Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
3. Podstawowe elementy liniowe
2
Założenia
Wiele elementów automatyki można traktować jako liniowe, jeżeli:
" ograniczy się zakres ich pracy
" przyjmie następujące założenia upraszczające:
Elementy mechaniczne:
" występuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche
- siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
- siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
" sztywności elementów sprężystych są stałe
Elementy płynowe:
" opór przepływu jest stały
- natężenie przepływu jest proporcjonalne do różnicy ciśnień
" współczynnik ściśliwości płynu jest stały
Elementy elektryczne:
" rezystancje, indukcyjności i pojemności są stałe i niezależne od
przepływającego prądu i napięcia
3
Podział elementów liniowych
Ze względu na własności dynamiczne:
" bezinercyjne (proporcjonalne)
" inercyjne
" całkujące
" różniczkujące (idealne i rzeczywiste)
" oscylacyjne
" opóz
niające
Elementy charakteryzują:
Właściwości statyczne: charakterystyka statyczna y = f(u)
Właściwości dynamiczne: równanie różniczkowe
transmitancja operatorowa
odpowiedz
na zakłócenie skokowe
charakterystyki częstotliwościowe
4
Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)
Równanie różniczkowe (równe charakterystyce statycznej y=ku)
y(t) = ku(t)
y  wielkość wyjściowa
u  wielkość wejściowa
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
Transmitancja
Transmitancja
y(s)
y(s)
G(s) = = k
u(s)
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
u(t) = 1(t)ust
y (t)
kust
y(t) =1(t)kust
ust
u(t)
5
Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)
Charakterystyka statyczna
a)
y
we współrzędnych:
a) odchyłek
y = ku
u
b)
y0
b) wartości absolutnych
y0 = ku0 + C
c
u0
0
6
Elementy bezinercyjne  przykłady
a) b)
c)
u R1
u
y
u1
R2 u2
a b
a b
Fu Fy
Fu
Fy
y
x
d)
e)
?2
z1
r
a, b) dz
wignia
n1
1
n2
c) dzielnik napięcia
d) przekładnia cierna
z2
?
1
e) przekładnia zębata
g)
f)
p
A
f) siłownik
pneumatyczny
x
?
g) mechanizm
y
krzywkowy
c
y
7
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Równanie różniczkowe
dy
T + y = ku
dt
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
T  stała czasowa
Transmitancja
Transmitancja
y(s) k
G(s) = =
u(s) Ts +1
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = kust (1- e-t T )
8
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
1
u(s) = ust
s
k k 1
�ł �ł
1 1
y(s) = ust = ust
�ł
L-1�ł �ł = (1- e-at )
�ł
1
s(Ts +1) T
s(s + a) a
�ł łł
s(s + )
T
k
y(t) = L [ y(s)] = ustT (1- e )
y(t) = L-1[ y(s)] = ustT (1- e-t T )
T
T
y
T T
y(t) = kust (1- e-t T )
kust
0,632kust
t
9
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Warunek stanu ustalonego
Q1
A
h
Q10 = Q20
Q1
f
Z równania Bernoulliego
1 1
v12 p1 v22 p2
+ + h = + + 0
2g ł 2g ł
h
2
f
zakładając v1=0 oraz p1=p2=patm
Q2
1 1 2 atm
2
otrzymujemy:
2
v2 = 2gh
Wejścia
Z równania ciągłości:
Q1  natężenie przepływu cieczy
Q2 = fv2 = f 2gh
f  powierzchnia przekroju zaworu
Otrzymujemy:
Q22
Wyjście
h =
2
2gf
h  poziom cieczy w zbiorniku
10
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Charakterystyka statyczna
Q1
A h
Q102
Q1
f h0 =
2gf02
1 1
h0
h
2 hn f0=const
f
Q2
Q2
Q1n Q10
2
Wejścia
h0
Q1  natężenie przepływu cieczy
f  powierzchnia przekroju zaworu Q10=const
hn
Wyjście
fn
f0
h  poziom cieczy w zbiorniku
11
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
W stanie nieustalonym
dh
A = Q1 - Q2
dt
d"h
linearyzacja dla punktu pracy hn, Q1n, fn
A = "Q1 - "Q2
dt
Q2 = f 2gh
Przyrost "Q2 zastępujemy różniczką zupełną
�ł "Q �ł "Q g
�ł "Q2 �ł "Q2 g
�ł �ł
�ł �ł
"Q2 = �ł �ł "f + "h = 2ghn"f + fn "h
�ł �ł
"f "h 2hn
�ł łłn
�ł łłn
otrzymujemy
d"h
T + "h = k1"Q1 - k2"f
dt
gdzie:
A 1 2hn
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
12
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Opuszczając znaki "
Q1
h
dh
T + h = k1Q1 - k2 f
f
dt
W przypadku, kiedy f0=const (f=0)
dh
T + h = k1Q1
dt
dt
kiedy Q10=const (Q1=0)
dh
T + h = -k2 f
dt
A 1 2hn
gdzie:
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
13
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
dh
T + h = k1Q1 - k2 f
dt
h(s) k1
dh
f0=const (f=0)
G1(s) = =
T + h = k1Q1
Q1(s) Ts +1
dt
dh
h(s) - k2
Q10=const (Q1=0)
T + h = -k2 f G2(s) = =
f (s) Ts +1
dt
Q1
h
�ł łł
h(s) h(s) k1 - k2
�ł łł
�łQ (s) f (s)śł = �łTs +1 Ts +1śł
f
�ł �ł
�ł 1 �ł
14
Elementy inercyjne  przykłady
u=Q1
A
R
Q1
u=u1 y=u
1 1
2
U1 C U2
y=Q2
h
2
f
Q2
Czwórnik RC
2
u
u
Zbiornik z wypływem swobodnym
Zbiornik z wypływem swobodnym
f1
f2
y=pk
u1=p1
u2=p2
u3=f1
p2
pk
p1
u4=f2
y
Kaskada pneumatyczna
Tłumik hydrauliczny
15
Elementy całkujące
Równanie różniczkowe:
dy
= ku
dt
po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych:
t
y = k
y = k
+"udt
+"udt
0
y(s) k
Transmitancja:
G(s) = =
u(s) s
gdy sygnały jednoimienne:
y(s) 1
G(s) = =
u(s) Ts
16
Elementy całkujące
Charakterystyka statyczna
u = 0
we współrzędnych odchyłek a) i wartości absolutnych b)
a) b)
y y0
u
un u0
0
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = L-1[ y(s)] = kustt
17
Elementy całkujące
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
k k
y(s) = u(s) = ust
s
s2
y(t) = L-1[ y(s)] = kustt
kiedy wejście i wyjście
dy
T = u
są sygnałami jednoimiennymi, to k = 1/T
dt
gdzie T jest stałą czasową akcji całkującej
y(s) 1
G(s) = =
G(s) = =
 stałą całkowania
 stałą całkowania
u(s) Ts
y(t) y(t)
a) b)
u y u y
ust ust
u(t) u(t)
arctg kust
t t
T
18
Elementy całkujące
Przykład
y
u
Założenia:
a) stałe pz i ps
b) zerowe obciążenie siłownika
pz
c) stała prędkość v przepływu
A
medium przez rozdzielacz
ps
dy
dy
Stan dynamiczny:
Q = A
dt
Q = ubv
z równania ciągłości: gdzie ub  przekrój szczeliny
dy
otrzymujemy: gdzie
T = A/ bv
T = u
dt
y(s) 1
G(s) = =
u(s) Ts
19
Elementy całkujące - przykłady
y
u
pz
A
ps
A
Q1
Zespół siłownik - rozdzielacz
hydrauliczny
1 1
y=h u=Q2
h
Q2
Zbiornik z wymuszonym
poborem cieczy
20
Elementy różniczkujące
Równanie różniczkowe
du
y = k
dt
y
k  współczynnik definiowany jako
k =
du
dt
y(s)
Transmitancja
G(s) = = ks
u(s)
Charakterystyka statyczna
a) b)
y y0
yn
we współrzędnych:
u
a) odchyłek
u0
0
b) wartości absolutnych
21
Elementy różniczkujące
du
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y = k
dt
1
y(s) = ksu(s) u(s) = ust
y(s) = ku
st
s
y
y(t) = L-1[ y(s)] = kust� (t)
0 dla t < 0
ńł
"
�ł" dla t = 0
y(t) =
�ł
�ł
t
t
�ł
�ł0 dla t > 0
ół
0
Kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi zapisujemy:
y(s)
G(s) = = Ts
u(s)
gdzie: T jest stałą czasową akcji różniczkującej (stała różniczkowania)
22
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Równanie różniczkowe
dy du
T + y = k
dt dt
Transmitancja
y(s) ks
G(s) = =
u(s) Ts +1
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności akcji różniczkującej
T  stała czasowa części inercyjnej
Dla sygnałów jednoimiennych u i y:
y(s) Ts
G(s) = =
u(s) Ts +1
Charakterystyka statyczna
jak dla elementów różniczkujących idealnych
23
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
ks kust k 1
y(s) = u(s) = = ust
1
Ts +1 Ts +1 T
s +
T
�ł �ł
1
k
�ł
L-1�ł �ł = e-at
�ł
y(t) = L-1[ y(s)] = uste-t T
(s + a)
�ł łł
T
dla sygnałów jednoimiennych:
y(t) = uste-t T
y
ust u(t)
y(t)
0 T t
24
Elementy różniczkujące - rzeczywiste
C
u=u1 y=u2
U1 U2
R
y
Czwórnik RC
R
U
u=u1 U1 U2
y=u2
L
Tłumik hydrauliczny
ze sprężyną
Czwórnik RL
25
Zależność transmitancja od we-wy
u
dy
du dy
�ł
A = ą"p
A�ł - = ą"p
�ł �ł
dt
dt dt
�ł łł
(u - y)Cs = "pA
yCs = "pA
y
A2 dy
+ y = u A2 dy A2 du
+ y =
ąCs dt
ąCs dt ąCs dt
s s
y
U
y
T
ust
ust u(t)
y(t)
t
0 T t
26
Elementy oscylacyjne
2
Równanie różniczkowe
d y dy
T22 < 4T12
T12 + T2 + y = ku
dt
dt2
Transmitancja:
y(s) k
G(s) = =
u(s)
T12s2 + T2 s +1
2
d y T2 dy 1 k
+ + y = u
dt2 T12 dt T12 T12
2
d y dy
Równanie różniczkowe
2 2
2
+ 2ś�0 + �0 y = k�0u
ś < 1
dt
dt2
2
y(s) k�0
Transmitancja :
G(s) = =
2
u(s)
s2 + 2ś�0s + �0
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności
 pulsacja oscylacji własnych
�0 = 1/T1
 zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
ś = T2 / 2T1
27
Elementy oscylacyjne
Charakterystyka statyczna
a)
y
we współrzędnych:
a) odchyłek
y = ku
u
b)
y0
b) wartości absolutnych
y0 = ku0 + C
c
u0
0
28
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
�ł łł �ł łł
�ł M (s) łł k 1
y(t) = L-1�ł = kust L-1�ł 2
śłust śł
śłust = L-1�ł
2
�łsN(s)�ł
�łs(T s2 + T2s +1)�ł �łs(T s2 + T2s +1)�ł
1 1
pierwiastki wielomianu N(s):
2
�ł łł
-T2 ą T22 - 4T12 �ł �ł
1 T2 T2
2 2 1
2 2
�ł
�ł
s1,2 = = - m �ł �ł -1śł
s1,2 = = - m �ł �ł -1śł
�ł �ł
T1 2T1 �ł 2T1 �ł
2T12 �ł śł
�ł łł
�ł �ł
lub:
1 T2
2
�0 = ś =
s1,2 = -�0(ś m ś -1)
lub to
T1 2T1
odpowiedz
jest oscylacyjna gdy:
2
ś <1
T22 < 4T12 lub
29
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
zapisując
2
�ł
�ł �ł
1 T2 T2 łł
�ł śł
s1,2 = - m j 1- �ł �ł
�ł �ł
T1 2T1 2T1
�ł śł
�ł łł
�ł �ł
lub
2
s1,2 = -�0(ś m j 1-ś )
otrzymujemy
�ł łł
�ł łł
1 1
1 1
y(t) = kust �ł1+ es1t + es2t śł
T12s1(s1 - s2) T12s2(s2 - s1)
�ł �ł
Stosując wzory Eulera eu+ jv = eu (cos v + j sin v) można uzyskać:
�ł łł
e-ś�0t
2
y(t) = kust �ł1- es1t sin(�0 1-ś t +�)śł
2
1-ś
�ł śł
�ł �ł
2
gdzie:
1-ś
� = arctg = arccosś
ś
30
Elementy oscylacyjne
;
0 )# � )# 1 k>1
1- �2
2Ą
Tosc = ; tg� =
�
�0 1- �2
� = �2 + ą2 ;
�o = �2 + ą2 ;
� = ą / �o
1 A
1
ą = ln ,
T A
osc 2
31
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
składowa stała:
kust
okres gasnącej sinusoidy:
T a" T1
2Ą
2
�0 1-ś
dla ś = 0 (T2 = 0) występują drgania zachowawcze (nie tłumione)
o pulsacji �0, wtedy:
y(t) = kust[1- sin(�0t + 90o)]
y(t) = kust[1- cos�0t]
32
Elementy oscylacyjne
2Ą
�0 1- �2
0)#�)#1
� = 0
� e"1
2Ą
�0
33
Elementy oscylacyjne
T a" T1
-T2 ą T22 - 4T12
s1,2 =
T22 = 4T12
2T12
2
2
s1,2 = -�0(ś m ś -1)
ś =1
34
Elementy oscylacyjne
Przykład
F
siła F  sygnał wejściowy
przesunięcie y  sygnał wyjściowy
W stanie ustalonym:
F0 + mg = cs y0
ct
1 1
y = F y0 = (F0 + mg)
cs cs
a) b)
y y0
m
y
arctg 1/cs
arctg 1/cs
cs
F
- mg
F0
0
35
Elementy oscylacyjne
Przykład
F
równanie równowagi
2
d y dy
F = m + ct + cs y
dt
dt2
jeżeli:
ct
m ct 1
T1 =
T2 = k =
cs
cs
cs cs
cs cs
2
to:
d y dy
m
T12 + T2 + y = kF
dt
dt2
y
stąd transmitancja:
cs
y(s) k
G(s) = =
F(s)
T12s2 + T2 s +1
36
Elementy oscylacyjne
L
R
u=p
f)
p
A
U2
U1
C
c
c
B
Czwórnik RLC
di
di
u1 = Ri + L + u2
dt y m
t
du2
1
i = C
u2 =
+"idt
dt
C
-"
2
2
m d y B dy A
du2 d u2
+ + y = p
u1 = RC + LC + u2
c dt2 c dt c
dt dt2
2
d u2 du2
LC + RC + u2 = u1
dt2 dt
2
d u2 du2
T12 + T2 + u2 = u1
dt2 dt
37
Elementy opóz
niające
Równanie elementu opóz
niającego:
y(t) = u(t -� )
y(s)
G(s) = = e-�s
Skąd wynika transmitancja:
u(s)
Charakterystyka statyczna
lub
lub
y = u
y = u
y0 = u0
y0 = u0
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
y(t)
38
Elementy opóz
niające
Przykład 1. Podajnik taśmowy
l
Opóz
nienie: gdzie: l  odległość [m]
� =
v
v  prędkość taśmy [m/s]
u
Transmitancja
y(s)
G(s) = = e-�s
u(s)
39
Elementy opóz
niające
Schemat elementu podano na rysunku poniżej. Sygnałem wejściowym
jest stężenie substancji ł w przekroju A, sygnałem wyjściowym 
stężenie substancji w przekroju B rurociągu.
l
l
Przy założeniu, że następuje dokładne wymieszanie substancji i w
danym przekroju jej stężenie jest jednakowe, otrzymamy:
CB (s)
G(s) = = e-�s
CA (s)
gdzie: CA  stężenie substancji ł w przekroju A,
CB  stężenie substancji ł w przekroju B,
�=l/v  opóz
nienie