ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII
ANALITYCZNEJ
WSHE, O/K-CE
5. Podprzestrzenie przestrzeni liniowej
Definicja 1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ustalonym cia-
łem K. Niepusty podzbiór U ą" V nazywamy podprzestrzenią prze-
strzeni V jeżeli spełnione są warunki:
" dla wszelkich v, w " U zachodzi v + w " U;
" dla każdego v " U oraz każdego a " K zachodzi a � v " U.
Przykład 2. Płaszczyzna (zawierająca zero) jest podprzestrzenią prze-
strzeni K3.
Uwaga 3. Jeżeli U jest podprzestrzenią przestrzeni V , v1, . . . , vn " U
oraz a1, . . . , an " K, to kombinacja liniowa a1v1 + � � � + anvn " U.
Uwaga 4. Jeżeli v1, . . . , vn " V , to lin(v1, . . . , vn) jest podprzestrzenią
przestrzeni V .
Twierdzenie 5. Podprzestrzeń lin(v1, . . . , vn) jest najmniejszą pod-
przestrzenią przestrzeni V zawierającą wektory v1, . . . , vn.
Uwaga 6. Wektor zerowy Ś należy do każdej podprzestrzeni przestrze-
ni liniowej.
Twierdzenie 7. Podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V wraz z wekto-
rem zerowym oraz działaniami +|U�U, �|K�U jest przestrzenią liniową.
5.1. Operacje na podprzestrzeniach.
Uwaga 8. Jeśli U, W są podprzestrzeniami przestrzeni V , to
" U )" W jest podprzestrzenią V ;
" U + W := {u + w : u " U, w " W } jest podprzestrzenią V .
Z zasady U *" W nie jest podprzestrzenią V !
Przykład 9. Niech V = R2, dalej U = lin([1, 0]) oraz W = lin([0, 1]),
wówczas [1, 0] + [0, 1] = [1, 1] " U *" W .
Date: 2003, semestr letni.
1
Definicja 10. Mówimy, że V jest sumą (zwykłą) podprzestrzeni U, W
jeżeli V = U + W .
Definicja 11. Mówimy, że V jest sumą prostą podprzestrzeni U, W
jeżeli
V = U + W oraz U )" W = {Ś}.
Zapisujemy V = U �" W .
Przykład 12. Przestrzeń R2 jest sumą prostą R2 = lin([0, 1])�"lin([1, 0]).
Twierdzenie 13. Jeżeli V jest sumą prostą podprzestrzeni V = U�"W ,
to każdy wektor v " V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci v =
u + w, gdzie u " U oraz w " W .
Definicja 14. Niech U1, . . . , Un będą podprzestrzeniami przestrzeni V .
Sumą (zwykłą) podprzestrzeni U1, . . . Un nazywamy zbiór
U1 + � � � + Un := {u1 + � � � + un : ui " Ui}.
Definicja 15. Mówimy, że przestrzeń V jest sumą prostą swoich pod-
przestrzeni U1, . . . , Un jeżeli
" V = U1 + � � � + Un;

" dla każdego Ui zachodzi Ui )" ( Uj) = {Ś}.
j=i


Zapisujemy V = U1 �" � � � �" Un lub V = Ui.
i=1,...,n
Przykład 16. Przestrzeń R3 jest sumą prostą
R3 = lin([1, 0, 0]) �" lin([0, 1, 0]) �" lin([0, 0, 1]).
Przykład 17. Przestrzeń R2 nie jest sumą prostą lin([1, 0]), lin([0, 1]),
lin([1, 1]):

[1, 1] " lin([1, 1]) )" lin([1, 0]) + lin([0, 1]) .
Twierdzenie 18. Przestrzeń V jest sumą prostą swoich podprzestrzeni
U1, . . . , Un wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor v " V ma jednoznacz-
ne przedstawienie w postaci sumy v = u1 + � � � + un, gdzie ui " Ui.
2
6. Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 19. Podzbiór B �" V przetrzeni liniowej V nazywamy bazą,
jeżeli jest liniowo niezależny oraz rozpina przetrzeń V (tj. lin(B) = V ).
Przykład 20.
" Podzbiór {[1, 0], [0, 1]} jest bazą przestrzeni K2.
" Podzbiór {[1, 0], [1, 1]} jest bazą przestrzeni K2.
" Podzbiór {1, X, X2, . . . , Xn, . . . } jest bazą przestrzeni R[X] zło-
żonej z wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywi-
stych.
Twierdzenie 21. Podzbiór B �" V jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy
jest maksymalnym liniowo niezależnym podzbiorem. (Tj. B jest liniowo
niezależny oraz dla każdego C B, zbiór C jest liniowo zależny).
Twierdzenie 22. Każde dwie bazy przestrzeni V są równoliczne (tj.
jeśli są skończone, to mają tyle samo elementów).
Definicja 23. Jeśli przestrzeń V ma bazę skończoną, to ilość elemen-
tów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy dim V . Jeśli
V nie ma bazy skończonej, to przyjmujemy dim V = ".
Przykład 24.
dim Kn = n, dim R[X] = ", dim{Ś} = 0.
Twierdzenie 25. Załóżmy, że dim V = n < " i niech v1, . . . , vm
będzie układem wektorów liniowo niezależnym, wówczas m n. Po-
nadto jeśli m < n, to istnieją wektory u1, . . . , un-m takie, że układ
{v1, . . . , vm, u1, . . . , um-n} jest bazą przestrzeni V .
Uwaga 26. Jeżeli układ B := {v1, . . . , vn} jest bazą przestrzeni V to
V = lin(v1) �" � � � �" lin(vn).
W szczególności dla każdego wektora v " V istnieją jednoznacznie wy-
znaczone skalary a1, . . . , an " K takie, iż
v = a1v1 + � � � + anvn.
Definicja 27. Skalary a1, . . . , an, o których mowa w powyższej uwadze
nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy B.
Przykład 28.
" zbiór B := {[1, 0], [0, 1]} jest bazą Q2, współrzędne wektora v =
[1, 2] wynoszą [1, 2]B, gdyż
1 � [1, 0] + 2 � [0, 1] = [1, 2] = v.
3
" zbiór B := {[1, 0], [-1, 1]} jest bazą Q2, szukamy współrzędny
wektora v = [1, 2] względem bazy B:
x[1, 0] + y[-1, 1] = [1, 2]
czyli
ńł
�ł
x - y = 1
ół
y = 2
czyli x = 3, y = 2. Ostatecznie współrzędne v względem bazy
B wynoszą [3, 2]B.
4
7. Rząd macierzy
Rozważmy macierz
�ł �ł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n �ł
�ł �ł
M = �ł �ł
�ł � � � łł
am1 am2 � � � amn
oznaczmy przez ąi i-ty wektor kolumnowy
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł a31 �ł �ł a32 �ł �ł a3n �ł
ą1 := , ą2 := , . . . , ąn :=
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . .
am1 am2 amn
oraz przez �j j-ty wektor wierszowy
�1 := [a11, a12, � � � , a1n], . . . , �m := [am1, am2, � � � , amn].
Twierdzenie 29. Przy powyższych oznaczeniach, dla dowolnej macie-
rzy M zachodzi
dim lin(ą1, . . . , ąn) = dim lin(�1, . . . , �m).
Definicja 30. Wspólny wymiar przestrzeni rozpiętej przez kolumny
bądz
wiersze macierzy M nazywamy rzędem macierzy M i oznaczamy
r(M) lub rk(M).
Twierdzenie 31 (Kroneckera-Capelliego). Układ równań liniowych
ma rozwiązanie nad ciałem K wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
współczynników tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
7.1. Algorytm wyznaczania rzędu macierzy. Wyjściową macierz
M za pomocą następujących przekształceń elementarnych:
" przemnożenie wiersza lub kolumny przez niezerowy skalar;
" dodanie do i-tego wiersza, wiersza j-tego przemnożonego ewen-
tualnie przez skalar;
" dodanie do i-tej kolumny, kolumny j-tej przemnożonej ewentu-
alnie przez skalar;
" zmiana kolejności wierszy lub kolumn;
" skreślenie wiersza lub kolumny zerowej;
doprowadzamy do postaci macierzy jednostkowej I. Wówczas rząd ma-
cierzy M jest równy wymiarowi (ilości wierszy lub kolumn) macierzy I.
5
Przykład 32. Wyznaczamy nad ciałem F7 rząd macierzy
�ł �ł
1 3 4 6 2 2
�ł
4 2 1 0 5 5�ł
�ł �ł
M = �ł
�ł łł
3 0 2 2 2 0�ł
2 2 0 0 0 3
Stosujemy przekształcenia elementrane:
�ł �ł �ł �ł
1 3 4 6 2 2 1 3 4 6 2 2
�ł �ł
4 2 1 0 5 5�ł 0 2 3 2 0 5�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł +III �ł
�ł łł �ł łł
3 0 2 2 2 0�ł 3 0 2 2 2 0�ł +4�I
2 2 0 0 0 3 2 2 0 0 0 3 +5�I
�ł �ł �ł �ł
1 3 4 6 2 2 1 0 0 0 0 0
�ł
0 2 3 2 0 5�ł �ł0 2 3 2 0 5�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł łł �ł łł
0 5 4 5 3 1�ł 0 5 4 5 3 1�ł
0 3 6 2 3 6 0 3 6 2 3 6 -III
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�ł
0 2 3 2 0 5�ł �ł0 2 3 2 0 5�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł łł �ł łł
0 5 4 5 3 1�ł 0 0 0 0 1 0�ł
0 5 2 4 0 5 0 5 2 4 0 5 +II
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�ł
0 2 3 2 0 5�ł �ł0 1 0 0 0 0�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł łł �ł łł
0 0 0 0 1 0�ł 0 0 0 0 1 0�ł
0 0 5 6 0 3 0 0 5 6 0 3
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
�ł
0 1 0 0 0 0�ł �ł0 1 0 0�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł łł �ł łł
0 0 0 0 1 0�ł 0 0 1 0�ł .
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Ostatecznie rząd macierzy M wynosi r(M) = 4.
6
8. Wyznacznik macierzy
Rozważmy macierz kwadratową
�ł �ł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n�ł
�ł �ł
M = �ł �ł
�ł łł
� � �
an1 an2 � � � ann
oznaczmy przez ąi i-ty wektor kolumnowy
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł
a21�ł a22�ł a2n�ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ą1 := , ą2 := , . . . , ąn :=
. . .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . .
�ł . łł �ł . łł �ł . łł
an1 an2 ann
Definicja 33. Wyznacznikiem macierzy M nazywamy
" jeśli n = 1, czyli M = (a11), to det M := a11;
" jeśli n > 1, to
n


i i
det M := (-1)i+nain det ą1, . . . , ąn-1 ,
i=1
i
gdzie ąj oznacza kolumnę ąj po skreśleniu i-tego elementu (wiersza).
Uwaga 34. Wyznacznik ma następujące własności
" dla dowolnego x " K:
�ł �ł �ł �ł
a11 a12 � � � xa1i � � � a1n a11 a12 � � � a1i � � � a1n
�ł �ł
a21 a22 � � � xa2i � � � a2n�ł a21 a22 � � � a2i � � � a2n�ł
�ł �ł �ł �ł
det �ł �ł = x det �ł �ł
�ł łł �ł łł
� � � � � �
an1 an2 � � � xani � � � ann an1 an2 � � � ani � � � ann
" dla dowolnych x, y " K:

det ą1, ą2, . . . , xąi + y�i, . . . , ąn =

x det ą1, ą2, . . . , ąi, . . . , ąn + y det ą1, ą2, . . . , �i, . . . , ąn
" dla i = k:


det ą1, . . . , ąi, . . . , ąk, . . . , ąn = - det ą1, . . . , ąk, . . . , ąi, . . . , ąn

" det ą1, . . . , ąi, . . . , ąi, . . . , ąn = 0
" dla dowolnego x " K oraz i = k:


det ą1, . . . , ąi, . . . , ąk, . . . , ąn = det ą1, . . . , ąi + ąk, . . . , ąk, . . . , ąn
7
" wyznacznik macierzy trójkątnej
�ł �ł
a11 a12 � � � a1n
�ł
0 a22 � � � a2n�ł
�ł �ł
det �ł �ł = a11 � a22 � � � ann
�ł łł
� � �
0 0 � � � ann
Twierdzenie 35. Dla dowolnej macierzy M zachodzi det M = det MT .
Wniosek 36. Wszystkie własności wyznacznika dla kolumn w uwadze
34, dotyczą także wierszy.
Wniosek 37. Wyznacznik macierzy dolno-trójkątnej
�ł �ł
a11 0 � � � 0
�ł �ł
a21 a22 � � � 0
�ł �ł
det �ł �ł = a11 � a22 � � � ann
�ł łł
� � �
an1 an2 � � � ann
Wniosek 38. Wyznacznik macierzy diagonalnej
�ł �ł
a11 0 � � � 0
�ł �ł
0 a22 � � � 0
�ł �ł
det �ł �ł = a11 � a22 � � � ann
�ł łł
� � �
0 0 � � � ann
8.1. Metody obliczania wyznacznika.

a b
Uwaga 39. det = ad - bc.
c d
Uwaga 40.
�ł �ł
a11 a12 a13
�ł
det a21 a22 a23�ł = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
�ł łł
a31 a32 a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Twierdzenie 41 (Laplace). Dla dowolnego 1 j n zachodzi
n


i i i i
det ą1, . . . , ąn = (-1)i+jaij det ą1, . . . , ąj-1, ąj+1, . . . , ąn
i=1
oraz
�ł �ł
�1
�ł �ł
.
�ł �ł
.
�ł �ł
.
�ł �ł
�1 n
�ł

�ł �ł
�j-1�ł
. �ł �ł
�ł �ł
.
det = (-1)i+jaij det �ł
.
�ł łł
�ł �ł
�j+1�ł
�ł �ł
�n i=1
�ł . �ł
.
�ł łł
.
�n
8
Przykład 42. Obliczamy (nad ciałem R) wyznacznik macierzy
�ł �ł
1 4 2 3
�ł
2 3 0 -2�ł
�ł �ł
M := �ł �ł
�ł-1 2 5 8 łł
0 2 0 2
Korzystamy z twierdzenia Laplace a:
det M =
�ł �ł �ł �ł
1 2 3 1 4 2
�ł �ł
(-1)2+4 � 2 � det 2 0 -2�ł + (-1)4+4 � 2 � det 2 3 0�ł =
�ł łł �ł łł
-1 5 8 -1 2 5
= 2 � (0 + 4 + 30 - 0 + 10 - 32) + 2 � (15 + 0 + 8 + 6 - 0 - 40) =
= 2 � 12 + 2 � (-11) = 2
8.2. Obliczanie wyznacznika za pomocą operacji elementar-
nych. Za pomocą następujących operacji elementarnych:
"  wyjęcie z wiersza lub kolumny skalara  przed wyznacznik ;
" dodanie do i-tego wiersza, wiersza j-tego przemnożonego ewen-
tualnie przez skalar;
" dodanie do i-tej kolumny, kolumny j-tej przemnożonej ewentu-
alnie przez skalar;
" zmiana kolejności wierszy lub kolumn z jednoczesną zmianą
znaku wyznacznika;
doprowadzamy macierz wyjściową do postaci macierzy diagonalnej M .
Wówczas wyznacznik macierzy M jest iloczynowi elementów na prze-
kątnej macierzy M .
Przykład 43. Obliczamy (nad ciałem R) wyznacznik macierzy
�ł �ł
1 4 2 3
�ł
2 3 0 -2�ł
�ł �ł
M := �ł �ł
�ł-1 2 5 8 łł
0 2 0 2
9
Wykonujemy przekształcenia elementarne:
�ł �ł �ł �ł
1 4 2 3 1 4 2 3
�ł �ł
2 3 0 -2�ł 0
�ł �ł �ł -5 -4 -8�ł
�ł
det �ł �ł -2�I = det �ł �ł =
�ł-1 2 5 8 łł �ł łł
0 6 7 11
+I
0 2 0 2 0 2 0 2
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 0 0 0
�ł �ł �ł
0
�ł -5 -4 -8�ł +III 0 1 3 3
�ł �ł �ł
= det �ł �ł = 2 � det �ł =
�ł łł �ł łł
0 6 7 11 0 6 7 11�ł -6�II
1
0 2 0 2 � 0 1 0 1 -II
2
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 0 0 0
�ł �ł �ł �ł
0 1 3 3 0 1 0 0
�ł �ł �ł �ł
= 2 � det �ł
�ł -11 -7�ł = 2 � det �ł0 0 -11 -7�ł =
0 0 łł �ł łł
0 0 -3 -2 0 0 -3 -2

-11 -7
= 2 � det = 2 (22 - 21) = 2
-3 -2
9. Metoda Cramera rozwiązywania układów równań
liniowych
Rozważmy układ równań liniowych U złożony z n równań o n nie-
wiadomych:
ńł
�ł
a11x1 + a12x2 + � � � + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + � � � + a2nxn = b2
�ł
�ł� � �
�ł
�ł
�ł
ół
an1x1 + an2x2 + � � � + annxn = bn.
Oznaczmy przez M macierz współczynników tego układu:
�ł �ł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n�ł
�ł �ł
M := �ł �ł = ą1, ą2, . . . , ąn .
�ł łł
� � �
an1 an2 � � � ann
Natomiast przez � oznaczamy wektor wyrazów wolnych tego układu
T
� := b1, . . . , bn .
Twierdzenie 44 (Cramera). Jeśli det M = 0 to układ U ma dokładnie

jedno rozwiązanie dane wzorami:
ńł
�ł
�ł
�ł
1
xi = det ą1, . . . , ąi-1, �, ąi+1, . . . , ąn
det M
�ł
�ł
ół
i=1,...,n
10
Przykład 45. Rozwiązujemy (nad ciałem R) metodą Cramera układ
równań:
ńł
�ł
x + 4y + 2z + 3t = 3
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
2x + 3y - 2t = 2
�ł
�ł-x + 2y + 5z + 8t = 1
�ł
�ł
�ł
ół
2y + 2t = 1.
Mamy det M = 2, czyli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:
�ł �ł
3 4 2 3
�ł
1 33
2 3 0 -2�ł
�ł �ł
x = det �ł �ł =
�ł łł
1 2 5 8
2 2
1 2 0 2
�ł �ł
1 3 2 3
�ł
1
2 2 0 -2�ł -12
�ł �ł
y = det �ł �ł = = -6
�ł-1 1 5 8 łł
2 2
0 1 0 2
�ł �ł
1 4 3 3
�ł
1
2 3 2 -2�ł -9
�ł �ł
z = det �ł �ł =
�ł-1 2 1 8 łł
2 2
0 2 1 2
�ł �ł
1 4 2 3
�ł
1 13
2 3 0 2�ł
�ł �ł
t = det �ł
�ł-1 2 5 1�ł =
łł
2 2
0 2 0 1
11