ALGEBRA
Kolokwia przykładowe 2014/15
K1 - Liczby zespolone, rachunek macierzowy
1. Rozwiazać równanie w dziedzinie zespolonej:
�
(a) z2 + (2i - 1) z - i = 0
(b) z3 - i = 0
2. Obliczyć:
" 35
(a) Obliczyć -1 + i 3
i
(b) Naszkicować na plaszczyz
nie zespolonej zbiór punktów spelniajacych warunek: Im < 1.
�
z
3 1 -1 0
-1 0 -1 2
3. Obliczyć wyznacznik: .
1 3 1 -1
-2 1 2 1
-1
-1 2
4. (a) Wyznaczyć
0 3
-1 2 T
(b) Rozwiazać równanie macierzowe: � X = 2 1 0 + X
�
0 3
5. (a) Pytanie teoretyczne (1)
(b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 1: Musza� być zaliczone zadania: 1a, 2a, 3, 4a, 5-jeden podpunkt.
Przykłady pytań teoretycznych (1):
1. Podać definicję postaci kartezjańskiej i trygonometrycznej liczby zespolonej.
2. Podać definicję i interpretację geometryczna� modulu liczby zespolonej.
3. Podać definicję i interpretację geometryczna� argumentu liczby zespolonej.
4. Podać definicję i interpretację geometryczna� sprzężenia liczby zespolonej.
5. Podać definicję i interpretację geometryczna� pierwiastków n-tego stopnia z liczby zesp. z.
6. Sformulować zasadnicze twierdzenie algebry.
Przykłady pytań teoretycznych (2):
1. Podać cztery wybrane wlasności wyznaczników.
2. Sformulować cztery wybrane wlasności dzialań na macierzach.
3. Sformulować definicję i dwie wlasności macierzy transponowanej.
4. Sformulować definicję i dwie wlasności macierzy odwrotnej.
5. Podać cztery wlasności rzędów macierzy.
K2 - Układy równań, geometria analityczna w R3, przekształcenia liniowe
1. Rozwiazać uklad równań stosujac twierdzenie Cramera lub Kroneckera-Capellego:
� �
ńł
x + y + 2z = 1
�ł
x - 2y + z + u = 0
(a) (b) x + 2y + 3z = 2
-2x + 4y - z + 4u = 2
ół
2x - y + z = -1
2. (a) Niech a = [-2, -1, 1], b = [2, 0, 1]. Wyznaczyć kat między wektorami a i b. Wskazać
�
dwa wektory równolegle do wektora a oraz wektor prostopadly do a i b. Obliczyć pole trójkata
�
rozpiętego na wektorach a i b.
(b) Napisać równanie plaszczyzny Ą1 zawierajacej punkt P = (-3, 0, 2) i prostopadlej do wek-
�
tora n = [2, 0, 1]. Sprawdzić, czy plaszczyzna ta jest równolegla/ prostopadla do plaszczyzny
Ą2 : 2x + y = 1?
(c) Napisać równania parametryczne, kierunkowe i krawędziowe prostej przechodzacej przez
�
punkty P = (-1, 2, 1) i Q = (2, 0, -1).
3. Niech Ć(x, y) = [x - 2y, 3y]. Wyznaczyć macierz przeksztalcenia Ć, wartości wlasne przeksz-
talcenia Ć oraz wektory wlasne dla wybranej wartości wlasnej .
4. (a) Pytanie teoretyczne (1)
(b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 2. Musza� być zaliczone zadania: 1-jeden podpunkt, 2-dwa podpunkty z trzech, 4-
jeden podpunkt.
Przykłady pytań teoretycznych (1):
1. Sformulować twierdzenie Cramera.
2. Sformulować twierdzenie Kroneckera-Capellego.
3. Podać cztery wlasności rzędu macierzy.
4. Podać definicję ukladu jednorodnego. Kiedy taki uklad posiada rozwiazanie niezerowe?
�
Przykłady pytań teoretycznych (2):
1. Podać definicję i dwie wlasności iloczynu skalarnego.
2. Podać definicję i dwie wlasności iloczynu wektorowego.
3. Podać definicję i dwie wlasności iloczynu mieszanego.
4. Podać wzór na objętość równoleglościanu rozpiętego na trzech różnych wektorach / pole
równolegloboku rozpiętego na dwóch wektorach.
5. Kiedy dwa wektory/ proste/ plaszczyzny sa� równolegle/prostopadle?
6. Jak sprawdzić czy trzy punkty sa� wspólliniowe?
7. Jak sprawdzić czy trzy wektory sa� wspólplaszczyznowe?