Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 8)
ILOCZYN TENSOROWY
1. Wykaż następujące własności iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:
<" <"
(a) V " K V K "V ,
= =
(b) V1 "V2 <" V2 "V1,
=
(c) (V1 "V2) "V3 <" V1 "V2 "V3,
=
<"
(d) V1 " (V2 "V3) V1 "V2 "V3,
=
(e) (V1 •"V2) "V3 <" (V1 "V2) •" (V1 "V3),
=
<"
(f) V1 " (V2 •"V3) (V1 "V2) •" (V1 "V3),
=
<"
(g) V1 " (V2 " ... "Vn) (V1 " ... "Vn-1) "Vn,
=
(h) V1 " ... "Vn <" VÃ(1) " ... "VÃ(n) dla dowolnego à " S(n).
=
<"
(i) (V1 " ...Vk) " (Vk+1 " ... "Vn) V1 " ... "Vn,
=
2. Wskaż naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:
m
(a) Kn " Km <" Kn ,
=
n m nm
(b) Kn " Km <" Knm ,
=
<"
(c) K[X] " K[Y ] K[X,Y ],
=
l
(d) K[X]m " K[Y ]n <" K[X, Y ]m,n, gdzie K[X, Y ]m,n = linK{XkY : k d" m, l d" n}.
=
"
<"
3. Wykaż izomorfizm: V "W HomK(V,W ).
=
"
Wskazówka. Rozważ odwzorowanie t : V ×W HomK(V,W ), takie, że t( f ,w)(v) = f (v) · w.
4. Niech (v1,v2,v3) będzie bazą przestrzeni V , zaś (w1,w2) bazą przestrzeni W . Znajdz
współrzędne wektora v1 " w1
w bazach przestrzeni V "W wyznaczonych przez następujące bazy przestrzeni V i W :
(a) (v1,v2,v3) oraz (w1,w2),
(b) (v1 + v2, v2 + v3, v3) oraz (w1 + w2, w2),
(c) (v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3) oraz (w1, -w2).
5. Jeśli V jest przestrzenią liniową nad K oraz K < L, to przez VL oznaczmy przestrzeń otrzymaną przez rozszerzenie
ciała skalarów do ciała L. Wykaż, następujące izomorfizmy przestrzeni liniowych:
(a) (Kn)L <" Ln,
=
n n
(b) (Km)L <" Lm,
=
"
(c) (V )L <" (VL)",
=
(d) (K[X])L <" L[X].
=
3 2
6. Niech Ć: K2 K2 È: K bÄ™dÄ… przeksztaÅ‚ceniami liniowymi o macierzach w bazach jednostkowych rów-
,
K
1 2 2 3 -1
nych odpowiednio , . Znajdz
(Ć"È)(µ1 "µ1), (Ć"È)(µ1 "µ2), (Ć"È)(µ1 "µ2 +µ2 "µ1),
1 0 1 2 2
(Ć " È)((µ1 + µ2) " (µ1 - µ3)).
7. Wykaż, że:
(a) dla dowolnych przestrzeni liniowych V1,...,Vn zachodzi równość IdV1 "... " IdVn = IdV1"..."Vn,
(b) jeÅ›li Ći " HomK(Vi, Wi), Èi " HomK(Wi, Ui), dla i = 1,...,n, to
(È1 " ... " Èn) ć% (Ć1 " ... " Ćn) = (È1 ć% Ć1) " ... " (Èn ć% Ćn).
(c) jeśli Ći " HomK(Vi, Wi) są izomorfizmami dla i = 1,...,n, to Ć1 " ... " Ćn jest izomorfizmem oraz
(È1 " ... " Èn)-1 = È-1 " ... " È-1.
n
1
8. Wykaż, że:
m n
(a) macierze jednostkowe Im " Km , In " Kn spełniają równość Im " In = Imn,
n l m k
(b) jeśli A1 " Km, B1 " Kk, A2 " Kp , B2 " Kq, to (A2 " B2)(A1 " B1) = (A2A1) " (B2B1).
(c) jeśli A " Gl(m,K), B " Gl(n,K), to A " B " Gl(mn,K) oraz (A " B)-1 = A-1 " B-1.
Wskazówka. Wykorzystaj poprzednie zadanie.
9. Wykaż, że:
n l
(a) jeśli A " Km, B1,B2 " Kk, to A " (B1 + B2) = (A " B1) + (A " B2),
n l
(b) jeśli A1,A2 " Km, B " Kk, to (A1 + A2) " B = (A1 " B) + (A2 " B).
m n
10. Wykaż, że jeśli A " Km , B1,B2 " Kn , to det(A " B) = detAn detBm.
Wskazówka. Korzystając z zadania 18(b) zapisz macierz A " B jako iloczyn dwóch macierzy blokowych A " B =
(A " In)(Im " B) i zastosuj twierdzenie Cauchy ego.
8