Spis treści
Spis treści 1
1 Algebra macierzy 1
1.1 Definicja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy . . . . . . . . 1
1.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Transponowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Literatura 5
1 Algebra macierzy
Macierze pełnią bardzo ważną rolę w grafice komputerowej i geometrii obli-
czeniowej. Poniżej zamieszczone zostały podstawowe wiadomości dotycące
operacji algebraicznych na macierzach. Więcej informacji na temat operacji
na macierzach można znalez
ć w każdym podręczniku algebry liniowej (np.
praca [1]).
1.1 Definicja macierzy
Macierz to nic innego jak prostokątna (w szczególności kwadratowa) tabela
liczb. Oto przykładowa macierz posiadająca 2 wiersze i 4 kolumny:

1 2 1 5
3 2 4 3
Ogólnie macierz posiadająca m wierszy i n kolumn wygląda następująco:
ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 · · · a1n
ìÅ‚
a21 a22 · · · a2n ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
. . .
.
. . . .
íÅ‚ Å‚Å‚
.
. . .
am1 am2 · · · amn
Indeksy przy poszczególnych elementach macierzy (a11, a12, · · · , amn) ozna-
czajÄ… kolejno: numer wiersza i numer kolumny.
1.2 Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy
Macierze można m.in. dodawać, odejmować i mnożyć:

a11 a12 b11 b12 a11 + b11 a12 + b12
+ =
a21 a22 b21 b22 a21 + b21 a22 + b22

a11 a12 b11 b12 a11 - b11 a12 - b12
- =
a21 a22 b21 b22 a21 - b21 a22 - b22

a11 a12 b11 b12 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
=
a21 a22 b21 b22 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
1 ALGEBRA MACIERZY 2
Dodawanie i odejmowanie jest intuicyjne i sprowadza siÄ™ do odpowied-
niej operacji arytmetycznej na poszczególnych elementach macierzy. Nato-
miast mnożenie na początku może sprawić kłopot. Zasada jest jednak bar-
dzo prosta: bierzemy kolejne wiersze pierwszej macierzy (mnożna) i mno-
żymy je przez kolejne kolumny drugiej macierzy (mnożnik). Jak pomnożyć
wiersz przez kolumnę? Bardzo prosto - pierwszy element wiersza mnoży-
my przez pierwszy element kolumny, podobnie mnożymy kolejne elemen-
ty wiersza i kolumny, a suma otrzymanych iloczynów daje w efekcie je-
den element macierzy wynikowej. Zatem po przemnożeniu przez pierwszy
wiersz wszystkich kolumn drugiej macierzy, otrzymujemy w wyniku pierw-
szy wiersz iloczynu macierzy. I tak mnożymy przez kolejne wiersze, aż do
uzyskania pełnego wyniku.
Ważną własnością działania mnożenia macierzy jest jego nieprzemien-
ność, tzn. istnieją macierze M1 i M2, dla których nie jest prawdziwe rów-
nanie: M1M2 = M2M1.
A
atwo zauważyć, że mnożenie macierzy jest wykonalne tylko wówczas,
gdy ilość kolumn w pierwszej macierzy jest równa ilości wierszy w drugiej.
Rolę jedynki lub elementu neutralnego w mnożeniu macierzy kwadra-
towych spełnia macierz jednostkowa (tradycyjnie oznaczana E), o następu-
jÄ…cej budowie:
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 · · · 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 · · · 0
ìÅ‚ ÷Å‚
E = ìÅ‚ . . . ÷Å‚
.
. . . .
íÅ‚ . Å‚Å‚
. . .
0 0 · · · 1
Jak widać macierz E posiada niezerowe elementy (jedynki) wyłącznie na
tzw. głównej przekątnej. Macierz posiadająca dowolne niezerowe elementy
wyłącznie na głównej przekątnej nazywamy macierzą diagonalną.
1.3 Wyznacznik macierzy
Kolejną ważną operacją wykonywaną na macierzach kwadratowych jest li-
czenie wyznaczników. Zgodnie ze wzorem Laplace a, wyznacznik (det M)
1 ALGEBRA MACIERZY 3
macierzy:
ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 · · · a1n
ìÅ‚
a21 a22 · · · a2n ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M = ìÅ‚ ÷Å‚
. . .
.
. . . .
íÅ‚ Å‚Å‚
.
. . .
an1 an2 · · · ann
opisuje następujące równanie rekurencyjne:
Å„Å‚
n = 1 niech A = (a11) , wówczas det1 A = a11
òÅ‚
n

n 2 detn A = (-1)1+j a1j detn-1 A1j
ół
j=1
gdzie A1j to macierz powstała po usunięciu z macierzy A pierwszego wiersza
i j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy oznacza siÄ™ symbolem:


a11 a12 · · · a1n


a21 a22 · · · a2n

det M =
. . .
.
. . . .

.
. . .


an1 an2 · · · ann
Dla ilustracji podanego wzoru, policzymy wyznacznki macierzy 2 × 2
i 3 × 3:


a11 a12

= a11 |a22| - a12 |a21| = a11a22 - a12a21

a21 a22


a11 a12 a13

a22 a23 a21 a23 a21 a22

a21 a22 a23 = a11 - a12 + a13 =

a32 a33 a31 a33 a31 a32

a31 a32 a33
a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a13a22a31 - a23a32a11 - a33a12a21
1.4 Transponowanie macierzy
KolejnÄ… operacjÄ… specyficznÄ… dla macierzy jest transponowanie. Polega ono
na zamianie miejscami kolumn i wierszy według następującego schematu:
1 ALGEBRA MACIERZY 4
ëÅ‚ öÅ‚T ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 · · · a1n a11 a21 · · · an1
ìÅ‚
a21 a22 · · · a2n ÷Å‚ ìÅ‚ a12 a22 · · · an2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ = ìÅ‚ ÷Å‚
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. .
. . . . . .
an1 an2 · · · ann a1n a2n · · · ann
Jak łatwo zauważyć w przypadku transponowania macierzy kwadrato-
wej jedynie elementy znajdujące się na głównej przekątnej nie zmieniają
swojego położenia. Jako ćwiczenie Czytelnik może udowodnić własność:
det AT = det A.
LITERATURA 5
Literatura
[1] Maria Moszyńska, Joanna Święcicka: Geometria z algebrą liniową. Pań-
stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987