Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
A6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Znalez
ć wszystkie liczby zespolone x, y spełniające układ równań
Å„Å‚
( 2 + i ) x + i y = 4
.
òÅ‚
i x - ( 1 - i ) y = 1
ół
2. Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej
( 1 + i )42
z = .
( 3 - i )17
Odpowiedzi do zestawu A6
3. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego
11 - 2i 4i - 7
z4 - 2z2 - 3z - 2 .
1. x = , y = ;
5 5
4Ä„
4. Rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste funkcję wymierną
2. z = 16, arg z = ;
3
-1 - i 3 -1 + i 3
x3 - x2 + 3
.
3. -1, 2, , ;
2 2
x4 + 3x2
1 x - 2
4. - .
x2 x2 + 3
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
B6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej zbiór
{ z " C : z2 e" 5 + Im ( 4z ) } .
2. Podać w postaci trygonometrycznej wszystkie elementy zbioru
3
2i - 2 .
Sporządzić rysunek.
3. Zapisać jako iloczyn dwumianów wielomian zespolony
Odpowiedzi do zestawu B6
z6 + z5 - 5z4 - 5z3 - 6z2 - 6z .
1. Zewnętrze wraz z brzegiem sumy dwóch kół o środkach z1 = 2i,
4. FunkcjÄ™ wymiernÄ…
z2 = -2i i promieniach r1 = r2 = 3;
3x2 - 5
Ä„ 11Ä„ 19Ä„
2. 2 ( cos Õ + i sin Õ ) dla Õ " { , , };
x4 + 10x2 + 9 4 12 12
3. z ( z + 1 ) ( z + i ) ( z - i ) ( z + 6 ) ( z - 6 );
rozłożyć na rzeczywiste i zespolone ułamki proste.
4 1 2i 2i i i
4. - , - 3 .
+ 2 - 2
3 ( x + 3i ) ( x - 3i ) ( x - i ) ( x + i )
x2 + 9 x2 + 1
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
C6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć liczbę zespoloną z z równania
Re z - i z - 2i
= 1 - 3i .
( i + 1 ) Im z - i
2. Wyznaczyć liczbę zespoloną z oraz jej pierwiastki stopnia 3,
jeżeli jednym z nich jest liczba 1 + 2i. Sporządzić rysunek.
3. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony
Odpowiedzi do zestawu C6
z4 - 2z3 + 2z2 - 2z + 1 .
1. z = 3 + 2i ;
4. Rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste funkcję wymierną
2. z = -11 - 2i , pozostałe pierwiastki
-1 - 2 3 -2 + 3 -1 + 2 3 2 + 3
x2
, ;
+ i - i
.
2 2 2 2
2
( x2 - 1 )
3. ( z - 1 )2 ( z + i ) ( z - i ) ;
-1 1 1 1
4. 2 ( x + 2 ) + .
+ x +
2 ( x + 2 )2 - 2 ( x - 2 )2
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
D6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Naszkicować na płaszczyz
nie zespolonej zbiór
{ z " C : Re z3 d" 0 } .
2. Znalez
ć postać algebraiczną wszystkich pierwiastków równania
( z - 3 )4 = ( 1 + i )12, z " C .
3. Znalez
ć wielomian o współczynnikach rzeczywistych najniższego
stopnia, którego pierwiastkami są liczby z1 = 3, z2 = 1 - 2i
Odpowiedzi do zestawu D6
i który przy dzieleniu przez dwumian z + 3i daje resztę 5 - i.
Ä„ Ä„ 5Ä„ 7Ä„
4. Funkcję wymierną 1. Suma trzech obszarów kątowych: d" arg z d" 2 , d" arg z d" ,
6 6 6
x3 + 4x2 + 1
3Ä„ 11Ä„
d" arg z d" oraz punktu z = 0 ;
2 6
2x4 + x2
2. 5 + 2i, 1 + 2i, 1 - 2i, 5 - 2i ;
1 5 11 5
rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
3. z3 - 6 z2 + z - 2 ;
6 6
1 x + 2
4. + .
x2 2x2 + 1
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
E6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyz
nie zespolonej przedstawić zbiór
3iz - 4
{ z " C :
e" 1 }.
3z - 2
2. Podać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki stopnia 4
z liczby zespolonej
w = ( 1 - i 3 )8 .
3. Znalez
ć wszystkie pierwiastki wielomianu
Odpowiedzi do zestawu E6
3x4 - 2x3 - 4x2 + 2x + 1
i podać ich krotności.
1. Górna półpłaszczyzna z brzegiem ograniczona symetralną odcinka
2 4 2
o końcach z1 = 3 , z2 = - i , bez punktu z3 = 3 ;
3
4. FunkcjÄ™ wymiernÄ…
2. 2 + 2 3 i, 2i - 2 3 , -2 - 2 3 i, 2 3 - 2i ;
x2 + x + 4
1
x4 + 5x2 + 6
3. Pierwiastki 1, -1, - 3 , krotności odpowiednio 2, 1, 1 ;
x + 2 x + 1
4. - .
rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
x2 + 2 x2 + 3
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
F6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie
2 z - 1 = z2 .
2. Wypisać w postaci trygonometrycznej wszystkie elementy zbioru
5
8 - i 24 .
3. Wyznaczyć wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu
Odpowiedzi do zestawu F6
2x5 - 3x4 + x3 - 4x2 + 6x - 2 .
1. z1 = 1, z2 = -1 + 2i, z3 = -1 - 2i ;
4. FunkcjÄ™ wymiernÄ…
Ä„ 11Ä„
x4 + 3x3 - x - 4
2. { 2 (cos Õk + i sin Õk) : k = 0, 1, 2, 3, 4 } dla Õ0 = 3 , Õ1 = ,
15
( x + 1 )3
17Ä„ 23Ä„ 29Ä„
Õ2 = , Õ3 = , Õ4 = ;
15 15 15
1
3
zapisać w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych.
3. x1 = 2 , x2 = 1, x3 = 2 ;
3 4 5
-
4. x - x + 1 + .
( x + 1 )2 ( x + 1 )3
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
G6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych naszkicować zbiór
z " C : z5 = 9iz3 .
{ }
2. Punkty
z1 = 1 - 3i, z3 = -1 + 5i
są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Znalez
ć pozostałe
wierzchołki tego kwadratu. Sporządzić rysunek.
3. Znalez
ć pierwiastki trójmianu kwadratowego
Odpowiedzi do zestawu G6
z2 + 3z + 3 + i.
1. Punkt 0 oraz osiem punktów okręgu o środku 0 i promieniu
kĄ
r = 3 o argumentach dla k = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 ;
4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej
16
2. z2 = -4, z4 = 4 + 2i ;
x4 - 5
3. z1 = -1 - i, z2 = 2 + i ;
( x3 + 8 )4
A B C D Ex + F
+ + + +
4. +
na rzeczywiste ułamki proste.
x + 2
( x + 2 )2 ( x + 2 )3 ( x + 2 )4 x2 - 2x + 4
Gx + H Ix + J Kx + L
+ +
.
( x2 - 2x + 4 )2 ( x2 - 2x + 4 )3 ( x2 - 2x + 4 )4
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
H6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których
liczba
z - 3i
w =
z + 4
jest czysto urojona.
2. Przedstawić w postaci algebraicznej liczbę
5
( 1 - i )
z = .
11 3
i ( 1 + i 3 )
Odpowiedzi do zestawu H6
3. Znalez
ć wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego
3
5
z3 - 2z + 4 .
1. Okrąg o środku z0 = -2 + 2 i, promieniu r = bez punktu z1 = -4;
2
1
2. 1 + i ;
4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej 2 2
3. -2, 1 - i, 1 + i ;
x2 + 3x - 4
A B Cx + D Ex + F
4. + x + 1 + + , przy czym A = 0 .
x6 + 3x4 - 4 x - 1
x2 + 2 ( x2 + 2 )2
na rzeczywiste ułamki proste.