Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)
PRZESTRZENIE I PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
1. Niech S i T będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wykaż, że
(a) Jeśli dimS = dimV , to S = V .
(b) Jeśli dimV = n oraz {v1,...,vk} jest bazą S, to istnieją wektory vk+1,...,vn " V takie, że {v1,...,vn} jest bazą
przestrzeni V .
(c) Jeśli {v1,...,vk} jest bazą S zaś {vk+1,...,vn} jest bazą T , to {v1,...,vn} jest bazą V wtedy i tylko wtedy, gdy
V = S •" T .
2. Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {u1,...,un} będzie bazą U, zaś {v1,...,vn}
dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wykaż, że:
(a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U V takie, że f (ui) = vi dla i = 1,...,n.
(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {v1,...,vn} jest bazą V .
<"
(c) U V wtedy i tylko wtedy, gdy dimU = dimV .
=
n
3. Niech K będzie ciałem, A = [ai j] " Km oraz b = [bi] " Kn. Oznaczmy, przez Au macierz, której początkowych
n kolumn to kolumny macierzy A a ostatnią jest kolumna b = [bi]. Rozważmy układ m równań liniowych o n
niewiadomych.
îÅ‚ Å‚Å‚
X1
ïÅ‚ śł
.
.
A · = b ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
.
Xn
Wykaż, że:
(a) Układ ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(Au).
(b) Jeśli n = m oraz detA = 0, to układ ( ) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

(c) Jeśli b = 0, to zbiór rozwiązań układu ( ) jest podprzestrzenią przestrzeni Kn o wymiarze równym n - r(A).
4. Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś {v1,...,vn} bazą V . Wskaż naturalny izo-
morfizm V Kn.
5. Niech V = R[X]n = { f " R[X] : deg f d" n}, natomiast przeksztaÅ‚cenie ´ : V V niech przyporzÄ…dkowuje wielo-
mianowi jego pochodnÄ…. Pokazać, że ´ jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znalez
ć macierz ´ w bazie:
(a) (1,X,X2,...,Xn),
(X - c)2 (X - c)n
(b) (1, X - c, , ..., ), gdzie c jest ustalonÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ….
2! n!
6. Macierz przeksztaÅ‚cenia Õ : K3 K3 w bazie (µ1,µ2,µ3) ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
" " 0 " " 0 " " 0
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚.
(a) " " 0 (b) " " 0 (c) " " 0
" " 1 " " 0 0 0 "
Jakie wÅ‚asnoÅ›ci przeksztaÅ‚cenia Õ można stÄ…d odczytać ?
7. Obliczyć wielomian charakterystycznyłł
endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci
îÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-an-1 -an-2 ··· -a1 -a0 0 0 ··· 0 -a0
ïÅ‚ śł ïÅ‚
1 0 ··· 0 0 1 0 ··· 0 -a1 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
0 1 ··· 0 0 0 1 ··· 0 -a2 śł.
ïÅ‚ śł ; (b) ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
. . . . . . . .
.. . . śł ..
. . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. .
. . . . . . . .
0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 1 -an-1
Czy każdy wielomian unormowany, z dokładnością do znaku, może być wielomianem charakterystycznym jakiegoś
endomorfizmu ?
8. Niech Õ : R[X]3 R[X]3 bÄ™dzie przeksztaÅ‚ceniem danym wzorem Õ( f (X)) = ((X +3) f (X)) . Sprawdzić, że Õ jest
przekształceniem liniowym i obliczyć jego wartości własne i wektory własne.
îÅ‚ Å‚Å‚
-3 0 2
ðÅ‚-4
9. Dana jest macierz A = 1 2ûÅ‚. Znalez
ć taką macierz odwracalną C " M3(R) aby macierz C-1AC była
-4 0 3
diagonalna. Obliczyć A2001.
1
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2)
GEOMETRIA PRZESTRZENI EUKLIDESOWYCH
Wykorzystując iloczyn skalarny udowodnić następujące twierdzenia dotyczące przestrzeni euklidesowej:
1. Wysokości dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
2. Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
3. W dowolnym trójkącie punkty przecięcia się środkowych, wysokości i symetralnych boków leżą na jednej prostej.
4. Twierdzenie cosinusów. Jeżeli A,B,C są trzema różnymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
- - - - - - -
AB 2= BC 2 + CA 2 -2 CA · BC ·cos( "{CA,CB}).
Wyprowadz
stÄ…d twierdzenie Pitagorasa.
5. Jeżeli A,B,C są trzema różnymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
- - -
- -
CA 2 + CB 2 - AB 2
(CA,CB) = .
2
6. Jeżeli A,B,C są wierzchołkami trójkąta oraz punkt D jest rzutem punktu C na prostą AB (spodek wysokości trójkąta
- - - - -
ABC), to CD 2= (CA,CB) - (DA,DB).
- - - - -
Ponadto jeÅ›li wektory CA, CB sÄ… prostopadÅ‚e, to CD 2= DA · DB .
7. Jeżeli A,B,C są wierzchołkami trójkąta oraz punkt S jest środkiem odcinka AB, to
- - -
- - - - - - -
1 2 CA 2 +2 CB 2 - AB 2
CS 2= CA · CB ·cos( "{CA,CB}) + AB 2 oraz CS 2= .
4 2
8. Twierdzenie sinusów. Jeżeli A,B,C są wierzchołkami trójkąta, to
- - -
AC BC AB
= = .
- - - - - -
sin( "{BA,BC}) sin( "{AB,AC}) sin( "{CA,CB})

a+b+c
9. Wzór Herona. Pole trójkąta o bokach a,b,c wyraża się wzorem s = p(p - a)(p - b)(p - c), gdzie p = .
2
10. Twierdzenie Ptolemeusza. W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie ilo-
czynów długości boków przeciwległych.
Wskazówki do rozwiązania powyższych zadań a także dowody wielu innych interesujących faktów geometrycznych
można znalez
ć w książce Edwarda Piegata pt.  Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.
2
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)
PRZYKA
ADY FUNKCJONAA
ÓW DWULINIOWYCH
1. Które z wymienionych funkcji są formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a) ²(x,y) = xT · y, gdzie x,y " Kn zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(b) ²(x,y) = x · yT , gdzie x,y " Kn zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(c) ²(A,B) = tr(AB), gdzie A,B " M(n,K) zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(d) ²(A,B) = tr(AB - BA), gdzie A,B " M(n,K) zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(e) ²(A,B) = AB, gdzie A,B " M(n,K) zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(f) ²(A,B) = tr(A + B), gdzie A,B " M(n,K) zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(g) ²(A,B) = tr(ABT ), gdzie A,B " M(n,K) zaÅ› K jest ciaÅ‚em;
(h) ²(x,y) = Re(xy), gdzie x,y " C zaÅ› C jest przestrzeniÄ… nad R;
(i) ²(x,y) = Re(xy), gdzie x,y " C zaÅ› C jest przestrzeniÄ… nad R;
Å»
(j) ²(x,y) = Im(xy), gdzie x,y " C zaÅ› C jest przestrzeniÄ… nad R;
Å»
(k) ²(x,y) = |xy|, gdzie x,y " C zaÅ› C jest przestrzeniÄ… nad R;

b
(l) ²( f ,g) = f gdx, gdzie f ,g sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi na przedziale [a, b];
a
b
(m) ²( f ,g) = ( f + g)2dx, gdzie f ,g sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi na przedziale [a, b];
a
b
(n) ²( f ,g) = f g dx, gdzie f ,g sÄ… funkcjami różniczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;
a
(o) ²( f ,g) = ( f g)(a), gdzie f ,g " K[X] oraz a " K;
(p) ²( f ,g) = deg( f g), gdzie f ,g " K[X].
W przypadku, gdy ² jest funkcjonaÅ‚em dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, skoÅ›nie symetryczny lub
alternujÄ…cy.
2. W skończenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybrać bazę i znalez
ć macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.
3. Niech C(a,b) będzie przestrzenią funkcji ciągłych na odcinku (a, b) zaś G(x) będzie ustaloną funkcją na odcinku

b
(a,b) na C(a,b). Wykazać, że odwzorowanie ²( f ,g) = G(x) f (x)g(x) dx jest formÄ… dwuliniowÄ….
a
4. Wykazać, że wielomiany Legendre a
1 dk
P0(x) = 1, Pk(x) = [(x2 - 1)k], k = 1,2,...,n
2kk! dxk

1
tworzÄ… bazÄ™ ortogonalnÄ… w przestrzeni euklidesowej (Rn[X], ²), gdzie ²( f ,g) = (x)g(x) dx.
-1
5. W przestrzeni liniowej C(0,2Ą) wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale (0,2Ą) funkcjonał dwuli-
niowy określony jest wzorem

2Ä„
²( f ,g) = f gdx.
0
Niech F będzie podprzestrzenią przestrzeni C(0,2Ą) generowaną przez zbiór {cosnx, sinnx : n " Z} (elementy
przestrzeni F nazywamy wielomianami Fouriera).
Wykaż, że układ funkcji
1 1 1
" " "
( , cosnx, sinnx : n " N)
Ä„ Ä„
2Ä„
jest bazą ortonormalną przestrzeni F oraz, że współrzędne a0,a1,b1,a2,b2,... funkcji f " F w tej bazie wyrażają
siÄ™ wzorami:

2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
1 1 1
a0 = " f (x)dx, an = " f (x)cosnxdx, bn = " f (x)sinnxdx, n = 1,2,...
Ä„ Ä„
2Ä„ 0 0 0
(współrzędne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).
6. Niech (&!, P) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz F(&!) przestrzenią zmiennych losowych określonych na tej
przestrzeni. Wykazać, że funkcja ²(X,Y ) = E(XY ) jest funkcjonaÅ‚em dwuliniowym na F(&!) (tutaj E(Z) oznacza
wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy &! jest zbiorem skończonym znalez
ć WKW na to aby
funkcjonaÅ‚ ² byÅ‚ dodatnio okreÅ›lony.
7. Wykazać, że rodzina P(X) podzbiorów zbioru X z różnicą symetryczną (jako dodawaniem) i naturalnym mnoże-
niem przez elementy ciała F2 jest przestrzenią liniową nad F2. Sprawdz
, że odwzorowanie ²(A,B) = |A)"B| mod 2
jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.
3
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 4)
WA
ASNOÅšCI PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadania 1 10 ze stron 20 i 21.
4
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 5)
MACIERZE PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadania 1 10 ze stron 29 i 30.
5
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 6)
IZOMETRIE; PRZESTRZENIE NIEOSOBLIWE
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadania 1 10 ze stron 37 39 oraz zadania 3 7 ze stron 50 51.
6
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 7)
DIAGONALIZACJA PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadania 1, 2, 3, 6, 9 ze stron 60 62.
7
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 8)
ILOCZYN TENSOROWY
1. Wykaż następujące własności iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:
<" <"
(a) V " K V K "V ,
= =
(b) V1 "V2 <" V2 "V1,
=
(c) (V1 "V2) "V3 <" V1 "V2 "V3,
=
<"
(d) V1 " (V2 "V3) V1 "V2 "V3,
=
(e) (V1 •"V2) "V3 <" (V1 "V2) •" (V1 "V3),
=
<"
(f) V1 " (V2 •"V3) (V1 "V2) •" (V1 "V3),
=
<"
(g) V1 " (V2 " ... "Vn) (V1 " ... "Vn-1) "Vn,
=
(h) V1 " ... "Vn <" VÃ(1) " ... "VÃ(n) dla dowolnego à " S(n).
=
<"
(i) (V1 " ...Vk) " (Vk+1 " ... "Vn) V1 " ... "Vn,
=
2. Wskaż naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:
m
(a) Kn " Km <" Kn ,
=
n m nm
(b) Kn " Km <" Knm ,
=
<"
(c) K[X] " K[Y ] K[X,Y ],
=
l
(d) K[X]m " K[Y ]n <" K[X, Y ]m,n, gdzie K[X, Y ]m,n = linK{XkY : k d" m, l d" n}.
=
"
<"
3. Wykaż izomorfizm: V "W HomK(V,W ).
=
"
Wskazówka. Rozważ odwzorowanie t : V ×W HomK(V,W ), takie, że t( f ,w)(v) = f (v) · w.
4. Niech (v1,v2,v3) będzie bazą przestrzeni V , zaś (w1,w2) bazą przestrzeni W . Znajdz
współrzędne wektora v1 " w1
w bazach przestrzeni V "W wyznaczonych przez następujące bazy przestrzeni V i W :
(a) (v1,v2,v3) oraz (w1,w2),
(b) (v1 + v2, v2 + v3, v3) oraz (w1 + w2, w2),
(c) (v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3) oraz (w1, -w2).
5. Jeśli V jest przestrzenią liniową nad K oraz K < L, to przez VL oznaczmy przestrzeń otrzymaną przez rozszerzenie
ciała skalarów do ciała L. Wykaż, następujące izomorfizmy przestrzeni liniowych:
(a) (Kn)L <" Ln,
=
n n
(b) (Km)L <" Lm,
=
"
(c) (V )L <" (VL)",
=
(d) (K[X])L <" L[X].
=
3 2
6. Niech Ć: K2 K2 È: K bÄ™dÄ… przeksztaÅ‚ceniami liniowymi o macierzach w bazach jednostkowych rów-
,
K
1 2 2 3 -1
nych odpowiednio , . Znajdz
(Ć"È)(µ1 "µ1), (Ć"È)(µ1 "µ2), (Ć"È)(µ1 "µ2 +µ2 "µ1),
1 0 1 2 2
(Ć " È)((µ1 + µ2) " (µ1 - µ3)).
7. Wykaż, że:
(a) dla dowolnych przestrzeni liniowych V1,...,Vn zachodzi równość IdV1 "... " IdVn = IdV1"..."Vn,
(b) jeÅ›li Ći " HomK(Vi, Wi), Èi " HomK(Wi, Ui), dla i = 1,...,n, to
(È1 " ... " Èn) ć% (Ć1 " ... " Ćn) = (È1 ć% Ć1) " ... " (Èn ć% Ćn).
(c) jeśli Ći " HomK(Vi, Wi) są izomorfizmami dla i = 1,...,n, to Ć1 " ... " Ćn jest izomorfizmem oraz
(È1 " ... " Èn)-1 = È-1 " ... " È-1.
n
1
8. Wykaż, że:
m n
(a) macierze jednostkowe Im " Km , In " Kn spełniają równość Im " In = Imn,
n l m k
(b) jeśli A1 " Km, B1 " Kk, A2 " Kp , B2 " Kq, to (A2 " B2)(A1 " B1) = (A2A1) " (B2B1).
(c) jeśli A " Gl(m,K), B " Gl(n,K), to A " B " Gl(mn,K) oraz (A " B)-1 = A-1 " B-1.
Wskazówka. Wykorzystaj poprzednie zadanie.
9. Wykaż, że:
n l
(a) jeśli A " Km, B1,B2 " Kk, to A " (B1 + B2) = (A " B1) + (A " B2),
n l
(b) jeśli A1,A2 " Km, B " Kk, to (A1 + A2) " B = (A1 " B) + (A2 " B).
m n
10. Wykaż, że jeśli A " Km , B1,B2 " Kn , to det(A " B) = detAn detBm.
Wskazówka. Korzystając z zadania 18(b) zapisz macierz A " B jako iloczyn dwóch macierzy blokowych A " B =
(A " In)(Im " B) i zastosuj twierdzenie Cauchy ego.
8
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 9)
SUMY I ILOCZYNY PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadanie 8 i 9 ze strony 124 oraz zadania 2 6 i 9 11 ze stron 154 155.
9
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 10)
TWIERDZENIA WITTA
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadanie 1 6 ze stron 71 72 oraz zadania 1 4 ze strony 83.
10
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 11)
PIERÅšCIEC
WITTA
K. SZYMICZEK Wykłady z algebry dwuliniowej:
Zadanie 1 6 ze stron 164 165.
11