Zadania z matematyki dla studentów studiów zaocznych w Wałbrzychu
Zestaw 2
Algebra liniowa
1.
Wykonaj podane działania na macierzach: , , ,
B °C A ° B ° C
A ° B
AT °BT
1 á 2 1 0 1
3 2 4
2 1 2 á 1 1
A = , B = , C = .
á 1 1 3
1 0 1 2 1
2.
Znajdz
zbiór macierzy B, które dla danej macierzy A spełniają warunek A B = B A.
° °
0 2
A = .
3 1
3.
Wyznacz macierz C = A B  B A dla
° °
2 á 1 3 2
A = , B = .
1 3 0 1
4. Za pomocÄ… operacji elementarnych na wierszach znajdz
macierze odwrotne do danych:
0 0 6 1 2 1
2 1
0 2 0 2 0 1
A = , B = C = .
4 8
4 0 0 1 1 0
5.
1 4 1 2 2 á 1
Rozwiąż równania macierzowe: dla A = , B = , C = .
2 7 4 3 2 1
(A áX)°Bá (A áB) ° X - A áC
C
a) A ° X ° B áC °B , b) , c) .
6. Wiedząc, że A, B, C są nieosobliwe znajdz
macierze odwrotne do
, ,
A2 °(C° A)á 2 °BT °(C°BT)á 1 Aá 1 °B°(BT °B)á 1 1
Aá °B°Cá 1 .
7.
2 3 2 1
Dane sÄ… macierze : A = i C = .
1 2 4 4
Znajdz
macierz X speÅ‚niajÄ…cÄ… równanie A° X°(Bá 1 ° A)á 1 °Bá 1
= C.
8.
2 1 3 4
Niech A = , B = .
4 4 2 3
Oblicz Cá(AT ° A)á 1 ° BT °[B ° (AT ° A)á 1 ° BT ]á 1 .
9. Oblicz ilość inwersji w permutacjach:
a) (5, 7, 6, 2, 1, 4, 3, 8), d) (2, 3, 4,...,n  1 , n, 1)
b) (n, n  1 , n  2 ,...,3, 2, 1), e) ( 3, 2, 1, 6, 5, 4,...,3n, 3n  1 , 3n  2 ).
c) ( 2, 1, 4, 3, 6, 5,...,2n, 2n  1 ),
10. Zbadaj, czy iloczyn jest składnikiem wyznacznika, a jeśli jest, ustal z jakim znakiem wejdzie do
wyznacznika: a14 Fáa22 Fáa35 Fáa41 Fáa54 , a42 Fáa51 Fáa33 Fáa15 Fáa24 , a14 Fáa25 Fáa36 Fáa41 Fáa55 .
11. Oblicz wyznaczniki:
1á x2 2x
3 2 1 0 a 0 1 a b
1 á x2 1 á x2
2 5 3 b o c 1 a áx b
a) , b) , c) , d) .
á 2x 1á x2
3 4 2 0 d 0 1 a b áx
1 á x2 1 á x2
12. Rozwiąż równania zapisane w postaci wyznaczników
lo x2 x x3 x2 (xá 1 xá 1
gx 1
)x
0
á , , ,
0 á á
x xlogx 1 1
x3 x x3 x2
1 2 3 4
1 áx 1 1 1
5 á x2 2 3 4 1 1á x 1 1
0
á0 á
, ,
1 1 1 áx 1
2 3 5 á x2 1
1 1 1 1á x
2 3 1
13.
Oblicz det (3A B) oraz det ( A 2B-1) wiedząc, że A i B są macierzami stopnia 5 i
° °
det A = 4, det B = 5.
14.
aij á0 i á j
Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n, w której elementy dla .
15. Rozwiązać metodą Cramera następujące układy równań liniowych:
x1 á x á x á 1
Å„Å‚
2 4
ôÅ‚
x1 á 2x2 á 3x3 á4
Å„Å‚ x1 á x á x3 á 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚
a) x2 á 2x3 á3 b) .
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚4x á x2 á x3 á0
ół 1
x3 4
á x á á x á á 1
2
ôÅ‚
ôÅ‚á x1 á x3 á x 4 á 0
ół
16. MetodÄ… wyznacznikowÄ… znajdz
macierze odwrotne do danych:
1 2 1 a 1 1
a2 a
1 1 4 1 a 1
A = , B = , C = .
1 a
2 1 1 1 1 a
Ustal warunki istnienia macierzy odwrotnych.
17. Zbadaj rozwiązalność układów równań i znajdz
rozwiÄ…zania, o ile istniejÄ…:
x1 á 4x2 á5
Å„Å‚
4x1 á5x2 á6x3 á6
Å„Å‚
ôÅ‚
3x1 á 2x2 á5 x1 á x2 á x3 á4
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a) x1 á2x2 á3x3 á4 , b) c)
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚x á 2x2 á 3x3 á8
2x1 á x2 á1
ół 1
ôÅ‚3x á3x2 á3x3 á2 ôÅ‚
ół 1
ôÅ‚á x1 á x2 á0
ół
18. Zbadaj ilość rozwiązań układu w zależności od parametru k.
x á y á z á 2
Å„Å‚
x1 áx2 á x3 á1
Å„Å‚
ôÅ‚
x1 á kx2 á 3
Å„Å‚
ôÅ‚
a) x2 á x3 á4 c)
òÅ‚x á kx2 á 4k , b) òÅ‚ x á 2 y á z á 4
òÅ‚
ół 1
ôÅ‚kx á x2 á x3 á0
ół 1
ôÅ‚
2 kx á 3 y á k
ół
19. Zakład wytwarza wyroby W , W , W używając do produkcji trzech surowców S , S , S . Zużycie
1 2 3 1 2 3
surowca S na jednostkę wyrobu W oraz zapasy surowców przedstawia tabela.
i j
W W W Zapasy
1 2 3
S 1 1 2 40
1
S 2 3 5 30
2
S 3 4 7 m
3
Przy jakim poziomie zapasu S można podjąć decyzję o ilości produkcji każdego z wyrobów, jeśli
3
założyć konieczność wyczerpania zapasów?
20. Rozwiąż jednorodne układy równań liniowych zadanych macierzami
1 0 1
1 á 1 á 1
2 4 1 á 1 1 2 0 1 1
1 4 1
A = , B = , C = , D = .
1 2 1 2 3 4 0 2 1
3 2 1
1 2 1