Podstawy algebry liniowej

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ
ALGEBRA MACIERZY
Macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach nazywamy
m � n
tablicę liczb rzeczywistych aij (i=1,2, ... ,m; j=1,2, ... ,n)
zapisaną w postaci ujętego w nawiasy kwadratowe prostokąta liczb
a11 a12 K a1n
�ł łł
�ł
a21 a22 K a2n śł
�ł śł
�ł
M M O Mśł
�ła am2
amn śł
m1 K
�ł śł
�ł �ł
Liczby rzeczywiste aij nazywamy elementami macierzy.
Ka\dy element macierzy jest oznaczany dwoma wskaznikami:
" pierwszy oznacza numer wiersza
" drugi numer kolumny
m � n
Iloczyn nazywamy wymiarami macierzy.
Macierz będziemy zapisywać często w krótszej postaci:
�ła łł
�ła łł
�ła łł
A =
Am�n
ij A
m � n ij ij
�ł śłm�n
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
m � n
Najczęściej macierze oznaczamy du\ymi pogrubionymi literami
A , C , X , W , B , ...
PRZYKAAD. Normy zu\ycia środków produkcji na jednostkę wyrobów
ALFA i BETA ujęte w tabeli mo\na zapisać jako macierz N.
Normy zu\ycia na jednostkę wyrobu
wyroby
stal drewno farba praca energia
[szt]
[kg/szt] [m2/szt] [litr/szt] [rg] [kWh/szt]
ALFA 1 2 3 2 2
BETA 2 1 2 2 3
1 2 3 2 2
�ł łł
�łn łł
N2�5 =
ij
�ł śł2�5 = �ł2 1 2 2 3śł
�ł �ł
�ł �ł
2
{Am�n} wyró\nia się pewne
W zbiorze macierzy
typy macierzy, bądz ze względu na ich wymiary, bądz
wartości elementów aij macierzy.
Wymiary macierzy są podstawą do wyró\nienia
macierzy prostokątnych, macierzy kwadratowych i
wektorów.
�ła łł
A =
ij
�ł śłm�n nazywa się macierzą
Def. Macierz
�ł �ł
prostokątną, gdy m`"n
�ła łł
A =
ij
�ł śłm�n dla m=n nazywa się
Def. Macierz
�ł �ł
macierzą kwadratową. Macierz kwadratową oznacza
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n . Liczbę n nazywa się
się symbolem
�ł �ł
stopniem macierzy kwadratowej.
3
Def. Elementy: a11, a22, ..., ann macierzy
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n nazywa się przekątną
kwadratowej
�ł �ł
główną macierzy A.
�ła łł
A =
ij
�ł śłm�1 (n=1)
Def. Macierz prostokątną
�ł �ł
nazywa się wektorem kolumnowym (lub krótko
wektorem) i zapisuje w postaci:
a1
�ł łł
�ła2 śł
�ł śł
�łM śł
�ł śł
m
�ła �ł
�ła łł
A =
ij
�ł śł1�n (m=1)
Def. Macierz prostokątną
�ł �ł
nazywa się wektorem wierszowym i zapisuje w
[a1 a2 L an]
postaci
4
Wektory wierszowe i kolumnowe oznacza się w tym
skrypcie najczęściej małymi, pogrubionymi literami
a, b, ..., x, y itp.
Ze względu na wartości liczbowe elementów aij
macierzy A w zbiorze macierzy wyró\nia się
macierze zerowe i macierze jedynkowe.
�ła łł
A =
ij
�ł śłm�n , w której wszystkie
Def. Macierz
�ł �ł
elementy aij=0 nazywa się macierzą zerową i oznacza
symbolem 0mxn.
�ła łł
A =
ij
�ł śłm�n , w której wszystkie
Def. Macierz
�ł �ł
elementy aij = 1 nazywa się macierzą jedynkową i
oznacza symbolem Jmxn.
5
W zbiorze macierzy kwadratowych, stopnia n,
wyró\nia się macierze: jednostkowe, diagonalne,
trójkątne, symetryczne i skośnosymetryczne.
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n , w której elementy spełniają
�ł �ł
warunek:
1 dla i = j,
ńł
aij =
�ł
0 dla i `" j
ół
nazywa się macierzą jednostkową i oznacza
symbolem In
Wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy In
są więc jedynkami, natomiast pozostałe elementy
zerami.
Przykład: Macierzami jednostkowymi są m.in.
macierze:
1 0 0 0
�ł łł
1 0 0
�ł łł
�ł0 1 0 0śł
1 0
�ł łł
�ł0 1 0śł �ł
śł
[1]
�ł0 1śł �ł
śł
�ł śł
0 0 1 0
�ł �ł
�ł śł
śł
�ł0 0 1�ł �ł
�ł0 0 0 1�ł
6
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n
, w której aij=0, dla ka\dego i`"j
�ł �ł
nazywa się macierzą diagonalną.
Przykład: Macierzami diagonalnymi są m. in.
macierze:
5 0 0 0
�ł łł
2 0 0
�ł łł 1
�ł0
0 0śł
1 0
�ł łł
�ł0 - 3 0śł
�ł śł
�ł0 2śł �ł
śł
�ł0 5
0 1 0śł
�ł �ł
�ł śł
śł
�ł0 0 1�ł �ł
�ł śł
�ł0 0 0 0�ł
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n , w której dla ka\dej pary (i,j): aij=aji
�ł �ł
nazywa się macierzą symetryczną.
Przykład: Macierze:
1 0 0 0
�ł łł
1 -1 4
�ł łł
�ł0 2 0 0śł
2 3
�ł łł
�ł-1 0 0śł �ł
śł
�ł3 0śł �ł
śł
�ł śł
0 0 3 0
�ł �ł
�ł śł
4 0 4�ł �ł
śł
�ł
�ł0 0 0 4�ł
są macierzami symetrycznymi.
7
Def. Macierz kwadratową (stopnia n)
�ła łł
An =
ij
�ł śłn�n
, w której dla ka\dej pary (i, j):
�ł �ł
aij = -aji nazywa się macierzą skośnosymetryczną.
Przykładami macierzy skośnosymetrycznych są
następujące macierze:
0 0 0 0
�ł łł
0 -1 2
�ł łł
�ł0 0 0 0śł
0 - 5
�ł łł
�ł
�ł śł
0 3śł
�ł5 0 śł �ł 1
śł
�ł śł
0 0 0 0
�ł �ł
�ł śł
śł
�ł- 2 - 3 0�ł �ł
�ł0 0 0 0�ł
8
DZIAAANIA NA MACIERZACH
�ła łł
A =
ij
�ł śł
�ł �ł
Niech będą dane macierze ,
�łb łł �łc łł
B = C =
ij ij
�ł śł �ł śł
, .
�ł �ł �ł �ł
Def. Macierze: Amxn i Bmxn są sobie równe (A=B),
jeśli aij=bij, dla ka\dej pary (i,j)
Def. Sumą macierzy Amxn i Bmxn nazywa się taką
macierz Cmxn (C=A+B), \e dla ka\dej pary
wskazników (i,j) zachodzi równość: cij=aij+bij.
Przykład: Obliczyć sumę A+B dla
1 4 0 1
�ł łł �ł łł
�ł
�ł3 1śł B = 3 4śł
A =
�ł śł �ł śł
, ,
�ł śł �ł śł
�ł2 5�ł �ł-1 1�ł
1+ 0 4 +1 1 5
�ł łł �ł łł
�ł
A + B = 3 + 3 1+ 4śł �ł6 śł
= 5śł
�ł śł �ł
�ł2 + (-1) śł �ł śł
5 +1�ł �ł1 6�ł
�ł
9
tw. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli
A+B=B+A
tw. Dodawanie macierzy jest łączne, czyli
(A+B)+C)=A+(B+C)
tw. Je\eli A+B =A, to B=0
def. Macierz B nazywa się macierzą przeciwną do
macierzy A, co zapisuje się : B = -A, jeśli A+B=0
def. Macierz Bnxm nazywa się transpozycją macierzy
Amxn (lub macierzą transponowaną do macierzy Amxn),
jeśli dla ka\dej pary (i,j) zachodzi równość:
bij = aji
Macierz transponowaną B oznacza się symbolem AT
(lub A )
4 5 0 0
�ł łł
B =
�ł1 0 3 1śł
Przykład: Macierz jest macierzą
�ł �ł
4 1
�ł łł
�ł5 0śł
�ł śł
A =
�ł śł
0 3
transponowaną do macierzy
�ł śł
�ł0 1�ł
Nale\y zauwa\yć, \e kolejne kolumny (wiersze)
macierzy B odpowiadają kolejnym
wierszom(kolumnom) macierzy A.
10
Tw. Transponowanie macierzy posiada następujące
własności:
(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(A B)T=BT AT
tw. Je\eli macierz A=[aij]nxn spełnia warunek AT=A,
to A jest macierzą symetryczną.
Def. Iloczynem liczby ą i macierzy Amxn, nazywa się
taką macierz Bmxn, co zapisuje się: B=ąA), w której
bij=ą aij dla ka\dej pary (i,j)
Przykład. Obliczyć A+(-3)B, jeśli
0
1 2 1
�ł łł
�ł łł
A =
�ł3 0śł
�ł4 3śł B =
�ł �ł
�ł �ł
1 2 0 - 3 1 -1
�ł łł �ł łł �ł łł
A + (-3)B = =
�ł4 3śł + �ł- 9 0 śł �ł- 5 3 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
11
def. Iloczynem macierzy Amxk przez macierz Bkxn
nazywa się taką macierz Cmxn (co zapisuje się
C=A�B), której elementy spełniają warunek:
'" cij = ai1b1 j + ai2b2 j + ... + aik bkj
(i, j)
1 -1 0
1 2 �ł łł
�ł łł
A =
�ł4
�ł3 1śł B =
2 1śł
�ł �ł
�ł �ł
1�"(-1)+ 2�" 2
�ł1�"1+ 2�" 4
9 3 2
�ł łł
1�"0 + 2�"1łł
AB = =
�ł śł
�ł7 -1 1śł
�ł �ł
�ł3�"1+1�" 4 3�"(-1)+1�" 2 3�"0 +1�"1�ł
tw. Dla dowolnej macierzy Amxn zachodzą równości:
ImA=A AIn=A
tw. Zachodzą następujące równości
ą(A+B)=ąA+ąB ą(AB)=A (ąB)
tw. Mno\enie macierzy przez macierz jest łączne,
czyli (A B) C=A (B C)
tw. Mno\enie macierzy przez macierz jest rozdzielne
względem dodawania macierzy, czyli
A (B+C)=A B+A C
12
Def. Macierz kwadratowa B=[bij]nxn nazywamy
macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
A=[aij]nxn, jeśli spełniony jest warunek:
A�B=B�A=In
Macierz odwrotną, jeśli istnieje, oznacza się
symbolem A-1, a proces wyznaczania(poszukiwania
jej elementów nazywa się odwracaniem macierzy.
Przykład: Macierz B jest macierzą odwrotną do
macierzy A, gdzie:
3 -1 4 1
�ł łł �ł łł
1
B =
�ł- 5 4 śł i A = �ł5 3śł , poniewa\
7
�ł �ł �ł �ł
4 1 3 -1 12 - 5 - 4 + 4
�ł łł �ł łł �ł łł
1 1
A �"B = =
�ł5 3śł 7 �ł- 5 4 śł �ł15 -15 - 5 +12śł =
7
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
7 0 1 0
�ł łł �ł łł
1
=
�ł0 7śł = �ł0 1śł oraz
7
�ł �ł �ł �ł
13
3 -1 4 1 12 - 5 3 - 3
�ł łł �ł łł �ł łł
1 1
B �" A =
�ł- śł �ł5 3śł = 7 �ł- 20 + 20 - 5 +12śł =
7 5 4
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
7 0 1 0
�ł łł �ł łł
1
=
�ł0 7śł = �ł0 1śł
7
�ł �ł �ł �ł
Mo\na zatem napisać:
3 -1
�ł łł
-1
4 1
�ł śł
�ł łł
7
�ł-7 śł
�ł5 3śł =
5 4
�ł �ł
�ł śł
7 7
�ł �ł
def. Macierzą kwadratową A, która nie posiada
macierzy odwrotnej nazywa się macierzą osobliwą.
Przykład:
1 2
�ł łł
A =
�ł1 2śł
Pokazać mo\na, \e np. macierz
�ł �ł
jest macierzą osobliwą
tw. Je\eli A jest macierzą nieosobliwą, to
(A-1)T = (AT)-1 oraz (A-1)-1 = A
14
tw. Je\eli A i B są nieosobliwymi macierzami tego
samego stopnia, to
(AB)-1 = B-1A-1
tw. Je\eli A jest macierzą nieosobliwą i ą"R\{0}, to
1
-1 -1
(ąA) = (A)
ą
def. Macierz kwadratową A spełniającą warunek
ATA = AAT = I
Nazywa się macierzą ortogonalną
15
PRZEKSZTAACENIA ELEMENTARNE
MACIERZY
def. Przekształceniami elementarnymi macierzy
A=[aij]m�n nazywa się następujące działania
wykonywane na wierszach (lub na kolumnach)
macierzy:
T1: Pomno\enie wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) przez liczbę ą `" 0.
ą `"
ą `"
ą `"
T2: Zamiana miejscami (przestawienie) dwóch
dowolnie wybranych wierszy (lub kolumn)
macierzy;
T3: Dodanie do wszystkich elementów wybranego
wiersza (kolumny) odpowiadających im
(występujących w tej samej kolumnie (wierszu))
elementów innego wiersza (kolumny)
pomno\onych przez liczbę ą `" 0
ą `"
ą `"
ą `"
16
Przykład:
1 1 4 2
�ł łł
�ł6 2 -1 2śł
�ł śł
�ł śł
4 4�ł
�ł4 6
1 1 4 2
�ł łł
�ł
6 2 -1 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł- 2 - 3 - 2 - 2�ł w 3=w3/(-2)
1 0 4 2
�ł łł
�ł
6 - 4 -1 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł- 2 -1 - 2 - 2�ł k 2=k2+k1*(-1)
6 - 4 -1 2
�ł łł
�ł
1 0 4 2śł
�ł śł
�ł śł
�ł- 2 -1 - 2 - 2�ł w 1=w2, w 2=w1
6 2 -1 - 4
�ł łł
�ł
1 2 4 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł- 2 - 2 - 2 -1�ł k 2=k4, k 4=k2
17
ODWRACANIE MACIERZY
Jedną z metod odwracania macierzy jest metoda
wykorzystująca operacje elementarne.
Idea polega na równoległym przekształcaniu
elementarnym wierszy macierzy danej A
oraz macierzy jednostkowej I.
Schemat postępowania mo\na ująć krótko
A I
ćł
ćł
ćł
ćł
: ćł
ćł :
ćł
ćł
ciąg operacji elementarnych
: ćł
ćł :
ćł
ćł
I B=A-1
ćł
ćł
ćł
ćł
Je\eli nie mo\na odwrócić macierzy w podany sposób, to oznacza,
\e nie istnieje macierz odwrotna do macierzy A.
18
2 2 1
�ł łł
�ł2 1 2śł
A3 =
�ł śł
PRZYKAAD. Dana jest macierz
�ł śł
�ł1 2 1�ł
2 2 1 1 0 0
�ł łł �ł łł
�ł2 1 2śł �ł0 1 0śł
�ł śł �ł śł
�ł1 2 1śł �ł0 0 1śł
�ł �ł �ł �ł
w1nowy = w1stary �1/ 2
1 1 1/ 2 1/ 2 0 0
�ł łł �ł łł
�ł0 -1 1śł �ł
-1 1 0śł w2nowy = w2stary + w1stary �(-1)
�ł śł �ł śł
�ł0 1 1/ 2śł �ł-1/ 2 0 1śł
w3nowy = w3stary + w1stary �(-1/ 2)
�ł �ł �ł �ł
w1nowy = w1stary + w2stary �1
1 0 3/ 2 -1/ 2 1 0
�ł łł �ł łł
�ł0 1 -1śł �ł
1 -1 0śł w2nowy = w2stary �(-1)
�ł śł �ł śł
�ł0 0 3/ 2śł �ł- 3/ 2 1 1śł
w3nowy = w3stary + w2stary �1
�ł �ł �ł �ł
w1nowy = w1stary + w3stary �(-1)
1 0 0 1 0 -1
�ł łł �ł łł
�ł0 1 0śł �ł
0 -1/ 3 2 / 3śł w2nowy = w2stary + w3stary � 2 / 3
�ł śł �ł śł
�ł0 0 1śł �ł-1 2 / 3 2 / 3śł
w3nowy = w3stary � 2 / 3
�ł �ł �ł �ł
Zatem macierz odwrotna do macierzy A3 ma postać
1 0 -1
�ł łł
- �ł
A31 = 0 -1/ 3 2 / 3śł
�ł śł
�ł-1 2 / 3 2 / 3�ł
śł
�ł

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PA3 podstawowe elementy liniowe [tryb zgodności]
Geometia i Algebra Liniowa
ALGEBRA LINIOWA KOLOKWIA PRZYKLADOWE
Sylabus Algebra liniowa I studia licencjackie
Algebra Liniowa (Informatyka)
Podstawy algebry i analizy tensorowej
Algebra liniowa teoria
Algebra Liniowa Zadania(1)
Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierów
Algebra liniowa 1B Definicje

więcej podobnych podstron