2 0 1 6
�ł łł �ł łł3 4 1
1 1 1 1 1 4 3
�ł śł �ł śł
1 0 1 1 0 3 2
�ł śł �ł śł.
c) � X =
�ł �ł �ł �ł
0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 2 1

1 2 1 1 1
Odp. a) X = . b) X = .
1 1 -1
�ł łł1 -1
0 1 1
�ł śł
1 1 1
�ł śł.
c) X =
�ł �ł
0 1 0
0 1 1
Rozdział 5
Rzad macierzy. Układy

równań liniowych
5.1 Minor macierzy
Niech A bedzie dowolna m � n-macierza nad ciałem K oraz niech

1 d" k d" min(m, n). Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyz-
nacznik macierzy kwadratowej stopnia k, która powstała po skreśleniu
m - k wierszy oraz n - k kolumn w macierzy A.
�ł łł
1 2 3 4
�ł �ł
Przykład 5.1. Minorem stopnia 2 macierzy A = a b c d
5 6 7 8

2 4
, który powstaje przez skreślenie w wyznacz-
jest wyznacznik

6 8
niku macierzy A drugiego wiersza oraz pierwszej i trzeciej kolumny.
W sumie macierz A posiada dokładnie 18 minorów stopnia 2 i tylko 4
minory stopnia 3.
46 Algebra liniowa dla inżynierów
5.2 Rzad macierzy

Rzedem macierzy nazywamy najwiekszy stopień jej niezerowego

minora. Rzad macierzy A oznaczamy przez r(A).

Przyjmujemy, że rzad macierzy zerowej jest równy 0.

Przykład 5.2. Korzystajac z definicji znajdziemy rzad macierzy

�ł łł
1 -2 3
�ł �ł.
A = -3 4 1
-1 0 7

1 -2 3

w2+2�w1

Mamy, że det(A) = -1 0 7 = 0, bo wiersze drugi i trzeci

-1 0 7
sa identyczne. Stad r(A) < 3. Ale po skreśleniu trzeciego wier-

sza i trzeciej kolumny macierzy A uzyskamy minor stopnia 2 równy

1 -2

= 1�4-(-3)�(-2) = -2 = 0, wiec ostatecznie r(A) = 2.

-3 4
Wprost z definicji rzedu macierzy uzyskujemy nastepujace stwier-

dzenia.
Stwierdzenie 5.1. Rzad m � n-macierzy A spełnia nierówności:

0 d" r(A) d" min(m, n).
Stwierdzenie 5.2. Rzad macierzy kwadratowej A takiej, że

det(A) = 0 jest równy jej stopniowi.

Stwierdzenie 5.3. Rzad niezerowej 1 � n (m � 1) macierzy jest

równy 1.
Jednak obliczanie rzedu macierzy wprost z definicji jest na ogół

uciażliwe. W praktyce przy obliczaniu rzedu macierzy korzystamy

z nastepujacych własności.

Twierdzenie 5.4. Rzad macierzy transponowanej jest równy rze-

dowi macierzy wyjściowej: r(AT ) = r(A).
Rzad macierzy. Układy równań liniowych 47

Twierdzenie 5.5. Przekształcenia elementarne nie zmieniaja rzedu

macierzy.
Twierdzenie 5.6. Jeżeli w i-tym wierszu (kolumnie) macierzy
A pewien wyraz aij jest niezerowy, zaś pozostałe wyrazy tego wiersza
(kolumny) sa równe 0 oraz macierz Aij powstaje przez skreślenie i-tego
wiersza i j-tej kolumny w macierzy A, to zachodzi wzór:
r(A) = 1 + r(Aij). (5.1)
Twierdzenie 5.7. Wykreślenie zerowych wierszy (kolumn) nieze-
rowej macierzy nie zmienia jej rzedu.

Twierdzenie 5.8. Jeżeli aii = 0 dla i = 1, 2, . . . , k, to dla dowol-

nych skalarów aij, gdzie i < j zachodzi wzór:
�ł�ł łł�ł
a11 a12 a13 . . . a1 k a1 k+1 . . . a1 n
�ł�ł
0 a22 a23 . . . a2 k a2 k+1 . . . a2 n śł�ł
�ł�ł śł�ł
�ł�ł
0 0 a33 . . . a3 k a3 k+1 . . . a3 n śł�ł = k. (5.2)
r
�ł�ł śł�ł
�ł�ł śł�ł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
�ł�ł . . �łłł
. . . . . .
0 0 0 . . . ak k ak k+1 . . . ak n
Przykład 5.9. Obliczymy rzad macierzy

�ł łł
8 2 2 -1 1
�ł �ł.
A = 1 7 4 -2 5
-2 4 2 -1 3
Po zastosowaniu operacji w1 - w3 oraz w2 - 2 � w3 uzyskamy macierz
�ł łł
10 -2 0 0 -2
�ł �ł
B = 5 -1 0 0 -1
-2 4 2 -1 3
o tym samym rzedzie co macierz A. Zatem z twierdzenia 5.6 mamy,

10 -2 0 -2
w1-2�w2
że r(B) = 1 + r(B34). Ale r(B34) = r =
5 -1 0 -1

0 0 0 0
r = r([ 5 -1 0 -1 ]) = 1, wiec r(A) = 2.

5 -1 0 -1
48 Algebra liniowa dla inżynierów
5.3 Układy równań liniowych
Układem m równań liniowych o niewiadomych x1, x2, . . . , xn
o współczynnikach z ciała K nazywamy układ równań postaci:
ńł
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
, (5.3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
gdzie współczynniki aij (dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) oraz elementy
bi (dla i = 1, . . . , m) należa do ciała K. Układ ten nazywamy jedno-
rodnym, gdy b1 = b2 = . . . = bm = 0.
Macierza współczynników układu (5.3) nazywamy macierz:
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
A = , (5.4)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
am1 am2 . . . amn
zaś macierza uzupełniona układu (5.3) nazywamy macierz:
�ł łł
a11 a12 . . . a1n b1
�ł
a21 a22 . . . a2n b2 śł
�ł śł
Au = . (5.5)
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł . �ł
. . . .
am1 am2 . . . amn bm
Rozwiazaniem układu (5.3) nazywamy taka n � 1-macierz C =

�ł łł
c1
�ł śł
c2
�ł śł
o wyrazach z ciała K, że po zastapieniu w równaniach tego
�ł śł
.

.
�ł �ł
.
cn
układu niewiadomych xi elementami ci dla i = 1, 2, . . . , n otrzymujemy
równości prawdziwe w ciele K, tj. gdy A�C = B, gdzie B jest kolumna
Rzad macierzy. Układy równań liniowych 49

wyrazów wolnych tzn.
�ł łł
b1
�ł śł
b2
�ł śł
B = . (5.6)
�ł śł
.
.
�ł �ł
.
bm
Wynika stad, że przy tych oznaczeniach układ (5.3) można zapisać

w postaci macierzowej
A � X = B. (5.7)
Jeżeli układ (5.3) nie posiada rozwiazania, to mówimy, że jest

on sprzeczny.
Twierdzenie 5.10 (Kroneckera-Capellego). Układ (5.3)
ma rozwiazanie wtedy, i tylko wtedy, gdy r(A) = r(Au), tj. gdy rzad

macierzy współczynników układu jest równy rzedowi macierzy uzu-

pełnionej. Ponadto układ (5.3) posiada dokładnie jedno rozwiazanie

wtedy, i tylko wtedy, gdy r(A) = r(Au) = n.
Uwaga. Niech K bedzie ciałem nieskończonym. Można pokazać,

że jeżeli w układzie (5.3) jest r(A) = r(Au) = r < n, to układ ten
ma nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n - r parametrów.

Przykład 5.11. Rozważmy nad ciałem liczb rzeczywistych układ
równań:
ńł
x1
�ł - 2x2 + x3 + x4 = 1
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1 .
ół
x1 - 2x2 + x3 + 5x4 = 5
Mamy tutaj:
�ł łł �ł łł
1 -2 1 1 1 -2 1 1 1
�ł �ł �ł �ł.
A = 1 -2 1 -1 oraz Au = 1 -2 1 -1 -1
1 -2 1 5 1 -2 1 5 5
50 Algebra liniowa dla inżynierów
�ł łł

w3-w1 1 -2 1 1
0 0 -2
w2-w1
�ł �ł
Stad r(A) = r 0 0 0 -2 = 1 + r = 1 +

0 0 4
0 0 0 4
�ł łł

1 -2 1 0 1
-2
k4-k5
�ł �ł
r = 1 + 1 = 2 oraz r(Au) = r 1 -2 1 0 -1 = r(A)
4
1 -2 1 0 5
(po skreśleniu czwartej kolumny). Zatem z twierdzenia Kroneckera-
Capellego nasz układ posiada rozwiazanie, zaś na mocy Uwagi układ

ten posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od dwóch para-

metrów.
Problem rozwiazania układu równań liniowych polega na znalezie-

niu wszystkich rozwiazań tego układu. Bardzo użyteczne przy rozwia-

zywaniu tego problemu sa operacje elementarne.
5.4 Operacje elementarne na układzie
równań liniowych
(i). Zamiana miejscami równania i-tego z równaniem j-tym (i = j)

oznaczana przez ri "! rj.
(ii). Pomnożenie i-tego równania przez niezerowy skalar a ozna-
czana przez a � ri.
(iii). Dodanie do i-tego równania równania j-tego (i = j) pomno-

żonego przez dowolny skalar a oznaczana przez ri + a � rj. Przy tej
operacji zmieniamy tylko równanie i-te!
(iv). Wykreślenie powtarzajacych sie kopii pewnego równania.

(v). Zamiana kolejności niewiadomych xi oraz xj (i = j) w każ-

dym równaniu oznaczana przez xi "! xj. W wyniku zastosowania tej
operacji równanie
a1x1 + . . . + aixi + . . . + ajxj + . . . + anxn = b
przechodzi na równanie
a1x1 + . . . + ajxj + . . . + aixi + . . . + anxn = b.
Rzad macierzy. Układy równań liniowych 51

(vi). Wykreślenie równań postaci 0 � x1 + 0 � x2 + . . . + 0 � xn = 0.
Można udowodnić, że jeżeli układ (5.3 ) równań liniowych z n-
niewiadomymi powstaje z układu (5.3) równań liniowych z n-niewiado-
mymi nad tym samym ciałem przez kolejne wykonanie skończonej
liczby operacji elementarnych, to układy (5.3) i (5.3 ) maja takie same
zbiory rozwiazań. Piszemy wtedy (5.3) a" (5.3 ).

5.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 5.12. Nad ciałem oblicz rzad macierzy
�ł łłR �ł łł
377 259 481 407 1241 381 273 -165
�ł �ł, �ł �ł.
a) A = 19 133 247 209 b) B = 134 -987 562 213
25 175 325 275 702 225 -1111 49
Odp. a) r(A) = 2. b) r(B) = 3.
Zadanie 5.13. Nad ciałem oblicz rzad macierzy
�ł łłR �ł łł
3 -1 3 2 5 2 5 -1 4 3
�ł śł �ł śł
5 -3 2 3 4 -3 1 2 0 1
�ł śł, b) B = �ł śł.
a) A =
�ł �ł �ł �ł
1 -3 -5 0 -7 4 1 6 -1 -1
7 -5 1 4 1 -2 3 0 4 -9
Odp. a) r(A) = 3. b) r(B) = 4.
Zadanie 5.14. Nad ciałem R oblicz rzad macierzy
�ł łł
�ł łł
4 3 -5 2 3
3 1 1 4
�ł śł
8 6 -7 4 2
�ł śł �ł śł
0 4 10 1
�ł śł, b) B = �ł śł.
a) A = 4 3 -8 2 7
�ł �ł �ł śł
1 7 17 3
�ł �ł
4 3 1 2 -5
2 2 4 3
8 6 -1 4 -6
Odp. a) r(A) = 2. b) r(B) = 2.
52 Algebra liniowa dla inżynierów
Zadanie 5.15. W zależności od wartości parametru a " R oblicz
nad ciałem R rzad macierzy
�ł łł
3 + 2a 1 + 3a a a - 1
�ł śł
3a 3 + 2a a a - 1
�ł śł,
a) A =
�ł �ł
3a 3a 3 a - 1
3a 3a a a - 1
�ł łł
a + 1 a2 + 1 a2
�ł �ł.
b) B = 3a - 1 3a2 - 1 a2 + 2a
a - 1 a2 - 1 a
Odp. a) Dla a = 3, r(A) = 2; dla a = 1, r(A) = 3; zaś dla a = 1

i a = 3, r(A) = 4. b) Dla a = 1, r(B) = 1, zaś dla pozostałych a,

r(B) = 2.
Zadanie 5.16. Zastosuj twierdzenie Kroneckera-Capellego do zba-
dania dla jakich wartości parametru a " R układ równań
ńł
2x1
�ł - x2 + 3x3 + 4x4 = 5
4x1 - 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7
ół
ax1 - 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11
ma rozwiazanie w ciele R.

Odp. a = 8.

Rozdział 6
Metoda eliminacji Gaussa.
Wzory Cramera
6.1 Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego układu
ńł
�ł a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2
, (6.1)
. . .
.
. . . .
�ł
.
. . .
�ł
�ł
ół
am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm
(w którym aij = 0 dla pewnych i, j) przy pomocy operacji elementar-

nych równoważnego mu (czyli posiadajacego taki sam zbiór rozwiazań)

układu (6.2), który po ewentualnej permutacji niewiadomych x1, . . . , xn
ma postać:
ńł
�ł x1 + c1, k+1xk+1+ . . . + c1nxn = d1
�ł
�ł
�ł
�ł x2 + c2, k+1xk+1+ . . . + c2nxn = d2
�ł
�ł
�ł
x3 + c3, k+1xk+1+ . . . + c3nxn = d3
.
. . .
.
. . . .
�ł
.
. . .
�ł
�ł
�ł
�ł
xk + ck, k+1xk+1+ . . . + cknxn = dk
�ł
�ł
ół
0 = dk+1
(6.2)
54 Algebra liniowa dla inżynierów
Jeżeli dk+1 = 0, to układ (6.2) nie ma rozwiazania, a wiec też układ

(6.1) nie ma rozwiazania (czyli jest sprzeczny).

Jeżeli dk+1 = 0 i k = n, to układ (6.1) posiada dokładnie jedno
rozwiazanie:

x1 = d1 , x2 = d2, . . . , xn = dn. (6.3)
Jeżeli dk+1 = 0 oraz k < n, to xk+1, xk+2, . . . , xn sa dowolnymi
skalarami (nazywamy je parametrami), zaś pozostałe niewiadome wyli-
czamy z równań układu (6.2), tzn.
xi = di - ci k+1xk+1 - . . . - cinxn dla i = 1, 2, . . . , k. (6.4)
Aby sprowadzić układ (6.1) do postaci (6.2) należy najpierw przy
pomocy operacji elementarnych przekształcić go do układu postaci:
ńł
�ł x1+ a x2+ . . . + a xn = b
�ł 12 1n 1
�ł
�ł
a x1+ a x2+ . . . + a xn = b
21 22 2n 2
. (6.5)
. . .
.
. . . .
�ł
.
. . .
�ł
�ł
ół
a x1+ a x2+ . . . + a xn = b
m1 m2 mn m
Robimy to np. w ten sposób, że najpierw znajdujemy element aij = 0,

1
a nastepnie przez operacje: x1 "! xj, r1 "! ri, � r1 doprowadzamy
aij
układ (6.1) do postaci (6.5).
Nastepnie przy pomocy równania pierwszego eliminujemy zmienna

x1 z pozostałych równań układu (6.5) przez wykonanie operacji: r2 -
a �r1, r3 -a �r1,...,rm -a �r1. Otrzymamy wówczas układ postaci:
21 31 m1
ńł
�ł x1+ a x2+ . . . + a xn = b
12 1n 1
�ł
�ł
�ł
a x2+ . . . + a xn = b
22 2n 2
. (6.6)
. .
.
. . .
�ł
.
. .
�ł
�ł
ół
a x2+ . . . + a xn = b
m2 mn m
Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera 55
Z kolei stosujemy nasz algorytm do układu:
ńł
�ł a x2+ . . . + a xn = b
12 1n 1
�ł
�ł
�ł
a x2+ . . . + a xn = b
22 2n 2
(6.7)
. .
.
. . .
�ł
.
. .
�ł
�ł
ół
a x2+ . . . + a xn = b
m2 mn m
nie ruszajac pierwszego równania układu (6.6). Po skończonej liczbie

kroków uzyskamy układ postaci:
ńł
�ł x1 + e12x2 + e13x3+ . . . + e1kxk + e1 k+1xk+1 + . . . + e1nxn = f1
�ł
�ł
�ł
�ł x2 + e23x3+ . . . + e2kxk + e2 k+1xk+1 + . . . + e2nxn = f2
�ł
�ł
�ł
x3+ . . . + e3kxk + e3 k+1xk+1 + . . . + e3nxn = f3
.
.
.
. .
�ł
.
.
�ł
�ł
�ł
�ł
xk + ek k+1xk+1 + . . . + eknxn = fk
�ł
�ł
ół
0 = fk+1
Jeżeli fk+1 = 0, to otrzymany układ jest sprzeczny, a wiec też układ

(6.1) jest sprzeczny. Jeżeli zaś fk+1 = 0, to przy pomocy operacji:
r1 - e1k � rk, r2 - e2k � rk,...,rk-1 - ek-1 k � rk eliminujemy zmienna xk
z poczatkowych k - 1 równań. Pózniej eliminujemy zmienna xk-1

z wcześniejszych równań przy pomocy k - 1-szego równania, itd.
W końcu, po skończonej liczbie kroków, uzyskamy w ten sposób układ
(6.2).
Omówiony wyżej sposób rozwiazywania układu równań metoda

Gaussa zawiera dużo elementów dowolnych. Dowolność zachodzi
na każdym etapie rozważań, ponieważ możemy eliminować dowolna
niewiadoma (pod warunkiem, że odpowiedni współczynnik nie równa
sie 0). Oprócz tego dowolna jest również kolejność równań w danym

układzie. Jeżeli np. w jakikolwiek sposób zmienimy kolejność równań
w wyjściowym układzie, to proces stopniowego eliminowania niewia-
domych przebiegać bedzie inaczej. Jednak zawsze musimy otrzymać

te sama liczbe parametrów!

56 Algebra liniowa dla inżynierów
W praktyce proces rozwiazywania układu (6.1) możemy znacznie

uprościć, jeżeli zamiast przekształceń układu równań bedziemy prze-

kształcać jego macierz uzupełniona Au. Oczywiste jest, że każdej ope-
racji elementarnej układu (6.1) odpowiada odpowiednia operacja ele-
mentarna macierzy Au, a mianowicie:
operacji ri "! rj odpowiada operacja wi "! wj,
operacji a � ri odpowiada operacja a � wi,
operacji ri + a � rj odpowiada operacja wi + a � wj,
wykreślaniu i-tego równania odpowiada wykreślanie i-tego wiersza,
operacji xi "! xj odpowiada operacja ki "! kj (należy przy tym pamietać,

że nie wolno ruszać ostatniej kolumny i na koniec należy jeszcze uwzglednić

wszystkie przenumerowania niewiadomych!).
Przykład 6.1. Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiażemy nad

ciałem R układ równań:
ńł
x1
�ł - x2 - 9x3 + 6x4 + 7x5 + 10x6 = 3
- 6x3 + 4x4 + 2x5 + 3x6 = 2 .
ół
- 3x3 + 2x4 - 11x5 - 15x6 = 1
Bedziemy wykonywali rachunki na macierzy uzupełnionej naszego

układu:
�ł łł
1 1 -9 6 7 10 3
w1-3w3, w2-2w3
�ł �ł
0 0 -6 4 2 3 2 a"
0 0 -3 2 -11 -15 1
�ł łł
�ł łł
x1 x4 x3 x2 x5 x6
1 1 0 0 40 55 0
40 55 0
1 0 0 1
x2"!x4
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 0 24 33 0 a"
�ł �ł
0 0 0 0 24 33 0
0 0 -3 2 -11 -15 1
0 2 -3 0 -11 -15 1
�ł łł
x1 x4 x3 x2 x5 x6
40 55 0
1 0 0 1
w2"!w3 x3"!x5
�ł śł
a" a"
�ł �ł
0 2 -3 0 -11 -15 1
0 0 0 0 24 33 0
�ł łł
x1 x4 x5 x2 x3 x6
1 1
40 55 0
1 0 1 0
w2, w3
�ł śł 2 24
a"
�ł �ł
0 2 -11 0 -3 -15 1
0 0 24 0 0 33 0
Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera 57
�ł łł
x1 x4 x5 x2 x3 x6
11
40 55 0
1 0 1 0
w1-40w3, w2+ w3
�ł śł 2
a"
�ł �ł
0 1 -11 0 -3 -15 1
2 2 2 2
11
0 0 1 0 0 0
8
�ł łł
x1 x4 x5 x2 x3 x6
0
1 0 0 1 0 0
�ł
0 1 0 0 -3 1 1 �ł.
2 16 2
11
0 0 1 0 0 0
8
Zatem zmiennymi bazowymi sa x2, x3, x6 oraz x1 = -x2, x4 =
1 3 1
+ x3 - x6, x5 = -11x6. Stad układ posiada nieskończenie wiele
2 2 16 8
rozwiazań danych wzorami:

1 3 1
x1 = -a, x2 = a, x3 = b, x4 = + b - c, x5 = -11c, x6 = c, gdzie
2 2 16 8
a, b, c sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
6.2 Wzory Cramera
Niech dany bedzie układ n równań liniowych z n niewiadomymi x1,

x2, ..., xn nad ciałem K:
ńł
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
�ł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6.8)
�ł
�ł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Oznaczmy przez Ai (dla i = 1, 2, . . . , n) macierz powstajaca z macierzy

A tego układu przez zastapienie i-tej kolumny macierzy A kolumna
�ł łł
b1
�ł śł
b2
�ł śł. Zatem
wyrazów wolnych
�ł śł
.
.
�ł �ł
.
bn
�ł łł �ł łł
b1 a12 . . . a1n a11 a12 . . . b1
�ł �ł
b2 a22 . . . a2n śł a21 a22 . . . b2 śł
�ł śł �ł śł.
A1 = , . . . , An =
�ł śł �ł śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
�ł . �ł �ł . �ł
. . . . . .
bn an2 . . . ann an1 an2 . . . bn
W = det(A) nazywamy wyznacznikiem głównym układu (6.8).
58 Algebra liniowa dla inżynierów
Ponadto oznaczmy Wi = det(Ai) dla i = 1, . . . , n. Wówczas zachodzi
nastepujace

Twierdzenie 6.2 (Cramera). Jeżeli wyznacznik główny układu
(6.8) jest różny od zera, to układ ten posiada dokładnie jedno rozwiaza-

nie dane wzorami Cramera:
W1 W2 Wn
x1 = , x2 = , . . . , xn = . (6.9)
W W W
Jeżeli zaś W = 0, ale Wi = 0 dla pewnego i = 1, . . . , n, to układ (6.8)

jest sprzeczny (a wiec nie posiada rozwiazania).

Przykład 6.3. Stosujac wzory Cramera rozwiażemy nad ciałem

R układ równań:
ńł
x1 + 2x2 - x3 - x4 = -2
�ł
�ł
�ł
2x1 - 3x2 - x3 + 2x4 = 1
.
4x1
�ł - 5x2 + 2x3 + 3x4 = 5
�ł
ół
x1 - x2 - x3 - x4 = -2
Obliczamy najpierw wyznacznik główny naszego układu. Stosu-
jemy kolejno: operacje k4 + k1, k3 + k1, k2 + k1, rozwiniecie Laplace a

wzgledem czwartego wiersza, operacje k2 - 3k1, rozwiniecie Laplace a

wzgledem pierwszej kolumny:

1 2 -1 -1 1 3 0 0

3 0 0

2 -3 -1 2 2 -1 1 4

W= = = (-1)4+1�1� -1 1 4 =

4 -5 2 3 4 -1 6 7

-1 6 7

1 -1 -1 1 0 0 0
-1

1 4

(-1) � 3 � (-1)1+1 � = (-3) � (7 - 24) = (-3) � (-17) = 51. Stad

6 7
W = 51 = 0, wiec z twierdzenia Cramera układ nasz posiada dokładnie

jedno rozwiazanie. Obliczamy teraz wyznacznik W1 stosujac kolejno:

operacje k1 + k2, k3 - k4, k2 + 2 � k4, rozwiniecie Laplace a wzgledem

pierwszego wiersza, operacje k2 + k3, rozwiniecie Laplace a wzgledem

drugiego wiersza:

-2 2 -1 -1 0 2 0 -1

1 -3 -1 2 -2 -3 -3 2

W1 = = =

5 -5 2 3 0 -5 -1 3

-2 -1 -1 -1 -3 -1 0 -1
Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera 59

0 0 0 -1

-2 1 -3

-2 1 -3 2

= (-1)1+4 � (-1) � 0 1 -1 =

0 1 -1 3

-3 -3 0

-3 -3 0 -1

-2 -2 -3

= 0 0 -1 = 0, bo w ostatnim wyznaczniku mamy dwie iden-

-3 -3 0
tyczne kolumny. Postepujac podobnie obliczamy: W2 = 0 i W3 = 51.

W1 W2
Zatem ze wzorów Cramera: x1 = = 0, x2 = = 0 oraz x3 =
W W
W3
= 1. Wyznacznika W4 nie musimy już obliczać, bo z pierwszego
W
równania x4 = x1 + 2x2 - x3 + 2 = 0 + 0 - 1 + 2 = 1.
6.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 6.4. Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia-

łem liczb rzeczywistych układ równań:
ńł
x1 + x2 = 1
�ł
�ł
�ł
�ł
x1 + x2 + x3 = 4
�ł
x2 + x3 + x4 = -3 .
�ł
�ł
x3 + x4 + x5 = 2
�ł
�ł
ół
x4 + x5 = -1
Odp. Układ ma nieskończenie wiele rozwiazań danych wzorami:

x1 = 6 - t, x2 = t - 5, x3 = 3, x4 = -1 - t, x5 = t, gdzie t " R.
Zadanie 6.5. Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia-

łem liczb rzeczywistych układ równań:
ńł
2x1 + x2 - x3 + x4 = 1
�ł
�ł
�ł
3x1 - 2x2 + 2x3 - 3x4 = 2
.
5x1 + x2 - x3 + 2x4 = -1
�ł
�ł
ół
2x1 - x2 + x3 - 3x4 = 4
Odp. Układ jest sprzeczny.
60 Algebra liniowa dla inżynierów
Zadanie 6.6. Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia-

łem liczb rzeczywistych układ równań:
ńł
2x1
�ł - x2 + x3 - x4 = 1
�ł
�ł
2x1 - x2 - 3x4 = 2
.
3x1 - x3 + x4 = -3
�ł
�ł
ół
2x1 + 2x2 - 2x3 + 5x4 = -6
Odp. Układ posiada dokładnie jedno rozwiazanie: x1 = 0, x2 = 2,

5
x3 = , x4 = -4.
3 3
Zadanie 6.7. Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia-

łem liczb rzeczywistych układ równań:
ńł
12x1 - 18x2 + 102x3 - 174x4 - 216x5 = 132
�ł
�ł
�ł
�ł
14x1 - 21x2 + 119x3 - 203x4 - 252x5 = 154
�ł
x3 + 2x4 + 2x5 = -1 .
�ł
�ł
4x3 + 5x4 + 6x5 = -2
�ł
�ł
ół
7x3 + 8x4 + 9x5 = -3
Odp. Układ posiada nieskończenie wiele rozwiazań danych wzo-

rami:
3 1
x1 = -3 + x2, x2-dowolna liczba rzeczywista, x3 = , x4 = -2,
2 2 3 3
x5 = 0.
Zadanie 6.8. Stosujac wzory Cramera rozwiaż nad ciałem Q układ

równań:
ńł
2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2
�ł
�ł
�ł
x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1
.
2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = -3
�ł
�ł
ół
x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = -3
Odp. Układ posiada dokładnie jedno rozwiazanie: x1 = -2, x2 =

0, x3 = 1, x4 = -1.
Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera 61
Zadanie 6.9. Stosujac wzory Cramera rozwiaż nad ciałem Q układ

równań:
ńł
2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 20
�ł
�ł
�ł
x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 11
.
2x1 + 10x2 + 9x3 + 7x4 = 40
�ł
�ł
ół
3x1 + 8x2 + 9x3 + 2x4 = 37
Odp. Układ posiada dokładnie jedno rozwiazanie: x1 = 1, x2 =

x3 = 2, x4 = 0.
Zadanie 6.10. Stosujac wzory Cramera rozwiaż nad ciałem C

układy równań:

2(2 + i)z - i(3 + 2i)w = 5 + 4i
a) ,
(3 - i)z + 2(2 + i)w = 2(1 + 3i)

(4 - 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i)
b) ,
(2 - i)z - (2 + 3i)w = -(1 + i)

(2 + i)z + (2 - i)w = 6b - a + (2a - 3b)i
c) (a, b " R),
(1 - i)z + (3 + i)w = a + 9b + (a + 3b)i

z w
+ = 2
(1 + i)z + (1 - i)w = 1 + i
2-i 1+i
d) , e) .
5z 2w
+ = 3
(1 - i)z + (1 + i)w = 1 + 3i
(2-i)2 (1+i)2
5 5 4
Odp. a) z = + i oraz w = + i. b) z = i oraz w = 1. c) z = ai
9 9 9
oraz w = 3b. d) z = 1 - 2i oraz w = 1 + i. e) z = i oraz w = 1 + i.
Zadanie 6.11. W zależności od wartości parametru a " R rozwiaż

nad ciałem R układ równań:
ńł
x + ay + z = 1
�ł
2x + y + z = a
ół
x + y + az = a2
Odp. Dla a = 0 układ jest sprzeczny. Dla a = 0 i a = 1 układ

a-1 1-2a 1
posiada dokładnie jedno rozwiazanie: x = , y = , z = a + .
2a 2a 2a
Natomiast dla a = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiazań danych

wzorami: x = 0, y-dowolna liczba rzeczywista, z = 1 - y.
Rozdział 7
Określenie przestrzeni
liniowej
7.1 Określenie przestrzeni liniowej
Niech (V, +, Ś) bedzie grupa abelowa i niech K bedzie ciałem.

Niech ć% bedzie odwzorowaniem zbioru K � V w zbiór V, przy czym

dla a " K, ą " V element ć%((a, ą)) bedziemy oznaczali przez a ć% ą.

Powiemy, że V jest przestrzenia liniowa nad ciałem K, jeżeli spełnione
sa nastepujace warunki (aksjomaty przestrzeni liniowej):

(L1). 1 ć% ą = ą dla każdego ą " V ,
(L2). a ć% (ą + �) = a ć% ą + a ć% � dla każdego a " K i dla dowolnych
ą, � " V ,
(L3). (a+ b) ć% ą = ać%ą + b ć% ą dla dowolnych a, b " K i dla każdego
ą " V ,
(L4). (a � b) ć% ą = a ć% (b ć% ą) dla dowolnych a, b " K i dla każdego
ą " V .
Elementy ciała K bedziemy nazywali skalarami i oznaczali literami

łacińskimi a, b, c,..., zaś elementy zbioru V bedziemy nazywali wekto-

rami i oznaczali literami greckimi ą, �, ł,... .
Ponieważ (V, +, Ś) jest grupa abelowa, wiec dodawanie wektorów

jest łaczne, przemienne, Ś jest elementem neutralnym dodawania wek-

torów oraz dla każdego wektora ą istnieje dokładnie jeden wektor -ą
Określenie przestrzeni wektorowej 63
taki, że ą + (-ą) = Ś. Ten jedyny wektor -ą nazywamy wektorem
przeciwnym do wektora ą.
Przykład 7.1. Niech K bedzie dowolnym ciałem i niech n bedzie

liczba naturalna. Oznaczmy przez Kn zbiór wszystkich ciagów n-

elementowych [a1, a2, . . . , an] o wyrazach z ciała K. Równość takich
ciagów określamy nastepujaco:

[a1, a2, . . . , an] = [b1, b2, . . . , bn] �!�! ai = bi dla każdego i = 1, . . . , n.
(7.1)
W zbiorze Kn wprowadzamy dodawanie przy pomocy wzoru:
[a1, a2, . . . , an] + [b1, b2, . . . , bn] = [a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn].
(7.2)
Elementy zbioru Kn bedziemy nazywali wektorami o n-współrzednych.

Wektor
Ś = [0, 0, . . . , 0] (7.3)
bedziemy nazywali wektorem zerowym.

Aatwo sprawdzić, że (Kn, +, Ś) jest grupa abelowa, przy czym dla

wektora przeciwnego mamy wzór:
-[a1, a2, . . . , an] = [-a1, -a2, . . . , -an]. (7.4)
Można pokazać, że Kn jest przestrzenia liniowa nad ciałem K, jeżeli
iloczyn wektora przez skalar określimy nastepujaco:

a ć% [a1, a2, . . . , an] = [a � a1, a � a2, . . . , a � an]. (7.5)
Przestrzeń te oznaczamy przez Kn i nazywamy n-wymiarowa prze-

strzenia liniowa współrzednych nad ciałem K.

Przykład 7.2. Dla dowolnego ciała K zbiór Mm�n(K) wszystkich
m � n-macierzy o wyrazach z K ze zwykłym dodawaniem macierzy
i zwykłym mnożeniem macierzy przez skalar tworzy przestrzeń liniowa
nad ciałem K. Oznaczamy ja przez Mm�n(K).
64 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 7.3. Zbiór R ze zwykłym dodawaniem liczb oraz
ze zwykłym mnożeniem liczb tworzy przestrzeń liniowa nad ciałem
liczb wymiernych Q. Oznaczamy ja przez RQ. Podobnie zbiór C
wszystkich liczb zespolonych ze zwykłym dodawaniem liczb zespolo-
nych i ze zwykłym mnożeniem liczby zespolonej przez liczbe rzeczy-

wista też tworzy przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych.
Oznaczamy ja przez CR i nazywamy rzeczywista przestrzenia liczb
zespolonych.
Przykład 7.4. Niech K bedzie dowolnym ciałem i niech ą bedzie

dowolnym elementem. Niech V = {ą} i niech ą + ą = ą. Wówczas
(V, +, ą) jest grupa abelowa i V tworzy przestrzeń liniowa nad ciałem
K, jeżeli dla dowolnego a " K przyjmiemy, że a ć% ą = ą. Przestrzenie
takie nazywamy zerowymi.
7.2 Własności działań na wektorach
1. Suma dowolnej skończonej liczby wektorów nie zależy od porzadku

składników ani od sposobu rozstawienia nawiasów.
2. Dla dowolnego wektora ą i dla dowolnego skalara a:
a ć% ą = Ś �!�! (a = 0 lub ą = Ś). (7.6)
3. Dla dowolnego wektora ą:
-ą = (-1) ć% ą oraz - (-ą) = ą. (7.7)
4. Dla dowolnego skalara a i dla dowolnych wektorów ą1, ą2,...,ąn:
a ć% (ą1 + ą2 + . . . + ąn) = a ć% ą1 + a ć% ą2 + . . . + a ć% ąn. (7.8)
5. Odejmowanie wektorów określamy przy pomocy wektora prze-
ciwnego. Mianowicie różnica wektorów ą i � nazywamy wektor
def.
ą - � = ą + (-�). (7.9)
Określenie przestrzeni wektorowej 65
6. Dla dowolnych wektorów ą, �, ł i dla dowolnego skalara a
zachodza wzory: ą - (� + ł) = (ą - �) - ł, ą - (� - ł) = (ą - �) + ł,
-(ą + �) = (-ą) + (-�), a ć% (ą - �) = a ć% ą - a ć% �, a ć% (-ą) =
-(a ć% ą) = (-a) ć% ą, (-a) ć% (-ą) = a ć% ą.
7.3 Podprzestrzenie liniowe
Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad ciałem K. Niepusty pod-

zbiór W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V , jeśli
ma on nastepujace własności:

(I) jeśli ą,� " W , to ą + � " W ;
(II) jeśli ą " W i a " K, to a ć% ą " W .
Ponieważ 0 ć% ą = Ś dla każdego wektora ą " V , wiec wektor zerowy

Ś należy do każdej podprzestrzeni przestrzeni V . Aatwo zauważyć,
że każda podprzestrzeń przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest też
przestrzenia liniowa nad ciałem K.
Przykład 7.5. Każda przestrzeń V zawiera co najmniej dwie pod-
przestrzenie: zbiór V oraz {Ś}. Pierwsza z tych podprzestrzeni nazy-
wamy niewłaściwa, a druga zerowa.

Przykład 7.6. Zbiór wszystkich rozwiazań jednorodnego układu

m-równań liniowych z n-niewiadomymi nad ciałem K tworzy podprze-
strzeń przestrzeni Kn. (Oczywiście utożsamiamy n � 1-macierze
o wyrazach z K z ciagami przestrzeni Kn).

Przykład 7.7. R jest podprzestrzenia przestrzeni CR.
Przykład 7.8. Jeżeli V1 i V2 sa podprzestrzeniami przestrzeni
liniowej V , to także V1)"V2 jest podprzestrzenia przestrzeni V . Ponadto
zbiór V1 + V2 wszystkich wektorów postaci ą + � dla ą " V1 i � " V2
też jest podprzestrzenia przestrzeni V .
Kombinacja liniowa wektorów ą1, ą2,...,ąn o współczynnikach a1,
a2,...,an " K nazywamy wektor
a1 ć% ą1 + a2 ć% ą2 + . . . + an ć% ąn. (7.10)
66 Algebra liniowa dla inżynierów
Dla dowolnych wektorów ą1, ą2,...,ąn i dla każdego k = 1, . . . , n wektor
ąk jest kombinacja liniowa wektorów ą1, . . . , ąn o współczynnikach
k
0, . . . , 0, , 0, . . . , 0.
1
Przykład 7.9. Dla dowolnych wektorów ą1, . . . , ąn przestrzeni
liniowej V nad ciałem K zbiór L(ą1, . . . , ąn) wszystkich kombinacji
liniowych tych wektorów jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V .
Te podprzestrzeń nazywamy podprzestrzenia generowana przez wek-

tory ą1, . . . , ąn. Jest ona najmniejsza (w sensie inkluzji) podprze-
strzenia przestrzeni V zawierajaca wektory ą1, . . . , ąn i te wektory

nazywamy generatorami tej podprzestrzeni.
Można wykazać, że jeżeli wektor ą jest kombinacja liniowa wektorów
ą1, . . . , ąn, to L(ą, ą1, . . . , ąn) = L(ą1, . . . , ąn). W szczególności:
L(Ś, ą1, . . . , ąn) = L(ą1, . . . , ąn) oraz
L(ą1, ą1, . . . , ąn) = L(ą1, . . . , ąn).
Przykład 7.10. Dla dowolnego ciała K wektory
�1 = [1, 0, 0, . . . , 0]
�2 = [0, 1, 0, . . . , 0]
�3 = [0, 0, 1, . . . , 0]
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
�n = [0, 0, 0, . . . , 1]
generuja przestrzeń Kn. Rzeczywiście, dla dowolnych skalarów a1, . . . ,
an " K mamy, że
a1 ć% �1 = [a1, 0, 0, . . . , 0]
a2 ć% �2 = [0, a2, 0, . . . , 0]
a3 ć% �3 = [0, 0, a3, . . . , 0] ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an ć% �n = [0, 0, 0, . . . , an]
wiec po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór:

[a1, a2, . . . , an] = a1 ć% �1 + a2 ć% �2 + . . . + an ć% �n. (7.11)
Określenie przestrzeni wektorowej 67
Można wykazać, że dla dowolnych wektorów ą1, . . . , ąm, �1, . . . ,
�n " V zachodzi nastepujacy wzór:

L(ą1, . . . , ąm) + L(�1, . . . , �n) = L(ą1, . . . , ąm, �1, . . . , �n). (7.12)
7.4 Liniowa niezależność wektorów
Powiemy, że wektory ą1, ą2, . . . , ąn " V sa liniowo zależne (w skró-
cie lz), jeżeli istnieja skalary a1, a2, . . . , an " K nie wszystkie równe 0
i takie, że
a1 ć% ą1 + a2 ć% ą2 + . . . + an ć% ąn = Ś.
Przykład 7.11. Dla dowolnych wektorów ą1, . . . , ąn " V
wektory Ś, ą1, . . . , ąn sa liniowo zależne.
Rzeczywiście, 1 ć% Ś + 0 ć% ą1 + . . . + 0 ć% ąn = Ś.
Powiemy, że wektory ą1, . . . , ąn " V sa liniowo niezależne (w skró-
cie lnz), jeżeli nie sa one liniowo zależne, tzn. dla dowolnych skalarów
a1, . . . , an " K zachodzi implikacja:
a1 ć% ą1 + a2 ć% ą2 + . . . + an ć% ąn = Ś =�! a1 = a2 = . . . = an = 0.
(7.13)
Pusty zbiór wektorów uważamy za liniowo niezależny.
Przykład 7.12. Ze wzoru (7.11) wynika od razu, że wektory
�1, �2, . . . , �n " Kn podane w przykładzie 7.10 sa liniowo niezależne.
Podzbiór zbioru liniowo niezależnego jest zbiorem liniowo niezależ-
nym. Rzeczywiście, niech wektory ą1, . . . , ąn, �1, . . . , �m " V beda

liniowo niezależne. Wezmy dowolne skalary a1, . . . , an " K, dla któ-
rych a1 ć% ą1 + . . . + an ć% ąn = Ś. Wówczas a1 ć% ą1 + . . . + an ć% ąn +
0 ć% �1 + . . . + 0 ć% �m = Ś, wiec z liniowej niezależnośni wektorów

ą1, . . . , ąn, �1, . . . , �m mamy, że a1 = . . . = an = 0 = . . . = 0, czyli
wektory ą1, . . . , ąn sa liniowo niezależne.
68 Algebra liniowa dla inżynierów
7.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 7.13. Sprawdz prawdziwość wszystkich aksjomatów prze-
strzeni liniowej dla przestrzeni Kn określonej w przykładzie 7.1.
Zadanie 7.14. Które z poniższych podzbiorów W przestrzeni R2
sa jej podprzestrzeniami?
a) W = {[x, y] " R2 : x + y = 1}, b) W = {[x, y] " R2 : x + y = 0}, c)
W = {[x, y] " R2 : x " Q}, d) W = {[x, y] " R2 : x � y = 0}.
Odp. Tylko W z przykładu b).
Zadanie 7.15. Udowodnij, że dla dowolnych a1, . . . , an " K, W =
{[x1, . . . , xn] " Kn : a1x1 + . . . + anxn = 0} jest podprzestrzenia
przestrzeni liniowej Kn.
Zadanie 7.16. Czy wektor [3, 4, 4] jest kombinacja liniowa wekto-
rów [1, 1, 1], [1, 0, -1], [1, 3, 5] w przestrzeni R3?
Odp. Nie.
Zadanie 7.17. Udowodnij wzór (7.12).
Zadanie 7.18. W przestrzeni R4 zbadaj wprost z definicji liniowa
niezależność wektorów: [1, 2, 1, -2], [2, 3, 1, 0], [1, 2, 2, -3].
Odp. Wektory te sa liniowo niezależne.
Zadanie 7.19. W przestrzeni R5 zbadaj liniowa niezależność wek-
torów:
[5, -3, 2, 1, 10], [-1, 8, 1, -4, 7], [2, 1, 9, -3, 6], [1, 3, -5, 9, 11].
Odp. Te wektory sa liniowo niezależne.
Rozdział 8
Baza i wymiar przestrzeni
liniowej
8.1 Baza przestrzeni liniowej
Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad ciałem K. Powiemy,

że wektory ą1, . . . , ąn " V tworza baze przestrzeni V , jeżeli wektory

(1) ą1, . . . , ąn sa liniowo niezależne oraz
(2) ą1, . . . , ąn generuja V tzn. V = L(ą1, . . . , ąn), czyli każdy
wektor przestrzeni V jest kombinacja liniowa wektorów ą1, . . . , ąn.
Przykład 8.1. Dla dowolnego ciała K wektory �1, . . . , �n " Kn
tworza baze przestrzeni Kn na mocy przykładów 7.10 i 7.12. Te baze

przestrzeni Kn nazywamy baza kanoniczna.

Przykład 8.2. Baza przestrzeni CR jest zbiór {1, i}.
Twierdzenie 8.3 (Steinitza o wymianie). Jeżeli wektory
ą1, . . . , ąn tworza baze przestrzeni liniowej V , a wektory �1, . . . , �k "

V sa liniowo niezależne, to k d" n oraz spośród wektorów ą1, . . . , ąn
można wybrać n - k wektorów, które łacznie z wektorami �1, . . . , �k

tworza baze przestrzeni V .

Wniosek 8.4. Każde dwie skończone bazy przestrzeni liniowej
maja tyle samo elementów.
70 Algebra liniowa dla inżynierów
8.2 Wymiar przestrzeni liniowej
Załóżmy, że przestrzeń V posiada baze {ą1, . . . , ąn}. Wówczas

mówimy, że V jest przestrzenia skończenie wymiarowa oraz liczbe n

nazywamy wymiarem przestrzeni V . Piszemy też wtedy, że dim(V ) =
n. Jeżeli V = {Ś}, to dim(V ) = 0.
Przykład 8.5. Dla dowolnego ciała K wymiar przestrzeni Kn jest
równy n tzn. dim(Kn) = n.
Przykład 8.6. Przestrzeń liniowa RQ nie jest skończenie wymia-
rowa, gdyż można wykazać, że dla dowolnych różnych liczb pierwszych
p1, . . . , pk i dla dowolnego naturalnego k wektory log p1, . . . , log pk
sa liniowo niezależne.
Twierdzenie 8.7. Niech V bedzie przestrzenia liniowa skończo-

nego wymiaru i niech W bedzie jej podprzestrzenia. Wówczas:

(i) dim(W ) d" dim(V ),
(ii) jeżeli dim(W ) = dim(V ), to W = V ,
(iii) jeżeli V1 i V2 sa podprzestrzeniami przestrzeni V , to zachodzi
wzór: dim(V1 + V2) = dim(V1) + dim(V2) - dim(V1 )" V2).
Twierdzenie 8.8. Niech V bedzie przestrzenia liniowa skończo-

nego wymiaru n. Wówczas dla wektorów ą1, . . . , ąn " V równoważne
sa warunki:
(i) wektory ą1, . . . , ąn tworza baze przestrzeni V ,

(ii) wektory ą1, . . . , ąn generuja przestrzeń V ,
(iii) wektory ą1, . . . , ąn sa liniowo niezależne.
Niech
ą1 = [a11, a12, . . . , a1n], . . . , ąk = [ak1, ak2, . . . , akn] (8.1)
beda wektorami przestrzeni liniowej Kn dla ustalonego ciała K. Wów-

czas macierz
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
A =
�ł śł
. .
.
. . .
�ł . �ł
. . � � �
ak1 ak2 . . . akn
Baza i wymiar przestrzeni liniowej 71
nazywamy macierza układu wektorów ą1, . . . , ąk.
Zatem wektory ą1, . . . , ąk można uważać za wiersze macierzy A.
Twierdzenie 8.9. Niech wektory ą1, . . . , ąk beda dane wzorami

(8.1) i niech W = L(ą1, . . . , ąk) oraz niech A bedzie macierza tego

układu wektorów. Wówczas
(i) dim(W ) = r(A);
(ii) wektory ą1, . . . , ąk sa liniowo niezależne wtedy, i tylko wtedy,
gdy r(A) = k.
(iii) jeżeli k = n, to wektory ą1, . . . , ąn tworza baze przestrzeni Kn

wtedy, i tylko wtedy, gdy det(A) = 0.

Przykład 8.10. Zbadamy dla jakich wartości parametru a wek-
tory [a, 1, 0], [1, a, 3], [a, 1, 1] " R3 s liniowo niezależne. Macierz tego

�ła łł
a 1 0
�ł �ł.
układu wektorów ma postać A = 1 a 3 Z twierdzeń 8.8 i 8.9
a 1 1
wynika, że nasze wektory sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,

a 1 0

a 1
w3-w1

gdy det(A) = 0. Ale det(A) = 1 a 3 = (-1)3+3 � 1 � =

1 a

0 0 1
a2 - 1, wiec det(A) = 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy a = -1 lub a = 1.

Zatem nasze wektory sa liniowo niezależne jedynie dla wszystkich liczb
rzeczywistych a = -1, 1. Z twierdzenia 8.8 wynika, że dla takich a

nasze wektory tworza baze przestrzeni R3.

Przykład 8.11. Znajdziemy wymiar podprzestrzeni W przestrzeni
R4 generowanej przez wektory [1, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 3], [3, 3, 5, [3, 0, 1, 5].
�ł łł4],
1 2 3 1
�ł śł
2 1 2 3
�ł śł. Obliczamy
Macierza tego układu wektorów jest A =
�ł �ł
3 3 5 4
3 0 1 5
rzad macierzy A wykonujac operacje w1 - 2 � w2 i w3 - 3 � w2: r(A) =

�ł łł
�ł łł
-3 0 -1 -5
-3 -1 -5
�ł śł
2 1 2 3
�ł śł �ł �ł.
r = 1 + r -3 -1 -5 Po wykonaniu
�ł �ł
-3 0 -1 -5
3 1 5
3 0 1 5
72 Algebra liniowa dla inżynierów
operacji w1+w3 oraz w2+w3 uzyskamy ostatecznie, że r(A) = 1+1 = 2.
Zatem z twierdzenia 8.9, dim(W ) = 2.
8.3 Operacje elementarne na układzie
wektorów
Wyróżniamy nastepujace operacje elementarne na układzie wekto-

rów ą1, . . . , ąn przestrzeni V :
(a) Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a. Oznacze-
1
nie: a ć% wi. Operacja odwrotna: ć% wi.
a
(b) Zamiana miejscami wektora i-tego z wektorem j-tym (i < j).
Oznaczenie: wi "! wj. Operacja odwrotna: wi "! wj.
(c) Dodanie do j-tego wektora wektora i-tego (i = j) pomnożonego

przez dowolny skalar a. Oznaczenie: wj + a ć% wi. Przy tej operacji
zmienia sie tylko wektor wj. Operacja odwrotna: wj + (-a) ć% wi.

Twierdzenie 8.12. Niech wektory �1, . . . , �n powstaja z wekto-
rów ą1, . . . , ąn przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji
elementarnych. Wówczas
L
(i) L(�1, . . . , �n) = L(ą1, . . . , ąn) (zapis: a");
(ii) wektory �1, . . . , �n sa lnz �!�! wektory ą1, . . . , ąn sa lnz (zapis:
lnz
a");
(iii) wektory �1, . . . , �n tworza baze przestrzeni V �!�! wektory

baza
ą1, . . . , ąn tworza baze przestrzeni V (zapis: a" ).

Twierdzenie 8.13. Niech a11, a22, . . . , ann beda niezerowymi ele-

mentami ciała K i niech aij " K dla wszystkich i < j oraz niech
macierz układu wektorów ą1, . . . , ąn przestrzeni Kn ma postać
�ł łł
a11 a12 a13 . . . a1n
�ł
0 a22 a23 . . . a2n śł
�ł śł
�ł
0 0 a33 . . . a3n śł .
A = (8.2)
�ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł . �ł
. . . .
0 0 0 . . . ann
Baza i wymiar przestrzeni liniowej 73
Wówczas zbiór {ą1, . . . , ąn} jest baza przestrzeni V i każdy jego pod-
zbiór jest zbiorem liniowo niezależnym.
Twierdzenia 8.12 i 8.13 daja nowy algorytm badania liniowej nie-
zależności dowolnego skończonego układu wektorów. Umożliwiaja one
także szybkie znalezienie bazy podprzestrzeni przestrzeni Kn gene-
rowanej przez skończony układ wektorów. Baza dowolnej niezerowej
podprzestrzeni przestrzeni Kn może być przedstawiona jako podzbiór
układu wektorów z twierdzenia 8.13. Algorytm znajdowania takiej
bazy jest bardzo podobny do eliminacji Gaussa. Wygodnie jest wyko-
nywać operacje elementarne nie na układzie wektorów, lecz na wier-
szach macierzy tego układu (należy przy tym pamietać, aby nie ruszać

kolumn tej macierzy!). W takich rachunkach możemy wykreślać wier-
sze złożone z samych zer.
Twierdzenia te umożliwiaja nam też szybkie uzupełnienie dowol-
nego układu liniowo niezależnego przestrzeni Kn do bazy tej prze-
strzeni przy pomocy wektorów wybranych z bazy kanonicznej.
Przykład 8.14. Znajdziemy baze podprzestrzeni W przestrzeni

R4 generowanej przez wektory: [-1, 4, -3, -2], [3, -7, 5, 3], [3, -2, 1, 0],
[-4, 1, 0, 1]. W tym celu stosujemy twierdzenie 8.12. Wygodnie jest
wykonywać operacje elementarne na wierszach macierzy A - tego układu
wektorów. Wszystkie równoważności dotycza podprzestrzeni genero-
�ł łł �ł łł
-1 4 -3 -2 -1 4 -3 -2
�ł śł �ł śł
w2-w3 w3+3�w1
3 -7 5 3 0 -5 4 3
�ł śł �ł śł
wanej: a" a"
�ł �ł �ł �ł
3 -2 1 0 3 -2 1 0
-4 1 -4 1 0 1
�ł łł0 1 �ł łł
-1 4 -3 -2 -1 4 -3 -2
�ł śł �ł śł
w4-4�w1 w3+2�w2
0 -5 4 3 0 -5 4 3
�ł śł �ł śł
a" a"
�ł �ł �ł �ł
0 10 -8 -6 0 10 -8 -6
-4 1 0 1 0 -15 12 9
�ł łł
�ł łł
-1 4 -3 -2
-1 4 -3 -2
�ł śł
w3-3�w2
0 -5 4 3
�ł śł �ł �ł
a" 0 -5 4 3 a"
�ł �ł
0 0 0 0
0 -15 12 9
0 -15 12 9
74 Algebra liniowa dla inżynierów
�ł łł

-1 4 -3 -2
1 4 -3 -2
�ł �ł
0 -5 4 3 a" . Zatem z twierdzenia
0 -5 4 3
0 0 0 0
8.13 baza podprzestrzeni W jest układ [-1, 4, -3, -2], [0, -5, 4, 3],
skad dim(W ) = 2.

Przykład 8.15. Znajdziemy baze przestrzeni R4 zawierajaca wek-

tory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9]. Najpierw stosujemy operacje elementarne
na wierszach macierzy A - tego układu wektorów:

w1-w2 w2-2�w1
3 4 8 9 1 1 4 4 1 1 4 4
a" a" .
2 3 4 5 2 3 4 5 0 1 -4 -3
Zatem z twierdzeń 8.12 i 8.13 wektory nasze sa liniowo niezależne
i z twierdzenia 8.3 można je uzupełnić do bazy przestrzeni R4. Na mocy
twierdzenia 8.13 wektory [1, 1, 4, 4], [0, 1, -4, -3], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]
tworza baze przestrzeni R4, gdyż macierz tego układu wektorów

ma postać:
�ł łł
1 1 4 4
�ł śł
0 1 -4 -3
�ł śł.
�ł �ł
0 0 1 0
0 0 0 1
Zatem wektory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1] też tworza
baze tej przestrzeni.

Twierdzenie 8.16. Załóżmy, że wektory ą1, . . . , ąn przestrzeni
liniowej V sa liniowo niezależne. Wówczas wektor ą " V jest kombi-
nacja liniowa tych wektorów wtedy, i tylko wtedy, gdy wektory
ą, ą1, . . . , ąn sa liniowo zależne.
Z twierdzenia 8.16 wynika, że aby sprawdzić, czy wektor ą jest
kombinacja liniowa wektorów �1, . . . , �k należy najpierw znalezć baze

ą1, . . . , ąn podprzestrzeni L(�1, . . . , �k), a nastepnie sprawdzić, czy

wektory ą, ą1, . . . , ąn sa liniowo zależne. Możemy to zrobić stosujac

operacje elementarne.
Baza i wymiar przestrzeni liniowej 75
8.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 8.17. W przestrzeni R4 zbadać liniowa niezależność wek-
torów: [1, 4, 7, 10], [2, 5, 8, 11], [2, 6, 9, 12].
Odp. Wektory te sa liniowo zależne.
Zadanie 8.18. Dla jakich a " R wektory [1, 1, 1], [1, a, 2], [2, 3, 4]
tworza baze przestrzeni R3?

3
Odp. a = .

2
Zadanie 8.19. Pokazać, że V = {[x, y, z] " R3 : x + y + z = 0}
jest podprzestrzenia przestrzeni R3. Wyznaczyć baze i wymiar V .

Odp. Baza V jest {[1, 0, -1], [0, 1, -1]} i dim V = 2.
Zadanie 8.20. Znalezć baze i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni

R4 generowanej przez wektory:
[-1, -3, 4, -2], [3, 5, -7, 3], [3, 1, -2, 0], [-4, 0, 1, 1].
Odp. Baza V jest {[-1, -3, 4, -2], [0, -4, 5, -3]} oraz dim(V ) = 2.
Zadanie 8.21. Znajdz baze i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni

R5 generowanej przez wektory:
[-3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0], [1, 2, 3, 2, 1], [3, -5, -1, -3, -1], [3, 0, 1, 0, 0].
Uzupełnij znaleziona baze podprzestrzeni V do bazy całej przestrzeni

R5.
Odp. Baza V jest {[-1, 3, -1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9]},
dim(V ) = 3. Szukana baza przestrzeni R5 jest
{[-1, 3, -1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}.
Zadanie 8.22. W przestrzeni liniowej R4 dane sa podprzestrzenie:
V = L([1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]),
W = L([1, 0, 1, 0], [0, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 2]). Wyznacz baze i wymiar pod-

przestrzeni: a) V , b) W , c) V + W , d) V )" W .
Odp. a) Baza V jest {[1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]} oraz dim V =
3. b) Baza W jest {[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, -1]} oraz dim W = 3.
c) Baza V + W jest {[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]},
dim(V +W ) = 4 i V +W = R4. d) Baza V )"W jest {[1, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 0]}
oraz dim(V )" W ) = 2.
Rozdział 9
Przekształcenia liniowe
9.1 Określenie przekształcenia liniowego
Niech U i V beda przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Mówimy,

że przekształcenie f : U V jest liniowe, jeśli spełnia warunki:
L1. f(ą + �) = f(ą) + f(�) dla dowolnych wektorów ą, � " U;
L2. f(a ć% ą) = a ć% f(ą) dla każdego ą " U oraz dla każdego a " K.
Twierdzenie 9.1. Niech f : U V bedzie przekształceniem

liniowym. Wówczas:
(i) f(Ś) = Ś;
(ii) f(ą - �) = f(ą) - f(�) dla dowolnych ą, � " U;
(iii) f(a1 ć% ą1 + . . . + an ć% ąn) = a1 ć% f(ą1) + . . . + an ć% f(ąn) dla
dowolnych ą1, . . . , ąn " U, a1, . . . , an " K oraz n " N.
Przykład 9.2. Dla dowolnego ciała K przekształcenie f : K K
jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy jest postaci:
f(x) = a � x.
dla pewnego a " K.
Przekształcenia liniowe 77
Przykład 9.3. Dla dowolnego ciała K przekształcenie
f : K2 K2 jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy jest postaci:
f([x, y]) = [ax + by, cx + dy]
dla pewnych a, b, c, d " K.
Przykład 9.4. Dla dowolnego ciała K przekształcenie
f : K3 K3 jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy jest postaci:
f([x, y, z]) = [a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z, a3x + b3y + c3z]
dla pewnych a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 " K.
Przykład 9.5. Dla dowolnych przestrzeni liniowych U i V nad
ciałem K przekształcenie f : U V dane wzorem f(ą) = Ś dla ą " U
jest liniowe. Nazywamy je przekształceniem zerowym.
Przykład 9.6. Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad ciałem K

i niech a bedzie dowolnym skalarem. Przekształcenie fa : V V dane

wzorem: fa(ą) = a ć% ą dla ą " V jest liniowe. Nazywamy je homotetia
o współczynniku a.
9.2 Jednoznaczność przekształcenia
liniowego
Twierdzenie 9.7. Niech {ą1, ą2, . . . , ąn} bedzie baza przestrzeni

liniowej U nad ciałem K oraz niech �1, �2, . . . , �n beda dowolnymi

wektorami przestrzeni liniowej V . Wtedy istnieje dokładnie jedno prze-
kształcenie liniowe f : U - V takie, że
f(ą1) = �1, f(ą2) = �2, . . . , f(ąn) = �n.
Ponadto takie przekształcenie f jest dane wzorem:
f(a1 ć% ą1 + . . . + an ć% ąn) = a1 ć% �1 + . . . + an ć% �n (9.1)
dla dowolnych skalarów a1, a2, . . . , an " K.
78 Algebra liniowa dla inżynierów
Z twierdzenia 9.7 wynika w prosty sposób nastepujace

Twierdzenie 9.8. Niech K bedzie ciałem. Przekształcenie

f : Kn Km jest liniowe wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje m � n-
macierz A o wyrazach aij z ciała K taka, że
f([x1, . . . , xn]) = [a11x1 + . . . + a1nxn, . . . , am1x1 + . . . + amnxn](9.2)
dla dowolnych x1, x2, . . . , xn " K.
Wzór (9.2) nazywamy wzorem analitycznym przekształcenia linio-
wego f. Natomiast macierz A nazywamy macierza przekształcenia f.
Otrzymujemy w ten sposób naturalna wzajemnie jednoznaczna od-
powiedniość miedzy zbiorem wszystkich przekształceń liniowych prze-

strzeni Kn w przestrzeń Km, a zbiorem wszystkich m � n-macierzy
o wyrazach z K.
9.3 Jadro i obraz przekształcenia

liniowego
Niech f : U V bedzie przekształceniem liniowym przestrzeni

liniowej U w przestrzeń liniowa V .
Jadrem przekształcenia f nazywamy zbiór Kerf określony wzorem:

def
Ker f = {ą " U : f(ą) = Ś}. (9.3)
Obrazem przekształcenia f nazywamy zbiór Im f określony
wzorem:
def
Im f = {f(ą) : ą " U}. (9.4)
Z twierdzenia 9.1 wynika w prosty sposób nastepujace

Twierdzenie 9. 9. Jeżeli f : U V jest przekształceniem linio-
wym, to Ker f jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej U, zaś Im f
jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej V .
Przekształcenia liniowe 79
Przykład 9.10. Znajdziemy bazy obrazu i jadra przekształcenia

liniowego f : R3 R3 określonego wzorem:
f([x1, x2, x3]) = [x1 + 2x2 - x3, x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 3x2 + x3].
W tym celu rozwiazujemy najpierw układ równań:

ńł
x1 + 2x2 - x3 = 0
�ł
x1 + x2 + 2x3 = 0 .
ół
2x1 + 3x2 + x3 = 0
Po zastosowaniu operacji: r2 -r1 i r3 -2r1 i wykreśleniu trzeciego rów-

x1 + 2x2 - x3 = 0
nania uzyskamy układ równoważny .
- x2 + 3x3 = 0
Nastepnie wykonujemy operacje: (-1) � r2 oraz r1 - 2 � r2. W rezultacie

uzyskamy układ postaci:

x1 + 5x3 = 0
.
x2 - 3x3 = 0
Stad mamy, że x3 = t, x1 = -5t, x2 = 3t, gdzie t jest dowolna liczba

rzeczywista. Zatem

Ker f = {[-5t, 3t, t] : t " R} = L([-5, 3, 1]).
Stad {[-5, 3, 1]} jest baza Ker f i dim(Ker f) = 1.

Nastepnie wyznaczamy baze Im f. Zauważmy, że

Im f = {[x1 + 2x2 - x3, x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 3x2 + x3] : x1, x2, x3 " R}.
Ale [x1 + 2x2 - x3, x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 3x2 + x3] = x1 ć% [1, 1, 2] +
x2 ć% [2, 1, 3] + x3 ć% [-1, 2, 1], wiec Im f = L([1, 1, 2], [2, 1, 3], [-1, 2, 1]).

Stosujac operacje elementarne w2 -2�w1, w3 +w1, a nastepnie (-1)�w2

i w3 - 3 � w2 na wierszach macierzy A otrzymanego układu wektorów
�ł łł
1 1 2
�ł �ł.
znajdujemy baze Im f: A a" 0 1 1 Zatem baza Im f jest zbiór

0 0 0
{[1, 1, 2], [0, 1, 1]} oraz dim(Im f) = 2.
80 Algebra liniowa dla inżynierów
Twierdzenie 9.11. Niech U bedzie skończenie wymiarowa prze-

strzenia liniowa nad ciałem K i niech V bedzie przestrzenia liniowa

nad ciałem K. Jeżeli f : U V jest przekształceniem liniowym,
to zachodzi wzór:
dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(U). (9.5)
Twierdzenie 9.12. Niech A bedzie macierza współczynników jed-

norodnego układu m-równań liniowych z n-niewiadomymi nad ciałem
K. Wówczas wymiar podprzestrzeni rozwiazań tego układu jest równy

n - r(A).
Twierdzenie 9.13. Każda podprzestrzeń k-wymiarowa przestrzeni
Kn jest zbiorem rozwiazań pewnego układu jednorodnego co najmniej

n - k równań liniowych z n-niewiadomymi.
Przykład 9.14. Znajdziemy układ jednorodny równań liniowych
nad ciałem R, którego przestrzenia rozwiazań jest

V = L([1, -1, 1], [1, 1, -1]).
Najpierw znajdujemy baze przestrzeni :

V
1
�w2
w2-w1 -1 1
1 -1 1 1 2 1 -1 1
a" a" . Zatem
1 1 -1 0 2 -2 0 1 -1
baza przestrzeni V jest {[1, -1, 1], [0, 1, -1]}.
Nastepnie uzupełniamy znaleziona baze przestrzeni V do bazy całej

przestrzeni R3 przy pomocy wektora [0, 0, 1]. Istnieje przekształce-
nie liniowe f : R3 R takie, że f([1, -1, 1]) = 0, f([0, 1, -1]) = 0,
f([0, 0, 1]) = 1. Wtedy f([0, 1, 0]) = f([0, 1, -1])+f([0, 0, 1]) = 0+1 =
1 oraz f([1, 0, 0]) = f([1, -1, 1]) - f([0, 1, -1]) = 0 - 0 = 0. Zatem dla
dowolnych x1, x2, x3 " R mamy, że f([x1, x2, x3]) = x1 � f([1, 0, 0]) +
x2 � f([0, 1, 0]) + x3 � f([0, 0, 1]) = x2 + x3. Ale dim(Im f) = 1, wiec

dim(Ker f) = 3 - 1 = 2. Ponadto V ą" Ker f oraz dim(V ) = 2, wiec

V = Ker f. Stad szukanym układem równań jest: x2 + x3 = 0.

Przekształcenia liniowe 81
9.4 Macierz przekształcenia liniowego
Niech U i V beda przestrzeniami liniowymi nad tym samym cia-

łem K. Niech (ą1, . . . , ąn) bedzie uporzadkowana baza przestrzeni U

i niech (�1, . . . , �m) bedzie uporzadkowana baza przestrzeni V . Niech

f : U V bedzie przekształceniem liniowym. Wówczas dla j =

1, . . . , n istnieja skalary a1j, a2j, . . . , amj " K takie, że
f(ąj) = a1j ć% �1 + a2j ć% �2 + . . . + amj ć% �m. (9.6)
W ten sposób otrzymujemy m � n-macierz
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
A = , (9.7)
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
am1 am2 . . . amn
która nazywamy macierza przekształcenia f w tych bazach uporzadko-

wanych. Widzimy wiec, że j-ta kolumna macierzy A składa sie z kolej-

nych współczynników rozpisania wektora f(ąj) w bazie (�1, . . . , �m).
Twierdzenie 9.15. Rzad macierzy przekształcenia liniowego jest

równy wymiarowi obrazu tego przekształcenia.
Przykład 9.16. Znajdziemy macierz przekształcenia liniowego
f : R2 R2 danego wzorem f([x1, x2]) = [2x1 + x2, x1 - x2] w bazie
(�1 + �2, �2). W tym celu obliczamy
f(�1 + �2) = f([1, 1]) = [2 � 1 + 1, 1 - 1] = [3, 0] = 3 ć% [1, 0] =
3ć%[1, 1]+(-3)ć%[0, 1] oraz f(�2) = f([0, 1]) = [2�0+1, 0-1] = [0, -1] =
(-1) ć% [0, 1] = 0 ć% [1, 1] + (-1) ć% [0, 1]. Stad szukana macierza jest

3 0
A = .
-3 -1
82 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 9.17. Macierz przekształcenia liniowego f : U V
w bazie (ą1, ą2, ą3, ą4) przestrzeni U oraz w bazie (�1, �2, �3) prze-
strzeni V ma postać
�ł łł
1 0 -2 1
�ł �ł.
3 1 0 2
4 1 5 0
Wówczas f(5ć%ą1-3ć%ą2+4ć%ą3-ą4) = 5ć%f(ą1)-3ć%f(ą2)+4ć%f(ą3)-
f(ą4). Ale f(ą1) = 1ć%�1 +3ć%�2 +4ć%�3, f(ą2) = 0ć%�1 +1ć%�2 +1ć%�3,
f(ą3) = (-2) ć% �1 + 0 ć% �2 + 5 ć% �3, f(ą4) = 1 ć% �1 + 2 ć% �2 + 0 ć% �3, wiec

f(5 ć% ą1 - 3 ć% ą2 + 4 ć% ą3 - ą4) = (-4) ć% �1 + 10 ć% �2 + 37 ć% �3.
9.5 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 9.18. Znajdz przekształcenie liniowe f przestrzeni R3
na przestrzeń R2 takie, że [1, 1, -1] " Ker(f).
Odp. Ogólna postać takich przekształceń f:
f([x1, x2, x3]) = [(c - a)x1 + ax2 + cx3, (d - b)x1 + bx2 + dx3], gdzie
a, b, c, d " R oraz ad = bc.

Zadanie 9.19. Znajdz przekształcenie liniowe f : R3 R4 takie,
że Ker(f) = L([1, -1, 2]) oraz Im(f) = L([1, 2, 1, -1], [3, 1, 2, 0]).
Odp. Ogólna postać takich przekształceń f:
f([x1, x2, x3]) = [(a-2c+3b-6d)x1 +(a+3b)x2 +(c+3d)x3, (2a-4c+
b - 2d)x1 + (2a + b)x2 + (2c + d)x3, (a - 2c + 2b - 4d)x1 + (a + 2b)x2 +
(c - 4d)x3, (2c - a)x1 - ax2 - cx3], gdzie a, b, c, d " R oraz ad = bc.

Zadanie 9.20. Znajdz układ jednorodny równań liniowych nad
ciałem R, którego przestrzeń rozwiazań jest generowana przez wektory:

[1, -1, 1, -1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, -1, 7], [0, 2, -1, 1, 2].
Odp. Szukanym układem jest
ńł
1
�ł -1x1 + x2 + x3 = 0
2 2
1 1
x1 - x2 + x4 = 0 .
2 2
ół
-2x1 - x2 + x5 = 0
Przekształcenia liniowe 83
Zadanie 9.21. Znajdz układ jednorodny równań liniowych, któ-
rego zbiorem rozwiazań jest podprzestrzeń V przestrzeni R5 genero-

wana przez wektory:
[-3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0], [1, 2, 3, 2, 1], [3, -5, -1, -3, -1], [3, 0, 1, 0, 0].
Odp. Szukanym układem jest

x1 - 3x2 - 3x3 + 7x4 = 0
.
3x1 - 2x2 - 9x3 + + 28x5 = 0
Zadanie 9.22. Znajdz bazy obrazu i jadra przekształcenia linio-

wego f : R3 R3 określonego wzorem:
f([x1, x2, x3]) = [2x1 - x2 - x3, x1 - 2x2 + x3, x1 + x2 - 2x3].
Odp. Baza Ker(f): {[1, 1, 1]}. Baza Im(f): {[1, 0, 1], [0, 1, -1]}.
Rozdział 10
Wektory i wartości własne
10.1 Wektory i wartości własne
Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad ciałem K. Każde przekształ-

cenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym prze-
strzeni V . Powiemy, że a " K jest wartościa własna endomorfizmu f
przestrzeni V , jeżeli istnieje niezerowy wektor ą " V taki, że
f(ą) = a ć% ą.
Mówimy wówczas, że ą jest wektorem własnym endomorfizmu f odpo-
wiadajacym wartości własnej a.

Twierdzenie 10.1. Niech a1, a2, . . . , ak beda różnymi wartościami

własnymi endomorfizmu f przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wów-
czas odpowiadajace im wektory własne ą1, ą2, . . . , ąk sa liniowo nie-

zależne.
Niech dalej V bedzie skończenie wymiarowa przestrzenia liniowa

nad ciałem K i niech (ą1, ą2, . . . , ąn) bedzie uporzadkowana baza V

oraz niech f bedzie endomorfizmem przestrzeni V oraz niech A =

[aij]i,j=1,... ,n bedzie macierza f w tej bazie. Wielomianem charakte-

Wektory i wartości własne 85
rystycznym endomorfizmu f nazywamy wyznacznik

a11 - x a12 a13 . . . a1n

a21 a22 - x a23 . . . a2n

a31 a32 a33 - x . . . a3n . (10.1)
Wf(x) =

. . . .
.
. . . . .

.
. . . .

an1 an2 an3 . . . ann - x
Można udowodnić, że istnieja c0, c1, . . . , cn-1 " K takie, że
Wf(x) = (-1)nxn + cn-1xn-1 + . . . + c1x + c0. (10.2)
Ponadto c0 = det(A) oraz cn-1 = (-1)n-1 � (a11 + a22 + . . . + ann).
Można też wykazać, że współczynniki c0, c1, . . . , cn-1 wielomianu cha-
rakterystycznego nie zależa od wyboru bazy przestrzeni V .
Przykład 10.2. Znajdziemy wielomian charakterystyczny endo-
morfizmu f przestrzeni R3 danego wzorem analitycznym:
f([x1, x2, x3]) = [5x1 - 3x2 + 2x3, 6x1 - 4x2 + 4x3, 4x1 - 4x2 + 5x3].
Macierza tego endomorfizmu w bazie kanonicznej jest
�ł łł
5 -3 2
�ł �ł.
A = 6 -4 4
4 -4 5
Zatem wielomian charakterystyczny endomorfizmu f ma postać:

5 - x -3 2 5 - x -3 2

w2-w1

Wf(x) = 6 -4 - x 4 = 1 + x -1 - x 2

4 -4 5 - x 4 -4 - x
5

2 - x -3 2 2 - x -1 2

k1+k2 k2+k3 w3-w2

= 0 -1 - x 2 = 0 1 - x 2 =

0 -4 - x 0 1 - x 5 - x
5

2 - x -1 2

0 1 - x 2 = (2 - x) � (1 - x) � (3 - x).

0 0 3 - x
86 Algebra liniowa dla inżynierów
Twierdzenie 10.3. Skalar a jest wartościa własna endomorfizmu
f skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V wtedy, i tylko wtedy,
gdy a jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego tego endo-
morfizmu.
Przykład 10.4. Dla endomorfizmu f z przykładu 10.2 mamy,
że Wf(x) = (2 - x) � (1 - x) � (3 - x). Zatem wszystkimi wartościami
własnymi endomorfizmu f sa liczby: 1, 2 i 3. Z twierdzenia 10.1
wynika, że wektory własne odpowiadajace tym wartościom własnym

sa liniowo niezależne, a ponieważ dim R3 = 3, wiec te wektory tworza

baze przestrzeni R3.

Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika od razu nastepujace

Twierdzenie 10.5. Niech V bedzie skończenie wymiarowa prze-

strzenia liniowa nad ciałem liczb zespolonych C. Wówczas każdy endo-
morfizm przestrzeni V posiada wartość własna.

Twierdzenie 10.6. Niech V bedzie przestrzenia liniowa wymiaru

nieparzystego nad ciałem liczb rzeczywistych. Wówczas każdy endo-
morfizm przestrzeni V posiada wartość własna.

Twierdzenie 10.7. Niech A = [aij]i,j=1,... ,n bedzie macierza endo-

morfizmu f przestrzeni liniowej Kn w bazie kanonicznej. Niech a bedzie

wartościa własna endomorfizmu f. Wówczas [x1, . . . , xn] " Kn jest
wektorem własnym odpowiadajacym wartości własnej a wtedy, i tylko

wtedy, gdy jest on niezerowym rozwiazaniem układu równań:

ńł
�ł (a11 - a)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
�ł
�ł
�ł
a21x1 + (a22 - a)x2 + . . . + a2nxn = 0
.
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an1x1 + an2x2 + . . . + (ann - a)xn = 0
Przykład 10.8. Wyznaczymy wektory własne endomorfizmu f
z przykładu 10.2. Z przykładu 10.4 wiemy, że wartościami własnymi
tego endomorfizmu sa jedynie liczby: 1, 2, 3. Stosujac twierdzenie

10.7 wyznaczymy teraz kolejno wektory własne odpowiadajace tym

wartościom własnym.
Wektory i wartości własne 87
1. Dla wartości własnej a = 1 mamy układ:
ńł
4x1
�ł - 3x2 + 2x3 = 0
6x1 - 5x2 + 4x3 = 0 .
ół
4x1 - 4x2 + 4x3 = 0
Rozwiazujemy ten układ metoda eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu

1
operacji: � r3, r3 "! r1, a nastepnie r2 - 6 � r1 i r3 - 4 � r1, wykreśleniu
4
trzeciego równania oraz wykonaniu operacji r1 + r2 uzyskamy układ:

x1 - x3 = 0
,
x2 - 2x3 = 0
wiec x3 = t, x1 = t, x2 = 2t, gdzie t jest dowolna liczba rzeczywista.

Ale nasze rozwiazania musza być niezerowe, wiec dodatkowo t = 0.

Zatem wektory własne odpowiadajace wartości własnej a = 1 sa pos-

taci: [t, 2t, t] dla t " R \ {0}.
2. Dla wartości własnej a = 2 mamy układ:
ńł
3x1
�ł - 3x2 + 2x3 = 0
6x1 - 6x2 + 4x3 = 0 .
ół
4x1 - 4x2 + 3x3 = 0
Rozwiazujemy go metoda eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji:

r2-2�r1, r3-r1, r1 "! r3, r1-3�r2, (-1)�r2, r1-r2, x2 "! x3 uzyskamy
układ:

x1 - x2 = 0
,
x3 = 0
wiec x2 = t, x1 = t, x3 = 0, gdzie t jest dowolna liczba rzeczywista.

Ale nasze rozwiazania musza być niezerowe, wiec dodatkowo t = 0.

Zatem wektory własne odpowiadajace wartości własnej a = 2 sa pos-

taci: [t, t, 0] dla t " R \ {0}.
3. Dla wartości własnej a = 3 mamy układ:
ńł
2x1
�ł - 3x2 + 2x3 = 0
6x1 - 7x2 + 4x3 = 0 .
ół
4x1 - 4x2 + 2x3 = 0
88 Algebra liniowa dla inżynierów
Rozwiazujemy go metoda eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji:

1
� r3, x1 "! x3, r1 "! r3, r2 - 4 � r1, r3 - 2 � r1, (-1) � r2, wykreśleniu
2
trzeciego równania oraz wykonaniu operacji r1 + 2 � r2 uzyskamy układ:

x3 - 2x1 = 0
,
x2 - 2x1 = 0
wiec x1 = t, x3 = 2t, x2 = 2t, gdzie t jest dowolna liczba rzeczywista.

Ale nasze rozwiazania musza być niezerowe, wiec dodatkowo t = 0.

Zatem wektory własne odpowiadajace wartości własnej a = 3 sa pos-

taci: [t, 2t, 2t] dla t " R \ {0}.
10.2 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 10.9. Wyznaczyć wartości własne oraz odpowiadajace

im wektory własne podanych macierzy A nad ciałem R:

4 3 2 -3 1 0
a) A = , b) A = , c) A = ,
1 2 1 1 0 1
�ł łł
�ł łł �ł łł
1 3 0 -4
4 2 3 1 2 3
�ł śł
1 3 0 -4
�ł �ł, �ł �ł, �ł śł.
d) A = 0 -1 1 e) A = 1 2 3 f) A =
�ł �ł
1 3 0 -4
0 0 1 1 2 3
1 3 0 -4
Odp. a) Wartości własne: 1 i 5. Odpowiadajace im wektory wła-

sne: [1, -1] i [3, 1]. b) Brak rzeczywistych wartości własnych. c) War-
tości własne: 1. Wektory własne: [1, 0] i [0, 1]. d) Wartości własne: 4,
-1, 1. Odpowiadajace im wektory własne: [1, 0, 0], [2, -5, 0], [-8, 3, 6].

e) Wartości własne: 0 i 6. Odpowiadajace im wektory własne: [-2, 1, 0]

i [-3, 0, 1], [1, 1, 1]. f) Wartości własne: 0. Odpowiadajace im wektory

własne: [-3, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [4, 0, 0, 1].
Zadanie 10.10. Wyznaczyć wartości własne oraz odpowiadajace

im wektory własne podanych macierzy A nad ciałem R:
�ł łł �ł łł �ł łł
4 -1 -2 4 1 1 2 -5 -3
�ł �ł, �ł �ł, �ł �ł,
a) A = 2 1 -2 b) A = 2 4 1 c) A = -1 -2 -3
1 -1 1 0 1 4 3 15 12
Wektory i wartości własne 89
�ł łł
�ł łł
0 1 0 0
4 -4 2
�ł śł
3 0 2 0
�ł �ł, �ł śł.
d) A = 2 -2 1 e) A =
�ł �ł
0 2 0 3
-4 4 -2
0 0 1 0
Odp. a) Wartości własne: 1, 2, 3. Odpowiadajace im wektory

własne: [1, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]. b) Wartości własne: 3, 6. Odpowia-
dajace im wektory własne: [0, 1, -1], [3, 4, 2]. c) Wartości własne: 3,

6. Odpowiadajace im wektory własne: [-7, 5, -6] i [6, -3, 3], [1, 1, -3].

d) Wartości własne: 0. Odpowiadajace im wektory własne: [1, 1, 0],

[0, 1, 2]. e) Wartości własne: -3, -1, 1, 3. Odpowiadajace im wektory

własne: [1, -3, 3, -1], [1, -1, -1, 1], [1, 1, -1, -1], [1, -3, 3, -1].
Rozdział 11
Przestrzeń afiniczna En
11.1 Przestrzeń afiniczna En
Niech n bedzie dowolna liczba naturalna. Oznaczmy przez En zbiór

wszystkich ciagów n-elementowych (a1, . . . , an) liczb rzeczywistych.

Elementy zbioru En bedziemy nazywali punktami, zaś elementy prze-

strzeni liniowej Rn bedziemy nazywali wektorami swobodnymi. Punk-

towi a = (a1, . . . , an) " En można jednoznacznie przyporzadkować

wektor swobodny ą = [a1, . . . , an]. Ponadto każdej parze punktów
a, b " En można przyporzadkować wektor swobodny �(a, b) za pomoca

wzoru:
�(a, b) = � - ą. (11.1)
Zatem dla a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn) mamy, że
�(a, b) = [b1 - a1, . . . , bn - an]. (11.2)
Aatwo zauważyć, że wówczas zachodza warunki:
(i) dla każdego punktu p " En oraz dla każdego wektora ą " Rn
istnieje dokładnie jeden punkt q " En taki, że
�(p, q) = ą,
Przestrzeń afiniczna En 91
(ii) (równość trójkata) dla dowolnych punktów p, q, r " En

�(p, q) + �(q, r) = �(p, r).
W ten sposób otrzymujemy tzw. rzeczywista n-wymiarowa przestrzeń
afiniczna współrzednych, która bedziemy oznaczali przez En.

Punkt q w (i) nazywamy suma punktu p i wektora ą i oznaczamy
przez p + ą. Zatem dla p = (p1, . . . , pn) oraz ą = [a1, . . . , an]
p + ą = (p1 + a1, . . . , pn + an). (11.3)
Liczby rzeczywiste a1, . . . , as nazywamy układem wag, jeżeli
a1 + . . . + as = 1
Niech p1 = (p11, p12, . . . , p1n), . . . , ps = (ps1, ps2, . . . , psn) beda punk-

tami przestrzeni En i niech liczby a1, . . . , as beda układem wag.

Wówczas środkiem cieżkości układu punktów (p1, . . . , ps) o wagach

(a1, . . . , as) nazywamy punkt
a1p1 + . . . + asps = (a1p11 + . . . + asps1, . . . , a1p1n + . . . + aspsn).
(11.4)
Aatwo wykazać, że a1p1 + . . . + asps jest dokładnie jednym punktem
p " En takim, że a1 ć% �(p, p1) + . . . + as ć% �(p, ps) = Ś.
Przykład 11.1. Środkiem cieżkości układu (p1, p2, p3) punktów

p1 = (0, 1, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (2, 0, 1) przestrzeni E3 o wagach
(2, -2, 1) jest punkt 2p1+(-2)p2+1p3 = (0-2+2, 2-2+0, 0-2+1) =
(0, 0, -1).
11.2 Podprzestrzenie afiniczne
Niepusty podzbiór H przestrzeni afinicznej En nazywamy podprze-
strzenia afiniczna, gdy dla każdych dwóch punktów p, q " H i dla

każdego a " R środek cieżkości ap + (1 - a)q należy do H.

92 Algebra liniowa dla inżynierów
Można wykazać, że jeżeli H jest podprzestrzenia afiniczna prze-
strzeni En, to każdy środek cieżkości dowolnego układu punktów nale-

żacych do H należy do H.

Przykład 11.2. Niech p " En. Wówczas zbiór {p} złożony tylko
z jednego punktu jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni En.
Przykład 11.3. Niech p " En i ą " Rn \ {Ś}. Wtedy zbiór
{p + t ć% ą : t " R} jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni En.
Nazywamy ja prosta afiniczna w postaci parametrycznej p + t ć% ą.
Przykład 11.4. Niech p " En i ą, � " Rn beda wektorami liniowo

niezależnymi. Wtedy zbiór {p + t ć% ą + s ć% � : t, s " R} jest podprze-
strzenia afiniczna przestrzeni En . Nazywamy ja płaszczyzna afiniczna
w postaci parametrycznej p + t ć% ą + s ć% �.
Przykład 11.5. Rozważmy układ m-równań liniowych z n-niewia-
domymi nad ciałem R:
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. (11.5)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Rozwiazania tego układu można w naturalny sposób utożsamiać

z punktami przestrzeni afinicznej En. Jeżeli układ (11.5) posiada
rozwia-zanie, to zbiór jego wszystkich rozwiazań jest podprzestrzenia

afiniczna przestrzeni En. Rzeczywiście, niech a " R i niech p =
(p1, . . . , pn) oraz q = (q1, . . . , qn) beda rozwiazaniami tego układu.

Wtedy
ap+(1-a)q = (ap1+(1-a)q1, . . . , apn+(1-a)qn) oraz dla i = 1, . . . , m:
ai1(ap1 +(1-a)q1)+. . .+ain(apn +(1-a)qn) = a(ai1p1 +. . .+ainpn)+
(1 - a)(ai1q1 + . . . + ainqn) = abi + (1 - a)bi = bi, czyli ap + (1 - a)q
też jest rozwiazaniem układu (11.5).

Przestrzeń afiniczna En 93
Twierdzenie 11.6. Niech H bedzie podzbiorem przestrzeni afi-

nicznej En i niech p " H . Wówczas nastepujace warunki sa równo-

ważne:
(a) H jest podprzestrzenia afiniczna;

(b) istnieje taka podprzestrzeń liniowa V przestrzeni Rn, że H =
p + V , gdzie p + V = {p + ą : ą " V }.
Uwaga 11.7. Podprzestrzeń liniowa V z (b) jest wyznaczona
jednoznacznie przez podprzestrzeń afiniczna H. Oznaczamy ja przez
S(H). Można wykazać, że dla każdego p " H jest S(H) = {�(p, q) :
q " H}. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej H nazywamy wymiar
podprzestrzeni liniowej S(H). Zatem prosta afiniczna jest podprze-
strzenia afiniczna wymiaru 1, zaś płaszczyzna afiniczna jest podprze-
strzenia afiniczna wymiaru 2.
Przykład 11.8. Niech H bedzie niepustym zbiorem rozwiazań

układu (11.5). Wtedy S(H) jest zbiorem wszystkich rozwiazań układu

jednorodnego
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
. (11.6)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
W szczególności, jeżeli p = (p1, . . . , pn) jest jakimkolwiek rozwiazaniem

układu (11.5), to każde rozwiazanie układu (11.5) ma postać: p + ą,

gdzie ą = [a1, . . . , an] jest rozwiazaniem układu jednorodnego (11.6).

Twierdzenie 11.9. Każda podprzestrzeń afiniczna H wymiaru k
przestrzeni afinicznej En jest zbiorem rozwiazań układu n - k, ale nie

mniejszej liczby równań liniowych z n-niewiadomymi nad ciałem R.
Przykład 11.10. Znajdziemy układ równań, którego rozwiazania

tworza prosta o postaci parametrycznej (1, 1, 1)+tć%[1, 2, 3]. W tym celu
znajdujemy najpierw układ jednorodny, którego przestrzeń rozwiazań

jest generowana przez wektor [1, 2, 3]. Uzupełniamy ten wektor
do bazy przestrzeni R3 wektorami [0, 1, 0] i [0, 0, 1] z bazy kanonicznej.
94 Algebra liniowa dla inżynierów
Nastepnie wyznaczamy przekształcenie liniowe f : R3 R2 takie,

że f([1, 2, 3]) = [0, 0], f([0, 1, 0]) = [1, 0] i f([0, 0, 1]) = [0, 1]. Ale
f([1, 0, 0]) = f([1, 2, 3])-2ć%f([0, 1, 0])-3ć%f([0, 0, 1]) = [0, 0]-[2, 0]-
[0, 3] = [-2, -3], wiec

f([x1, x2, x3]) = x1 ć% f([1, 0, 0]) + x2 ć% f([0, 1, 0]) + x3 ć% f([0, 0, 1]) =
[-2x1, -3x1] + [x2, 0] + [0, x3] = [-2x1 + x2, -3x1 + x3]. Ponieważ
szukana podprzestrzenia liniowa jest jadro f, wiec układ jednorodny

ma postać:

-2x1 + x2 = 0
.
-3x1 + x3 = 0
Aby znalezć układ niejednorodny należy tylko wyznaczyć wyrazy wolne.
W tym celu w równaniach układu podstawiamy x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1
i uzyskujemy szukany układ:

-2x1 + x2 = -1
.
-3x1 + x3 = -2
Twierdzenie 11.11. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny

podprzestrzeni afinicznych przestrzeni afinicznej En jest albo zbiorem
pustym albo podprzestrzenia afiniczna.

Podprzestrzenie przestrzeni wektorowej Rn wymiaru n - 1 nazy-
wamy hiperpłaszczyznami liniowymi; sa one dokładnie zbiorem rozwia-

zań równania postaci:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = 0, (11.7)
w którym co najmniej jedna z liczb ai jest różna od 0.
Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni En wymiaru n - 1 nazywamy
hiperpłaszczyznami afinicznymi: sa one dokładnie zbiorem rozwiazań

równania postaci:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b, (11.8)
w którym co najmniej jedna z liczb ai jest różna od 0.
Przestrzeń afiniczna En 95
Z twierdzenia 11.9 mamy zatem natychmiast nastepujace

Twierdzenie 11.12. Każda podprzestrzeń afiniczna wymiaru k
przestrzeni En jest cześcia wspólna n - k, ale nie mniejszej liczby

hiperpłaszczyzn afinicznych.
Twierdzenie 11.13. Niech (p1, . . . , ps) bedzie układem punk-

tów przestrzeni En. Wówczas zbiór af(p1, . . . , ps) wszystkich środ-
ków cieżkości tego układu jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni

En. Podprzestrzeń ta jest najmniejsza podprzestrzenia afiniczna
zawierajaca wszystkie punkty p1, . . . , ps. Ponadto

S(af(p1, . . . , ps)) = L(�(p1, p2), �(p1, p3), . . . , �(p1, ps)) = V oraz
af(p1, . . . , ps) = p1 + V .
Przykład 11.14. Dla dowolnych dwóch różnych punktów p1 =
(x1, . . . , xn), p2 = (y1, . . . , yn) przestrzeni En mamy, że af(p1, p2) jest
prosta afiniczna przechodzaca przez te punkty. Jej przedstawienie

parametryczne ma postać:
(x1, . . . , xn) + t ć% [y1 - x1, . . . , yn - xn]. (11.9)
Twierdzenie 11.15. Niech p = (x1, . . . , xn), p1 = (x11, . . . , x1n),
..., ps = (xs1, . . . , xsn) beda punktami przestrzeni En. Wówczas p "

af(p1, . . . , ps) wtedy, i tylko wtedy, gdy
[1, x1, . . . , xn] " L([1, p11, . . . , p1n], . . . , [1, ps1, . . . , psn]).
Przykład 11.16. Sprawdzimy, czy punkt (0, 1, 1) należy do pod-
przestrzeni afinicznej H = af((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) przestrzeni
E3. Mamy, że V = L([1, 1, 0, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]) =
L([1, 1, 0, 0], [0, -1, 1, 0], [0, -1, 0, 1]) =
L([1, 1, 0, 0], [0, -1, 1, 0], [0, 0, -1, 1]). Ponadto wektory [1, 1, 0, 0],
[0, -1, 1, 0], [0, 0, -1, 1] sa liniowo niezależne, wiec z twierdzenia 8.16,

[1, 0, 1, 1] " V wtedy i tylko wtedy, gdy wektory [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 0],
[0, -1, 1, 0], [0, 0, -1, 1] sa liniowo zależne. Ale wykonujac operacje ele-

mentarne na tych wektorach możemy sie łatwo przekonać, że te wek-

tory nie sa liniowo zależne. Zatem z twierdzenia 11.15 mamy, że punkt
(0, 1, 1) nie należy do H.
96 Algebra liniowa dla inżynierów
11.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 11.17. Znajdz środek cieżkości układu (p1, p2, p3) punk-

tów p1 = (1, -1, 2), p2 = (-1, 1, 3), p3 = (2, 5, 1) przestrzeni E3
o wagach (3, -4, 2).
Odp. (11, 3, -4).
Zadanie 11.18. Udowodnij, że w przestrzeni E3:
(x1, x2, x3) " af((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) �! x3 = 1.
Zadanie 11.19. W przestrzeni E3 znajdz równanie liniowe hiper-
płaszczyzny afinicznej af((1, -1, 2), (-1, 1, 3), (2, 5, 1)).
Odp. 8x1 + x2 + 14x3 = 35.
Zadanie 11.20. Uzasadnij, że w przestrzeni E3:
af((1, 1, 1), (0, 1, 2)) )" af((1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 1, 2)) = {(1, 1, 1)}.
Zadanie 11.21. Uzasadnij, że w przestrzeni E3 punkt (0, 0, 0) jest
środkiem cieżkości układu punktów {(1, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

1 1 1
Odp. Układ wag: , -1, , .
2 2 2 2
Zadanie 11.22. W przestrzeni E5 znajdz punkt wspólny prostych
afinicznych
af((2, 1, 1, 3, -3), (2, 3, 1, 1, -1)) i af((1, 1, 2, 1, 2), (1, 2, 1, 0, 1)).
Odp. (-2, -5, -1, 1, -1).
Zadanie 11.23. Znajdz układ równań liniowych, którego prze-
strzenia rozwiazań jest prosta (1, -1, 3) + t ć% [0, 5, 7].

Odp. Równania układu: x1 = 1, 5x3 - 7x2 = 22.
Zadanie 11.24. Znajdz układ równań liniowych, którego prze-
strzenia rozwiazań jest af((1, 2, 3, 4), (2, -1, 3, 1), (6, -4, 2, 2)).

Odp. Równania układu: 3x1+x2+9x3 = 32, 12x1+13x2-9x4 = 2.
Rozdział 12
Ważne podzbiory En
12.1 Zbiory wypukłe
Niech p i q beda punktami przestrzeni afinicznej En. Odcinkiem

o końcach p, q nazywamy zbiór conv(p, q) wszystkich środków cieżkości

układu (p, q) o nieujemnych wagach.
Twierdzenie 12.1. Dla dowolnych punktów p, q przestrzeni afi-
nicznej En mamy, że conv(p, q) ą" af(p, q). Ponadto odcinek conv(p, q)
składa sie z tych, i tylko tych, punktów postaci p + u ć% �(p, q), że u "

0, 1 . W szczególności, jeżeli p = (a1, . . . , an) oraz q = (b1, . . . , bn),
to conv(p, q) jest zbiorem punktów postaci
((1 - u)a1 + ub1, . . . , (1 - u)an + ubn), u " 0, 1 .
Przykład 12.2. Jeżeli p, q " E1 oraz p = (a) i q = (b), to dla
a < b odcinek conv(p, q) jest zwykłym przedziałem domknietym a, b .

Podzbiór A przestrzeni afinicznej En nazywamy wypukłym, gdy jest
spełniony warunek:
jeśli p, q " A, to conv(p, q) ą" A. (12.1)
Z definicji tej wynika od razu, że cześć wspólna dowolnej rodziny pod-

zbiorów wypukłych jest też podzbiorem wypukłym.
98 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 12.3. Na mocy twierdzenia 12.1 każda podprzestrzeń
afiniczna jest podzbiorem wypukłym.
Przykład 12.4. Odcinek o końcach p, q " En jest podzbiorem
wypukłym. Wszystkimi podzbiorami wypukłymi prostej E1 sa zbiór
pusty i dowolny przedział.
Twierdzenie 12.5. Jeżeli A jest podzbiorem wypukłym prze-
strzeni afinicznej En oraz p1, . . . , pk " A, to każdy środek cieżkości

układu (p1, . . . , pk) o nieujemnych wagach należy do zbioru A.
Twierdzenie 12.6. Niech B bedzie podzbiorem przestrzeni afi-

nicznej En. Niech conv(B) bedzie zbiorem wszystkich środków cieżkości

wszystkich możliwych układów punktów ze zbioru B o nieujemnych
wagach. Wówczas conv(B) jest zbiorem wypukłym; jest to najmniej-
szy zbiór wypukły zawierajacy zbiór B.

Przykład 12.7. Niech a = (a1, . . . , an) " En, przy czym ai = 0 dla

pewnego i = 1, . . . , n i niech b " R. Wówczas podzbiory: H+(a, b) =
{(x1, . . . , xn) : a1x1 + . . . + anxn e" b} i H-(a, b) = {(x1, . . . , xn) :
a1x1 + . . . + anxn d" b} sa wypukłe. Nazywamy
je półprzestrzeniami domknietymi wyznaczonymi przez hiperpłaszczyzne

H = {(x1, . . . , xn) : a1x1 + . . . + anxn = b}.
Cześć wspólna dowolnej skończonej rodziny półprzestrzeni położo-

nych w tej samej przestrzeni afinicznej nazywamy zbiorem wypukłym
wielościennym.
Przykład 12.8. Układem m nierówności liniowych o niewiado-
mych x1, . . . , xn nazywamy każdy układ nierówności postaci
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn e" b1
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn e" b2
, (12.2)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 = am2x2 + . . . + amnxn e" bm
gdzie aij " R, bi " R dla i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Układ
ten nazywamy jednorodnym, gdy b1 = b2 = . . . = bm = 0. Macierz
[aij] nazywamy macierza układu (12.2).
i=1,... ,m
je1,... ,n
Ważne podzbiory przestrzeni En 99
Rozwiazaniem tego układu nazywamy każdy taki punkt

a = (a1, . . . , an) " En, że ai1a1 + ai2a2 + . . . + ainan e" bi dla każdego
i = 1, . . . , m. Bedziemy mówili, że rozwiazanie to jest nieujemne, gdy

ai e" 0 dla i = 1, . . . , n. Jeżeli układ (12.2) posiada rozwiazanie,

to zbiór wszystkich rozwiazań ( a także wszystkich rozwiazań nieujem-

nych) tego układu jest zbiorem wypukłym wielościennym. Ponadto
każdy zbiór wielościenny położony w przestrzeni En jest opisany przez
pewien skończony układ nierówności liniowych o n niewiadomych.
Przykład 12.9. Niepusty podzbiór A ą" En nazywamy stożkiem
wypukłym, gdy
(a) jeśli (a1, . . . , an) " A, to dla każdej nieujemnej liczby rzeczywi-
stej u, (ua1, . . . , uan) " A,
(b) jeśli (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn) " A, to (a1+b1, . . . , an+bn) " A.
Z warunków (a) i (b) wynika, że każdy stożek wypukły jest zbio-
rem wypukłym. Przykładami stożków wypukłych sa półprzestrzenie:
H+(a, 0) i H-(a, 0), zbiory wszystkich punktów postaci (ua1, . . . , uan),
gdzie u przebiega wszystkie nieujemne liczby rzeczywiste, zaś a =
(a1, . . . , an) jest ustalonym punktem przestrzeni En.
12.2 Układy punktów w przestrzeniach afi-
nicznych
Niech (p1, . . . , ps) bedzie dowolnym układem punktów przestrzeni

afinicznej En. Mówimy, że jest to układ punktów w położeniu szcze-
gólnym, gdy pewien z punktów tego układu jest środkiem cieżkości

układu utworzonego z pozostałych punktów.
Stwierdzamy, że ten układ jest w położeniu ogólnym, gdy nie jest
on w położeniu szczególnym.
Można wykazać, że układ (p1, . . . , pn) jest w położeniu ogólnym
wtedy, i tylko wtedy, gdy wektory �(p2, p1), . . . , �(ps, p1) sa liniowo
niezależne.
100 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 12.10. Niech p0 = (0, . . . , 0), p1 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,
pn = (0, 0, . . . , 1) " En. Wówczas układ (p0, p1, . . . , pn) jest w położe-
niu ogólnym. W przestrzeni En nie istnieje układ w położeniu ogólnym
złożony z co najmniej n + 2 punktów .
Przykład 12.11. Niech (p1, . . . , pk) bedzie układem k punktów

przestrzeni En w położeniu ogólnym. Zbiór wypukły conv(p1, . . . , pk)
nazywamy k - 1-wymiarowym sympleksem rozpietym na punktach

p1, . . . , pk.
Wszystkimi zerowymiarowymi sympleksami przestrzeni En sa jej
podzbiory jednoelementowe.
Wszystkimi jednowymiarowymi sympleksami przestrzeni En
sa odcinki conv(p, q), takie że p = q.

Wszystkimi dwuwymiarowymi sympleksami przestrzeni En (dla n e"
2) sa zbiory postaci conv(p1, p2, p3), gdzie punkty p1, p2, p3 nie leża
na jednej prostej. Nazywamy je trójkatami.

Wszystkimi trójwymiarowymi sympleksami przestrzeni En (dla n e"
3) sa zbiory postaci conv(p1, p2, p3, p4), gdzie punkty p1, p2, p3, p4 nie
leża na jednej płaszczyznie. Nazywamy je czworościanami.
Przykład 12.12. Niech p0 bedzie dowolnym punktem przestrzeni

afinicznej En i niech ą1,...,ąk beda wektorami liniowo niezależnymi

przestrzeni Rn. Zbiór wszystkich punktów postaci p0 + u1 ć% ą1 + . . . +
uk ć% ąk, gdzie 0 d" ui d" 1 dla i = 1, . . . , k, nazywamy k-wymiarowym
równoległościanem rozpietym na wektorach ą1, . . . , ąk zaczepionych

w punkcie p0. Każdy równoległościan jest zbiorem wypukłym. Można
wykazać, że dla każdego skończonego układu punktów (p1, . . . , ps),
gdzie s > 1 oraz pi = pj dla pewnych i = j w przestrzeni En zbiór

conv(p1, . . . , ps) jest wielościanem.
Ważne podzbiory przestrzeni En 101
12.3 Wierzchołek zbioru wypukłego
Niech A bedzie wypukłym podzbiorem przestrzeni afinicznej En.

Punkt p " A nazywamy wierzchołkiem (lub punktem ekstremalnym)
zbioru A, gdy spełniony jest nastepujacy warunek:

jeśli q, r " A i p " conv(q, r), to p = q lub p = r.
Przykład 12.13. Niech (p0, p1, . . . , pk) bedzie układem punktów

przestrzeni En w położeniu ogólnym. Wówczas wierzchołkami sym-
pleksu conv(p0, . . . , pk) sa jedynie punkty p0, p1, . . . , pk.
Przykład 12.14. Niech A bedzie równoległościanem rozpietym

na wektorach ą1, . . . , ąk zaczepionych w punkcie p0. Wierzchołkami
zbioru A sa jedynie punkty, które można przedstawić w postaci p0 +
k
ei ć% ąi, gdzie ei = 0 lub ei = 1 dla i = 1, . . . , k. Zatem zbiór A
i=1
posiada dokładnie 2k wierzchołków.
Przykład 12.15. Niech L ą" E2 bedzie prosta o przedstawieniu

parametrycznym (0, 0) + t ć% [1, 1]. Zbadamy czy punkty (1, 0), (3, 1)
należa do zbioru A = conv({(2, 0)} *" L). Elementy zbioru A maja
postać: (1 - u)(2, 0) + u(t, t) = (2 � (1 - u) + u � t, u � t) dla u " 0, 1
oraz t " R. Oznaczmy x = 2(1 - u) + ut, y = ut. Zatem dla u = 0:
x = 2 i y = 0, zaś dla 0 < u d" 1, x jest dowolna liczba rzeczywista
oraz y = x - 2(1 - u) i liczby 2(1 - u) przebiegaja przedział 0, 2).
Wynika stad, że A = {(x, x - s) : x " R, s " 0, 2)} *" {(2, 0)}. Zatem

(1, 0) " A (x = s = 1) oraz (3, 1) nie należy do A (bo s < 2).
12.4 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 12.16. Czy punkty (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 1) " E3
sa w położeniu szczególnym?
Odp. Nie.
Zadanie 12.17. Udowodnij, że odcinek o końcach p, q " E3 jest
zbiorem wypukłym.
102 Algebra liniowa dla inżynierów
Zadanie 12.18. Czy punkt p = (1, 4, -9) należy do conv(a, b),
gdzie a = (2, 1, -1) i b = (3, -2, 7)?
Odp. Nie.
Zadanie 12.19. Niech L ą" E2 bedzie prosta o przedstawieniu

parametrycznym (2, 3) + t ć% [3, -1]. Czy punkt (1, 1) należy do zbioru
A = conv({(3, 1)} *" L)? A punkt (4, 1)?
Odp. (1, 1) " A, zaś (4, 1) " A.
Zadanie 12.20. Czy A = {(u(3t - 1) + 3, u(2 - t) + 1) : u "
0, 1 , t " R} jest wypukłym podzbiorem przestrzeni E3?
Odp. Tak.
Zadanie 12.21. Czy punkty (1, 0, 4) i (2, 2, 2) należa do tej sa-
mej półprzestrzeni przestrzeni E3 wyznaczonej przez hiperpłaszczyzne

af((-2, 0, 1), (-5, 2, 1), (-7, 0, 3))?
Odp. Tak.
Zadanie 12.22. Czy punkt (1, 4) należy do trójkata A = conv(a, b, c),

gdzie a = (1, 7), b = (-2, 1), c = (4, -2)? A punkt (2, 7)?
Odp. (1, 4) " A, zaś (2, 7) " A.
Rozdział 13
Układy nierówności
liniowych
13.1 Układy nierówności liniowych
Mówimy, że nierówność c1x1+. . .+cnxn e" b jest kombinacja liniowa
o nieujemnych współczynnikach nierówności układu
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn e" b1
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn e" b2
, (13.1)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn e" bm
gdy istnieja nieujemne liczby rzeczywiste d1, . . . , dm takie, że
c1x1+. . .+cnxn = d1(a11x1+. . .+a1nxn)+. . .+dm(am1x1+. . .+amnxn)
oraz
b = d1b1 + . . . + dmbm,
tj.
ńł
�ł a11d1 + a21d2 + . . . + am1dm = c1
�ł
�ł
�ł
a12d1 + a22d2 + . . . + am2dm = c2
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
a1nd1 + a2nd2 + . . . + amndm = cn
104 Algebra liniowa dla inżynierów
i
b1d1 + b2d2 + . . . + bmdm = b.
Z definicji tej wynika od razu, że jeżeli (a1, . . . , an) jest rozwiazaniem

układu (13.1), to jest również rozwiazaniem każdej nierówności c1x1 +

. . .+cnxn e" b, która jest kombinacja liniowa o nieujemnych współczyn-
nikach nierówności układu (13.1) i ogólniej: jest rozwiazaniem każdej

takiej nierówności c1x1 + . . . + cnxn e" b , że nierówność c1x1 + . . . +
cnxn e" b jest kombinacja liniowa o nieujemnych współczynnikach nie-
równości układu (13.1), dla pewnej liczby rzeczywistej b e" b .
Przykład 13.1. Nierówność 0 � x1 + 0 � x2 e" 4 jest kombinacja
liniowa o współczynnikach 4, 12, 4 nierówności układu
ńł
4x1 + 3x2 e" 1
�ł
-2x1 + x2 e" -1 . (13.2)
ół
2x1 - 6x2 e" 3
Wynika stad od razu, że układ (13.2) nie posiada rozwiazania.

Twierdzenie 13.2. Niech
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn e" b1
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn e" b2
(13.3)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn e" bm
bedzie rozwiazalnym (tzn. posiadajacym rozwiazanie) układem nie-

równości i niech
c1x1 + . . . + cnxn e" b (13.4)
bedzie dowolna nierównościa.

Każde rozwiazanie układu (13.3) jest rozwiazaniem nierówności (13.4)

wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista b e" b ,
że nierówność
c1x1 + . . . + cnxn e" b (13.5)
Układy nierówności liniowych 105
jest kombinacja liniowa o nieujemnych współczynnikach nierówności
układu (13.3).
Przykład 13.3. Korzystajac z twierdzenia 13.2 uzasadnimy,

że nastepujacy układ równań

x1 + 3x2 - 5x3 = 2
(13.6)
x1 - 4x2 - 7x3 = 3
nie posiada rozwiazania nieujemnego. W tym celu załóżmy, że nasz

układ posiada rozwiazanie nieujemne (a1, a2, a3) (tzn. takie, że a1 e" 0,

a2 e" 0 i a3 e" 0). Ponieważ układ nierówności
ńł
y1 + y2 e" 0
�ł
3y1 - 4y2 e" 0 (13.7)
ół
-5y1 - 7y2 e" 0
jest rozwiazalny (np. y1 = y2 = y3 = 0) oraz nierówność

2y1 + 3y2 e" 0 (13.8)
jest kombinacja liniowa nierówności układu (13.7) o współczynnikach
nieujemnych a1, a2, a3, wiec na mocy twierdzenia 13.2, każde rozwiaza-

nie układu (13.7) jest rozwiazaniem nierówności (13.8). Ale (1, -1)

jest rozwiazaniem układu (13.7) i nie jest rozwiazaniem nierówności

(13.8), wiec mamy sprzeczność. Przypuszczenie, że układ (13.6) po-

siada rozwiazanie nieujemne doprowadziło nas zatem do sprzeczności.

Stad układ (13.6) nie posiada rozwiazania nieujemnego.

13.2 Sprzeczny układ nierówności
Układ nierówności nazywamy sprzecznym, gdy nierówność 0 � x1 +
. . .+0�xn e" 1 jest kombinacja liniowa o nieujemnych współczynnikach
nierówności tego układu.
Twierdzenie 13.4. Układ nierówności liniowych jest rozwiazalny

wtedy, i tylko wtedy, gdy nie jest sprzeczny.
106 Algebra liniowa dla inżynierów
Przykład 13.5. Korzystajac z twierdzenia 13.4 udowodnimy,

że nastepujacy układ nierówności

ńł
x1 + x2 + x3 e" 2
�ł
�ł
�ł
x1 - x2 + x3 e" 1
(13.9)
�ł -x1 + x2 - 2x3 e" -1
�ł
ół
-x1 - x2 + x3 e" -1
nie ma rozwiazań. W tym celu wystarczy wykazać, że układ równań

ńł
y1 + y2 - y3 - y4 = 0
�ł
�ł
�ł
y1 - y2 + y3 - y4 = 0
(13.10)
y1 + y2 - 2y3 + y4 = 0
�ł
�ł
ół
2y1 + y2 - y3 - y4 = 1
posiada rozwiazanie nieujemne. Układ (13.10) rozwiazujemy metoda

eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji elementarnych: r2 - r1,
r3 - r1, r4 - 2 � r1, (-1) � r2, (-1) � r3 uzyskamy układ równoważny
2
postaci
ńł
y1 + y2 - y3 - y4 = 0
�ł
�ł
�ł
y2 - y3 = 0
. (13.11)
y3 - 2y4 = 0
�ł
�ł
ół
- y2 + y3 + y4 = 1
Nastepnie wykonujemy kolejno operacje: r4 + r2, r1 + r4, r3 + 2 � r4,

r1 + r3, r2 + r3, r1 - r2 i uzyskujemy, że y1 = 1, y2 = 2, y3 = 2, y4 = 1.
Zatem układ (13.10) posiada rozwiazanie nieujemne, wiec z twier-

dzenia 13.4 układ nierówności (13.9) nie posiada rozwiazania.

Podzbiór A przestrzeni afinicznej En nazywamy ograniczonym, gdy
podzbiór A jest zawarty w pewnym równoległościanie. Można wykazać,
że podzbiór A przestrzeni afinicznej En jest ograniczony wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje taka dodatnia liczba rzeczywista a, że dla każdego
punktu (x1, . . . , xn) " A mamy, że |x1| d" a,...,|xn| d" a.
Układy nierówności liniowych 107
Twierdzenie 13.6. Zbiór wszystkich rozwiazań układu nierówno-

ści (13.1) jest ograniczony wtedy, i tylko wtedy, gdy układ nierówności
ńł
�ł a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn e" 0
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn e" 0
(13.12)
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
�ł
.
. . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn e" 0
nie ma rozwiazania różnego od rozwiazania (0, . . . , 0).

13.3 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 13.7. W oparciu o twierdzenia 13.4 i 13.6 zbadaj, czy
nastepujacy układ nierówności:

ńł
2x1
�ł - 3x2 e" 2
-x1 + 2x2 e" -1
ół
3x1 - 5x2 e" 7
ma rozwiazanie i czy zbiór wszystkich jego rozwiazań jest ograniczony.

Odp. Układ ma rozwiazanie. Zbiór wszystkich rozwiazań nie jest

ograniczony.
Zadanie 13.8. W oparciu o twierdzenie 13.2 zbadaj, czy nastepujacy

układ równań:

2x1 - x2 + 4x3 = 1
-x1 + 2x2 - 3x3 = -1
posiada rozwiazanie nieujemne.

Odp. Układ nie posiada rozwiazania nieujemnego.

Zadanie 13.9. Rozwiaż graficznie układ nierówności:

ńł
3x1 - 2x2 e" -2
�ł
3x1 + x2 e" 1 .
ół
-3x1 + x2 e" -2
108 Algebra liniowa dla inżynierów
Odp. Rozwiazaniem jest trójkat o wierzchołkach (0, 1), (1, -1),
2 2
(2, 4).
Zadanie 13.10. Wyznacz wszystkie nieujemne rozwiazania układu

równań:

x1 + 3x2 - 5x3 = 8
x1 - 4x2 - 7x3 = 7
21-41t 1-7t 1
Odp. x1 = , x2 = t, x3 = , gdzie t " 0, .
2 2 7
Zadanie 13.11. W oparciu o twierdzenie 13.4 zbadaj, czy nastepujacy

układ nierówności:
ńł
x1 - x2 + x3 + 2x4 e" 1
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł -x1 + x2 - 2x3 - 2x4 e" 3
2x1 - x2 - 3x3 + x4 e" -1
�ł
�ł
3x1 + x2 + 5x3 - x4 e" 1
�ł
�ł
ół
-4x1 + 2x2 + 7x3 - 2x4 e" 1
ma rozwiazanie.

Odp. Układ nie posiada rozwiazania.

Rozdział 14
Elementy geometrii
analitycznej
wielowymiarowej
14.1 Odległość punktów w En
Odległościa dwóch punktów p = (x1, . . . , xn), q = (y1, . . . , yn) prze-
strzeni afinicznej En nazywamy nieujemna liczbe rzeczywista d(p, q)

dana wzorem:

d(p, q) = (x1 - y1)2 + . . . + (xn - yn)2. (14.1)
Można wykazać, że otrzymana w ten sposób funkcja d : En � En - R
spełnia nastepujace warunki:

1. d(p, q) = d(q, p) dla dowolnych p, q " En,
2. d(p, q) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p = q dla dowolnych
p, q " En,
3. d(p, r) d" d(p, q) + d(q, r) dla dowolnych p, q, r " En).
Ostatni z tych trzech warunków nazywa sie nierównościa trójkata.

110 Algebra liniowa dla inżynierów
Twierdzenie 14.1. Dla dowolnych punktów p, q " En odcinek
conv(p, q) składa sie z tych, i tylko tych, punktów x " En, że d(p, q) =

d(p, x) + d(x, q).
Długościa wektora ą = [a1, . . . , an] " Rn nazywamy nieujemna
liczbe rzeczywista |ą| dana wzorem:

n

|ą| = a2. (14.2)
i
i=1
Jeżeli |ą| = 1, wektor ą nazywamy unormowanym.
Mówimy, że wektory swobodne ą, � " Rn sa równoległe i maja
jednakowy zwrot, jeśli
|ą + �| = |ą| + |�|. (14.3)
Mówimy, że wektory swobodne ą, � " Rn sa równoległe i maja zwroty
przeciwne, jeżeli
|ą - �| = |ą| + |�|. (14.4)
W obu przypadkach mówimy, że wektory ą i � sa równoległe, czyli
maja ten sam kierunek.
Twierdzenie 14.2. Wektory ą, � " Rn sa równoległe wtedy,
i tylko wtedy, gdy istnieja liczby rzeczywiste r, s takie, że r = 0 lub

s = 0 oraz

r ć% ą = s ć% �. (14.5)
Wektory ą i � maja zwrot jednakowy lub zwroty przeciwne, zależnie
od tego czy rs e" 0, czy rs d" 0.
Elementy geometrii analitycznej wielowymiarowej 111
14.2 Proste w przestrzeniach En
Twierdzenie 14.3. Przez każde dwa różne punkty p i q przestrzeni
afinicznej En przechodzi dokładnie jedna prosta. Jest ona identyczna
ze zbiorem L punktów postaci
L(t) = (1 - t)p + tq, (14.6)
gdzie parametr t przebiega wszystkie wartości rzeczywiste.
Zależność (14.6) nazywa sie równaniem parametrycznym prostej

przechodzacej przez punkty p i q. Niech p = (a1, . . . , an) i q =

(b1, . . . , bn). Oznaczmy ą = [b1 - a1, . . . , bn - an]. Wówczas równanie
prostej L możemy zapisać w postaci wektorowej:
L(t) = p + t ć% ą. (14.7)
1
Niech przy oznaczeniach wzoru (14.6) � = ć% ą. Wtedy wektor �
|ą|
jest unormowany oraz L(t) = p + t ć% � też jest równaniem wektorowym
prostej L. Kierunkiem prostej L nazywamy w tej sytuacji kierunek
wektora �. Proste o jednakowym kierunku nazywamy równoległymi.
Twierdzenie 14.4. Proste L1(t) = p1 + t ć% �1 i L2(t) = p2 + t ć% �2,
gdzie wektory �1 i �2 sa unormowane, sa równoległe wtedy, i tylko
wtedy, gdy �1 = �2 lub �1 = -�2.
14.3 Iloczyn skalarny wektorów
Iloczynem skalarnym wektorów ą = [a1, . . . , an], � = [b1, . . . , bn] "
Rn nazywamy liczbe rzeczywista ą � � określona wzorem:

ą � � = a1b1 + . . . + anbn. (14.8)
Twierdzenie 14.5. Dla dowolnych wektorów ą, �, ł " Rn oraz
dla dowolnego skalara a " R:
(i) ą � � = � � ą,
(ii) a ć% (ą � �) = (a ć% ą) � � = ą � (a ć% �),
112 Algebra liniowa dla inżynierów
(iii) ą � (� + ł) = ą � � + ą � ł,
(iv) ą � ą e" 0,
(v) ą � ą = 0 �!�! ą = Ś.
Oznaczmy iloczyn skalarny ą�ą przez ą2. Wówczas zachodzi nastepujace

Twierdzenie 14.6 (nierówność Schwarza-Cauchy ego). Dla
dowolnych wektorów ą, � " Rn:
(ą � �)2 d" ą2 � �2, (14.9)
przy czym równość ma miejsce jedynie wówczas, gdy wektory ą i �
sa równoległe.
Niech ą i � beda niezerowymi wektorami przestrzeni Rn. Miara

kata miedzy wektorami ą i � nazywamy liczbe Ć " 0, Ą spełniajaca

równość:
ą � �
cos Ć = . (14.10)
|ą||�|
Przyjmujemy, że miara kata miedzy wektorem zerowym a innym wek-

torem jest dowolna liczba z przedziału 0, Ą . Miare kata miedzy wek-

torami ą i � oznaczamy przez "(ą, �). Zachodzi wiec wzór

ą � � = |ą||�| cos "(ą, �). (14.11)
Powyższa definicja jest poprawna, gdyż z nierówności Schwarza-Cauchy
ego wynika, że
ą��
-1 d" d" 1.
|ą||�|
Ponadto definicja ta pokrywa sie z określeniem miary kata miedzy

wektorami na płaszczyznie i w przestrzeni.
Powiemy, że wektory ą i � należace do przestrzeni Rn sa prostopa-

dłe, jeżeli spełniaja warunek:
ą � � = 0. (14.12)
Elementy geometrii analitycznej wielowymiarowej 113
14.4 Wektory równoległe i wektory
prostopadłe do hiperpłaszczyzny
Niech H bedzie dowolna hiperpłaszczyzna w przestrzeni afinicznej

En. Wówczas istnieja liczby rzeczywiste a1, . . . , an nie wszystkie równe
0 i liczba rzeczywista b takie, że
H = {(x1, . . . , xn) " En : a1x1 + . . . + anxn = b}. (14.13)
Powiemy, że wektor ą " Rn jest równoległy do hiperpłaszczyzny
H, jeżeli ą " S(H), tzn. istnieja dwa różne punkty p, q " H takie, że
wektory ą i �(p, q) sa równoległe.
Powiemy, że wektor ą " Rn jest prostopadły do H, jeżeli ą jest
wektorem prostopadłym do każdego wektora równoległego do H.
Twierdzenie 14.7. Aby wektor ą " Rn był równoległy do hiper-
płaszczyzny H danej wzorem (14.13) potrzeba i wystarcza, żeby był
on prostopadły do wektora [a1, . . . , an].
Twierdzenie 14.8. Wektor ą " Rn jest prostopadły do hiper-
płaszczyzny H danej wzorem (14.13) wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje
liczba rzeczywista t taka, że ą = t ć% [a1, . . . , an].
Twierdzenie 14.9. Jeżeli wektor ą = [a1, . . . , an] jest różny
od Ś, to przez każdy punkt p = (p1, . . . , pn) przechodzi dokładnie
jedna hiperpłaszczyzna prostopadła do ą. Równanie jej ma postać:
a1x1 + . . . + anxn = a1p1 + . . . + anpn. (14.14)
Niech p = (p1, . . . , pn) bedzie dowolnym punktem przestrzeni En,

a H hiperpłaszczyzna o równaniu (14.14). Punkt p przeciecia prostej

L przechodzacej przez p i prostopadłej do H nazywamy rzutem prosto-

padłym punktu p na hiperpłaszczyzne H. Odległość punktu p od jego

rzutu prostopadłego p nazywamy odległościa punktu p od hiperpłasz-
czyzny H i oznaczamy przez d(p, H). Można udowodnić, że przy tych
oznaczeniach zachodzi wzór:
|a1p1 + . . . + anpn - b|
d(p, H) = . (14.15)
a2 + . . . + a2
1 n
114 Algebra liniowa dla inżynierów
14.5 Iloczyn wektorowy
Niech ą = [a1, a2, a3] i � = [b1, b2, b3] beda wektorami przestrzeni

R3. Iloczynem wektorowym wektorów ą i � nazywamy wektor ą � �
dany wzorem:

a2 a3 a1 a3 a1 a2

ą � � = , - , . (14.16)

b2 b3 b1 b3 b1 b2
Z twierdzeń 4.2, 14.2 i z wniosku 4.7 można wyprowadzić nastepujace

Twierdzenie 14.10. Wektory ą, � " R3 sa równoległe wtedy,
i tylko wtedy, gdy ą � � = Ś.
Z twierdzenia 4.1 i z określenia iloczynu wektorowego można łatwo
udowodnić nastepujace

Twierdzenie 14.11. Dla dowolnych wektorów ą, �, ł " R3:
(i) ą � � = -(� � ą),
(ii) |ą � �|2 + (ą � �)2 = ą2 � �2,
(iii) ą � (� + ł) = (ą � �) + (ą � ł).
Z twierdzenia Laplace a, dla wierszy i określenia iloczynu skalar-
nego, otrzymujemy natychmiast
Twierdzenie 14.12. Dla dowolnych wektorów [a1, a2, a3], [b1, b2, b3],
[c1, c2, c3] " R3 zachodzi wzór:

a1 a2 a3

([a1, a2, a3] � [b1, b2, b3]) � [c1, c2, c3] = b1 b2 b3 . (14.17)

c1 c2 c3
Z twierdzeń 14.11 (ii) oraz 14.12 otrzymujemy od razu
Twierdzenie 14.13. Jeżeli wektory ą, � " R3 nie sa równoległe,
to wektor ąײ jest prostopadły do płaszczyzny rozpietej na wektorach

ą i �, a jego długość jest równa polu równoległoboku rozpietego

na wektorach ą i �.
Uwaga. Problem zwrotu wektora ąײ załatwia tzw. reguła trzech
palców, która mówi, że jeżeli wyprostowany palec wskazujacy prawej

Elementy geometrii analitycznej wielowymiarowej 115
dłoni wskazuje kierunek i zwrot wektora ą, a palec środkowy kierunek
i zwrot wektora �, wówczas kciuk pokazuje kierunek i zwrot wektora
ą � �.
Z twierdzenia 14.13 wynika w prosty sposób
Twierdzenie 14.14. Niech p, q, r beda punktami przestrzeni

afinicznej E3 w położeniu ogólnym. Niech ą = [a1, a2, a3] = �(p, q),
� = [b1, b2, b3] = �(p, r). Oznaczmy przez "(p, q, r) pole trójkata

o wierzchołkach p, q, r. Wówczas zachodzi wzór:

2 2 2

1 1
a2 a3 a1 a3 a1 a2

"(p, q, r) = |ą � �| = + + .

b2 b3 b1 b3 b1 b2
2 2
(14.18)
14.6 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Zadanie 14.15. Oblicz długości podanych wektorów przestrzeni
R3:
" " "
a) ą = [-3, 0, 4], b) � = [ 2, 3, 31], c) �(p, q), gdzie p = (2, 1, -3)
i q = (-1, 1, 4).
"
Odp. a) 5. b) 6. c) 58.
Zadanie 14.16. Oblicz iloczyny skalarne podanych wektorów prze-
strzeni R3:
" " " " "
a) ą = [-1, 2, -3], � = [2, 0, -1]; b) ą = [ 2, 3, 5], � = [ 8, - 27, 0].
Odp. a) 1 b) -5.
Zadanie 14.17. Oblicz kat miedzy podanymi parami wektorów

przestrzeni R3:
a) ą = [3, -1, 2], � = [4, 2, -5]; b) ą = [3, -1, 2], � = [1, 2, 3].
Ą Ą
Odp. a) . b) .
2 3
Zadanie 14.18. Oblicz iloczyny wektorowe podanych par wekto-
rów:
a) ą = [-1, 2, 5], � = [2, 0, -3]; b) ą = [-1, -3, -4], � = [5, 6, -2].
Odp. a) [-6, 7, -4]. b) [-18, 18, 9].
116 Algebra liniowa dla inżynierów
Zadanie 14.19. Oblicz pole trójkata o wierzchołkach a = (1, 2, 3),

b = (0, -1, 2), c = (0, 4, 0).
"
5
Odp. 6.
2
Zadanie 14.20. Zbadaj, czy punkty a = (1, 0, 2), b = (5, 1, 5),
c = (3, -1, 2), d = (1, 3, 5) leża w jednej płaszczyznie.
Odp. Tak.
Zadanie 14.21. Napisz równanie płaszczyzny przechodzacej przez

punkt p = (-1, 2, 0) i prostopadłej do wektora ą = [2, -3, 1].
Odp. 2x1 - 3x2 + x3 = -8.
Zadanie 14.22. Napisz równanie płaszczyzny przechodzacej przez

punkty p = (0, 1, 2), q = (-1, 4, 5), r = (2, -2, 3).
Odp. 12x1 + 7x2 - 3x3 = 1.
Zadanie 14.23. Znajdz rzut prostokatny punktu p = (3, -2, 1)

na płaszczyzne o równaniu: 2x1 - x2 + 3x3 = 0.

10
Odp. , -17, -19 .
7 14 14
Zadanie 14.24. Oblicz odległość punktu p = (5, -1, 6) od płasz-
czyzny o równaniu: 3x1 - 4x2 + 12x3 = 12.
79
Odp. .
13
Zadanie 14.25. Oblicz odległość punktu p = (3, 6, -1) od płasz-
czyzny o równaniu parametrycznym (1, 0, 0) + t ć% [2, -1, 1] + s ć% [1, 2, 0].

3
Odp. .
10
Literatura
[1] Andruszkiewicz R. R., Wykłady z algebry liniowej I, Wydawnictwo
UwB, Białystok 2005.
[2] Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometria, PWN, Warszawa

1976.
[3] Białynicki-Birula A., Algebra, PWN, Warszawa 1971.
[4] Jeśmianowicz L., Aoś J., Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa
1976.
[5] Kostrykin A. I., Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 1984.
[6] Kostrykin A. I., Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1995.
[7] Mostowski A. i Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, War-
szawa 1972.
Indeks
argument liczby zespolonej 19 hiperpłaszczyzna
-główny 19 -afiniczna 94
-liniowa 94
baza przestrzeni liniowej 69
homotetia 77
-kanoniczna 69
iloczyn
ciało 11
-kartezjański zbiorów 10
-liczb wymiernych 12
-skalarny wektorów 111
-liczb rzeczywistych 12
-wektorowy 114
-liczb zespolonych 13
cześć rzeczywista liczby jednostka urojona 14

zespolonej 15
kat miedzy wektorami 112
cześć urojona liczby

kierunek prostej 111
zespolonej 15
-wektora 110
czworościan 100
kolumna macierzy 26
długość wektora 110 kombinacja liniowa wektorów 65
dodawanie macierzy 27
liczba sprzeżona 14
działanie w zbiorze 10

liczba zespolona 13
dzielenie w ciele 13
macierz 26
element
-jednostkowa 38
-odwrotny 12
-kwadratowa 26
-przeciwny 12
-odwracalna 38
endomorfizm liniowy 84
-odwrotna 38
grupa 11 -przekształcenia liniowego 81
-abelowa 11 -transponowana 27
-permutacji 11 -układu wektorów 71
Literatura 119
-uzupełniona 48 -wielościenny 98
-współczynników 48 postać liczby zespolonej
-zerowa 28 -algebraiczna 14
metoda eliminacji Gaussa 53 -trygonometryczna 19
minor macierzy 45
prosta afiniczna 92
mnożenie macierzy 28
przekształcenie liniowe 76
mnożenie macierzy
-zerowe 77
przez skalar 27
przekształcenia liniowego
moduł liczby zespolonej 17
-jadro 78

-obraz 78
nierówność
-wzór analityczny 78
-Schwarza-Cauchy ego 112
przestrzeń
-trójkata 18, 109

-afiniczna 90
-liniowa 62
odcinek 97
-współrzednych 63

odległość punktów 109
-zerowa 64
odległość punktu od
punkt ekstremalny 101
hiperpłaszczyzny 113
odwracanie macierzy 39, 41
reguła Sarrusa 30
operacje elementarne
rozwiazanie układu równań 48

-na macierzach 34
równanie kwadratowe 22
-na układzie równań 50
równanie prostej
-na układzie wektorów 72
-parametryczne 111
-wektorowe 111
para uporzadkowana 10

równoległościan 100
pierwiastek z liczby
różnica wektorów 64
zespolonej 20
rzad macierzy 46
płaszczyzna afiniczna 92

rzut prostopadły punktu 113
podprzestrzeń
-afiniczna 91
skalar 62
-generowana 66
stopień macierzy kwadratowej 26
-liniowa 65
stożek wypukły 99
-niewłaściwa 65
-zerowa 65 struktura algebraiczna 10
podzbiór ograniczony 106 sympleks 100
podzbiór wypukły 97 środek cieżkości 91

120 Algebra liniowa dla inżynierów
twierdzenie wyznacznik macierzy 29
-Cauchy ego 37 -główny 57
-Cramera 58 wzory Cramera 58
-Kroneckera-Capellego 49 wzór de Moivre a 20
-Laplace a 37
zasadnicze twierdzenie algebry 23
-Steinitza o wymianie 69
zwrot wektora 110
trójkat 100

układ nierówności liniowych 98
-sprzeczny 105
układ punktów
-w położeniu ogólnym 99
-w położeniu szczególnym 99
układ równań liniowych 48
-jednorodny 48
wartość własna 84
wektor 62
-swobodny 90
-przeciwny 63
-unormowany 110
-równoległy do
hiperpłaszczyzny 113
-prostopadły do
hiperpłaszczyzny 113
-własny 84
wektory
-liniowo zależne 67
-liniowo niezależne 67
-równoległe 110
-prostopadłe 112
wielomian charakterystyczny 84
wiersz macierzy 26
wymiar przestrzeni
-afinicznej 93
-liniowej 70

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 wyklad algebra liniowa
Rachunek kosztów dla inżynierów Wykłady
wyklad z analizy matematycznej dla studentow na kierunku automatyka i robotyka agh
Geometia i Algebra Liniowa
Geodezja wykład 5 pomiary liniowe i pomiary kątowe (04 04 2011)
ALGEBRA LINIOWA KOLOKWIA PRZYKLADOWE
Sylabus Algebra liniowa I studia licencjackie
Algebra Liniowa (Informatyka)
Podstawy algebry liniowej

więcej podobnych podstron