Zadania przygotowawcze II, Algebra Liniowa
1. Zbadać czy następujące układy wektorów są liniowo zależne. Jeśli układ jest zależny to
znalez
ć nietrywialną zależność między nimi oraz przedstawić jeden z nich jako kombinację
liniową pozostałych.
(a) [1,2,-3,4], [2,2,0,-3],[8,10,-6,5],[10,12,-6,2].
(b) [1,2,0,-1,3], [-2,3,1,0,2],[1,1,0,2,7].
2. Dla jakich wartości parametru p układ wektorów jest zależny?
(a) [1, p, 2, ], [2, 3, 4], [0, 2, 1], [2, p, 4],
(b) [0, 1, -2, 1], [2, 1, 1, 1], [0, p, 1, 1], [0, 0, 0, p].
3. Dla jakich wartości parametru s następujący układ wektorów jest bazą w odpowiedniej
przestrzeni
(a) [s, 1], [1, s] w R2.
(b) [1, 0, s], [1, 1, 1], [s, 1, 1] w R3.
(c) [1, 2, s], [0, 1, 2] w przestrzeni rozwiązań równania x1 + 2x2 - x3 = 0.
4. Układ wektorów ą1, ą2, ą3, ą4jest układem niezależnym. Czy następujące układy są za-
leżne czy są niezależne?
(a) Ä…1 + Ä…2, Ä…1.
(b) Ä…1 - Ä…2, Ä…2 - Ä…3, Ä…3, Ä…4.
(c) Ä…1 + Ä…2 + Ä…3, Ä…2 + Ä…3 + Ä…4, Ä…1 - Ä…2 + 2Ä…3 - Ä…4, 3Ä…1 + 2Ä…2 + 5Ä…3.
(d) Ä…1 - Ä…2, Ä…2 - Ä…1, Ä…3, 2Ä…4.
5. (a) Czy wektory w1 = [1, 2, 3], w2 = [-2, 3, 1], w3 = [2, 11, 13], w4 = [-3, 1, -2] rozpi-
nają przestrzeń R3? (tzn. czy każdy wektor przestrzeni R3 jest kombinacją liniową tych
wektorów).
(b) Czy wektory [-1, 2], [1, 1] rozpinają przestrzeń R2?
6. Czy wektory [1,1,2,2], [0,1,2,1] stanowią bazę przestrzeni rozwiązań układu

x1 +x2 - x4 = 0
x1 +3x2 -x3 - x4 = 0
7. Wyznaczyć bazę w przestrzeni rozwiązań układu. Znalez
ć wymiar tej przestrzeni.
Å„Å‚
ôÅ‚ x1 +x2 +x4 = 0
òÅ‚
2x1 +x2 -x3 +2x4 = 0
ôÅ‚
ół
7x1 +5x2 -2x3 +7x4 = 0
1
8.(a) Obliczyć rząd macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 2 3 1
ïÅ‚ śł
0 1 2 -2 3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -1 0 1 2 -3
ûÅ‚
0 0 6 5 -2
îÅ‚ Å‚Å‚

1 -1
2 1 0
ïÅ‚ śł
(b) Niech A = 0 2 , B = . Obliczyć rzÄ…d macierzy A, B, A · B.
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 3 4
3 0
9. Obliczyć rząd macierzy w zależności od parametru t.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 t 2 0 t 2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(a) 2 2 t , (b) 1 2 t 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 2 t 2 2 t t
10. Wektor w " R3 ma w bazie złożonej z wektorów (1,2,1), (-1,0,2), (2,3,1) współrzędne
1,2,3. Znalez
ć współrzędne w w bazie
(a) (2,3,1), (1,2,1), (-1,0,2)
(b) (1,1,0), (0,1,1,), (1,0,1).
11. Wektor w ma w bazie ą1, ą2 współrzędne 1,3. Znalez
ć współrzedne tego wektora w
bazie:
(a) Ä…2, Ä…1
(b) 2Ä…1, 3Ä…2
(c) -Ä…1, -Ä…2
(d) Ä…1 + Ä…2, Ä…1 - Ä…2.
12. Znalez
ć wymiar zbioru rozwiązań układu (tzn. liczbę zmiennych wolych w rozwiązaniu
ogólnym) )w zależności od parametru p korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelli. Dla
jakich wartości p układ jest sprzeczny?
Å„Å‚
ôÅ‚ px1 +x2 +x3 +x4 = 0
òÅ‚
x1 +px2 +x3 +x4 = 1
ôÅ‚
ół
x1 +x2 +x3 +x4 = p
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
13. Wyznaczyć wszystkie wartości x " R, dla których macierz 0 x 1 łł
íÅ‚
1 1 x + 2
jest odwracalna ( tzn. ma macierz odwrotną). Następnie dla x = -2 znalez
ć macierz
odwrotnÄ… .
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
14. Wyznaczyć A-1 dla A = 0 cos x sin x łł
íÅ‚
0 - sin x cos x
15. Stosując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomą y z układu
x + 2y + 2z + 3t = 3
3y + t = 1
5x - 2y + t = 1
4x - 5y + 2t = 1
16. Znalez
ć macierz transponowaną do macierzy B , jeżeli
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 0 1 0 0 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
B = 1 0 1 · 1 0 1 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
2 1 0 2 1 0
17. Znalez
ć macierz A spełniającą równanie
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0 2 0 2 4
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1 · A = 1 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 3 4
ëÅ‚ öÅ‚
0 2 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Wsk. Pomnożyć obie strony z lewej strony przez macierz odwrotną do 0 0 1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0
Odpowiedzi i wskazówki.
1.(a) Zależny; 0 · w1 - 1 · w2 - 1 · w3 + 1 · w4 = 0.
(b) Niezależny; ustawić w macierz i znalez
ć rząd. Jest równy 3.
2.(a) Zależny dla dowolnego p. Cztery wektory w 3-wymiarowej przestrzeni są zawsze
zależne.
(b) Ustawiamy wektory w macierz. Wyznacznik jest równy -2p(1 + 2p). Zatem układ
jest zależny wtedy i tylko wtedy gdy p = 0 lub p = -1.
2
3.(a) s = -1 i s = 1.

(b) s = 0 i s = 1.

3
(c) Te wektory spełniają równanie gdy s = 5. Przestrzeń tych rozwiązań jest 2-
wymiarowa.Dla s = 5 te wektory sÄ… niezalez
ne więc stanowią bazę.
4.(a) Niezależny
(b) niezależny
(c) Zależny; 22w1 + w2 + w3 = w4
(d) Zależny; pierwszy=-drugi.
5.(a) Nie ; rząd macierzy utworzonej z tych wektorów jest równy 2. Zatem maksymalny
układ niezależny wśród nich składa się z 2 wektorów. Widać, że np. pierwsze 2 są niezależne.
Zatem w3 i w4 są zależne od w1 i w2 czyli są kombinacjami liniowymi w1 oraz w2. Zatem
każda kombinacja liniowa tych 4 wektorów jest kombinacją wektorów w1 i w2. Dwa wektory
nie mogą rozpinać 3-wymiarowej przestrzeni. Na to trzeba przynajmniej trzech wektorów.
(b) Tak; te wektory stanowią bazę R2 zatem każdy wektor z R2 jest ich kombinacją
liniowÄ….
6. Tak. Wymiar tej przestrzeni jest równy 2. Dane wektory są rozwiązaniami (podstawić)
i są niezależne więc jest baza.
7. R0związanie ogólne (x3 - x4, -x3, x3, x4). Baza (1,-1,1,0), (-1,0,0,1). Wymiar=2.
8.(a) rz=3
(b) rz A = 2, rzB = 2, rzA · B = 2.
9.(a) det=t2 - 4. Zatem rz=3 dla t = 2 i t = -2. Dla t = 2 lub t = -2 rząd jest równy 2

bo są minory stopnia 2 różne od 0.
(b) Gdy skreślimy ostatnią kolumnę to dostajemy minor stopnia 3 równyt2 - 4. Zatem
dla t = 2 i t = -2 rząd jest 3. Dla 2 lub -2 rząds też jest 3; (obliczyć inne minory stopnia

3 lub przekształcić do postaci schodkowej).
10. w = (5, 11, 8). Współrzędne :4,7,1.
1 1
11.(a) 3,1; (b) , , (c) -3,-1; (d)2,-1.
2 2
12. Obliczamy rząd macierzy układu (macierz utworzona ze współczynników przy niewia-
domych). Po skreśleniu ostatniej kolumny mamy minor stopnia 3 równy p2 - 2p + 1. Zatem
dla p = 1 rząd tej macierzy jest równy 3. Rząd macierzy uzupełnionej też jest 3 bo ten

minor jest także minorem w tej macierzy. Rzędy są równe więc układ ma rozwiązania i wy-
miar zbioru rozwiązań (liczba parametrów) jest równy liczba niewiadomych-rząd=4-3=1.
Dla p = 1 rząd macierzy układu jest równy 2 a rząd macierzy uzupełnionej jest 3. Układ
jest więc sprzeczny.
4
13. Wyznacznik jest równy x(x + 1). Zatem macierz jest odwracalna gdy x = 0 i x = -1.

îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 1
3 3
ïÅ‚ śł
1
Dla x = -2 macierz odwrotna jest równa ðÅ‚ -1 0 ûÅ‚
3 3
1 0 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ïÅ‚ śł
14. 0 cos x - sin x ûÅ‚
ðÅ‚
0 sin x cos x
-10 1
15. = .
-70 7
ëÅ‚ öÅ‚
2 1 2
ìÅ‚ ÷Å‚
16. Iloczyn jest równy 2 1 1 . Macierz transponowana ( wiersze piszemy jako ko-
íÅ‚ Å‚Å‚
1 0 3
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 1
ìÅ‚ ÷Å‚
lumny) jest rowna 1 1 0 Å‚Å‚
íÅ‚
2 1 3
ëÅ‚ öÅ‚
1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
1
17. íÅ‚ 2 .
Å‚Å‚
2
1 0
5