ALGEBRA LINIOWA 1, MAEW 102
Listy zadań na semestr zimowy 2007/08
Opracowanie: doc. Zbigniew Skoczylas
Lista pierwsza - Kombinatoryka
7 10
10!
1. Obliczyć: 5!, , , , (3!)!, 6!!, 7!!. *Ile zer ma na końcu liczba 99! ?
6! 3 8
2. Uprościć wyrażenia:
(n+5)! [(n+1)!]2 (2n)!
a) (n + 1)! - n!; b) ; c) ; d) .
(n+3)! [2(n+1)]!
(n!)2
3. Napisać w formie rozwinietej nastepujace symbole:
6 10 4 3
n
a) ; b) 3; c) f(xn); d) (x - 2)n;
n+2
n=1 n=7 n=1 n=0
4 13 5 4
"
f(xn)
x-xn
e) 3n + 1; f) nn; g) ; h) .
n+1 xn+1-xn
n=2 n=10 n=1 n=1
4. Używajac symbolu sumy i/lub iloczynu zapisać podane wyrażenia w prostszej postaci:
1 2 3 4 5 6 7
a) + + + + + + ;
2 22 23 24 25 26 27
b) 3! (x - 1)2 + 4! (x - 1)3 + . . . + 100! (x - 1)99 ;
c) a1b11 + a2b10 + a3b9 + . . . + a11b1;
d) y1 + y1y2 + y1y2y3 + . . . + y1y2y3 . . . y100;
1 2 3 4 5 6
e) · · · · · ;
22 32 42 52 62 72
" " " " " " " " "
3 4 5 6 7 8 9 10
f) x1 · x2 · x3 · x4 · x5 · x6 · x7 · x8 · x9;
g) [f (x2) - f (x1)] · [f (x3) - f (x2)] · . . . · [f (x101) - f (x100)] ;
h) (a1 + a2) · (a1 + a2 + a3) · (a1 + a2 + a3 + a4) · . . . · (a1 + a2 + . . . + a22) .
5. Zastosować wz r dwumianowy Newtona do wyrażeń:
" "
5
1
4
a) (2x + y)4 ; b) (c - 1)7 ; c) x + ; d) ( u + v)8.
x3
6. Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n n n n
n n n 2n+1
a) ; b) 2k; c) (-1)k ; d) .
k k k k
k=0 k=0 k=0 k=0
7. Napisać wszystkie permutacje utworzone z element w zbior w:
{K, O, T } , {c&, f&, e&, `&} .
8. Wyznaczyć zlożenia p ć% q, q ć% p, p ć% p, q ć% q permutacji:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
p = , q = .
2 1 5 4 3 5 4 3 2 1
1
9. Znalez
ć permutacje odwrotne do permutacji:
1 2 3 4 1 2 3 4 5
r = , s = .
3 4 1 2 5 4 3 2 1
10. Obliczyć liczbe inwersji w permutacjach:
p = (5, 4, 3, 1, 2, 6) , q = (8, 6, 5, 4, 1, 3, 7, 2) .
Określić znaki tych permutacji.
11. Podane permutacje rozlożyć na cykle:
p = (4, 3, 2, 6, 5, 1) , q = (2, 1, 5, 4, 3, 6, 7, 8) .
12. Uzasadnić, że liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest r wna n!. *Opracować
algorytm do generowania wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.
Lista druga - Kombinatoryka (cd.)
13. Wypisać:
a) wszystkie podzbiory 3-elementowe zbioru { , , , } ;
b) wszystkie , slowa 4-literowe, kt re można utworzyć z liter A, B;
c) wszystkie możliwości obsady stanowisk: dyrektor, ksiegowy, magazynier, jeżeli na konkurs
zglosili sie Ania, Bartek, Czeslaw oraz Dominik. Zalożyć, że wszyscy moga pelnić każda z tych
funkcji. Jaka bedzie odpowiedz
, jeśli do pracy musi być przyjeta Ania?
14. Na okregu umieszczono n 4 r żnych punkt w. Ile czworokat w wypuklych można utworzyć,
wybierajac te punkty jako wierzcholki?
15. Na ile sposob w 8 zawodnik w może zdobyć miejsca medalowe w biegu na 100 m?
16. Tajne Slużby stwierdzily, że w pewnym pomieszczeniu można zainstalować ukryta kamere (bez
fonii) w 4 miejscach, a ukryty mikrofon w 7 miejscach. Na ile sposob w, TS moga umieścić w
tym pomieszczeniu 2 kamery oraz 3 mikrofony, aby mieć go pod pelna kontrola?
17. Odtwarzacz MP3 zawiera 100 legalnych utwor w muzycznych. Wlaczono odtwarzanie losowe 20
utwor w. Ile jest możliwych realizacji tego polecenia?
18. Numer na banknotach 10 zl sklada sie z 2 liter (spośr d A, B, ..., Z) oraz z 7 cyfr (od 0 do 9). Ile
banknot w można oznaczyć takimi numerami?
19. Na ile sposob w, roztargniona sekretarka może wpia ć 5 dokument w do 3 pustych segregator w?
W każdym segregatorze mieszcza sie 4 dokumenty.
20. W klasie uczy sie 15 chlopc w i tyle samo dziewczat. Na ile sposob w, uczniowie moga ustawić
sie w pary przed klasa, jeżeli każda para sklada sie z dziewczynki i chlopca?
21. Dysponujemy trzema pamieciami podrecznymi o pojemnościach 500 MB, 1 GB oraz 2 GB. Na
ile sposob w, można na nich zapisać 10 plik w o wielkości 100 MB każdy oraz 5 plik w 300 MB?
Plik w nie można dzielić na mniejsze.
22. Obliczyć, na ile sposob w 100-osobowa wycieczke można umieścić w 10-osobowym busie,
40-osobowym autobusie oraz w 50-osobowym autokarze.
2
23. Metodami kombinatorycznymi uzasadnić tożsamości:
n n n n n + 1
= , + = .
k n - k k k + 1 k + 1
Lista trzecia - Liczby zespolone
24. Obliczyć:
"
a) (2 - 5i) + 3 + i 2 ; b) (7 + 6i) - (8 - 3i) ; c) (4 - i) · (3 + 4i) ;
1+i
d) ; e) i11; f) (-1 + 2i); g) (-3i); h) (3 + 4i)2 ; i) (2 + i)3 .
6-5i
25. Por wnujac cześci rzeczywiste i urojone obu stron podanych r wnań znalez
ć ich rozwiazania:
a) z = (2 - i)z; b) z2 + 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2 - 5i) z = 2i - 3; d) z3 = 1.
26. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spelniacych podane warunki:
1
a) Re (z + 1) = Im (2z - 4i) ; b) Re (z2) = 0; c) Im (z2) 8; d) Re > Im (iz) .
z
27. Uzasadnić tożsamości:
a) |z| = |z| ; b) z · z = |z|2 ; c) |zn| = |z|n , gdzie z " oraz n " .
28. Obliczyć moduly podanych liczb zespolonych:
" "
3+4i
a) -3; b) 5 - 12i; c) 11 + i 5; d) ; e) (1 + 2i) · (i - 3) ; f) (1 + 2i)8;
4-3i
g) (sin 4ą - i cos 4ą) , gdzie ą " ; h) (ctg ą + i) , gdzie ą = nĄ, n " .

29. Korzystajac z interpretacji geometrycznej modulu r żnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować
zbiory liczb zespolonych spelniajacych podane warunki:
a) |z - 2 + 3i| < 4; b) |z + 5i| 3; c) |z - 1| = |1 + 5i - z| , d) |z + 3i| < |z - 1 - 4i| ;
z-3i z2+4
e) |iz + 5 - 2i| < |1 + i| ; f) > 1; g) 1; h) |z2 + 2iz - 1| < 9.
z z-2i
Lista czwarta - Liczby zespolone (cd.)
30. Wyznaczyć argumenty gl wne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalku-
lator):
"
" "
2 1
a) 55; b) -Ä„; c) - i; d) i; e) 3 + 3 3i; f) -2 + 2i; g) 1 + 3i; h) 2 - 2 3i.
2 3
31. Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej:
"
" " "
3
a) -2; b) 10 + 10i; c) -1 + i ; d) Ä„i; e) 7 - i 7; f) -3 - i 27.
2 2
32. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spelniajacych podane warunki:
Ä„ Ä„ Ä„
a) arg (z) = Ä„; b) < arg (z - i) ; c) < arg (iz) < Ä„;
6 3 2
Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 1 3Ä„
d) arg (-z) = ; e) 0 < arg (z) ; f) arg .
4 3 4 z 2
33. Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć:
"
8
" 9 " " 10
5 5
1 3
a) (1 - i)11 ; b) + i ; c) 2i - 12 ; d) - 2 - i 2 .
2 2
34. Wyznaczyć i narysować na plaszczyz
nie zespolonej elementy podanych pierwiastk w:
" " " " "
6
4 3 3 4
a) -16; b) -8i; c) -2 - 2i; d) -4; e) 1.
3
35. W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane r wnania:
a) z2 - 2z + 10 = 0; b) z2 + 3iz + 4 = 0; c) z4 + 5z2 + 4 = 0;
d) z2 + (1 - 3i) z - 2 - i = 0; e) z6 = (1 - i)6 ; f) (z - i)4 = (z + 1)4 .
36. *Niech É0, É1, É2, . . . , Én-1 oznaczaja pierwiastki n-tego stopnia z jednoÅ›ci. Pokazać, że
a) É0 + É1 + É2 + . . . + Én-1 = 0; b) É0 · É1 · É2 · . . . · Én-1 = (-1)n-1 .
Lista piata - Wielomiany
2
37. Dla podanych par wielomian w rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P - Q, P · Q, P :
a) P (x) = x2 - 3x + 2, Q (x) = x4 - 1;
b) P (z) = z2 - 1 + 4i, Q (z) = z3 + (1 - i) z2 + 5.
38. Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać reszte z tego dzielenia, jeżeli:
a) P (x) = x4 - 3x3 - 2x2 + 11x - 15, Q (x) = x3 - 2x + 5;
b) P (x) = x4 + x + 16, Q (x) = x2 - 3x + 4;
c) P (z) = z3 + iz + 1, Q (z) = z2 - i.
39. Korzystajac ze schematu Hornera wyznaczyć iloczyny P Q oraz ilorazy i reszty z dzielenia P : Q
dla wielomian w z zadań 37 a), 38 a), b).
40. Znalez
ć wszystkie pierwiastki calkowite podanych wielomian w:
a) x3 + 3x2 - 4; b) x4 - 2x3 + x2 - 8x - 12; c) x4 - x2 - 2.
41. Znalez
ć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomian w:
a) 6x3 - 5x2 - 2x + 1; b) 3x3 - 2x2 + 3x - 2; c) 6x4 + 7x2 + 2.
42. Odczytać pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomian w:
a) (x - 1) (x + 2)3 ; b) (2x + 6)2 (1 - 4x)5 , c) (z2 - 1) (z2 + 1)3 (z2 + 9)4 .
43. Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli;
a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4, Q (x) = x2 - 1;
b) P (x) = x2007 + 3x + 2008, Q (x) = x2 + 1;
c*) P (x) = x2006 + x1002 - 1, Q (x) = x4 + 1;
d*) P (x) = x444 + x111 + x - 1, Q (x) = (x2 + 1)2 .
44. Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba
z2 = z0 także jest pierwiastkiem wielomianu P . Korzystajac z tego faktu znalez
ć pozostale
pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x4 - 4x3 + 12x2 - 16x + 15 wiedzac, że jednym z nich
jest x1 = 1 + 2i.
45. Podane wielomiany rozlożyć na nierozkladalne czynniki rzeczywiste:
a) x3 - 27; b) x4 + 16; c) x4 + x2 + 4; d*) x6 + 1.
46. Podane funkcje wymierne rozlożyć na rzeczywiste ulamki proste:
2x+5 x+9 3x2+4x+3 x3-2x2-7x+6
a) ; b) -x(x+3) ; c) ; d) .
2
x2-x-2 x3-x2+4x-4 x4+10x2+9
Lista sz sta - Macierze
4
1
47. Dla podanych par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) wskazane dzialania 3A - B, AT ,
2
AB, BA, A2:
1 4 0 -6
a) A = , B = ;
-2 0 -8 2
b) A = 1 -3 2 , B = 2 -4 0 ;
îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚0śł
ïÅ‚ śł
c) A = , B = -2 1 0 5 ;
ðÅ‚3ûÅ‚
0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1 -2 0
ðÅ‚ ðÅ‚
d) A = 2 1 -4ûÅ‚ , B = 4 1ûÅ‚ .
-3 0 2 0 3
48. Rozwiazać r wnanie macierzowe
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 4 3
íÅ‚ðÅ‚-3 3ûÅ‚ -XÅ‚Å‚ = X+ ðÅ‚
3 0 6ûÅ‚ .
2 5 -1 2
49. Znalez
ć niewiadome x, y, z spelniajace r wnanie
T
x + 2 y + 3 3 6
2 = .
3 0 y z
50. Podać przyklady macierzy kwadratowych A, B, kt re spelniaja podane warunki:
a) AB = BA; b) AB = 0, ale A = 0, B = 0; c) A2 = 0, ale A = 0.

51. Uzasadnić, że iloczyn
a) macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna;
b) iloczyn macierzy tr jkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza tr jkatna dolna.
52. Pokazać, że k ażda macierz kwadratowa mo żna przedstawić jednoznacznie jako sume macierzy
symetrycznej AT = A i antysymetrycznej AT = -A . Napisać to przedstawienie dla macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 4 -2
ïÅ‚-3 5 2 8 śł
ïÅ‚ śł
B = .
ðÅ‚
2 4 -3 -4ûÅ‚
6 0 0 1
53. Macierze kwadratowe A, B sa przemienne, tzn. spelniaja r wność AB = BA. Pokazać, tożsamości:
a) (A - B) (A + B) = A2 - B2; b) (BA)2 = A2B2; c) A2B3 = B3A2.
54. Dla podanych macierzy A obliczyć An dla kilka poczatkowych wartości n, nastepnie wysuna ć
hipoteze o postaci tych poteg i uzasadnić ja za pomoca indukcji matematycznej:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 2 0 2 1 1 0
ðÅ‚0 ðÅ‚0 ðÅ‚0
a) A = -2 0ûÅ‚ ; b) A = 2 0ûÅ‚ ; c*) A = 1 1ûÅ‚ .
0 0 3 2 0 2 0 0 1
55. W zbiorze macierzy rzeczywistych znalez
ć wszystkie rozwiazania podanych r wnań:
4 0 0 0 0 1
a) X2= ; b) X2= c) X2= .
0 9 0 0 1 0
Lista si dma - Wyznaczniki
5
56. Napisać rozwiniecia Laplace a podanych wyznacznik w wg wskazanych kolum lub wierszy (nie
obliczać wyznacznik w w otrzymanych rozwinieciach):
1 4 -3 7
-1 4 3
-2 4 2 0
a) -3 1 0 , trzecia kolumna; b) , czwarty wiersz.
5 4 1 6
2 5 -2
2 0 0 -3
57. Obliczyć podane wyznaczniki:
" " " "
3 5 3
2 0 0 0
"2 " " "
1 -1 2
-2 5 3 -3 5 7 6
" "21 10 -2 3 .
"
a) ; b) 3 2 -4 ; c) d)
3 -7 4 0 1 4
10 2 6
"15 "5 "
2 2 1
5 0 2 -2
2 2 6 10 15
58. Korzystajac z wlasności wyznacznik w uzasadnić, że podane macierze sa osobliwe:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 5 2 -2
2 4 -4 1 2 3
ïÅ‚7
ïÅ‚ śł
ðÅ‚-1 -2 2 ûÅ‚ ðÅ‚4 4 4ûÅ‚ ; c) 5 2 -5śł .
a) ; b)
ðÅ‚5 7 4 -4ûÅ‚
3 5 -6 3 2 1
3 3 0 -3
59. Jakie sa możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spelniajacej podane
warunki:
a) A3 = 4A dla n = 3, 4; b) AT = -A2 dla n = 3, 4 ?
60. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 0 . . . 0
1 2 3 4 5 1 -1 0 0 0
ïÅ‚2 5 3 . . . 0śł
ïÅ‚2 2 3 4 5śł ïÅ‚ śł
0 1 -1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2 5 . . . 0śł
ïÅ‚3 ïÅ‚ śł
a) 3 3 4 5śł ; b) 0 0 1 -1 0 ; c)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
. . .
... śł
ðÅ‚4 4 4 4 5ûÅ‚ ðÅ‚
. . .
0 0 0 1 -1ûÅ‚
ðÅ‚
. . . 3ûÅ‚
6 6 6 6 6 -1 0 0 0 1
0 0 0 . . . 5
61. *Uzasadnić, że niezależnie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest
r wny 0
îÅ‚ Å‚Å‚
? ? ? ? ?
ïÅ‚? 0 0 0 ?śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚? 0 0 0 ?śł .
ïÅ‚ śł
ðÅ‚? 0 0 0 ?ûÅ‚
? ? ? ? ?
6