Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 3
Podstawowe elementy liniowe
2
Założenia
Wiele elementów automatyki można traktować jako liniowe, jeżeli:
" ograniczy siÄ™ zakres ich pracy
" przyjmie następujące założenia upraszczające:
Elementy mechaniczne:
" występuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche
- siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
- siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości
" sztywności elementów sprężystych są stałe
Elementy płynowe:
" opór przepływu jest stały
- natężenie przepływu jest proporcjonalne do różnicy ciśnień
" współczynnik ściśliwości płynu jest stały
Elementy elektryczne:
" rezystancje, indukcyjności i pojemności są stałe i niezależne od
przepływającego prądu i napięcia
3
Podział elementów liniowych
Ze względu na własności dynamiczne:
" bezinercyjne (proporcjonalne)
" inercyjne
" całkujące
" różniczkujące (idealne i rzeczywiste)
" oscylacyjne
" opóz
niajÄ…ce
Elementy charakteryzujÄ…:
Właściwości statyczne: charakterystyka statyczna y = f(u)
Właściwości dynamiczne: równanie różniczkowe
transmitancja operatorowa
odpowiedz
na zakłócenie skokowe
charakterystyki częstotliwościowe
4
Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)
Równanie różniczkowe (równe charakterystyce statycznej y=ku)
y(t) = ku(t)
y  wielkość wyjściowa
u  wielkość wejściowa
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
Transmitancja
Transmitancja
y(s)
y(s)
G(s) = = k
u(s)
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
u(t) = 1(t)ust
y (t)
kust
y(t) =1(t)kust
ust
u(t)
5
Elementy bezinercyjne  przykłady
a) b)
c)
u R1
u
y
u1
R2 u2
a b
a b
Fu Fy
Fu
Fy
y
x
d)
e)
?2
z1
r
a, b) dz
wignia
n1
1
n2
c) dzielnik napięcia
d) przekładnia cierna
z2
?
1
e) przekładnia zębata
g)
f)
p
A
f) siłownik
pneumatyczny
x
?
g) mechanizm
y
krzywkowy
c
y
6
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Równanie różniczkowe
dy
T + y = ku
dt
k  współczynnik proporcjonalności (wzmocnienie)
T  stała czasowa
Transmitancja
Transmitancja
y(s) k
G(s) = =
u(s) Ts +1
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = kust (1- e-t T )
7
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
1
u(s) = ust
s
k k 1
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
y(s) = ust = ust
ìÅ‚
L-1ìÅ‚ ÷Å‚ = (1- e-at )
÷Å‚
1
s(Ts +1) T
s(s + a) a
íÅ‚ Å‚Å‚
s(s + )
T
k
y(t) = L [ y(s)] = ustT (1- e )
y(t) = L-1[ y(s)] = ustT (1- e-t T )
T
T
y
T T
y(t) = kust (1- e-t T )
kust
0,632kust
t
8
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Warunek stanu ustalonego
Q1
A
h
Q10 = Q20
Q1
f
Z równania Bernoulliego
1 1
v12 p1 v22 p2
+ + h = + + 0
2g Å‚ 2g Å‚
h
2
f
zakładając v1=0 oraz p1=p2
Q2
1 1 2
2
otrzymujemy:
2
v2 = 2gh
Wejścia
Z równania ciągłości:
Q1  natężenie przepływu cieczy
Q2 = fv2 = f 2gh
f  powierzchnia przekroju zaworu
Otrzymujemy:
Wyjście
Q102
h0 =
2gf02
h  poziom cieczy w zbiorniku
9
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
Przykład Charakterystyka statyczna
A
Q102
Q1
h0 =
2gf02
1 1
h0
h
2 hn f0=const
f
Q2
Q2
Q1n Q10
2
Wejścia
h0
Q1  natężenie przepływu cieczy
f  powierzchnia przekroju zaworu Q10=const
hn
Wyjście
fn
f0
h  poziom cieczy w zbiorniku
10
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
W stanie nieustalonym
dh
A = Q1 - Q2
dt
d"h
linearyzacja dla punktu pracy hn, Q1n, fn
A = "Q1 - "Q2
dt
Q2 = f 2gh
Przyrost "Q2 zastępujemy różniczką zupełną
ëÅ‚ "Q öÅ‚ "Q g
ëÅ‚ "Q2 öÅ‚ "Q2 g
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
"Q2 = ìÅ‚ ÷Å‚ "f + "h = 2ghn"f + fn "h
ìÅ‚ ÷Å‚
"f "h 2hn
íÅ‚ Å‚Å‚n
íÅ‚ Å‚Å‚n
otrzymujemy
d"h
T + "h = k1"Q1 - k2"f
dt
gdzie:
A 1 2hn
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
11
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
OpuszczajÄ…c znaki "
dh Q1
h
T + h = k1Q1 - k2"f
f
dt
W przypadku, kiedy f0=const (f=0)
dh
T + h = k1Q1
dt
dt
kiedy Q10=const (Q1=0)
dh
T + h = -k2"f
dt
A 1 2hn
gdzie:
T = k1 = k2 =
g g fn
fn fn
2hn 2hn
12
Elementy inercyjne  przykłady
u=Q1
A
R
Q1
u=u1 y=u
1 1
2
U1 C U2
y=Q2
h
2
f
Q2
Czwórnik RC
2
u
u
Zbiornik z wypływem swobodnym
Zbiornik z wypływem swobodnym
f1
f2
y=pk
u1=p1
u2=p2
u3=f1
p2
pk
p1
u4=f2
y
Kaskada pneumatyczna
TÅ‚umik hydrauliczny
13
Elementy całkujące
Równanie różniczkowe:
dy
= ku
dt
po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych:
t
y = k
y = k
+"udt
+"udt
0
Transmitancja:
y(s) k
G(s) = =
u(s) s
14
Elementy całkujące
Charakterystyka statyczna
u = 0
we współrzędnych odchyłek a) i wartości absolutnych b)
a) b)
y y0
u
un u0
0
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y(t) = L-1[ y(s)] = kustt
15
Elementy całkujące
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
k k
y(s) = u(s) = ust
s
s2
y(t) = L-1[y(s)] = kustt
kiedy wejście i wyjście
dy
T = u
są sygnałami jednoimiennymi, to k = 1/T
dt
gdzie T jest stałą czasową akcji całkującej
y(s) 1
G(s) = =
G(s) = =
 stałą całkowania
 stałą całkowania
u(s) Ts
y(t) y(t)
a) b)
u y u y
ust ust
u(t) u(t)
arctg ku
st
t t
T
16
Elementy całkujące
Przykład
y
u
Założenia:
a) stałe pz i ps
b) zerowe obciążenie siłownika
pz
c) stały przepływ v medium przez
A
rozdzielacz
ps
dy
dy
Stan dynamiczny:
Q = A
dt
z równania ciągłości: gdzie ub  przekrój szczeliny
Q = ubv
dy
otrzymujemy: gdzie
T = A/ bv
T = u
dt
y(s) 1
G(s) = =
u(s) Ts
17
Elementy całkujące - przykłady
y
u
pz
A
ps
A
Q1
Zespół siłownik - rozdzielacz
hydrauliczny
1 1
y=h u=Q2
h
Q2
Zbiornik z wymuszonym
poborem cieczy
18
Elementy różniczkujące
Równanie różniczkowe
du
y = k
dt
y
k  współczynnik definiowany jako
k =
du
dt
y(s)
Transmitancja
G(s) = = ks
u(s)
Charakterystyka statyczna
a) b)
y y0
yn
we współrzędnych:
u
a) odchyłek
u0
0
b) wartości absolutnych
19
Elementy różniczkujące
du
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
y = k
dt
1
y(s) = ksu(s) u(s) = ust u(s) = ku
st
s
y
y(t) = L-1[y(s)] = kust´ (t)
0 dla t < 0
Å„Å‚
"
ôÅ‚
y(t) = dla t = 0
òÅ‚
òÅ‚"
t
t
ôÅ‚
ôÅ‚0 dla t > 0
ół
0
Kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi zapisujemy:
y(s)
G(s) = = Ts
u(s)
gdzie: T jest stałą czasową akcji różniczkującej (stała różniczkowania)
20
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Równanie różniczkowe
dy du
T + y = k
dt dt
Transmitancja
y(s) ks
G(s) = =
u(s) Ts +1
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności akcji różniczkującej
T  stała czasowa części inercyjnej
Dla sygnałów jednoimiennych u i y:
y(s) Ts
G(s) = =
u(s) Ts +1
Charakterystyka statyczna
jak dla elementów różniczkujących idealnych
21
Elementy różniczkujące rzeczywiste
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
ks kust k 1
y(s) = u(s) = = ust
1
Ts +1 Ts +1 T
s +
T
ëÅ‚ öÅ‚
1
k
ìÅ‚
L-1ìÅ‚ ÷Å‚ = e-at
÷Å‚
y(t) = L-1[y(s)] = uste-t T
(s + a)
íÅ‚ Å‚Å‚
T
dla sygnałów jednoimiennych:
y(t) = uste-t T
y
kust u(t)
y(t)
0
T t
22
Elementy różniczkujące - rzeczywiste
C
u=u1 y=u2
U1 U2
R
y
Czwórnik RC
R
U
u=u1 U1 U2
y=u2
L
TÅ‚umik hydrauliczny
ze sprężyną
Czwórnik RL
23
Zależność transmitancja od we-wy
u
dy
du dy
öÅ‚
A = Ä…"p
AëÅ‚ - = Ä…"p
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
(u - y)Cs = "pA
yCs = "pA
y
A2 dy
+ y = u A2 dy A2 du
+ y =
Ä…Cs dt
Ä…Cs dt Ä…Cs dt
s s
y
U
24
Elementy oscylacyjne
2
Równanie różniczkowe
d y dy
T22 < 4T12
T12 + T2 + y = ku
dt
dt2
Transmitancja:
y(s) k
G(s) = =
u(s)
T12s2 + T2 s +1
2
d y T2 dy 1 k
+ + y = u
dt2 T12 dt T12 T12
2
d y dy
Równanie różniczkowe
2 2
2
+ 2Å›É0 + É0 y = kÉ0u
Å› < 1
dt
dt2
2
y(s) kÉ0
Transmitancja :
G(s) = =
2
u(s)
s2 + 2Å›É0s + É0
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności
 pulsacja oscylacji własnych
É0 = 1/T1
 zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
Å› = T2 / 2T1
25
Elementy oscylacyjne
Charakterystyka statyczna
a)
y
we współrzędnych:
a) odchyłek
y = ku
u
b)
y0
b) wartości absolutnych
y0 = ku0 + C
c
u0
0
26
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ M (s) Å‚Å‚ k 1
y(t) = L-1ïÅ‚ = kust L-1ïÅ‚ 2
śłust śł
śłust = L-1ïÅ‚
2
ðÅ‚sN(s)ûÅ‚
ðÅ‚s(T s2 + T2s +1)ûÅ‚ ðÅ‚s(T s2 + T2s +1)ûÅ‚
1 1
pierwiastki wielomianu N(s):
2
îÅ‚ Å‚Å‚
-T2 Ä… T22 - 4T12 ëÅ‚ öÅ‚
1 T2 T2
2 2 1
2 2
ïÅ‚
ïÅ‚
s1,2 = = - m ìÅ‚ ÷Å‚ -1śł
s1,2 = = - m ìÅ‚ ÷Å‚ -1śł
ìÅ‚ ÷Å‚
T1 2T1 ìÅ‚ 2T1 ÷Å‚
2T12 ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
lub:
1 T2
2
É0 = Å› =
s1,2 = -É0(Å› m Å› -1)
lub to
T1 2T1
odpowiedz
jest oscylacyjna gdy:
2
lub
Å› <1
T22 < 4T12
27
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
zapisujÄ…c
2
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 T2 T2 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s1,2 = - m j 1- ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
T1 2T1 2T1
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
lub
2
s1,2 = -É0(Å› m j 1-Å› )
otrzymujemy
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
1 1
y(t) = kust ïÅ‚1+ es1t + es2t śł
T12s1(s1 - s2) T12s2(s2 - s1)
ðÅ‚ ûÅ‚
Stosując wzory Eulera eu+ jv = eu (cos v + j sin v) można uzyskać:
îÅ‚ Å‚Å‚
e-Å›É0t
2
y(t) = kust ïÅ‚1- es1t sin(É0 1-Å› t +Õ)śł
2
1-Å›
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
gdzie:
1-Å›
Õ = arctg = arccosÅ›
Å›
28
Elementy oscylacyjne
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe
składowa stała:
kust
okres gasnÄ…cej sinusoidy:
y(t)
y
2Ä„
kust
T =
2
É0 1-Å›
T T
u(t)
u(t)
0 t
dla ś = 0 (T2 = 0) występują drgania zachowawcze (nie tłumione)
o pulsacji É0, wtedy:
y(t) = kust[1- sin(É0t + 90o)]
y(t) = kust[1- cosÉ0t]
29
Elementy oscylacyjne
T a" T1
30
Elementy oscylacyjne
T a" T1
-T2 Ä… T22 - 4T12
s1,2 =
T22 = 4T12
2T12
2
2
s1,2 = -É0(Å› m Å› -1)
Å› =1
31
Elementy oscylacyjne
Przykład
F
siła F  sygnał wejściowy
przesunięcie y  sygnał wyjściowy
W stanie ustalonym:
F0 + mg = cs y0
ct
1 1
y = F y0 = (F0 + mg)
cs cs
a) b)
y y0
m
y
arctg 1/cs
arctg 1/cs
c
s
F
- mg
F0
0
32
Elementy oscylacyjne
Przykład
F
równanie równowagi
2
d y dy
F = m + ct + cs y
dt
dt2
jeżeli:
ct
m ct 1
T1 =
T2 = k =
cs
cs
cs cs
cs cs
2
to:
d y dy
m
T12 + T2 + y = kF
dt
dt2
y
stÄ…d transmitancja:
c
s
y(s) k
G(s) = =
F(s)
T12s2 + T2 s +1
33
Elementy oscylacyjne
L
R
u=p
f)
p
A
U2
U1
C
c
c
B
Czwórnik RLC
di
di
u1 = Ri + L + u2
dt y m
t
du2
1
i = C
u2 =
+"idt
dt
C
-"
2
2
m d y B dy A
du2 d u2
+ + y = p
u1 = RC + LC + u2
c dt2 c dt c
dt dt2
2
d u2 du2
LC + RC + u2 = u1
dt2 dt
2
d u2 du2
T12 + T2 + u2 = u1
dt2 dt
34
Elementy opóz
niajÄ…ce
Równanie elementu opóz
niajÄ…cego:
y(t) = u(t -Ä )
y(s)
G(s) = = e-Äs
SkÄ…d wynika transmitancja:
u(s)
Charakterystyka statyczna
lub
lub
y = u
y = u
y0 = u0
y0 = u0
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe:
y(t)
35
Elementy opóz
niajÄ…ce
Przykład 1. Podajnik taśmowy
l
Opóz
nienie: gdzie: l  odległość [m]
Ä =
v
v  prędkość taśmy [m/s]
u
Transmitancja
y(s)
G(s) = = e-Äs
u(s)
36
Elementy opóz
niajÄ…ce
Schemat elementu podano na rysunku poniżej. Sygnałem wejściowym
jest stężenie substancji ł w przekroju A, sygnałem wyjściowym 
stężenie substancji w przekroju B rurociągu.
l
l
Przy założeniu, że następuje dokładne wymieszanie substancji i w
danym przekroju jej stężenie jest jednakowe, otrzymamy:
CB (s)
G(s) = = e-Äs
CA(s)
gdzie: CA  stężenie substancji ł w przekroju A,
CB  stężenie substancji ł w przekroju B,
Ä=l/v  opóz
nienie