Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 3
Podstawowe elementy liniowe
Założenia
Wiele elementów automatyki można traktować jako liniowe, jeżeli:
Wiele elementów automatyki można traktować jako liniowe, jeżeli:
" " ograniczy siÄ™ zakres ich pracy
ograniczy siÄ™ zakres ich pracy
" " przyjmie następujące założenia upraszczające:
przyjmie następujące założenia upraszczające:
Elementy mechaniczne:
Elementy mechaniczne:
" " wysttępuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche
wys ępuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche
--siiła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
sła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
" " szttywności elementów sprężystych są
sz ywności elementów sprężystych sąstałe
stałe
Elementy płynowe:
Elementy płynowe:
" " opór przepływu jest stały
opór przepływu jest stały
--natężenie przepływu jest proporcjonalne do różnicy ciśnień
natężenie przepływu jest proporcjonalne do różnicy ciśnień
" " współczynnik ściśliwości płynu jest stały
współczynnik ściśliwości płynu jest stały
Elementy elektryczne:
Elementy elektryczne:
" " rezystancje, indukcyjności i pojemności sąstałe i niezależne od
rezystancje, indukcyjności i pojemności są
stałe i niezależne od
przepływającego prądu i napięcia
przepływającego prądu i napięcia
Podział elementów liniowych
Ze względu na własności dynamiczne:
Ze względu na własności dynamiczne:
" " bezinercyjne (proporcjonalne)
bezinercyjne (proporcjonalne)
" " inercyjne
inercyjne
" " całkujące
całkujące
" " rróżniczkujące
óżniczkujące
" " oscylacyjne
oscylacyjne
" " opóz
niajÄ…ce
opóz
niajÄ…ce
Elementy charakteryzujÄ…:
Elementy charakteryzujÄ…:
Właściwości statyczne: charakterystyka statyczna y = f(u)
Właściwości statyczne: charakterystyka statyczna y = f(u)
Właściwości dynamiczne: równanie różniczkowe
Właściwości dynamiczne: równanie różniczkowe
transmitancja operatorowa
transmitancja operatorowa
odpowiedz
na zakłócenie skokowe
odpowiedz
na zakłócenie skokowe
Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)
Równanie różniczkowe (równe charakterystyce statycznej y=ku)
Równanie różniczkowe (równe charakterystyce statycznej y=ku)
y(t) = ku(t)
y(t) = ku(t)
y  wiiellkość wyjściowa
y  w e kość wyjściowa
u  wiiellkość wejściowa
u  w e kość wejściowa
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
Transmitancja
Transmitancja
y(s)
G(s) = = k
u(s)
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe u(t)=1(t)ust
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe u(t)=1(t)ust
y(t)=
y(t)=1(t)kust
1(t)kust
Elementy bezinercyjne  przykłady
a) b)
c)
u R1
u
y
u1
R2 u2
a b
a b
Fu Fy
Fu
Fy
y
x
d)
e)
?2
z1
r
a, b) dz
wignia
n1
n2
c) dzielnik napięcia
d) przekładnia cierna
z2
?
1
e) przekładnia zębata
g)
f)
p
A
f) siłownik
pneumatyczny
x
?
g) mechanizm
y
c krzywkowy
y
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
dy
T + y = ku
dt
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
T  sttała czasowa
T  s ała czasowa
Transmitancja
Transmitancja
y(s) k
G(s) = =
u(s) Ts +1
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = kust (1- e-t T )
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
1
u(s) = ust
s
k k 1
y(s) = ust = ust
1
s(Ts +1) T
s(s + )
T
k
y(t) = L-1[y(s)] = ustT (1- e-t T )
T
y
T T
y(t) = kust (1- e-t T )
kust
0,632kust
t
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Warunek stanu ustalonego
Przykład Warunek stanu ustalonego
A
Q10 = Q20
Q1
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego
1 1
v12 p1 v22 p2
+ + h = + + 0
2g Å‚ 2g Å‚
h
2
f
zakładając v1=0 orraz p1=p2
zakładając v1=0 o az p1=p2
Q2
v2 = 2gh
2
Wejścia z równania ciągłości
Wejścia z równania ciągłości
Q1  nattężenie przepływu cieczy
Q1  na ężenie przepływu cieczy Q2 = f 2gh
ff  powierzchnia przekroju zaworu otrzymujemy
 powierzchnia przekroju zaworu otrzymujemy
Q102
Wyjście
Wyjście
h0 =
2gf02
h  poziom cieczy w zbiorniku
h  poziom cieczy w zbiorniku
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Charakterystyka statyczna
Przykład Charakterystyka statyczna
A
Q102
Q1
h0 =
2gf02
1 1
h0
h
2 hn f0=const
f
Q2
Q1n Q10
2
Wejścia
Wejścia
h0
Q1  nattężenie przepływu cieczy
Q1  na ężenie przepływu cieczy
Q10=const
hn
ff  powierzchnia przekroju zaworu
 powierzchnia przekroju zaworu
Wyjście
Wyjście
fn
f0
h  poziom cieczy w zbiorniku
h  poziom cieczy w zbiorniku
1
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
W stanie nieustalonym
W stanie nieustalonym
dh
A = Q1 - Q2
dt
linearyzacja dla punktu pracy hn, Q1n, fn
linearyzacja dla punktu pracy hn, Q1n, fn
d"h
A = "Q1 - "Q2
dt
Przyrost "Q2 zastępujemy różniczką
Przyrost "Q2 zastępujemy różniczkązupełną
zupełną
ëÅ‚ "Q2 öÅ‚ "Q2 g
ëÅ‚ öÅ‚
"Q2 = "f + "h = 2ghn"f + fn "h
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"f "h 2hn
íÅ‚ Å‚Å‚n
íÅ‚ Å‚Å‚n
otrzymujemy
otrzymujemy
d"h
T + "h = k1"Q1 - k2"f
dt
gdzie:
gdzie:
A 1 2hn
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
1
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
OpuszczajÄ…c znaki "
OpuszczajÄ…c znaki "
dh
T + h = k1Q1 - k2"f
dt
W przypadku, kiedy f0=const (f=0)
W przypadku, kiedy f0=const (f=0)
dh
T + h = k1Q1
dt
kiedy Q10=const (Q1=0)
kiedy Q10=const (Q1=0)
dh
T + h = -k2"f
dt
gdzie:
gdzie:
A 1 2hn
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
1
Elementy całkujące
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
dy
= ku
dt
po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych
po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych
t
y = k
+"udt
0
Transmitancja
Transmitancja
y(s) k
G(s) = =
u(s) s
1
Elementy całkujące
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
u = 0
we współrzędnych odchyłek a) i wartości absolutnych b)
we współrzędnych odchyłek a) i wartości absolutnych b)
a) b)
y y0
u
un u0
0
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = L-1[y(s)] = kustt
1
Elementy całkujące
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
k k
y(s) = u(s) = ust
s
s2
y(t) = L-1[y(s)] = kustt
kiedy wejście i wyjście
kiedy wejście i wyjście
dy
T = u
są sygnałami jednoimiennymi, to k = 1/T
są sygnałami jednoimiennymi, to k = 1/T
dt
gdzie T jest stałą
gdzie T jest stałączasową akcji całkującej
czasowąakcji całkującej
y(s) 1
G(s) = =
 sttałą
 s ałącałkowania
całkowania
u(s) Ts
y(t) y(t)
a) b)
u y u y
ust ust
u(t) u(t)
arctg kust
t t
T
1
Elementy całkujące
Przykład
Przykład
y
u
Założenia:
Założenia:
a) stałe pz i ps
a) stałe pz i ps
b) zerowe obciążenie siłownika
b) zerowe obciążenie siłownika
pz
c) stały przepływ medium przez
c) stały przepływ medium przez
A
rozdzielacz
ps
rozdzielacz
dy
Stan dynamiczny:
Q = A
Stan dynamiczny:
dt
z równania ciągłości: gdzie ub  przekrój szczeliny
Q = ubv
z równania ciągłości: gdzie ub  przekrój szczeliny
dy
T = A/ bv
otrzymujemy: gdzie
T = u
otrzymujemy: gdzie
dt
y(s) 1
G(s) = =
u(s) Ts
1
Elementy różniczkujące
Równanie różniczkowe du
Równanie różniczkowe
y = k
dt
y
k  współczynnik definiowany jako k =
k  współczynnik definiowany jako
du
dt
y(s)
Transmitancja
Transmitancja
G(s) = = ks
u(s)
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
a) b)
y y0
yn
we współrzędnych:
we współrzędnych:
u
a) odchyłek
a) odchyłek
u0
0
b) wartości absolutnych
b) wartości absolutnych
1
Elementy różniczkujące
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
1
u(s) = ust Ò! y(s) = ksu(s) = kust
s
y(t) = L-1[y(s)] = kust´ (t)
0 dla t < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
y(t) =
òÅ‚" dla t = 0
ôÅ‚0 dla t > 0
ół
Kiedy wejście i wyjście są
Kiedy wejście i wyjście sąsygnałami jednoimiennymi zapisujemy:
sygnałami jednoimiennymi zapisujemy:
y(s)
G(s) = = Ts
u(s)
gdzie: T jest stałą czasową akcji różniczkującej (stała różniczkowania)
gdzie: T jest stałą czasową akcji różniczkującej (stała różniczkowania)
1
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
dy du
T + y = k
dt dt
Transmitancja
Transmitancja
y(s) ks
G(s) = =
u(s) Ts +1
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności akcji różniczkującej
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności akcji różniczkującej
T  stała czasowa części inercyjnej
T  stała czasowa części inercyjnej
Dla sygnałów jednoimiennych u i y:
Dla sygnałów jednoimiennych u i y:
y(s) Ts
G(s) = =
u(s) Ts +1
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
jak dla elementów różniczkujących idealnych
jak dla elementów różniczkujących idealnych
1
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
ks kust k 1
y(s) = u(s) = = ust
1
Ts +1 Ts +1 T
s +
T
k
y(t) = L-1[y(s)] = uste-t T
T
dla sygnałów jednoimiennych:
dla sygnałów jednoimiennych:
y(t) = uste-t T
y
kust u(t)
y(t)
0
T t
2
Elementy oscylacyjne
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
2
d y dy
T12 + T2 + y = ku T22 < 4T12
dt
dt2
Transmitancja:
Transmitancja:
y(s) k
G(s) = =
u(s)
T12s2 + T2 s +1
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
2
d y dy
2
2 2
Å› <1
+ 2Å›É0 + É0 y = kÉ0u
dt
dt2
Transmitancja :
Transmitancja :
2
y(s) kÉ0
G(s) = =
2
u(s)
s2 + 2Å›É0s + É0
gdzie:  współczynnik proporcjonalności
gdzie:k  współczynnik proporcjonalności
k
É0 =1/T1  pulsacja oscylacji wÅ‚asnych
 pulsacja oscylacji własnych
ś = T2 / 2T1  zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
 zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
2
Elementy oscylacyjne
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
a)
y
we współrzędnych:
we współrzędnych:
a) odchyłek
a) odchyłek
y = ku
u
b)
y0
b) wartości absolutnych
b) wartości absolutnych
y0 = ku0 + C
c
u0
0
2
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ M (s) Å‚Å‚ k 1
y(t) = L-1ïÅ‚ ust = L-1ïÅ‚ 2 ust = kustL-1ïÅ‚ 2
ðÅ‚sN(s)śł
ûÅ‚
ðÅ‚s(T s2 + T2s +1)śł ðÅ‚s(T s2 + T2s +1)śł
ûÅ‚ ûÅ‚
1 1
pierwiastki wielomianu N(s):
pierwiastki wielomianu N(s):
2
îÅ‚ Å‚Å‚
-T2 Ä… T22 - 4T12 ëÅ‚ öÅ‚
1 T2 T2
ïÅ‚ śł
s1,2 = = - m ìÅ‚ ÷Å‚ -1
T1 2T1 ìÅ‚ 2T1 ÷Å‚
2T12 ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
lub:
lub:
1 T2
2
É0 = Å› =
s1,2 = -É0(Å› m Å› -1)
lub to
T1 lub 2T1 to
odpowiedz
jest oscylacyjna gdy:
odpowiedz
jest oscylacyjna gdy:
Å› < 1
T22 < 4T12 lub 2
lub
2
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
zapisujÄ…c 2
zapisujÄ…c
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 T2 T2 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s1,2 = - m j 1- ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
T1 2T1 2T1
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
lub
lub
2
s1,2 = -É0(Å› m j 1-Å› )
otrzymujemy
otrzymujemy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
y(t) = kust ïÅ‚1+ es1t + es2t śł
T12s1(s1 - s2) T12s2(s2 - s1)
ðÅ‚ ûÅ‚
Stosując wzory Eulera można uzyskać:
Stosując wzory Eulera można uzyskać:
îÅ‚ Å‚Å‚
e-Å›É0t
2
y(t) = kust ïÅ‚1- es1t sin(É0 1-Å› t +Õ)śł
2
1-Å›
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
1-Å›
Õ = arctg = arccosÅ›
gdzie:
gdzie:
Å›
2
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
składowa stała:
kust
składowa stała:
okres gasnÄ…cej sinusoidy:
y
okres gasnÄ…cej sinusoidy:
2Ä„
kust
T =
2
É0 1-Å›
TT
0 t
dla ś = 0 (T2 = 0) występują drgania zachowawcze (nie tłumione)
dla ś = 0 (T2 = 0) występują drgania zachowawcze (nie tłumione)
o pulsacji É0, wtedy:
o pulsacji É0, wtedy:
y(t) = kust[1- sin(É0t + 90o)]
y(t) = kust[1- cosÉ0t]
2
Elementy oscylacyjne
Przykład
Przykład
F
siła F  sygnał wejściowy
siła F  sygnał wejściowy
przesunięcie y  sygnał wyjściowy
przesunięcie y  sygnał wyjściowy
F0 + mg = cs y0
ct
W stanie ustalonym:
W stanie ustalonym:
1 1
y = F y0 = (F0 + mg)
cs cs
a) b)
y y0
m
y
arctg 1/cs
arctg 1/cs
cs
F
- mg
F0
0
2
Elementy oscylacyjne
Przykład
Przykład
F
równanie równowagi
równanie równowagi
2
d y dy
F = m + ct + cs y
dt
dt2
ct
jeżeli:
jeżeli:
m ct 1
T1 = T2 = k =
cs
cs cs
2
to:
to:
d y dy
m
T12 + T2 + y = kF
dt
dt2
y
stÄ…d transmitancja:
stÄ…d transmitancja:
cs
y(s) k
G(s) = =
F(s)
T12s2 + T2 s +1
2
Elementy opóz
niajÄ…ce
Równanie elementu opóz
niajÄ…cego: y(t) = u(t -Ä )
Równanie elementu opóz
niajÄ…cego:
y(s)
G(s) = = e-Äs
SkÄ…d wynika transmitancja:
SkÄ…d wynika transmitancja:
u(s)
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna
y = u
lub y0 = u0
lub
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
2
Elementy opóz
niajÄ…ce
Przykład 1. Podajnik taśmowy
Przykład 1. Podajnik taśmowy
l
Opóz
nienie: gdzie: ll  odległość [m]
Opóz
nienie: gdzie:  odległość [m]
Ä =
v
v  prrędkość taśmy [m/s]
v  p ędkość taśmy [m/s]
x
y
v
l
Transmitancja
Transmitancja
y(s)
-Äs
G(s) = = e
x(s)