plik


ÿþMACIERZE a11 a12 a13 K a1n îø ùø i - numer wiersza, 1 d" i d" n ïøa a22 a23 K a2n úø 21 ïø úø j - numer kolumny,1 d" j d" m ïø úø Macierz: A = [aij] = a31 a32 a33 K a3n , m×n m - liczba wierszy ïø úø K K K K K ïø úø n - liczba kolumn ïøam1 am2 am3 K amn úø ðø ûø 1 0 0 0 0 îø ùø 1 1 1 1 1 îø ùø ïø0 1 0 0 0úø ïø1 1 1 1 1úø ïø úø ïø úø Macierz jednostkowa: I = ïø úø 0 0 1 0 0 Macierz jedynkowa: E = ïø úø 1 1 1 1 1 ïø úø ïø úø ïøM K K O Múø ïøM K K O Múø ïø0 0 0 0 1úø ðø ûø ïø1 1 1 1 1úø ðø ûø (tylko dla macierzy kwadratowych) Macierz transponowana: Macierz kwadratowa: m = n a11 a21 a31 K am1 îø ùø (liczba wierszy = liczba kolumn) ïøa a22 a32 K am2 úø 12 ïø úø ïø úø AT = [aij] = a13 a23 a33 K am3 Macierz symetryczna: aij = a n×m ji " ïø úø 1d"id"n K K K K K ïø úø 1d" jd"n ïøa1n a2n a3n K amn úø (tylko dla macierzy kwadratowych) ðø ûø DZIAAANIA NA MACIERZACH A = [aij] , B = [bij] , i = 1,K, m , j = 1,K, n m×n m×n Dodawanie: C = A + B , C = [cij] , cij = aij + bij Odejmowanie: C = A - B , C = [cij] , cij = aij - bij m×n m×n Mno|enie macierzy przez staB: ± Å" A = [± Å" aij] m×n Mno|enie macierzy: Am×n Å" Bn×k = Cm×k , cij = ai1 Å" b1 j + ai 2 Å"b2 j + ai3 Å" b3 j +K + ain Å" bnj , i = 1,K,m , j = 1,K,k (ka|dy wiersz pierwszej macierzy mno|ony jest skalarnie przez ka|d kolumn drugiej macierzy) WYZNACZNIK MACIERZY (tylko dla macierzy kwadratowych) À -permutacja zbioru liczb {1,2,K,n} I Definicja: det A = "(-1) (À )a1,i a2,i Kan, in 1 2 À =(i1 ,i2 ,K,in ) I(À ) - liczba inwersji w permutacji À Sumowanie po wszystkich permutacjach zbioru {1,2,K,n}. a11 a12 Wyznacznik stopnia drugiego: det A = = a11a22 - a12a21 a21 a22 Metoda Sarrusa: (tylko dla wyznaczników stopnia trzeciego) a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a23a32a11 a31 a32 a33 MACIERZE Rozwinicie Laplace a: wyznacznik - suma iloczynów elementów wybranego wiersza lub kolumny przez ich dopeBnienie algebraiczne. Minor elementu aij : Mij - wyznacznik macierzy otrzymanej po wykre[leniu i -tego wiersza i j -tej kolumny DopeBnienie algebraiczne elementu aij : def 1 T Macierz odwrotna: A-1 = [dij] i+ j dij = (-1) Å" Mij det A WBasno[ci wyznaczników: " Zamiana miejscami dwóch ssiednich kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniajc jego warto[ci bezwzgldnej. " Je[li dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy s proporcjonalne (np. s równe), wyznacznik ma warto[ zero. " Je[li jaki[ wiersz jest kombinacj liniow innych wierszy (np. wiersz skBada si tylko z zer), wyznacznik ma warto[ zero. To samo dotyczy kolumn. " Pomno|enie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez staB mno|y przez t sam staB warto[ wyznacznika. " Dodajc lub odejmujc od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumn lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy warto[ci wyznacznika. RZD MACIERZY Rzd niezerowej macierzy Am×n - najwy|szy stopieD (ró|ny od zera) minora tej macierzy. Rzd niezerowej macierzy Am×n = liczba liniowo niezale|nych wierszy lub kolumn tej macierzy. WBasno[ci rzdów: rzA d" min(m,n) m×n " Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy nie zmienia rzdu macierzy. " Je[li dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy s proporcjonalne (np. s równe), to ten wiersz lub kolumna nie wpBywa na rzd macierzy (mo|na wykre[li). " Je[li jaki[ wiersz jest kombinacj liniow innych wierszy (np. wiersz skBada si tylko z zer), to ten wiersz nie wpBywa na rzd macierzy (mo|na wykre[li). To samo dotyczy kolumn. " Pomno|enie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez staB nie wpBywa na rzd macierzy. " Dodajc lub odejmujc od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumn lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy rzdu macierzy. UKAAD RÓWNAC LINIOWYCH Posta macierzowa: Ax = b a11x1 + a12 x2 +K + a1n xn = b1 ñø a11 a12 K a1n x1 b1 îø ùø îø ùø îø ùø ôø a21x1 + a22 x2 +K + a2n xn = b2 ôø ïøa a22 K a2n úø ïøx úø ïøb úø òø 21 2 2 ïø úø ïø úø ïø úø A = , x = , b = ............................................... ôø ïø K K K K úø ïø úø ïø úø M M ôøam1x1 + am 2x2 + K + amn xn = bm ïø úø ïø úø ïø úø óø am2 K amn ûø ðøxn ûø ðøbn ûø ðøam1 Twierdzenie Cramera (tylko dla ukBadów, gdy m = n ): Wx i det A `" 0 , xi = . det A Wx - wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A po zastpieniu i -tej kolumny wektorem wyrazów i wolnych b . Twierdzenie Kroneckera-Capellego: 1. Je|eli rzA = rzU i l.n - rzU `" 0 , to ukBad jest zale|ny (od l.n - rzA parametrów). 2. Je|eli rzA = rzU i l.n - rzA = 0 , to ukBad jest niezale|ny. 3. Je|eli rzA `" rzU , to ukBad jest sprzeczny. U - uzupeBniona macierz A o wektor wyrazów wolnych b , l.n - liczba niewiadomych.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Geometia i Algebra Liniowa
ALGEBRA LINIOWA KOLOKWIA PRZYKLADOWE
Sylabus Algebra liniowa I studia licencjackie
Algebra Liniowa (Informatyka)
Podstawy algebry liniowej
Algebra Liniowa Zadania(1)
Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierów
Algebra liniowa 1B Definicje
Zadania Algebra Liniowa 2 seria

więcej podobnych podstron