Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Podstawowe definicje i pojęcia
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski
Strumień zgłoszeń
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 2
Losowy proces punktowy
Tn
t
" Przykładowe realizacje procesu punktowego
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 3
Parametry procesu
" �
o intensywność napływających zgłoszeń
" Pk(t)
o prawdopodobieństwo napływu k zgłoszeń w czasie t
" f(t)
o rozkład czasu pomiędzy zgłoszeniami
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 4
Właściwości poissonowskiego procesu
napływu zgłoszeń
" Stacjonarność
o Intensywność strumienia nie zależy od czasu
o (t)=  =const.
" Bezpamięciowość (niezależność od momentów czasu)
o liczba zgłoszeń napływających w czasie t1 nie zależy od liczby
napływających zgłoszeń w czasie t2
" Pojedynczość
o w danym odcinku czasu może pojawić się tylko jedno
zgłoszenie
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 5
Brak pamięci
" Funkcja rozkłady czasu pomiędzy kolejnymi
zgłoszeniami ma charakter wykładniczy:
F(t) =� P(T <� t) =� 1-� e-�l�t
" Zakładamy, że rozkład czasu pomiędzy kolejnymi
zgłoszeniami jest równy t. Określmy zatem warunkowe
P(T >� t� T >� t)
prawdopodobieństwo że czas ten jest
mniejszy od �.
P(T >� t +�t� ) =� P(T >� t)P(T >�t� T >� t)
" Tak więc
0
t T
t+t�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 6
Właściwość braku pamięci
" Biorąc pod uwagę funkcję rozkładu, otrzymujemy
=� >� t� >�
e -�l� ( t +�t� ) e -�l� t P (T T t )
>�
" Warunkowe prawdopodobieństwo P (T >� t� T t) może
przyjąć następującą wartość:
P(T >�t� T >� t) =� e-�l�t� =� P(T >�t� )
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 7
Właściwość pojedynczości
" Rozważmy przedział czasu "t 0. Z właściwości
pojedynczości wynika, że prawdopodobieństwo
pojawienia się więcej niż jednego zgłoszenia w czasie "t
Pi >�1 (D�t) =� q� (D�t)
jest bliskie zeru:
o gdzie q�(D�t) jest nieskończenie małą wartością w porównaniu do "t
q� (D�t)
lim =� 0
D�t��0
D�t
" Prawdopodobieństwa elementarne:
P1(D� t) =� l� D� t +�q� (D� t)
P0(D� t) =� 1-� l� D� t +�q� (D� t)
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 8
Parametry strumienia Poissona
" Parametr L(t) w punkcie czasu t jest definiowany jako
współczynnik graniczny:
Prawdopodobieństwo pojawienia się przynajmniej jednego zgłoszenie w czasie D�t+ t
długość przedziału czasu D�t �� 0:
P1(t +� D� t) P1(D� t) l�D� t +�q� (D� t)
L(t) =� lim =� lim =� lim =� l�
D�t��0 D�t��0 D�t��0
D� t D� t D� t
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 9
Właściwości strumienia Poissona
" Prawdopodobieństwo pojawianie się k zgłoszeń w czasie t:
(l�t)k
Pk (t) =� e-�l�t ,
k!
k
Tn
t
" dla k=0 i k=1 otrzymujemy:
P0(t) =� e-�l�t
P1(t) =� l�te-�l�t
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 10
Właściwości strumienia Poissona
" Rozkład czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami:
f (t) =� l�e-�l�t ,
" Średnia wartość i wariancja czasu pomiędzy zgłoszeniami:
Ą�
mT =� f (t)dt =� 1/l�
��t
0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 11
Operacje na strumieniach
" Dodawanie strumieni Poissona
Stream 1
Strumień 1
Stream 2
Strumień 2
l�3 =� l�1 +� l�2.
Stream 3
Strumień 3
" Losowe przesiewanie strumieni Poissona
p p p p
Stream 1 l�2 =� pl�1.
Strumień 1
1-p 1-p 1-p 1-p
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 12
Operacje nas strumieniach
Stream 1
Strumień 1
" Dekompozycja strumienia
T1 T2 T3
Erlanga k-rzędu
Stream 2
T
l�(l�t)k -�1
f (t) =� e-�l�t ,
o rozkład czasu pomiędzy zgłoszeniami
(k -�1)!
o średnia wartość czasu
mT =� k / l�,
pomiędzy zgłoszeniami
2
s�T =� k / l�2,
o Wariancja w/w czasu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 13
Definicja procesu Markowa
" Procesem Markowa nazywamy proces losowy, którego
przyszła trajektoria procesu zależy tylko od aktualnego
stanu S(t0) w czasie t0 , ale jest niezależny od sposobu w
jaki ten stan został osiągnięty.
t < t
t > t
0 0
t
t0
past future
przeszłość przyszłość
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 14
Proces Markowa w systemie M/M/2
" Proces obsługi w systemie M/M/2 (wiązka dwukałowa)
jest procesem Markowa gdy:
o proces napływu zgłoszeń jest procesem Poissona,
o czas obsługi ma charakter wykładniczy.
States
2
1
time
0
Trajektoria procesu obsługi w systemie M/M/2
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 15
Proces obsługi
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 16
Trajektoria procesu Markowa
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 17
Wykładniczy czas obsługi
" Funkcja rozkładu:
F(t) =� P(T <� t) =� 1-� e-�m�t
" Funkcja gęstości:
dF(t)
f (t) =� =� m�e-�m�t
dt
" Wartość średnia i wariancja:
Ą�
h =� f (t)dt =�1/m�
��t
0
Ą�
2 2
s� =�
h
��t f (t)dt-�h2 =�1/m�2
0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 18
Strumień obsługi
" W czasie t występuje zajęcie k stanowisk obsługi.
Prawdopodobieństwo zakończenia obsługi i stanowisk
obsługi w przedziale czasu "t może być wyznaczone na
podstawie rozkładu Bernoulliego dla i pomyślnych
zdarzeń, gdy całkowita liczba zgłoszeń jest równa k:
k
ć� ��
Pi (k, D� t) =� �� �� Pi (1-� P )k -�i
�� ��
i
Ł� ł�
" Prawdopodobieństwo zakończenia obsługi w jednym
stanowisku obsługi w przedziale czasu "t :
P =� F(D�t) =� P(T <� D�t) =�1-� e-�m�D�t
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 19
Strumień obsługi
" Dla i=0 otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w
przedziale czasu "t, nie nastąpiło zakończenie obsługi
żadnego spośród k zajętych stanowisk obsługi:
P0(k, D� t) =� e-�km� D� t
" Prawdopodobieństwo zakończenia obsługi chociaż przez
jedno stanowisku obsługi:
P1(D� t) =�1-� P0(k, D� t) =�1-� e-�km� D� t
" P1 ("t ) dekompozycja (w seriach):
Ą�
j j
P1
p�1(D� t) =� 1-� e-�km� D� t =� 1-�
��(-�1) (km� D� t) 1 =� km� D� t +�q�(D� t)
j!
j =�0
��
q�
( D� t ) ł�
" Parametry strumieni obsługi:
N
(t ) =� D�lim ę�k m� +�
ś� =� k m�
t �� 0
D�
t
�� ��
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 20
Proces Markowa
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 21
Proces urodzin i śmierci
w systemie M/M/2
" stan 0 wszystkie kanały są wolne
" stan 1 jeden kanał jest zajęty
" stan 2 dwa kanały są zajęte
stan blokady
l�
l�
1
0
1 2
m�
m�
2
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 22
Proces urodzin i śmierci
w systemie M/M/2
l� l�
1
0
1 2
m�
m�
2
" nieskończona liczba z
ródeł ruchu
" skończona liczba zajętych stanowisk obsługi
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 23
Równania Kołmogorowa
l�D�t
0
1
1- l�D�t
m�D�t
" Określenie prawdopodobieństwa P0(t + "t)
" Wydarzenia w czasie przedziału "t:
o proces był w stanie "0" i został przeniesiony do stanu "1":  "t
o proces był w stanie "0" i pozostał w stanie "0": 1-  "t
o proces był w stanie "1" i został przeniesiony do stanu "0": ź "t
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 24
Równania Kołmogorowa
l�D�t
0 1
1- l�D�t
m�D�t
był w stanie "0" i pozostał w stanie "0" był w stanie "1" i przeszedł do stanu "0"
P0(t +� D�t) =� P0(t) [�1-� l�D�t]�+� P1(t) m�D�t,
P0(t +� D�t) -� P0(t)
=� -�l�P0(t) +� m�P1(t),
D�t
dP0(t)
=� -�l�P0(t) +� m�P1(t).
dt
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 25
Równania Kołmogorowa
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 26
Równania Kołmogorowa
" Rozwiązanie:
1
P (t)
0
0.6
0.4
P (t)
1
0.2
P (t)
2
0 1 2 t
Rozwiązanie równań Kołmogorowa w systemie M/M/2/0 dla =ź=1, P0(0)=1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 27
Rozkład
W stacjonarnym stanie procesu prawdopodobieństwa
nie są zależne od czasu
dPi (t)
[� ]�
pi V =� lim Pi (t) �� =� 0
t��Ą�
dt
Obliczenie
prawdopodobieństwa: Rozwiązanie
-� l� [�p0]� +� m� [�p1]� =� 0,
��
2 2
(l� / m�)i
��
l� [�p0]� -� (l� +� m�) [�p1]� +� 2m� [�p2]� =� 0,
��
2 2 2
i!
[�pi]� =� .
��
2
l� [�p1]� -� 2m� [�p2]� =� 0,
(l� / m�)1 (l� / m�)2
2 2
��
1+� +�
��
[�p0]� +�[�p1]� +�[�p2]� =�1. 1! 2!
�� 2 2 2
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 28
Stan stacjonarny
a) b)
l�
l�
l�
0 1 2
2�m�
m�
" Interpretacja prawdopodobieństwa [Pi]V:
" Prawdopodobieństwo stanu jest interpretowane jako
część czasu jaką system pozostaje w stanie i:
time spent in state i
Pi =� limtime��Ą�
observatio
n
observation time
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 29
Wartość strumienia w stanie i
l�i =� l� P
i
l�
Pi
t �� Ą�
Wartość strumienia w stanie i dla:
time spent in statei
l�i =� stream intensity =� l� Pi
observation time
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 30
Równania stanu dla systemu M/M/2
a) b)
l�
l�
l�
0 1 2
2�m�
m�
" Dla systemu M/2/0
równania stanu przyjmują następującą formę:
-� l� [�p0]� +� m� [�p1]� =� 0,
��
2 2
��
l� [�p0]� -� (l� +� m�) [�p1]� +� 2m� [�p2]� =� 0,
��
2 2 2
��
l� [�p1]� -� 2m� [�p2]� =� 0,
2 2
��
��
[�p0]� +�[�p1]� +�[�p2]� =�1.
�� 2 2 2
W stanie i:
suma wchodzących strumieni = suma wychodzących strumieni
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 31
Uogólniony proces urodzin i śmierci
" Diagram przejść
l� l� l�
l� l� l�
0 1 2
i -1 i i +1
i i+1
0 1 2
l�
m� m�
m�
m� m�
m�
1 3
2
i i +1 i +2
l�0[�p0]� =� m�1[�p1]� ,
��
V V
-� l�0[�p0]� +� m�1[�p1]� =� 0,
��
V V
��
l�1[�p1]� =� m�2[�p2]� ,
��
V V
��
l�0[�p0]� -� (l�1 +� m�1)[�p1]� +� m�2[�p2]� =� 0,
V V V
��
��
L�,
��
��
L�,
��
��l�i
[�pi]� =� m�i+�1[�pi+�1]� ,
więc:
V V
��l�i-�1
��
[�pi-�1]� -� (l�i +� m�i )[�pi]� +� m�i+�1[�pi+�1]� =� 0,
V V V
L�,
��
��
L�,
��
��
��[�p ]� =� 1.
i
V
��
��
��[�p ]� =�1.
i
V �� ił�0
��
�� ił�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 32
Lokalne równania równowagi
" Strumienia pomiędzy stanami sąsiednimi są w
równowadze
l�
i
l�i[�pi]� =� m�i+�1[�pi+�1]�
V V
i i+1
m�
i+1
" Rozwiązanie procesu
k
l�0l�1L�l�k -�1
i-�1
[�pk]� =� [�p0]� =� =� Ck[�p0]�
V ��l� [�p0]�V V
V
m�1m�2L�m�k m�i
i=�1
[�p0]� =� 1/
gdzie:
��C
k
V
kł�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 33
Lokalne równania równowagi
dla M/M/2
a) b)
l� [�p0]� =� m� [�p1]� ,
��
l�
l�
2 2
l�
��l�
0 1 2
[�p1]� =� 2m� [�p2]� ,
��
2 2 2�m�
m�
��
[�p0]� +�[�p1]� +�[�p2]� =�1
�� 2 2 2
��
l�
[�p1]� =� [�p0]� ,
��
2 2
1
m�
��
[�p0]� =�
2
l� l� �� l� l� l� ł�
��
[�p2]� =� [�p0]� ,
��
2 2 ę�1+� +� 2m� m� ś�
m�
2m� m�
�� ��
��
��
�� l� l� l� ł�
[�p0]� =�1
2 ę�1+� +� 2m� m� ś�
��
m�
�� ��
��
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 34
Koncepcja ruchu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 35
Ruch w telekomunikacji
" Ruch jako proces zajętości jednostek alokacji
T
Avol(T ) =�
��n(t) dt
0
gdzie n(t)  liczba zajętych jednostek w czasie T
" Jednostki:
o 1 SM (speech-minutes)
o 1 Eh (Erlang-hour)
o 1 Eh = 60 SM
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 36
Natężenie ruchu
T
" Natężenie ruchu:
��n(�t)�dt
0
A =�
T
o gdzie n(t)  liczba zajętych jednostek w czasie T
" Jednostki: 1 Erlang ( 1 Erl.)
o 1 Erlang = 1 zgłoszenie obsługiwane przez czas t gdy czas
obserwacji wynosi t
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 37
Pojęcie natężenia ruchu
czas obsługi
czas obsługi
czas obsługi
t1 t2 t3
T
T T
Avol(�T )�=�
Zajętość zasobów w czasie T:
��n(�t)�dt =� ��1(�t)�dt =� t1 +� t2 +� t3
0 0
Avol(�T )� t1 +� t2 +� t3
=�
Natężenie ruchu : A =�
T T
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 38
Natężenie ruchu
service time
service time
service time
t1 t2
t3
T
busy time idle time
t1 t2
t3
T
% of idle time
% of busy time
T=100% =time unit
t1 +� t2 +� t3 tbusy fraction of time unit occupancy
A =� =� =�
T T time unit
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 39
Natężenie ruchu
" Parameters:
o V=4  liczba kanałów,
o N=5  liczba okresów obserwacji,
o tobs=5T  rozważany okres,
o ti,j - zajętość j-tego kanału w i-tym
przedziale czasu
o l� - intensywność strumienia zgłoszeń
o h - średni czas obsługi.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 40
Natężenie ruchu Def. 1
" Natężenie ruchu jest równe średniej liczbie
równocześnie zajętych kanałów w czasie okresu
obserwacji.
N V
2 +�
A(Def .1) =�
����t / tobs. =� (4 +�1+� 5T 2 +�1)T =� 2Erl.
i, j
i=�1 j=�1
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 41
Natężenie ruchu Def. 2
" Natężenie ruchu jest równe stosunkowi sumy zajętych
kanałów w czasie obserwacji do czasu obserwacji.
N V
A(Def .2) =�
����t / tobs. =� (3+� 2 +� 2 +� 3)T =� 2Erl.
i, j
5T
i=�1 j=�1
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 42
Natężenie ruchu Def. 3
" Jest iloczynem średniej liczby
o zgłoszeń (ruch oferowany)
o połączeń (ruch obsługiwany)
" Na jednostkę czasu i średni czas trwania połączenia.
8 10T
ć� ��ć� ��
A(Def .3) =� ch =� =� 2Erl.
�� ���� ��
5T 8
Ł� ł�Ł� ł�
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 43
Natężenie ruchu Def. 4
Średnia liczba zgłoszeń (połączeń) na średni czas obsługi
ruch oferowany ruch załatwiany
8 10T
ć� ��ć� ��
A(Def .4) =� l�s =� =� 2 Erl.
�� ���� ��
5T 8
Ł� ł�Ł� ł�
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 44
Rodzaje ruchu
Y
A
System
Ruch załatwiany
Ruch oferowany
Ruch oferowany System Ruch obsłużony
telekomunikacyjny
Ruch odrzucony
Ruch tracony
A
A =� Y +� A'
Uwaga!
Zwykle pod pojęciem ruchu rozumiemy natężenie ruchu.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 45
Rodzaje ruchu
" Ruch załatwiany
o ruch obsługiwany przez wiązkę w czasie T
" Ruch oferowany
o Ruch który powinien zostać przeniesiony jeśli żadne zgłoszenia nie
zostałyby odrzucone z powodu braku pojemności, tzn.
nieograniczona liczba stanowisk obsługi. Ruch oferowany jest
wartością teoretyczną i nie można go zmierzyć.
" Ruch tracony
o różnica pomiędzy ruchem oferowanym i załatwianym
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 46
Jakość usług w systemach
telekomunikacyjnych
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 47
Poziom pakietów i zgłoszeń w sieci
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 48
Koncepcja blokady
" Prawdopodobieństwem strat zgłoszeń B(t1, t2 ) w czasie
(t1, t2) jest stosunkiem zgłoszeń odrzuconych z powodu
blokady (brak pojemności) Nlost(t1, t2 ) do wszystkich
zgłoszeń oferowanych systemowi Noffered(t1, t2 )
N ( t1, t2)-� N ( t1, t2)
Nlost ( t1, t2)
offered carried
B ( t1, t2) =� =�
N ( t1, t2) N ( t1, t2)
offered offerd
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 49
Koncepcja blokady
" Prawdopodobieństwem blokady E(t1, t2 ) w czasie (t1, t2)
jest stosunek czasu Tblocking(t1 , t2) w którym wszystkie
stanowiska obsługi były zajęte do całkowitego czasu
obserwacji T(t1, t2)
Tblocking(t1,t2)
E(t1,t2) =�
T (t1,t2)
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 50
Podstawowe pojęcia i parametry
" Pojemność ruchowa systemu
o Wartość ruchu oferowanego, który może zostać obsłużony przy
założonej wartości prawdopodobieństw blokady
" Obciążenie
o wartość ruchu przenoszonego przez system
" Blokada
o Stan systemu w którym zgłoszenia pojawiające się na wejściu
systemu nie mogą być obsługiwane z powodu zajętości zasobów
systemu
" Przepustowość
o Prawdopodobieństwo zdarzenia że dane zgłoszenie będzie
obsługiwane w systemie
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnychTE 51
Quality of service w systemach telekomunikacyjnych
" Opóz
nienie pakietu (opóz
nienie komórki)
o Opóz
nienie pomiędzy momentem przesłania i odebrania
pakietu (w danym węz
le)
" Parametry opóz
nienia (np. w sieci ATM)
o CDTmean - Mean Cell Transfer Delay  statystyczne średnie
opóz
nienie pakietu
o CTDmax - Maximum Cell Transfer Delay  maksymalne
opóz
nienie pakietu, gwarantowane przez sieć z
prawdopodobieństwem 1-ą
o CDVpeak-peak - Peak to Peak Cell Delay Variation 
maksymalne opóz
nienie zmniejszone przez stałe opóz
nienie
systemu (tj. opóz
nienie propagacji. czas przetwarzania w węz
le)
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 52
Jakość obsługi w systemach telekomunikacyjnych (QoS)
" Interpretacja parametrów opóz
nienia
1-ą ą= loss ratio
delay
constant
max delay variation
max delay
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 53
Delay distribution
Powody występowania
opóz
nienia w sieci
" Stałe i niezależne opóz
nienie sieci
o czas propagacji w łączu fizycznym
o czas przetwarzania w węz
le sieciowym
o minimalny czas który węzeł oczekuje na potwierdzenie pakietu
o przepływność łącza wyjściowego jest większa od
przepustowości łącza wyjściowego
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 54
Powody występowania
opóz
nienia w sieci
" Zależne od obciążenia sieci
o kolejkowanie w buforach
o dyscyplina kolejek,
o priorytety dla danej lasy pakietów,
o mechanizm kształtowania strumienia pakietów,
o rezerwacja zasobów dla danej klasy pakietów
server
buffer
incoming stream outgoing stream
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 55
Rodzaje ruchu na poziomie pakietów
" W większości pakietów sieciowych rodzaje ruchu
związane są z parametrami obsługiwanych usług
" Możemy zawsze wyróżnić następujące strumienie
ruchu
o ruch o stałej przepływności bitowej (Constant bit rate)
o ruch o zmiennej przepływności bitowej (Variable bit rate)
" ruch strumieniowy, stałe parametry transmisji
" ruch adaptacyjny
" ruch elastyczny
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 56
Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Podstawowe definicje i pojęcia
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski