Algebra liniowa 1 Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010 Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 Suma 1 2 Suma
Q R
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Rozwiązać równanie macierzowe
1. Wyznaczyć macierz Y z równania
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 1 3 2 2
Å" X + X Å" = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" Y Å" = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0 1 2 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 0 0
2. Metodą bezwyznacznikową obliczyć A-1 i sprawdzić poprawność
ïÅ‚ śł
wyniku dla
0 1 0 -3
ïÅ‚ śł
2. Cbliczyć metodą bezwyznacznikową
ïÅ‚ śł
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 0 0
ïÅ‚ 0 0 1 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 1 0
ïÅ‚ śł
3 -6 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 1 2 0 śł
i następnie sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku.
ïÅ‚ śł
0 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
Odpowiedzi do zestawu Q
Odpowiedzi do zestawu R
îÅ‚ Å‚Å‚
-17 2 0 6
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 0 0
ïÅ‚ śł
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
0 1 -9 1 0 3
śł
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 2 -1 0
śł
1. X =
ïÅ‚ śł ; 2. ïÅ‚ śł .
ïÅ‚
1.
ïÅ‚ śł ; 2. ïÅ‚ śł .
ïÅ‚
1 2 ïÅ‚ 6 0 1 -2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 ïÅ‚ 0 -1 1 0 śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
-3 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
.
Algebra liniowa 1 Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010 Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 Suma 1 2 Suma
S T
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Metodą rozwinięć Laplace'a obliczyć wyznacznik
1. Znalez
ć wzór ogólny na macierz Bn , gdzie n " N, i udowodnić go
metodą indukcji matematycznej, jeżeli
0 0 0 1 2
n
îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0
0 0 1 2 3
ïÅ‚ śł
B = .
0 1 1 .
ïÅ‚ śł 0 1 2 3 0
ïÅ‚ śł
0 1 1
1 2 3 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
2 3 0 0 0
1 0 1 -1
2. Rozwiązać równanie macierzowe
2 1 5 -2
2. Obliczyć wyznacznik .
1 0 3 -5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 3 2
( - 6Y )-1 = .
0 1 2 2 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
.
Odpowiedzi do zestawu T
Odpowiedzi do zestawu S
1 3
îÅ‚ Å‚Å‚
12 4
ïÅ‚ śł
1. -10 ; 2. .
ïÅ‚ śł
3 1
1. An = 2n-1A dla n e" 1; 2. 0 . ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 8 24 ûÅ‚
Algebra liniowa 1 Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2008/2009 Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 Suma 1 2 Suma
U V
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Znalez
ć macierz górnotrójkątną S, która na głównej przekątnej ma 1. Znalez
ć macierz górnotrójkątną U z samymi jedynkami na głównej
jedynie elementy dodatnie oraz spełnia warunek
przekątnej oraz macierz dolnotrójkątną L spełniające warunek
îÅ‚ Å‚Å‚
9 3 6
îÅ‚ Å‚Å‚
3 12 -6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ST Å" S =
3 5 4
ïÅ‚ śł .
L Å" U = -1 -3 4
ïÅ‚ śł.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
6 4 6
2 11 4
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
4 1 1 1 1
2. Stosując pojęcie macierzy odwrotnej rozwiązać równanie macierzowe
1 4 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
4 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł 0 1 0 2. Obliczyć (jak najkrócej) wyznacznik .
1 1 4 1 1
Y Å" =
1 4 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł .
1 0 1
1 1 1 4 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 4
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 1 4
Odpowiedzi do zestawu U Odpowiedzi do zestawu V
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 2 3 0 0 1 4 -2
1 5 1
îÅ‚ Å‚Å‚
- -
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
18 18 18
ïÅ‚ śł
1. ; 2. Y = 1. L = -1 1 0 0 1 2
; 2. 648.
0 2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł. ïÅ‚ śł, U = ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚
-1 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 9 9 9 ûÅ‚
0 0 1 2 3 2 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚