PRZESTRZENIE LINIOWE
0
Piotr S
lanina
25 lipca 2001
Definicja 1 Przestrzenia liniowa (wektorowa) nad cia (K, +, �) nazy-
lem
wamy strukture algebraiczna (V, K, �", ) (lub w skrócie V ), z ze zbioru
lożona
wektorów V , zbioru skalarów K oraz dzia wewnetrznego V �" V V i
lań:
zewnetrznego K V V spe
lniajacych nastepujace warunki:
1) (V, �") jest grupa abelowa;
2) k (v1 �" v2) = (k v1) �" (k v2) dla dowolnych k " K, v1, v2 " V ;
3) (k1 + k2) v = (k1 v) �" (k2 v) dla dowolnych k1, k2 " K, v " V ;
4) k1 (k2 v) = (k1 � k2) v dla dowolnych k1, k2 " K, v " V ;
5) 1 v = v dla dowolnego v " V .
Definicja 2 (U, K, �", ) jest podprzestrzenia przestrzeni (V, K, �", ) wtedy
i tylko wtedy gdy
1) U �" V
2) "u1,u2"V u1 �" u2 " U;
3) "u"V,k"K k u " U.
Dalej jeżeli nie bedzie to powodować kolizji oznaczeń bedziemy używać za-
miast �", oznaczeń +, �.
Przyk 1 Niech A jest dowolnym zbiorem. Wtedy An jest zbiorem ele-
lad
mentów postaci (a1, ..., an), gdzie ai " A, np. Q3 oznacza zbiór trójelementowych
wektorów z wymiernymi elementami.
Przyk przestrzeni liniowych (w poniższych przyk K oznacza do-
lady ladach
wolne cia Q, R, C):
lo,
1) (Kn, K, +, �), n dowolna liczba naturalna;
2) (C, R, +, �), n dowolna liczba naturalna;
3) (R, Q, +, �), n dowolna liczba naturalna;
4) (Wn[K], K, +, �); Wn[K] to wielomiany o wspó
lczynnikach z K;
5) (Mn�m(K), K, +, �); Mn�m(K) to macierze n � n nad cia K;
lem
6) (KK, K, +, �) funkcji f : K K.
7) (KN, K, +, �) nieskończonych ciagów o elementach z K.
0
Zadania cześciowo na podst. skryptu  Algebra i Geometria Analityczna z zadaniami ,
E. P Gliwice 1990 oraz  Algebra i wielowymiarowa geometria... , S. Przyby A.
lonka, lo,
Szlachtowski WNT Warszawa, 1993
1
Zadanie 1 Wykazać, że jeśli (K, +�) jest cia to (K, K, +, �) jest prze-
lem
strzenia wektorowa.
Zadanie 2 Pokazać, że (R+, R, �, ) jest przestrzenia wektorowa, gdzie �
oznacza zwyk mnożenie, a k x = xk.
le
Zadanie 3 Czy (R2, R, �", ) jest przestrzenia liniowa, jeżeli dzia �"
lanie
jest zdefiniowane w nastepujacy sposób:
a) (x1, y1) �" (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
b) (x1, y1) �" (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
c) (x1, y1) �" (x2, y2) = (x1 + x2, 0),
d) (x1, y1) �" (x2, y2) = (min{x1, x2}, min{y1 + y2}).
(odp. tylko b).
Zadanie 4 Niech (V, R, +, �) jest przestrzenia liniowa. Określmy dzia
lanie
na parach elementów z V :
2
(x1, y1) �" (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) dla (x1, y1), (x2, y2) " V ,
2
(k1, k2) (x, y) = (k1x - k2y, k2x + k1y) dla (k1, k1) " C, (x, y) " V .
2
Wykazać, że (V , C, �", ) jest przestrzenia liniowa.
Zadanie 5 W zbiorze wektorów zaczepionych w poczatku uk wspó
ladu lrzednych
określono dodawanie i mnożenie wektorów przez liczbe. Który z poniższych
zbiorów jest przestrzenia wektorowa (wraz z wektorem zerowym):
a) wektory o końcach należacych do prostej przechodzacej przez poczatek
uk wspó
ladu lrzednych,
b) wektory o końcach w pierwszej ćwiartce uk wspó
l. l.
c) wektory o końcach w drugiej lub czwartej ćwiartce uk wspó
l. l.
odp. tylko a).
Zadanie 6 Udowodnić, że podprzestrzeniami RR sa:
a) Zbiór funkcji posiadajacych pochodna n-tego rzedu
b) Zbiór funkcji ograniczonych
Udowodnić, że podprzestrzeniami CN sa:
a) Zbiór wszystkich ciagów ograniczonych,
b) Zbiór wszystkich ciagów zbieżnych,
c) Zbiór wszystkich ciagów zbieżnych do zera,
d) Zbiór wszystkich ciagów których elementy od pewnego miejsca sa równe
zero.
Zadanie 7 W zbiorze Cn rozpatrujemy podzbiory:
a) {x : x1 " R},
b) {x : arg(x1) = arg(xn)},
c) {x : Łn-1|xi| = |xn|},
i=1
d) {x : xi = 2xi-1} dla i = 2, ..., n,
2
e) {x : x1 = xn}.
Ż
Które z nich sa podprzestrzeniami Cn nad cia C, które nad R (odp. d)
lem
zawsze, a), e) tylko nad R).
Zadanie 8 Zbiór funkcji {f : f :< 0, 1 > R} wraz z dzia
laniami (f �"
g)(x) = f(x) + g(x) oraz k f(x) = kf(x) stanowi przestrzeń liniowa.
Sprawdzić, który z nastepujacych podzbiorów stanowi podprzestrzeń tej prze-
strzeni:
a) f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c " R,
b) f : f(0) = 3f(1) = -4f(1),
3
c) f : Łn f(1) = 0,
i=1
i
d) f jest nieciag
la,
e) f jest ciag
la,
f) f jest monotoniczna lub stale równa zero.
odp. a), b), c), e).
Zadanie 9 Niech V1, V2 sa podprzestrzeniami przestrzeni V . Czy sa również
jej podprzestrzeniami:
a) V1 *" V2, b) V1 )" V2, c) V1 + V2 = {v1 + v2 : v1 " V1, v2 " V2}.
(odp. a) oraz c) sa podprzestrzeniami).
3