Algebra macierzy
February 3, 2004
1 Algebra macierzy
1.1 Zapis elementów macierzy
Przypomnijmy, w macierzy A = [aij]id"m,jd"n indeks i [pierwszy w kolejności!]
oznacza numer wiersza, indeks j [drugi w kolejności] oznacza numer kolumny.

Cz¸ też piszemy A = aj . Element aij macierzy A oznaczamy także
esto
i
id"m,jd"n
przy pomocy symbolu macierzy
aij = Aij, aj = Aj.
i i
Formalnie, A - Aij jest wi¸ funkcja która macierzy A przypisuje element tej
ec ¸
macierzy w miejscu (i, j) . Np, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 6
ðÅ‚ ûÅ‚
A = -9 7 -4
0 5 1
to
A2,3 = A3 = -4.
2
1.2 Dodawanie macierzy i jego w
lasności
Macierza zerow¸ nazywamy macierz majaca wsz¸ wyrazy równe zero
a ¸ edzie
îÅ‚ Å‚Å‚
0 ... 0
ðÅ‚ ûÅ‚
Om×n= ... ... ... .
0 ... 0
Macierz¸ przeciwn¸ do A = [aij] nazywamy macierz
a a
-A := [-aij] ,
tzn.
(-A)ij = -Aij.
1
Definition 1 (Dodawanie macierzy wymiaru m × n)
j
(A + B)j := Aj + Bi .
i i
Inaczej, jeżeli A = [aij] oraz B = [bij] , to
A + B = [aij + bij] .
Oznaczmy zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n przez
Mm×n.
Lemma 2 (W
lasnoÅ›ci dodawania macierzy wymiaru m × n) (1) A+B =
B + A, dodawanie jest przemienne (abelowe),
(2) (A + B) + C = A + (B + C) , dodawanie jest laczne,
¸
(3) Om×n + A = A + Om×n = A,
(4) (-A) + A = Om×n
Conclusion 3 Zbiór macierzy Mm×n z dodawaniem jest grup¸ abelow¸ Ele-
a a.
mentem neutralnym jest macierz zerowa Om×n zaÅ› macierz¸ przeciwn¸ do A
a a
wzgl¸ dodawania jest macierz -A.
edem
Pzypomnijmy, że grup¸ nazywamy zbiór G z wyróżnionym elementem e i
a
dzia G × G G (oznaczanym czasem przez + a czasem ·, czasem też
laniem
ca inaczej) o w
lkiem lasnościach:
(2) przemienność,
(3) e jest elementem neutralnym wzgl¸ dzia [np w zapisie addyty-
edem lania
wnym e + a = a, w zapisie multiplikatywnym e · e = e ]. Element e w
zapisie addytywnym bywa oznaczany tak jak 0, a w zapisie multiplikaty-
wnym tak jak 1,
(4) dla każdego elementu a istnieje element przeciwny do a wzgl¸ dzia
edem lania:
w zapisie addytywnym oznaczamy go tak jak przeciwny dla dodawania
przez -a, i zachodzi a+(-a) = 0, w zapisie multiplikatywnym oznaczamy
1
go tak jak odwrotny dla mnożenia przez a-1 lub , i zachodzi a · a-1 =
a
1
a · = 1.
a
(1) Jeżeli dzia jest przemienne, to grup¸ nazywamy przemienn¸ lub abe-
lanie e a
low¸
a.
2
1.3 Mnożenie przez liczb¸
e
Definition 4 (Mnożenie macierzy przez liczb¸ Macierz mnożymy przez
e)
liczb¸ w ten sposób, że mnożymy każdy wyraz macierzy przez t¸ liczb¸
e e e:
(r · A)ij = r · Aij.
Inaczej, gdy A = [aij] to
r · A = [r · aij] .
Lemma 5 (W
lasnoÅ›ci mnożenia macierzy wymiaru m × n przez liczby)
Niech A, B " Mm×n, r, s " K (K = R lub K = C )
(5) r · (A + B) = r · A + r · B,
(6) (r + s) · A = r · A + s · A,
(7) r · (s · A) = (r · s) · A,
(8) 1 · A = A.
1.4 Poj¸ przestrzeni wektorowej
ecie
Co to za struktura (Mm×n, +, ·) - zbiór macierzy danego wymiaru z dodawaniem
macierzy i mnożeniem przez liczby (rzeczywiste lub zespolone) ?
Definition 6 Przestrzeni¸ wektorow¸ nad cia K nazywamy (V, +, ·) gdzie
a a lem
(V, +) jest grup¸ abelow¸ (t.j. aksjomaty 1-4 s¸ spe zaÅ› · jest mnożeniem
a a a lnione),
lewostronnym [na ogó przez liczby z K, · : K × V V spe acym aksjomaty
l] lniaj¸
5-8.
Conclusion 7 Zbiór macierzy rzeczywistych [zespolonych] danego wymiary m×
n wraz z dodawaniem macierzy i mnożeniem przez liczby rzeczywiste [zespolone]
tworzy rzeczywist¸ [zespolon¸ przestrzeÅ„ wektorow¸
a a] a.
A oto inne przyk przestrzeni wektorowych:
lady
Example 8 (1) PrzestrzeÅ„ kartezjaÅ„ska Rn = {(x1, ..., xn) ; xi " R} ci¸
agów
n-elementowych lizb rzeczywistych z dodawaniem  po wspó esnych
lrz¸
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) := (x1 + y1, ..., xn + yn)
i mnożeniem wsp ednych przez liczby rzeczywiste
lrz¸
r · (x1, ..., xn) = (r · x1, ..., r · xn) .
Jest to przestrzeń wektorowa rzeczywista.
(2) PrzestrzeÅ„ kartezjaÅ„ska zespolona Cn = {(z1, ..., zn) ; zi " C} ci¸
agów
n-elementowych liczb zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem przez liczby ze-
spolone okreslonym analogicznie.
3
(3) Ustalmy w przestrzeni kartezjańskiej rzeczywistej Rn jeden punkt p = (p1, ..., pn) .
-

Nazwijmy  wektorem skierowanym o pocz¸ w p odcinek zorientowany pq
atku
(równoważnie można rzec: par¸ punktów uporz¸ a) o pocz¸ w p i koÅ„cu
e adkowan¸ atku
-

w q . Wspó ednymi wektora pq nazywamy różnic¸ koÅ„ca i pocz¸ q - p.
lrz¸ e atku
----------
-
Np wspó ednymi wektora (1, 2, 3) (4, 5, 6) s¸ (3, 3, 3) . W zbiorze tak okres-
lrz¸ a
lonych  wektorów o wspólnym pocz¸ (punkcie zaczepienia) wprowadzamy
atku
- -
- -
dodawanie metod¸ równoleg co oznacza, że pq1 + pq2 jest takim wek-
a loboku,
-

torem pq zaczepionym w punkcie p dla którego wspó edne s¸ równe sumie
lrz¸ a
wspó ednych t.j. (q1 - p)+(q2 - p) = q - p, sk¸ q = p+ (q1 - p)+(q2 - p) =
lrz¸ ad
- -
-
q1 + q2 - p. Iloczynem przez liczbe r wektora pq jest taki wektor pq1 dla
-

którego wsp edne sa iloczynem przez r wspó ednych wektora pq, tzn. q1 -
lrz¸ lrz¸
p =r· (q - p) , tzn. q1 = p+r·q-r·p. Latwo sprawdzić 8 postulatów przestrzeni

wektorowych.
(4) Zbiór funkcji rzeczywistych f : X R na ustalonym zbiorze X z do-
dawaniem
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
i mnożeniem przez liczby
(r · f) (x) = r · f (x) .
(5) Zbiór funkcji rzeczywistych ci¸ lych na R, f : R R, z dodawaniem i
ag
mnożeniem jak w (4), tworzy przestrzeÅ„ wektorow¸ (suma i iloczyn przez liczb¸
a e
funkcji ci¸ lych jest funkcj¸ ci¸ l¸ Aalogicznie zbiór funkcji różniczkowalnych,
ag a ag a).
zbiór funkcji ca
lkowalnych, itp.
1.5 Macierz transponowana
Definition 9 Macierz¸ transponowan¸ do danej macierzy A wymiaru m ×
a a
n nazywamy macierz AT wymiaru n × m w której kolumny sa zamienione z
wierszami,
j
AT = Ai ,
j
i
inaczej, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13 ... a1n
ïÅ‚
a21 a22 a23 ... a2n śł
ïÅ‚ śł
A = [aij]id"m,jd"n =
ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
to
AT = [bji]jd"n,id"m , gdzie bji = aij,
(indeks numeruj¸ wiersze jest teraz j , a numeruj¸ kolumny jest i ),
acy acy
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a21 ... am1
ïÅ‚
a12 a22 ... am2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
AT = a13 a23 ... am3 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ...
a1n a2n ... amn
4
îÅ‚ Å‚Å‚
1
ðÅ‚ ûÅ‚
+Np. dla A = [1, 2, 3] AT = 2 .
3
T
Lemma 10 (W
lasności transponowania) " AT = A,
" (r · A)T = r · AT ,
" (A + B)T = AT + BT .
1.6 Pojecie odwzorowania liniowego
Dwie ostatnie w transponowania macierzy orzekaj¸ że operacja ta jest
lasności a,
liniowa w/g nastepuj¸ w
acej lasności:
Definition 11 Niech (V, +, ·) oraz (W, +, ·) b¸ a dwiema przestrzeniami wek-
ed¸
torowymi nad tym samym cia K. Odwzorowanie
lem
f : V W
nazywamy liniowe jeżeli zachowuje dodawanie wektorów i monożenie przez liczby
(skalary) z cia K
la
f (v + w) = f (v) + f (w) ,
f (r · v) = r · f (w) ,
gdzie v, w " V, r " K.
Z wymienionych w transponowania otrzymujemy
lasności
Lemma 12 Operator transponowania
(·)T : Mm×n Mn×m, A AT ,
jest odwzorowaniem liniowym.
1.7 Poj¸ podprzestrzeni wektorowej, macierze symetryczne
ecie
Definition 13 Macierz A nazywa si¸ symetryczna jeżeli A = AT .
e
Macierz symetryczna jest kwadratowa. Np. macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 3 6
ïÅ‚ śł
3 -1 2 8
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
3 2 0 1
6 8 1 20
jest symetryczna.
5
Z w transponowania wynika, że jeÅ›li A i B s¸ symetryczne to r · A
lasności a
oraz A + B też s¸ symetryczne. Istotnie, niech A = AT oraz B = BT , wówczas
a
(r · A)T = r · AT = r · A,
(A + B)T = AT + BT = A + B.
Oznacza to, że podzbiór macierzy symetrycznych w przestrzeni wektorowej
Mn×n macierzy kwadratowych jest podprzestrzenia wektorow¸ w/g poniższej
¸ a
definicji.
Definition 14 Podzbiór P ‚" V przestrzeni wektorowej V = (V, +, ·) nazywamy
podprzestrzeni¸ wektorow¸ jeżeli jest zamkni¸ ze wzgl¸ na operacje dodawa-
a a ety edu
nia wektorów i mnożenia przez liczby z danego cia
la.
1.8 Mnożenie macierzy
Określimy teraz operacje mnożenia macierzy przez macierz
· : Mm×n × Mn×p Mm×p
Definition 15 Iloczynem macierzy A wymiaru m×n przez macierz B wymiaru
n × p nazywamy macierz C wymiaru m × p zdefiniowan¸ wzorem
a

k k
Ci = Aj · Bj .
i
j
k
Tzn. Ci jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A przez k-t¸ kolumn¸
a e
macierzy B.
Np:
îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
1 2 3 -4 = [-1]
ðÅ‚ ûÅ‚
1
2
Np.
îÅ‚ Å‚Å‚

3 0
-1 0 6 -21 30
ðÅ‚ ûÅ‚
· 2 -2 =
9 -3 2 15 16
-3 5
îÅ‚ Å‚Å‚

0 0
1 0 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 =
0 1 0 0 0
1 1

1 0 0 0 0 0
=
0 0 1 0 0 0
Ostatnie przyk pokazuj¸ że iloczyn amcierzy niezerowych może być nieze-
lady a,
rowy nawet wśród macierzy kwadratowych.
6
Proposition 16 W mnożenia macierzy
lasności
(1) 1m · Am×n = Am×n,
(2) Am×n · 1n = Am×n,
(3) A · (B · C) = (A · B) · C,
(4) A · (B + C) = A · B + A · C,
(5) (A + B) · C = A · C + B · C,
(6) r · (A · B) = (r · A) · B = A · (r · B) ,
(7) (A · B)T = BT · AT .
(8) Na ogó A · B = B · A.(dotyczy macierzy kwadratowych).
l
Udowodnimy (3)

k l
(A · (B · C))l = Aj · (B · C)l = Aj · Bj · Ck
i i j i
j j k



k l k l
= Aj · Bj · Ck = Aj · Bj · Ck
i i
j k j k
ëÅ‚ öÅ‚


k l k l
íÅ‚
= Aj · Bj · Ck = Aj · Bj Å‚Å‚ · Ck
i i
k j k j

l
= (A · B)k · Ck = ((A · B) · C)l .
i i
k
Udowodnimy (7)
j

i
(A · B)T = (A · B)i = Ak · Bk
j j
i
k

j k k j
= AT · BT = BT · AT
k i i k
k k
j
= BT · AT .
i
Do zobaczenia (8) wystarcza ma przyk
ly lad

1 0 0 1 0 1
=
0 -1 -1 0 1 0

0 1 1 0 0 -1
=
-1 0 0 -1 -1 0
Pozosta w zostaja dla studentów jako ćwiczenia.
le lasnoÅ›ci ¸
Ponieważ na ogó A · B = B · A dla macierzy kwadratowych to ciekawa jest
l
operacja
[A, B] := A · B - B · A
zwana nawiasem Poissona macierzy. Nawias Poissona [·, ·] ma nast¸ ¸
epujace
w
lasności:
7
(a) [·, ·] jest operacj¸ dwuliniow¸
a a
[A + B, C] = [A, C] + [B, C] ,
[A, B + C] = [A, B] + [A, C] ,
[r · A, B] = [A, r · B] = r · [A, B] ,
(b) jest skośnie symetryczny
[A, B] = - [B, A] ,
(c) spe tzw. tożsamość Jacobiego
lnia
[[A, B] , C] + cycl = 0
tzn
[[A, B] , C] + [[B, C] , A] + [[C, A] , B] = 0.
Sprawdzenie zostawiamy jako ćwiczenie.
W te oznaczaj¸ że przestrzeÅ„ wektorowa Mn×n macierzy kwadra-
lasności a
towych z opracja 2-liniow¸ nawiasu Poissona jest tzw. algebra Liego zgodnie z
¸ a
definicja
¸
Definition 17 Algebr¸ Liego nazywamy przestrzeÅ„ wektorow¸ V w której okreÅ›lona
a a
jest operacja 2-liniowa
[·, ·] : V × V V
spe aca powyższe dwie w lnia
lniaj¸ lasnoÅ›ci: jest skoÅ›nie symetryczna i spe tożsamość
Jacobiego.
Remark 18 Znana ze szko średniej operacja mnożenia wektorowego wektorów
ly
z przestrzeni R3
îÅ‚ Å‚Å‚


i j k
b c a c a b
ðÅ‚ ûÅ‚
[a, b, c] × [x, y, z] = det a b c = , - ,

y z x y x y
x y z
spe aksjomaty algebry Liego.
lnia
Sprawdzenie zostawiam jako ćwiczenie.
1.9 Odwzorowania liniowe a macierze
Mnożenie macierzy jest tak dobrane aby by ścis zwiazek ze sk
l ly ¸ ladaniem odw-
zorowań liniowych. Najpierw jednak musimy wyjaśnić jak odwzorowanie liniowe
f : Rn Rm wyznacza macierz wymiaru m × n i odwrotnie jak macierz wyz-
nacza odwzorowanie.
(A) Najpierw: macierz wyznacza odwzorowanie liniowe.
8
Aby to latwiej zobaczyć wyjdziemy od znanej rzeczy: uk równań lin-
ladu
iowych
Å„Å‚
y1 = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚
òÅ‚
y2 = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
2 2 2
.............
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ym = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn.
m m m
o danej macierzy m × n
îÅ‚ Å‚Å‚
a1 a2 a3 ... an
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
a1 a2 a3 ... an
2 2 2 2
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ... ...
a1 a2 a3 ... an
m m m m
Zapiszmy wektory z Rn w postaci macierzy 1-kolumnowej, np.
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
ïÅ‚ śł
x2
ïÅ‚ śł
X =
ðÅ‚ ûÅ‚
..
xn
zaś elementy z Rm także w postaci 1-kolumnowej, np.
îÅ‚ Å‚Å‚
y1
ïÅ‚ śł
y2
ïÅ‚ śł
Y = .
ðÅ‚ ûÅ‚
..
ym
Wówczas uk równań można zapisać macierzowo
lad
Y = A · X
w którym X jest zmienn¸ niezależn¸ zaÅ› Y jest zmienn¸ zależn¸ Uk taki
a a a a. lad
(w macierz A ) wyznacza odwzorowanie
laściwie
f : Rn Rm, X A · X,
f (X) = A · X.
Z w mnożenia macierzy
lasności
A · (X + X ) = A · X + A · X ,
A · (r · X) = r · (A · X)
(widać to także wprost z uk równań) że
ladu
f (X + X ) = f (X) + f (X ) ,
f (r · X) = r · f (X) .
9
Np. dla pierwszego równania, jeżeli
y1 = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
1 1 1

y1 = a1x + a2x + ... + anx
1 1 1 2 1 n
to po dodaniu dostajemy

y1 + y1 = a1 · (x1 + x ) + a2 · (x2 + x ) + ... + an · (xn + x )
1 1 1 2 1 n
i analogicznie dla drugich, trzecich, itp równaÅ„. Reasumuj¸ można także
ac,
powiedzieć, że macierz A określa odwzorowanie
f : Rn Rm,
f (x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym)
gdzie y1, ...ym sa określone poprzez uk równań liniowych j/w. Zauważymy
îÅ‚lad Å‚Å‚

i i i n
ðÅ‚0,
tu, że obrazem wersora i-tej osi ei = 0, ..., 1, 0, ..., 0ûÅ‚ = ´1, ´2, ..., ´i, ..., ´i

i
jest i-ta kolumna macierzy A.
îÅ‚ Å‚Å‚
i
îÅ‚ Å‚Å‚
´1 îÅ‚ Å‚Å‚
a1 ... ai ... an ai
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
...
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a1 ... ai ... an ai
2 2 2 i 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
· ´i =
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ... ... ...
ðÅ‚ ûÅ‚
...
a1 ... ai ... an ai
m m m n m
´i
(B) Teraz: odwzorowanie liniowe wyznacza macierz.
Niech f : Rn Rm b¸ odwzorowaniem liniowym. Zauważny najpierw
edzie
że
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x2 0 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
X = = x1 · + x2 · + ... + xn ·
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
.. ... ... ...
xn 0 0 1
= x1 · e1 + x2 · e2 + ... + xn · en.
Tzn. dowolny wektor X przestrzeni Rn zapisany w postaci macierzy 1-kolumnowej
można zapisać w postaci sumy iloczynów wspó ednych xi tego wektora przez
lrz¸
wersory osi wspó ednych ei. Z liniowości odwzorowania f mamy
lrz¸

f (X) = f x1 · e1 + x2 · e2 + ... + xn · en

= f x1 · e1 + f x2 · e2 + ... + f (xn · en)

= x1 · f e1 + x2 · f e2 + ... + xn · f (en) .

Wektory f e1 , ..., f (en) s¸ elementami przestrzeni Rm. Zapiszmy je w postaci
a
macierzy 1-kolumnowych
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a1 a2 ai an
1 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a1 a2 ai an
2 2 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
f e1 = , f e2 = , ..., f ei = , f (en) = .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ...
a1 a2 ai an
m m m m
10
JeÅ›li wi¸ oznaczyć wersory osi wspó ednych w przestrzeni Rm przez f1, ..., fm,
ec lrz¸
to
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ai 1 0 0
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ai 0 1 0
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
f ei = = ai · + ai · + ... + ai ·
1 2 m
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ...
ai 0 0 1
m
= ai · f1 + ai · f2 + ... + ai · fm.
1 2 m

Z tych macierzy 1-kolumnowych f e1 , ..., f (en) tworzymy macierz A =
îÅ‚ Å‚Å‚
a1 ... ai ... an
1 1 1
ïÅ‚ śł
a1 ... ai ... an
2 2 2
ïÅ‚ śł
. Latwo widzimy, że

ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ... ... ...
a1 ... ai ... an
m m m
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚
x1
ìÅ‚ïÅ‚ śł÷Å‚
x2
ìÅ‚ïÅ‚ śł÷Å‚
f (X) = f = f x1 · e1 + x2 · e2 + ... + xn · en
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚
..
xn

= x1 · f e1 + x2 · f e2 + ... + xn · f (en)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a1 a2 an
1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a1 a2 an
2 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= x1 · + x2 · + ... + xn ·
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
... ... ...
a1 a2 an
m m m
îÅ‚ Å‚Å‚
a1 · x1 + a2 · x2 + ... + an · xn
1 1 1
ïÅ‚
a1 · x1 + a2 · x2 + ... + an · xn śł
2 2 2
ïÅ‚ śł
=
ðÅ‚ ûÅ‚
.........
a1 · x1 + a2 · x2 + ... + an · xn
m m m
îÅ‚ Å‚Å‚
y1
ïÅ‚ śł
y2
ïÅ‚ śł
JeÅ›li wi¸ f (X) = Y, gdzie Y = to zwiazek mi¸ (x1, ..., xn) oraz
ec ¸ edzy
ðÅ‚ ûÅ‚
...
ym
(y1, ..., ym) zapisany jest w postaci uk równań
ladu
Å„Å‚
y1 = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚
òÅ‚
y2 = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
2 2 2
.............
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ym = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn.
m m m
Oznaczmy wersory osi wspó ednych w przestrzeni Rm przez f1, ..., fm. Za-
lrz¸
uważmy, że krótko, zwiazek mi¸ odwzorowaniem f a jego macierz¸ wyglada
¸ edzy a ¸
nastepujaco:
¸

f A = ai
j


f ei = ai · fj.
j
j
11
UWAGA: Niektórzy autorzy preferuja nieco inny zwiazek: zapisujac in-
¸ ¸ ¸
deksy przy wersorach jako dolne, e1, ..., en, f1, ..., fm ustalamy odpowiedniość

mi¸ odwzorowaniem f a macierz¸ A nast¸ ¸ f (ei) = aj · fj. W
edzy a epujaco:
j i
ten sposób otrzymujemy macierz transponowan¸ do otrzymanej w poprzednim
a
sposobie.
1.10 Sk
ladanie odwzorowań a mnożenie macierzy
Wyświetlimy teraz zwiazek sk odwzorowań z mnożeniem macierzy:
¸ ladania
Niech
f : Rn Rm, g : Rm Rp,
g ć% f : Rn Rp, g ć% f (X) = g (f (X)) .

f A = ai
j


f ei = ai · fj.
j
j
oraz

g B = bj
k


g fj = bj · gk.
k
k
gdzie tutaj przez gk oznaczyliśmy wersory osi wspó ednych w orzestrzeni Rp.
lrz¸
Obliczamy macierz z g ć% f
lożenia
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚ Å‚Å‚
g ć% f ei = g ai · fj = ai · g fj
j j
j j

= ai · bj · gk
j
k
j k
ëÅ‚ öÅ‚

íÅ‚ Å‚Å‚
= ai · bj · gk
j
k
k j


= bj · ai · gk
j
k
k j

= (B · A)i · gk
k
k
Oznacza to, że z g ć% f ma macierz B · A. Kolejność jest taka sama jak w
lożenie
zapisie z
lożenia.
12

UWAGA, w konwencji f (ei) = aj ·fj. jest na odwrót: g (fj) = bk·gk
j i k j
to
ëÅ‚ öÅ‚

íÅ‚
g ć% f (ei) = g aj · fjÅ‚Å‚ = aj · g (fj) = aj · bk · gk
i i i j
j j j k


= aj · bk · gk = (A · B)k · gk.
i j
i
k j k
f g
Rn Rm Rp
“! “!
A · B
Kolejność jest taka sama jak w diagramie.
1.11 Równania macierzowe
Zajmiemy si¸ równaniami macierzowymi postaci
e
A · X = B
oraz
X · A = B
w których A i B s¸ macierzami danymi zaÅ› X jest macierz¸ szukan¸ Wymiary
a a a.
s¸ takie, aby dzia by wykonalne.
a lania ly
Z powyższymi równaniami wiażemy pomocniczo tzw. równania jednorodne:
¸
A · X = 0
oraz odpowiednio
X · A = 0.
Równania te maj¸ oczywiÅ›cie rozwiazania zerowe ale mog¸ mieć też i niezerowe.
a ¸ a
Remark 19 Rozważmy równanie pierwsze AX = 0. Musi być ilość kolumn
w macierzy A równa ilości wierszy w macierzy X. Zapiszmy kolejne kolumny
macierzy X jako macierze jednokolumnowe X1, ..., Xp. Wówczas AX = 0 wtedy
i tylko wtedy gdy AX1 = ... = AXp = 0.
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
a11 a12 a13 îÅ‚
x11 x12
ïÅ‚
a21 a22 a23 śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚
x21 x22 ûÅ‚
ðÅ‚
a31 a32 a33 ûÅ‚
x31 x33
a41 a42 a43
îÅ‚ Å‚Å‚
a11x11 + a12x21 + a13x31 a11x12 + a12x22 + a13x33
ïÅ‚
a21x11 + a22x21 + a23x31 a21x12 + a22x22 + a23x33 śł
ïÅ‚ śł
=
ðÅ‚
a31x11 + a32x21 + a33x31 a31x12 + a32x22 + a33x33 ûÅ‚
a41x11 + a42x21 + a43x31 a41x12 + a42x22 + a43x33
13
Obserwujemy, że pierwsza kolumna to iloczyn AX1 macierzy A z pierwsz¸ kol-
a
umn¸ macierzy X
a
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13 îÅ‚ Å‚Å‚
x11
ïÅ‚
a21 a22 a23 śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
x21
ðÅ‚
a31 a32 a33 ûÅ‚
x31
a41 a42 a43
îÅ‚ Å‚Å‚
a11x11 + a12x21 + a13x31
ïÅ‚
a21x11 + a22x21 + a23x31 śł
ïÅ‚ śł
=
ðÅ‚
a31x11 + a32x21 + a33x31 ûÅ‚
a41x11 + a42x21 + a43x31
itd. Zatem szukana macierz X ma kolumny które powstaj¸ z rozwi¸ uk
a azań ladu
jednorodnego równań
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
(1)
.............
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Umiemy go rozwi¸ np. metod¸ Gaussa-Jordana.
azań a
Lemma 20 Zbiór rozwi¸ X (macierzy danego wymiaru n × p ) równania
azań
jednorodnego AX = 0 tworzy podprzestrzeÅ„ wektorow¸ w przestrzeni wektorowej
a
macierzy wymiaru n × p.
Proof. Niech X oraz Y bed¸ macierzami wymiaru n×p które sa rozwiazaniami
a ¸
naszego równania, tzn. AX = 0 oraz AY = 0. Niech r, s b¸ a dowlolnymi
ed¸
liczbami. Wówczas A · (rX + sY ) = r · AX + s · AY = 0. Oznacza to, że
zbiór rozwiazaÅ„ jest zamkni¸ ze wzgl¸ na operacje dodawania macierzy i
¸ ety edu
mnożenia przez liczby czyli zgodnie z definicj¸ 14 tworzy podprzestrzeÅ„ wek-
a
torow¸
a.
W przysz nauczymy si¸ szukać tzw. bazy tej podprzestrzeni.
lości e
Badanie równania XA = 0 możemy sprowadzić do powyższego typu transponuj¸
ac
je
XA = 0 Ð!Ò! (XA)T = 0 Ð!Ò! AT XT = 0.
Przejdziemy do równania ogólnego AX = B.
Lemma 21 Za óżmy, że znamy jedno rozwi¸ X0 równania AX = B.
l azanie
Wówczas każde inne rozwiazanie jest postaci
¸
Ü
X0 + X
Ü
gdzie X jest rozwi¸ odpowiedniego równania jednorodnego AX = 0.
azaniem
Proof. Niech AX0 = B oraz AY = B. Wówczas
AX0 - AY = B - B = 0,
A (X0 - Y ) = 0.
14
Ü
Oznaa to, że X := X0 - Y jest rozwiazaniem równania jednorodnego AX = 0.
¸
Ü
Odwrotnie, jeżeli X jest rozwiazaniem równania jednorodnego AX = 0 tzn
¸
Ü Ü
AX = 0 wówczas X0 + X jest rozwiazaniem równania niejednorodnego
¸

Ü Ü
A X0 + X = AX0 + AX = B + 0 = B.
Obecnie zajmiemy si¸ pewnym przypadkiem szczególnym, mianowicie takim
e
w którym macierz A jest kwadratowa n × n i równanie jednorodne AX = 0 ma
tylko jedno rozwiazanie zerowe. Wówczas w myśl Lematu pozyżej, równanie
¸
niejednorodne AX = B b¸ mia tylko jedno rozwiazanie. Wiemy z wyk
edzie lo ¸ ladu
 Metoda Gaussa-Jordana że uk jednorodny (1) w którym m = n ma tylko
lad
zerowe rozwiazanie wtedy i tylko wtedy kiedy rz¸ macierzy A jest równy n.
¸ ad
Theorem 22 Wykonuj¸ operacje elementarne na macierzy kwadratowej rzedu
ac
maksymalnego możemy dojść do macierzy jednostkowej. Powtarzaj¸ te same
ac
operacje na macierzy jednostkowej dochodzi si¸ do macierzy odwrotnej A-1 tzn.
e
takiej, że
A · A-1 = 1 oraz A-1 · A = 1.
Lemma 23 Macierz odwrotna A-1 tzn taka, że A · A-1 = 1 oraz A-1 · A = 1
jest wyznaczona jednoznacznie.
Proof. Przypuśćmy, że B oraz B sa dwiema macierzami odwrotnymi do
A, tzn, że
AB = BA = 1
AB = B A = 1
Wówczas z tych równości dostajemy
B = 1B = (B A) B = B (AB) = B 1 = B .
Proposition 24 JeÅ›li macierz kwadratowa A ma rz¸ maksymalny (a wi¸
ad ec
posiada macierz odwrotn¸ wówczas
a)
(a) równanie AX = B posiada jedyne roxzwi¸ X = A-1B.
azanie
(b) równaie XA = B posiada jedyne rozwi¸ X = BA-1.
azanie
Proof. Jeżeli AX = B to mnoż¸ lewostronnie przez A-1 otrzymujemy
ac
A-1 (AX) = A-1B

A-1A X = A-1B
1X = A-1B
X = A-1B.
Analogicznie dla drugiego równania.
Pami¸ że mnożenie macierzy nie jest przemienne! wi¸ nie można
etamy, ec
równania AX = B pomnożyć prawostronnie przez A-1 bo w wyrażeniu AXA-1
macierze A oraz A-1 nie  skróc¸ si¸
a e .
15