ÿþM A C I E R Z E
a 1 1 a 1 2 a 1 3 K a 1 n
îø ùø
i - n u m e r w i e r s z a , 1 d" i d" n
ïøa a 2 2 a 2 3 K a 2 n úø
2 1
ïø úø
j - n u m e r k o l u m n y , 1 d" j d" m
ïø úø
M a c i e r z : A = [ a i j ] = a 3 1 a 3 2 a 3 3 K a 3 n ,
m × n
m - l i c z b a w i e r s z y
ïø úø
K K K K K
ïø úø
n - l i c z b a k o l u m n
ïøa m 1 a m 2 a m 3 K a m n úø
ðø ûø
1 0 0 0 0
îø ùø
1 1 1 1 1
îø ùø
ïø0 1 0 0 0 úø
ïø1 1 1 1 1 úø
ïø úø
ïø úø
M a c i e r z j e d n o s t k o w a : I = ïø úø
0 0 1 0 0
M a c i e r z j e d y n k o w a : E = ïø úø
1 1 1 1 1
ïø úø
ïø úø
ïøM K K O M úø
ïøM K K O M úø
ïø0 0 0 0 1 úø
ðø ûø
ïø1 1 1 1 1 úø
ðø ûø
( t y l k o d l a m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h )
M a c i e r z t r a n s p o n o w a n a :
M a c i e r z k w a d r a t o w a : m = n
a 1 1 a 2 1 a 3 1 K a m 1
îø ùø
( l i c z b a w i e r s z y = l i c z b a k o l u m n )
ïøa a 2 2 a 3 2 K a m 2 úø
1 2
ïø úø
ïø úø
A T = [ a i j ] = a 1 3 a 2 3 a 3 3 K a m 3
M a c i e r z s y m e t r y c z n a : a i j = a n × m
j i
"
ïø úø
1 d"i d"n
K K K K K
ïø úø
1 d" j d"n
ïøa 1 n a 2 n a 3 n K a m n úø
( t y l k o d l a m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h ) ðø ûø
D Z I A AA N I A N A M A C I E R Z A C H
A = [ a i j ] , B = [ b i j ] , i = 1 , K , m , j = 1 , K , n
m × n m × n
D o d a w a n i e : C = A + B , C = [ c i j ] , c i j = a i j + b i j O d e j m o w a n i e : C = A - B , C = [ c i j ] , c i j = a i j - b i j
m × n m × n
M n o |e n i e m a c i e r z y p r z e z s t a B: ± Å" A = [ ± Å" a i j ]
m × n
M n o |e n i e m a c i e r z y : A m × n Å" B n × k = C m × k , c i j = a i 1 Å" b 1 j + a i 2 Å"b 2 j + a i 3 Å" b 3 j + K + a i n Å" b n j , i = 1 , K , m , j = 1 , K , k
( k a |d y w i e r s z p i e r w s z e j m a c i e r z y m n o |o n y j e s t s k a l a r n i e p r z e z k a |d k o l u m n d r u g i e j m a c i e r z y )
W Y Z N A C Z N I K M A C I E R Z Y ( t y l k o d l a m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h )
À - p e r m u t a c j a z b i o r u l i c z b { 1 , 2 , K , n }
I
D e f i n i c j a : d e t A =
"( - 1 ) ( À ) a 1 , i a 2 , i K a n , i n
1 2
À = ( i 1 , i 2 , K , i n )
I ( À ) - l i c z b a i n w e r s j i w p e r m u t a c j i À
S u m o w a n i e p o w s z y s t k i c h p e r m u t a c j a c h z b i o r u { 1 , 2 , K , n } .
a 1 1 a 1 2
W y z n a c z n i k s t o p n i a d r u g i e g o : d e t A = = a 1 1 a 2 2 - a 1 2 a 2 1
a 2 1 a 2 2
M e t o d a S a r r u s a : ( t y l k o d l a w y z n a c z n i k ó w s t o p n i a t r z e c i e g o )
a 1 1 a 1 2 a 1 3
d e t A = a 2 1 a 2 2 a 2 3 = a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a 1 2 a 2 3 a 3 1 + a 2 1 a 3 2 a 1 3 - a 1 3 a 2 2 a 3 1 - a 1 2 a 2 1 a 3 3 - a 2 3 a 3 2 a 1 1
a 3 1 a 3 2 a 3 3
M A C I E R Z E
R o z w i n i c i e L a p l a c e a : w y z n a c z n i k - s u m a i l o c z y n ó w e l e m e n t ó w w y b r a n e g o w i e r s z a l u b k o l u m n y p r z e z i c h
d o p e Bn i e n i e a l g e b r a i c z n e .
M i n o r e l e m e n t u a i j : M i j - w y z n a c z n i k m a c i e r z y o t r z y m a n e j p o w y k r e [l e n i u i - t e g o w i e r s z a i j - t e j k o l u m n y
D o p e Bn i e n i e a l g e b r a i c z n e e l e m e n t u a i j : d e f
1
T
M a c i e r z o d w r o t n a : A - 1 = [ d i j ]
i + j
d i j = ( - 1 ) Å" M i j d e t A
W Ba s n o [c i w y z n a c z n i k ó w :
" Z a m i a n a m i e j s c a m i d w ó c h s s i e d n i c h k o l u m n l u b w i e r s z y z m i e n i a z n a k w y z n a c z n i k a , n i e z m i e n i a j c j e g o w a r t o [c i
b e z w z g l d n e j .
" J e [l i d w a w i e r s z e l u b d w i e k o l u m n y m a c i e r z y s p r o p o r c j o n a l n e ( n p . s r ó w n e ) , w y z n a c z n i k m a w a r t o [ z e r o .
" J e [l i j a k i [ w i e r s z j e s t k o m b i n a c j l i n i o w i n n y c h w i e r s z y ( n p . w i e r s z s k Ba d a s i t y l k o z z e r ) , w y z n a c z n i k m a w a r t o [ z e r o .
T o s a m o d o t y c z y k o l u m n .
" P o m n o |e n i e d o w o l n e j k o l u m n y l u b d o w o l n e g o w i e r s z a p r z e z s t a B m n o |y p r z e z t s a m s t a B w a r t o [ w y z n a c z n i k a .
" D o d a j c l u b o d e j m u j c o d d o w o l n e g o w i e r s z a / k o l u m n y i n n y w i e r s z / k o l u m n l u b k o m b i n a c j e l i n i o w e i n n y c h
w i e r s z y / k o l u m n n i e z m i e n i a m y w a r t o [c i w y z n a c z n i k a .
R Z D M A C I E R Z Y
R z d n i e z e r o w e j m a c i e r z y A m × n - n a j w y |s z y s t o p i e D ( r ó |n y o d z e r a ) m i n o r a t e j m a c i e r z y .
R z d n i e z e r o w e j m a c i e r z y A m × n = l i c z b a l i n i o w o n i e z a l e |n y c h w i e r s z y l u b k o l u m n t e j m a c i e r z y .
W Ba s n o [c i r z d ó w : r z A d" m i n ( m , n )
m × n
" Z a m i a n a m i e j s c a m i d w ó c h d o w o l n y c h k o l u m n l u b w i e r s z y n i e z m i e n i a r z d u m a c i e r z y .
" J e [l i d w a w i e r s z e l u b d w i e k o l u m n y m a c i e r z y s p r o p o r c j o n a l n e ( n p . s r ó w n e ) , t o t e n w i e r s z l u b k o l u m n a n i e w p By w a n a
r z d m a c i e r z y ( m o |n a w y k r e [l i ) .
" J e [l i j a k i [ w i e r s z j e s t k o m b i n a c j l i n i o w i n n y c h w i e r s z y ( n p . w i e r s z s k Ba d a s i t y l k o z z e r ) , t o t e n w i e r s z n i e w p By w a n a
r z d m a c i e r z y ( m o |n a w y k r e [l i ) . T o s a m o d o t y c z y k o l u m n .
" P o m n o |e n i e d o w o l n e j k o l u m n y l u b d o w o l n e g o w i e r s z a p r z e z s t a B n i e w p By w a n a r z d m a c i e r z y .
" D o d a j c l u b o d e j m u j c o d d o w o l n e g o w i e r s z a / k o l u m n y i n n y w i e r s z / k o l u m n l u b k o m b i n a c j e l i n i o w e i n n y c h
w i e r s z y / k o l u m n n i e z m i e n i a m y r z d u m a c i e r z y .
U K AA D R Ó W N A C L I N I O W Y C H
P o s t a m a c i e r z o w a : A x = b
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + K + a 1 n x n = b 1
ñø
a 1 1 a 1 2 K a 1 n x 1 b 1
îø ùø îø ùø îø ùø
ôø
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + K + a 2 n x n = b 2
ôø ïøa a 2 2 K a 2 n úø ïøx úø ïøb úø
òø 2 1 2 2
ïø úø ïø úø ïø úø
A = , x = , b =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôø
ïø K K K K úø ïø úø ïø úø
M M
ôøa m 1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a m n x n = b m
ïø úø ïø úø ïø úø
óø
a m 2 K a m n ûø ðøx n ûø ðøb n ûø
ðøa m 1
T w i e r d z e n i e C r a m e r a ( t y l k o d l a u k Ba d ó w , g d y m = n ) :
W x
i
d e t A `" 0 , x i = .
d e t A
W x - w y z n a c z n i k m a c i e r z y , k t ó r a p o w s t a j e z m a c i e r z y A p o z a s t p i e n i u i - t e j k o l u m n y w e k t o r e m w y r a z ó w
i
w o l n y c h b .
T w i e r d z e n i e K r o n e c k e r a - C a p e l l e g o :
1 . J e |e l i r z A = r z U i l . n - r z U `" 0 , t o u k Ba d j e s t z a l e |n y ( o d l . n - r z A p a r a m e t r ó w ) .
2 . J e |e l i r z A = r z U i l . n - r z A = 0 , t o u k Ba d j e s t n i e z a l e |n y .
3 . J e |e l i r z A `" r z U , t o u k Ba d j e s t s p r z e c z n y .
U - u z u p e Bn i o n a m a c i e r z A o w e k t o r w y r a z ó w w o l n y c h b , l . n - l i c z b a n i e w i a d o m y c h .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Geometia i Algebra LiniowaALGEBRA LINIOWA KOLOKWIA PRZYKLADOWESylabus Algebra liniowa I studia licencjackieAlgebra Liniowa (Informatyka)Podstawy algebry liniowejAlgebra Liniowa Zadania(1)Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierówAlgebra liniowa 1B DefinicjeZadania Algebra Liniowa 2 seriawięcej podobnych podstron