GL(n, K) SL(n, K)
=
a = b a b
x x = x;
x, y x = y y = x;
x, y, z x = y y = z x = z;
n f x, y, t2, . . . , tn x = y,
f(x, t2, . . . , tn) = f(y, t2, . . . , tn);
n P x, y, t2, . . . , tn x = y,
P (x, t2, . . . , tn) �! P (y, t2, . . . , tn).
ą
�
ł
�
�
ś
�
�
Ń
ą
�

�
�
�
o
Ą
�
�
�
�
Ć
�
�
�
�
�
 ą A
b2 - 4ac ax2 + bx + c
� B
� X
� "
"
ś Z
� E
� H
Ć � Ś
 X
Y x " X
y " Y
f
X Y (x, y) x " X
y " Y X � Y x " X
y " Y f(x) (x, y) " f
X f f Y
f Y0 y " Y
x " X y = f(x) f
f
f : X Y
f(X) = Y f X Y
g : Y X y " Y g(y)
x " X f(x) = y g
f f-1
g = f-1 f = g-1
f f-1 (f-1 ć% f)(x) = x
x " X
ł �
ą I
� K
� ś
 �
� M
� H
� &!
o O
+
 -
a + b
d � = d � (a + b) � c-1.
c
Ą 
� �2 + B� + C = 0
1 � �2 =
-B� - C
 A B A B
" A *" B (A )" B)
" (x - 3)2 - 2 = 0 x2 - 6x + 9 - 2 = 0
� �
� P
"
A = B �! "x[x " A �! x " B].
{0, 1} = {1, 0} 0 1
x " {0, 1} x " {1, 0} x = 0
x = 1, x = 0 '" x = 1

� Ł
� T
� Ń Ś
Ś �! �
Ś �! �
� Ś Ś
�
Ś �! � Ś
�
Ś
Ś �! � �
�
Ś �! � Ś
Ś
�
<" � �
<" Ś Ś
Ś �
Ś �! �
Ś �! �
Ś � Ś �! �
Ś �
Ś �
Ś �! �
Ś �! � � �! Ś � �! Ś Ś
 � Ś �
� � � = Ś '" �
Ś �! � � �! (� '" �)
Ś �! Ś1
Ś1 �! Ś2 . . . Śn-1 �! Śn Śn �! �
Ś �! � � �! Ś
"x"X [Ś(x)]
"x " X [Ś(x)]
x X Ś(x)
Ś(x) X
Ś(x)
t X
x Ś(x)
t Ś(t)
Ś(x) � �! �(x) x �
� �! "x"X[�(x)]
x X
Ś(x)
"x"X[Ś(x)]
"x"X[Ś(x)]
X Ś(x)
"x"X[<" Ś(x)]
a X Ś(a)
a X
Ś(a)
R2 = R � R
 � Y
ś Z
A, ą I, ą P, �
B, � K, � Ł, �
�, ł �,  T, �
", � M, � Y, �
E, � ( ) N, � Ś, Ć (�)
Z, ś ś, � X, �
H, � O, o �, �
Ś, � (Ń) , Ą &!, �
 � : Kn Km
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x x + z x x
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
n = m = 3 �(�ł y = 2x + z n = m = 3 �(�ł y = y + 1
z 3x - y + z z z + 2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x 2x + y x x - y + z
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
n = m = 3 �(�ł y = x + z n = m = 3 �(�ł y = z
z z z y
�ł łł
�ł łł
x
x - y + 2t
�ł śł
y
�ł �ł
n = 4 m = 3 �(�ł z śł) = 2x + 3y + 5z - t
�ł �ł
x + z - t
t
�ł łł
�ł łł
x
x - y + 2t
�ł śł
y
�ł �ł
n = 4 m = 3 �(�ł z śł) = 2x - 3y + 5z - t
�ł �ł
x - z - t
t
�ł łł �ł łł
x x + 3y - 2t
�ł śł �ł śł
y x + y + z
�ł śł
n = m = 4 �(�ł z śł) =
�ł �ł �ł �ł
2y + t
t y + z
�ł łł �ł łł
x x + 3y - 2t
�ł śł �ł śł
y x + y + z
�ł śł
n = m = 4 �(�ł z śł) =
�ł �ł �ł �ł
2y - 3t
t 2x + 4y + z 2t
�ł łł �ł łł-
x x + z
�ł) �ł �ł
n = m = 3 �(�ł y = 2xz
z 3x - y + z
�
a0, a1, a2, . . . , an " K n " N � : K[X]m Kn+1
�(w(X)) = [w(a0), w(a1), . . . , w(an)] w(X) " K[X]m,
a0, a1, a2, . . . , an
� �! me"n
� �! m d" n
� : K K a " K
�(v) = av v " K a
C C
C1 R CR
 f : C C, f(z) = z CR
C1
n
tr : Kn K
�ł łł
a11 a12 � � � a1n
�ł a21 a22 � � � a2n śł n
śł
�ł
tr = aii
�ł �ł
i=1
an1 an2 � � � ann
R" U
(an) " U �! " " " " [|ap - aq| < �] .
�>0 p>N q>N
N"N
U � : U R
�((an)) = lim (an)
n"
� : R" R"
n
(bn) = �((an)) �! " bn = ak
n"N
k=1
�((an)) = (a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, ...) �
�
�
W = �-1(U)
"
�((an)) = an
n=1
� : W R �
� = � ć% �
a, b a < b C0([a, b]) R
b
f f(x)dx
a
Cn(a, b)
(a, b) n n >
0 Cn(a, b) Cn-1(a, b) f f
V W K � : V W
� �� = {(v, �(v)) " V �W : v " V }
� ��
V � W
V W K � : V W
� : V V � W �(v) =
(v, �(v)) Ą : V �W W Ą(v, w) = w � Ą
� Ą Ą ć% � = �
� : V W
Z � : V Z � : Z W � = � ć% �
�
V, W1, W2 K f : V
W1 � W2 f1 : V W1 f2 : V W2
f(v) = (f1(v), f2(v)) f
f1 f2
A, B, C " = B, C �" A V

A B A
ŚB : V V f f |B f " V
A B C
Ś : V V � V
Ś(f) = (ŚB(f), ŚC(f)) f " V Ś
V, V1, V2, W V = V1 �" V2
�i : Vi W i = 1, 2
� : V W � |V = �i V = W �1 =
i
IdV , �2 = -IdV � V1 V2
1 2
�1 = IdV �2 �
1
V V1 V2
<"
V = V1 �" V2 V V1 � V2
=
<"
V = V1 �" � � � �" Vn V V1 � � � � � V n
=
V1 V1 V2
�ł łł
2x + 3y
x
�ł �ł
� : K2 K3 �( ) = x - y
y
3y
1 0 1
K2 lin( ) lin( ) lin( )
0 1 1
x
{ " K2 : 2x + 3y = 0}
y
�ł łł �ł łł �ł łł
0 2 2
�ł} �ł) �ł)
K3 {�ł 0 lin(�ł 1 lin(�ł 1
0 3 0
�ł łł �ł łł �ł łł
3 0 x
�ł �ł �ł) �ł
lin(�ł -1 , 1 {�ł y " K3 : x + y + z = 0}
3 0 z
 � : V W X
V Y W
�-1(�(X)) = X + Ker(�) �(�-1(Y )) = Y )" Im(�)
�-1(�(X)) = X �(�-1(Y )) = Y
� X V
�-1(�(X)) = X
� Y W
�(�-1(Y )) = Y
� : V W
�(ą1) = �1 + 2�2 + 3�3,
�(ą2) = 4�1 + 5�2 + 6�3,
�(ą3) = 7�1 + 8�2 + 9�3
(ą1, ą2, ą3) V (�1, �2, �3) W
�
� � K" K"
�((a1, a2, a3, ...)) = (0, a1, a2, a3, ...),
�((a1, a2, a3, ...)) = (a2, a3, a4, ...).
� � K"
� ć% � � ć% �
� �
� : R3 R3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 0 1 0 1 1
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł �ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
�(�ł 1 = 0 �(�ł 1 = 1 �(�ł 0 = 0 �(�ł 1 = 1
0 0 1 0 1 1 1 1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 3 1 4
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
�(�ł 1 = 2 �(�ł 1 = 2 �(�ł 2 = 4
0 3 1 1 1 4
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 3 1 4
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
�(�ł 1 = 2 �(�ł 1 = 2 �(�ł -2 = 4
0 3 1 1 1 4
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 3
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
�(�ł 1 = 2 �(�ł 1 = 0
0 0 1 1
 � : R3 R3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 2 1
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
�(�ł 1 = 1 �(�ł 1 = 1 � ć% � = .
R3
2 1 1 2
�
1 0
R2 lin( ) lin( )
2 1
�ł łł �ł łł �ł łł
1 0 1
�ł �ł �ł) �ł)
R3 lin(�ł 1 , 1 lin(�ł 1
0 2 1
2 -1
R2 lin( ) lin( )
3 1
�ł łł �ł łł �ł łł
1 1 -1
�ł) �ł �ł �ł)
R3 lin(�ł 0 lin(�ł 1 , 1
1 1 2
�ł łł �ł łł �ł łł� : R3 R3
1 1 1
�ł �ł �ł) �ł)
� = lin(�ł 1 , 1 � = lin(�ł 1
0 1 1
V K 1 + 1 = 0

� � V
� ć% � = U1 U2
V
V � U1 U2
� ć% � = � U1 U2
V � V U1 U2
K q n " N
Kn Kn
Kn Kn
n = 1 n = 2 n = 3 n
V K f : V V
f(u + v) = f(u) + f(v) u, v " V
K = Q K = Zp f
K
V W K f : V W
1 f(av) = af(v) a " K v " V
f dim V d" 1
V W f : V W 1
dim V = 2 f
 C Q CQ R
Q RQ CQ RQ
U1 U2 V
<"
(U1 + U2)/(U1 )" U2) U1/(U1 )" U2) � U2/(U1 )" U2).
=
v1, . . . , vm V U
V
(v1 + U, . . . , vm + U)
V/U lin(v1, . . . , vm) )" U = {�} (v1, . . . , vm)
K3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 -1 1 1 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł) �ł �ł �ł �ł �ł),
A3 = (�ł 1 , 2 , 0 B3 = (�ł 0 , 1 , 0
0 1 1 0 0 1
K4
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
2 1 0 -2 1 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 1 1 0 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł) B4 = (�ł 0 śł �ł śł �ł śł �ł śł).
A4 = (�ł 0 śł , , , , , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
-1 2 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 0 0 1
� : Kn Km An Bm An
Am Bn Bm Bn Am
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x x + z x x - y + z
�ł) �ł �ł �ł) �ł �ł
n = m = 3 �(�ł y = 2x + z n = m = 3 �(�ł y = y
z 3x - y + z z z
�ł łł �ł łł
�ł łł
x x
x - y + 2t
�ł śł �ł śł
y y
�ł �ł
n = 4, m = 3 �(�ł z śł) = 2x + 3y + 5z - t n = 4, m = 3 �(�ł z śł) =
�ł �ł �ł �ł
x + z - t
t t
�ł łł
x - y + 2t
�ł �ł
2x - 3y + 5z - t
x - z - t
�ł łł
�ł łł �ł łł
x + 3y - 2z
x x
�ł śł
x + y + z
�ł) �ł śł n = 3, m = 4 �(�ł y =
�ł)
n = 3, m = 4 �(�ł y =
�ł �ł
2y
z z
y + z
�ł łł
x + 3y - 2z
�ł śł
x + y + z
�ł śł
�ł �ł
2y - 3z
2x + 4y + z
a0, a1, . . . , am " K n, m " N � : K[X]n
Km+1
�(w(X)) = (w(a0), w(a1), . . . , w(am))
w(X) " K[X]n (1, X, X2, . . . , Xn) K[X]n
d" n Km+1 n = m
V = R[X]n � : V V
� V
�
(1, X, X2, . . . , Xn)
(X-c)2 (X-c)n
(1, X - c, , . . . , ) c
2! n!
V C0(R)
cos x sin x �
� V
(cos x, sin x)
a b
2 2 2
A = " K2 K2 K2 �(B) = BA
c d
2 2
B " K2 � K2
(E11, E12, E21, E22)
� : K3 V1 � : K3 K3 V1 V2
V1 = lin(�1, �2) V2 = lin(�1 + �3)
V1 = lin(�1, �2) V2 = lin(�2 + �3)
V1 = lin(�1 + �2, �2) V2 = lin(�1 + �3)
� (�1, �2, �3) K3 (�1, �2)
V1 � (�1, �2, �3) (�1, �2, �1 + �3) K3
� K3
(�1, �2, �3)
f : V W1 � W2 f(v) = (f1(v), f2(v))
Ai fi A V Bi Wi
f A V (B1 � {�}) *" ({�} � B2)
W1 � W2
� : V1 �" V2 W �(v1 + v2) = �1(v1) + �2(v2)
Ai �i Ai Vi
B W � A1 *" A2 V1 �" V2 B
W
� : K2 K3
�ł łł �ł łł �ł łł
1 -1 2
1 0
�ł �ł �ł �ł �ł)
( , ) (�ł 1 , 0 , 0
2 -1
1 1 0
�ł łł
1 -1
x
�ł �ł
0 2 �( )
y
3 -2
�ł łł
1 1 1
�ł �ł
� K (�1, �2, �1 + �3) -1 0 2
3 2 4
�
�ł łł
1 2 1
�ł �ł
� R3 (�1 - �2, �2, �1 + �3) -1 0 2
3 2 1
�ł łł
1
�ł �ł
� 1
-1
�ł łł
0
�ł �ł
� 1
0
A ł : V W A
V B W A
A i j
A i a = 0

A j i a = 0

B k l
B k a = 0

B l k a = 0

A ł V A V
A
A i j
A i a = 0

A j i a = 0

�ł łł
1 2 0 1
�ł śł
3 0 -1 2
�ł śł
ł R4
�ł �ł
2 5 3 1
1 2 1 3
ł
(�1, �3, �2, �4) (�1, �1 + �2, �1 + �2 + �3, �1 + �2 + �3 + �4)
  V a (v) = av
v " V
 �!  ć% � = � ć%  � " (V )
 �!  V
(�1, �2,łł3)
�
�ł łł � : K3 K3 �ł
�ł łł
" " 0 " " 0 " " 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" " 0 " " 0 " " 0
" " 1 " " 0 0 0 "
�
� : Kn Kn (�1, �2, . . . , �n)
A C
A k �! �(lin(�1, �2, . . . , �k)) �"
0 B
lin(�1, �2, . . . , �k)
A 0
A k B
0 B
n-k �! �(lin(�1, �2, . . . , �k)) �" lin(�1, �2, . . . , �k) �(lin(�k+1, . . . , �n)) �" lin(�k+1, . . . , �n)
Rn A B E (�1, �2, . . . , �n)
E A E B A E A B
1 -3 -1 0
n = 2 A = ( , ) B = ( )
2 5 6łł , 4
�ł łł �ł łł �ł �ł łł �ł łł �ł łł
8 -16 9 1 3 2
�ł �ł �ł �ł �ł) �ł �ł �ł �ł �ł)
n = 3 A = (�ł -6 , 7 , -3 B = (�ł -2 , -1 , 1
7łł -13 7�ł 1 2
�ł �ł łł �ł łł łł �ł łł �ł łł �ł2 łł �ł łł
1 -1 2 0 1 -1 1 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
0 1 0 0 0 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł) B = (�ł 2 śł �ł śł �ł śł �ł śł)
n = 4 A = (�ł 1 śł , , , , , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 1 0 0 2 1 0
1 0 0 1 0 1 1 0
x1�1 + � � � + xn�n
A
A = (ą1, ą2, ą3) B = (�1, �2, �3) C3
�ł łł
2
�ł �ł
V1 = lin(ą1, ą2) V2 = lin(ą3) B ą1 = -1 , ą2 =
2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
3 0 1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 , ą3 = 0 �1 = 2 , �2 = 1 , �3 = 0 V1
1 1 1 -1 0
V2 C3łł C3
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł �ł
1 1 1 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 0 0 0 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł)
(�ł 1 śł , , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 -1 0
1 1 4 0 0
K4 K 2 3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 1 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
0 1 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł)
(�ł 1 śł , , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0
1 0 0 -1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł)
(�ł 0 śł , , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 1 1
0 0 1 -1
K4 K 2
� : K3 K3 (�1, �2 + �3, �1 + �2)
�
(�1, �2, �3) (�1 + �2, �2, �3)
�ł łł
1 0 0
�ł �ł
0 2 0
0 0 3
�ł łł �ł łł2
6 4 -3 4 1
1 2 -4 0 0 1 2
�ł �ł �ł �ł
� -2 1 � 0 2 8
-2 3 -1 5 3 4 5
7 9 1 3 -1
3
2 1 T
1 2 3 4 5 � 1 2 3 4 5
1 3
�ł łłT �ł łł
2 0 2 0
T
�ł �ł �ł �ł
1 2 3 4 5 � 1 2 3 4 5 3 1 � 3 1
3 2 3 2
1 1 0 1
A = B =
0 1 1 0
A2 + 2AB + B2 (A + B)2 A2 - 2AB + B2 (A - B)2
A2 - B2 (A - B)(A + B) (A + B)(A - B)
m
m m
a 0 am 0 1 a 1 ma
= =
0 b 0 bm 0 1 0 1
m m
cos ą - sin ą cos mą - sin mą a 1 am mam-1
= =
sin ą cos sin mą cos mą 0 a 0 am
�ł łłmą �ł łł
m(m-1)
1 1 0
1 m
2
�ł �ł �ł �ł
0 1 1 =
0 1 m
0 0 1
0 0 1
A D
n m m n
A " Kn B " Km C " Kn D " Km
C B
A, D, C, B
A1 D1 A2 D2 A1A2 + D1C2 A1D2 + D1B2
� = .
C1 B1 C2 B2 C1A2 + B1C2 C1D2 + B1B2
n m
A " Km B " Kn tr(AB) = tr(BA)
n m
A " Km B " Ks (AB)T = BT AT
C, D (CD)T = CT DT
2
A " K2
1 2 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1
A = A A = A =
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
A2 = A2 =
0 0 0 1
n n
A " Kn Z(A) = {X " Kn : AX = XA}
n
Z(A) Kn
n
Kn I
�ł łł
0 1 0 0
�ł śł
0 0 1 0
Z(�ł 0 0 0 1 śł)
�ł �ł
0 0 0 0
2
Z(A) A " K2
2
A " K2 Z(A) = lin(I, A)
2
A " K2 A2 " lin(I, A)
Eir n i, r
1 0
Eir � Elk A � Eir Eir � A A � (In + aEir) i = r (In + bEir) � A i = r

(In + aEir)(In + bEir) i = r

n
A " Kn a, b " K
A
n n
A �" Kn A " Kn A
A A
lin(A)
aIn a " K
n n
A " Kn Kn
A
T
A = 4 6 5 3 1 7łł 8 9 � 1 4 6 5 3 1 7 8 9
�ł1
a b c d
�ł śł
-b a d -c
�ł śł
B =
�ł �ł
-c -d a b
-d c -b a
A2 BBT
x1, x2, . . . , xn f(X) = a0Xn + a1Xn-1 +
� � � + an-1X + an k
sk = xk + xk + � � � + xk
1 2 n
s0 =
a1 a2 a2
1
n s1 = - s2 = s2 - 2 xixj = - 2
1
a0 a2 a0
0
i D
�ł łł
s0 s1 s2 � � � sn-1
�ł s1 s2 s3 � � � sn śł
śł
�ł
�ł s2 s3 s4 � � � sn+1 śł
.
�ł śł
�ł �ł
sn-1 sn sn+1 � � � s2n-2
T
V V V = V (x1, x2, . . . , xn)
f(X) n = 2 f(X) = aX2 + bX + c
n = 3, f(X) = X3 + pX + q.
" = a2n-2D f(X)
0
�ł łł �ł łł
�ł łł
1 3 -5 7 1 1 1 1
1 2 -3
�ł śł �ł śł
1 2 0 1 2 -3 1 1 -1 -1
�ł �ł �ł śł �ł śł
0 1 2
�ł �ł �ł �ł
2 5 0 0 1 2 1 -1 1 -1
0 0 1
0 0 0 1 1 -1 -1 1
�ł łł
2 3 2
�ł �ł
1 -1 0
-1 2 1
n m m n
A " Kn B " Km C " Kn D " Km det A = 0

In 0 A D
�
-CA-1 Im C B
A D
det = det A � det(B - CA-1D)
C B
2 � 2
det A det B - det C det D.
4 1 4 -6
X =
0 4 2 1
4 1 4 -6
X =
0 4 2 1�ł
�ł łł łł
1 1 -1 1 -1 3
�ł �ł �ł �ł
X 2 1 0 = 4 3 2
1 -1 1 1 -2 5
2 1 -3 1 -2 4
X =
3 2 1 1 3 -1
ńł
2 1 3 1 2 8
�ł
�ł
X + Y =
�ł
1 1 2 1 0 5
3 -1 2 1 4 9
�ł
�ł
Y =
ół
-1 1 X + -1 -1 -1 -4
ńł
1 1 3 1 3 5
�ł
�ł
X + Y =
�ł
-1 1 1 1 1 1
1
�ł -1 1 1 1 1
�ł
X + Y =
ół
1 1 1 3 5 3
(I + aEir)-1 i = r

�ł łł
�ł łł
1 -1 0 � � � 0 0
0 1 1 � � � 1
�ł -1 2 -1 � � � 0 0
śł
�ł 1 0 1 � � � 1 śł �ł śł
�ł śł �ł -1 2 � � � 0 0 śł
0
�ł 1 1 0 � � � 1 śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � 2 -1
1 1 1 � � � 0
0 0 0 � � � -1 1
�ł łł
2 -1 0 � � � 0 0
�ł -1 2 -1 � � � 0 0
śł
�ł śł
�ł -1 2 � � � 0 0 śł
0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � 2 -1
0 0 0 � � � -1 1
 A2 = 0 In + A (In + A)-1 = In - A
Am = 0 In + A (In + A)-1
�ł łł
0 1 0 � � � 0
�ł 0 0 1 � � � 0 śł
�ł śł
�ł śł
0
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � 1
0 0 0 � � � 0
�ł łł
1 1 1 � � � 1 1
�ł śł
0 1 1 � � � 1 1
�ł śł
�ł 0 0 1 � � � 1 1 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � 1 1
0 0 0 � � � 0 1
n
A, B " Kn In + AB
In + BA (In + BA)(In -
B(In + AB)-1A)
A D A 0
0 B C B
�ł łł
�ł łł
1 1 1 3 1
2 1 0 0
�ł śł
0 1 1 -1 2
�ł śł �ł śł
3 2 0 0
�ł śł �ł śł
0 0 1 2 1
�ł �ł �ł śł
1 1 3 4
�ł �ł
0 0 0 1 0
2 -1 2 3
0 0 0 1 1
[A, B] A, B " GLn(K) [A, B] =
ABA-1B-1
ńł

�ł I j = k i = l

[I + aEij, I + bEkl] = I + abEil j = k i = l
ół
I - abEkj j = k i = l

 X
Z2 0 1
x X x + 1
X
X = X =
x x x+0
x X
v Z9
2
v
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 0 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 1 1 0 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł 0 śł �ł 1 śł �ł 1 śł �ł 0 śł �ł 0 śł �ł 1 śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 0 0 1 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
uA = 1 uB = 0 uC = 1 uD = 0 uE = 1 uF = 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
0 0 1 0 1 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
0 0 0 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 0 śł �ł 0 śł �ł 0 śł
�ł śł �ł śł �ł śł
1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
uG = 1 uH = 0 uI = 1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
1 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 1
0 1 1
v
w v + w " lin(uA, uB, uC, uD, uE, uF , uG, uH, uI).
v w
25
0 1
25
�ł łł �ł łł
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
�ł śł �ł śł
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
A = 0 1 1 1 0 " (Z2)5 I = 0 0 1 0 0 " (Z2)5
5 5
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
�ł łł �ł łł �ł łł
x1 x21 1
�ł śł �ł śł �ł śł
x2 x22 1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł śł
y1 = x3 śł . . . y5 = x23 śł P = 1 " Z25
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x4 x24 1
x5 x25 1
y1, ..., y5
�ł łł �ł łł �ł łł
A I 0 0 0 y1 P
�ł śł �ł śł �ł śł
I A I 0 0 y2 P
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł �ł śł
0 I A I 0 � y3 śł = P .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 I A I y4 P
0 0 0 I A y5 P
n � n 1 n2
�ł łł
1 63 62 4 5 59 58 8
�ł 56 10 11 53 52 14 15 49 śł
�ł łł
�ł śł
�ł łł
16 3 2 13 �ł 48 18 19 45 44 22 23 41 śł
2 9 4 �ł śł
�ł śł
5 10 11 8 25 39 38 28 29 35 34 32
�ł śł
�ł �ł �ł śł
7 5 3 , , .
�ł śł
�ł �ł
9 6 7 12 33 31 30 36 37 27 26 40
�ł śł
6 1 8
�ł śł
4 15 14 1 24 42 43 21 20 46 47 17
�ł śł
�ł �ł
16 50 51 13 12 54 55 9
57 7 6 60 61 3 2 64
1
n � n F n
F
A
A s(A)
n � n F Mag(n, F )
 f : {1, 2, . . . , .n} � {1, 2, . . . , .n} {1, 2, . . . , n2}
�ł łł
f(1, 1) f(1, 2) � � � f(1, n)
�ł f(2, 1) f(2, 2) � � � f(2, n) śł
�ł śł
�ł �ł
f(n, 1) f(n, 2) � � � f(n, n)
{ak : k " {1, 2, . . . , n2}}
�ł łł
af(1,1) af(1,2) � � � af(1,n)
�ł af(2,1) af(2,2) � � � af(2,n) śł
śł
�ł
�ł �ł
af(n,1) af(n,2) � � � af(n,n)
A
AT
n
2
6 3 n!
n
V (v1, . . . , vn) � : {1, 2, . . . , n} {1, 2, . . . , n}
��
V
��(vi) = v�(i) i = 1, . . . , n.
n n
��( xivi) = x�-1 vi
(i)
i=1 i=1
�� (v1, . . . , vn)
n
Mag(n, F ) Fn
s : Mag(n, F ) F
Mag0(n, F ) = Ker(s)
Mag(2, R)
3 5
Mag0(3, Q) Mag(3, Q)
A ?
n
Fn Mag0(n + 1, F ) A
? ?
Mag0(n, F ) Mag(n, F )
Mag0(n, F ) Mag(n, F )
 Mag(n, F )
n n
A " Fn a " F V (a, A) = {ą " F : Aą = aą}
ą Aą a
�ł łł
1
�ł śł
1
�ł śł
(A " Mag(n, F ) '" s(A) = a) �!" " V (a, A) )" V (a, AT ).
�ł �ł
1
s(AB)
n
s(A) s(B) Mag(n, F ) Fn s : Mag(n, F )
F F
H R 4
1, i, j, k H
(a01 + a1i + a2j + a3k) � (b01 + b1i + b2j + b3k)
= (a0b0 - a1b1 - a2b2 - a3b3)1 + (a0b1 + a1b0 + a2b3 - a3b2)i +
+(a0b2 - a1b3 + a2b0 + a3b1)j + (a0b3 + a1b2 - a2b1 + a3b0)k.
0i 0
0 = 0 + 0i + 0j + 0k, i = 0 + 1i + 0j + 0k,
3 � 1 + (-1)i 3 - i
� 1 i j k
1
.
i
j
k
ij ji ik ki jk kj
1, i, j, k
H
H
H
 : H R4
4
�ł łł
a0 -a1 -a2 -a3
�ł
a1 a0 -a3 a2 śł
�ł śł
 (a0 + a1i + a2j + a3k) =
�ł
a2 a3 a0 -a1 �ł
a3 -a2 a1 a0
: H H
a0 + a1i + a2j + a3k = a0 - a1i - a2j - a3k
H ą � � = � � ą ą, � " H
ą = a0 + a1i + a2j + a3k
ą � ą = ą � ą = a02 + a12 + a22 + a32
N(ą) ą
ą + ą = ą + ą = 2a0 Tr(ą) ą
Tr : H R
Tr(ą�) = Tr(�ą)
N(ą�) = N(�ą) = N(ą)N(�)
ą X2-Tr(ą)X+
N(ą) ą �ą�-1
H
V = V1 �" V2 K 1 + 1 = 0

V V1 V2 V
V1 V2
� " End(V )
W < V Im � �" W W
�
W � �(W )
�-1(W ) �
W1 W2 �
W1 )" W2 lin(W1 *" W2)
�
N(ą�) = N(ą)N(�)
 � " Aut(V ) W � W
�-1
a1, . . . , ak
�ł łł �ł łł
x1 a1x1
�ł �ł
� " End(Rk) �(�ł �ł) =
xk akxk
�, � " End(V ) � ć% � = � ć% � W
� �(W ) �
� �k k " N
� R[X]n
�(f) = f f " R[X]n
1 0
� " End(C2) A = ( , )
1 i
3 4 2 1
5 2 -1 5
�
A
� " End(R2)
A � " End(Cn)
�
Cn � C " GL(n, C)
C-1AC
0 2 1 1 1 2 3 4
n = 2 A = A = A =
-3 5 -1 2 -2�ł A = 5
�ł łł �ł3 łł łł2
0 2 1 0 0 1 3 1 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
n = 3 A = -2 0 3 A = 0 1 0 A = -4 -1 0
-1 -3 0 1 0 0
�ł łł �ł łł �ł4 -8 -2 łł
0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 2 0 0 0 1 0 0 2 2 4
�ł śł �ł śł �ł śł
n = 4 A = A = A =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 1 -2
4łł 0 0 0 3 0łł 0 0 0 0 0łł 2
�ł �ł �ł
1 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
0 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0
�ł śł A = �ł śł �ł śł
A = A =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 2 0 0 0 0 1 -1 0 0 1
0 0 0 2 -6 1 7 -1 -2 0 0 0
�ł łł �ł łł
-an-1 -an-2 � � � -a1 -a0 0 0 � � � 0 -a0
�ł 1 0 � � � 0 0 śł �ł 1 0 � � � 0 -a1 śł
śł
�ł śł �ł
�ł 0 1 � � � 0 0 śł �ł 0 1 � � � 0 -a2 śł
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 � � � 1 0 0 0 � � � 1 -an-1
� : R[X]n R[X]n �(f(X)) = f(aX + b)
a, b a = 0, ą1

�
f " K[X]
� V K
f(�)
 � V K
f() f(�)
-3 4 1 1 1 2 2 4
2 -1 5 3
�ł łł �ł1 -1 łł �ł2 -2 łł
5 6 -3 0 0 1 0 2 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
-1 0 1 0 1 0 -2 0 3
1 2 -1 1 0 0 -1 -3 0
�ł łł
0 1 0 � � � 0 0
�ł -1 0 1 � � � 0 0
śł
�ł śł
�ł -1 0 � � � 0 0 śł
0
-1 2i 0 a
�ł śł
a " R
�ł śł
-2i 2 -a 0
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � 0 1
0 0 0 � � � -1 0
a2 �2 a -a
�
An A =
1 2 0 2 1 1 1 2
2 2 -3 5 -1 3 2 -2
A2001
n an
 a0 = 0 a1 = 1 an+2 = an+1 +an
a0 = 1 a1 = 2 an+2 = 3an - 2an+1
� " Aut(V ) � �-1
�, � " End(V ) � ć% � = � ć% � V (a, �) := {ą " V : f(ą) = aą}
�
� : C2 C2
c1 0 c1 1
C2 �
0 c2 0 c1 c1, c2 " C
�, �
tr(� ć% �) = tr(� ć% �)
� ć% � � ć% �
a, b, c K
a c 0 a
0 b b 0
n
K A " Kn
a1, . . . , am A
r ar, . . . , ar Ar
1 m
A a1, . . . , am
A a1 = 0, . . . , am = 0 a-1, . . . , a-1 A-1

1 m
� : R[X]3 R[X]3
�(f(X)) = ((X + 3)f(X)) .
�
�1 : V1 V1 �2 : V2 V2
Hom(�1, �2) : Hom(V1, V2) Hom(V1, V2) � �2 ć% � ć% �1
�1, �2
A End(V ) V
�, � " A
� ć% � = � ć% � ą " V
� " A
n
n
�
 f(X) " K[X] � V
v " V �
ą v f(�) f(a) �(v) =
av �! f(�)(v) = f(a)v
1 1
2
A " K2 X-1 X = A
0 1
�ł łł
1 -1 0
�ł �ł
� = �2 - 2� + 3IdC3 A = 2 3 2
1 1 2
� C3
�ł łł
0
�ł śł
�ł śł
Mn
�ł śł
a " Q M1 = [a] Mn+1 =
0
�ł śł
�ł �ł
1
0 � � � 0 1 a
det (Mn)
� Q4
A
�ł łł-1 �ł łł �ł łł
1 4 3 2 1 4 3 2 4 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
2 1 4 3 2 1 4 3 0 1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
� A � = .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
3 2 1 4 3 2 1 4 0 0 2 0
4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 0 5
dim V (1, �) dim V (-1, �) � �
�ł A łł
1 4 10 20
�ł śł
0 -6 -20 -45
�ł śł V = Q4
A =
�ł �ł
0 4 15 36
0 -1 -4 -10
�ł łł
10 20 35 56
�ł śł
-20 -45 -84 -140
�ł śł V = Q4
A =
�ł �ł
15 36 70 120
-4 -10 -20 -35
�ł łł
1 6 20 50 140 140
�ł 0 -16 -70 -195 -560 -560 śł
�ł śł
0 26 125 366 1064 1064
�ł śł
A = V = Q6
�ł śł
0
�ł -31 -154 -460 -1344 -1344
śł
�ł �ł
0 4 20 60 176 175
0 4 20 60 175 176
 A2 A-1 A
� " End(V ) �2 = � � IdV - �
2 2
A " K2 j " End K2
�(X) = A �
�ł łłX
1 4 2
�ł �ł
A = 0 -3 -2
0 4 3
An
3
=
" " " X " K3 X2 A K = Q, R, C, Z5, Z7
3 3 3
Q( 2) = {a + b 2 + c"4 : a, b, c " Q} R
3
Q( 2) Q
" "
3 3
� Q( 2)" �(x) = 2x
"
3 3
y = 1 - 2 + 3 4
f(X) = X3 - 3X2 + 21X - 125
"
3
� Q( 2) y(x) = yx
�ł łł
0 0 1 5 15
�ł śł
0 1 0 -10 -40
�ł śł
�ł śł
A = 1 0 0 10 45
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 -5 -24
0 0 0 1 5
A-1
�ł łł
1 2 3 4
�ł śł
4 1 2 3
�ł śł
� C4 A =
�ł �ł
3 4 1 2
2 3 4 1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 1 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
1 -1 i -i
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
, , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 -1 -1
1 -1 -i i
�
-1
P P AP
T
P P
 a0, a1, ..., an-1 " K (a0, a1, ..., an-1)
�ł łł
a0 a1 a2 � � � an-1
�ł an-1 a0 a1 � � � an-2 śł
śł
�ł
�ł an-2 an-1 a0 � � � an-3 śł �
A =
�ł śł
�ł �ł
a1 a2 a3 � � � a0
n 1 K
f(X) = a0 + a1X + ... + an-1Xn-1 " K[X]
�ł łł
1
�ł śł
�
�ł śł
�ł �2 śł
A
�ł śł
�ł �ł
�n-1
f(�)
A
A n r
A A n - r
n
cr
r
r A
det(A - XI) = cn - cn-1X + cn-2X2 - + � � � + (-1)nXn.
cn c1
V � " End(V ) U
�
�(v + U) = �(v) + U
V/U
f(X), g(X), h(X)
� �|U : U U � f(X) = g(X) � h(X)
V � " End(V ) U
� �(v + U) = �(v) + U
V/U f(X), g(X), h(X)
� �|U : U U �
h(X)|f(X)
g(X)|f(X)
(X)|g(X)h(X)
g(X) h(X) f(X) = g(X)h(X)
f(X) = g(X)h(X)

 A " Q2
2
" [Am = 0] �! tr(A) = tr(A2) = 0.
m"N
B " Q3
3
" [Bm = 0] �! tr(B) = tr(B2) = tr(B3) = 0.
m"N
f(X) " K[X] (f(X))
f(X)
(f(X)) = {f(X)g(X) : g(X) " K[X]}
(f(X)) K[X]
f n
1 + (f(X)), X + (f(X)), . . . , Xn-1 + (f(X))
K[X]/(f(X))
X X � (g(X) + (f(X))) = Xg(X) + (f(X))
K[X]/(f(X))
X
X
n
A " Kn f(X) = det(A - XI) = a0 + a1X +
... + an-1Xn-1 + (-1)nXn A
B = [bij] A - XI
bij = (-1)i+jdet((A - XI)ji)
B � (A - XI) = det(A - XI) � I = f(X)I
bij " K[X]n-1 i, j
n
B0, B1, ..., Bn-1 " Kn B = B0 +B1X +...+Bn-1Xn-1
B0A = a0I
B1A - B0 = a1I
B2A - B1 = a2I
Bn-1A - Bn-2 = an-1I
Bn-1 = (-1)nI.
f(A) = 0
v " V v � " End(V )
{v, �(v), �2(v), . . . , �n(v), . . .}
v
 v " V � " End(V )
lin{v, �(v), �2(v), . . . , �n(v), . . .} = V
v � dim V = n
(v, �(v), �2(v), . . . , �n-1(v)) V
n-1 �
�
�
�ł łł
a 1 0 � � � 0 0
�ł śł
0 a 1 � � � 0 0
�ł śł
�ł 0 0 a � � � 0 0 śł
�ł śł
A =
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � a 1
0 0 0 � � � 0 a
n
�ł łł
A1 0 � � � 0
�ł 0 A2 � � � 0 śł
�ł śł
A = A1, A2, ..., Ak
�ł �ł
0 0 � � � Ak
n1, n2, ..., nk a
f(X)
�ł łł
a 1 0 � � � 0 0
�ł śł
0 a 1 � � � 0 0
�ł śł
�ł 0 0 a � � � 0 0 śł
�ł śł
A =
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � a 1
0 0 0 � � � 0 a
 n a
�ł łł
1 1 1 1
f(a) f (a) f (a) � � � f(n-2)(a) f(n-1)(a)
1! 2! (n-2)! (n-1)!
1 1 1
�ł śł
0 f(a} f (a) � � � f(n-3)(a) f(n-2)(a)
�ł 1! (n-3)! (n-2)! śł
�ł śł
1 1
0 0 f(a) � � � f(n-4)(a) f(n-3)(a)
�ł śł
(n-4)! (n-3)!
f(A) =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł 1 �ł
0 0 0 � � � f(a) f (a)
1!
0 0 0 � � � 0 f(a)
�ł łł
a b c d
�ł śł
-b a -d c
�ł śł
X2 - 2aX +
�ł �ł
-c d a -b
-d -c b a
(a2 +b2 +c2 +d2) (X2 -2aX +(a2 +b2 +c2 +d2))2
R = K[X]
n
Rm
f1(X), f2(X), . . . , fn(X)
g(X)
g(X)|f1(X), g(X)|f2(X), . . . , g(X)|fn(X)
g(X)
h(X)|f1(X), h(X)|f2(X), ..., h(X)|fn(X) h(X)|g(X)
fi(X)
0 f1(X) = f2(X) = � � � = fn(X) = 0
n
A " Rm DkA(X)
k A k = 1, 2, . . . , min(n, m)
DkA(X) = 0 DkA(X)|Dk+1A(X)

k n
n > k A " Rn B " Rk A k
n B n k det(AB)
k A B
n
A, B " Rn
DkA(X)|Dk(AB)(X)
DkA(X)|Dk(BA)(X).
n
A, B " Rn DkA(X) = DkB(X)
n
S " Rn
�ł łł
f1(X) 0 � � � 0
�ł 0 f2(X) � � � 0 śł
n
�ł śł
S = " Rn
�ł �ł
0 0 � � � fn(X)
f1(X), f2(X), . . . , fn(X)
f1(X)|f2(X), f2(X)|f3(X), . . . , fr-1(X)|fr(X), fr+1(X) = � � � = fn(X) = 0.
n
A " Rn
n
A, B " Rn
k " {1, 2, ..., n} DkA(X) DkB(X)
k A B
Aa"B �! " [DkA(X) = DkB(X)].
k"{1,2,...n}
n
�ł A " Rn A łł
f1(X) 0 � � � 0
�ł 0 f2(X) � � � 0 śł
�ł śł f1(X), f2(X), . . . , fn(X)
�ł �ł
0 0 � � � fn(X)
A
A
D1A(X) = f1(X) D2A(X) = f1(X) � f2(X) D3A(X) = f1(X) � f2(X) � f3(X) . . . ,
DnA(X) = f1(X) � f2(X) � � � � � fn(X) Di+1A(X) = DiA(X) � fi+1(X) i = 1, 2, . . . , n - 1
�ł łł �ł łł
X - 2 -1 0 X(X + 1) 0 0
�ł �ł �ł �ł
0 X - 2 -1 0 X 0
0 0 X - 0 0 (X + 1)2
�ł łł2
1 - X X2 X
�ł �ł
X X -X
1 + X2 X2 -X2
Z
R = K[X]
�ł łł �ł łł
X 1 0 0 a + X b 1 0
�ł śł �ł śł
0 X 1 0 -b a + X 0 1
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 X 1 0 0 a + X b
5 4 3 X + 2 0 0 -b a + X
X6+3X4+3X2+1 "
R[X]
X6 + 3X4 + 3X2 + 1 = (X2 + 1)3;
X6+3X4+3X2+1 " C[X]
X6 + 3X4 + 3X2 + 1 = (X2 + 1)3 = (X + i)3(X - i)3.
n
A " Rn
A
6
A " R6
X, X2, X2, X + 1, (X + 1)3, X - 1, X - 1
A
7
B " R7
X, X2, X2, X + 1, (X + 1)3, X - 1, X - 1
B
A 0
0 B
B
A
�ł łł �ł łł
X 1 0 0 0 0 1 X + 2
�ł śł �ł śł
0 X 1 0 0 1 X + 2 0
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 X 1 1 X + 2 0 0
0 0 0 X X + 2 0 0 0
�ł łł
0 0 0 X2
�ł śł
0 0 X(X - 1) 0
�ł śł
�ł �ł
0 (X - 1)2 0 0
X(X - 1) 0 0 0
�ł łł �ł łł
X(X + 1) 0 0 0 X 1 2 3
�ł śł �ł śł
0 X2 0 0 0 X 1 2
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 (X + 1)2 0 0 0 X 1
0 0 0 X(X - 1) 0 0 0 X
�ł łł
X 1 0 0
�ł śł
0 X 1 0
�ł śł
�ł �ł
0 1 X 0
0 0 1 X
�ł łł
X2 + 2 X2 + 1 X2 + 1
�ł �ł
3 X2 + 1 3
X2 + 1 X2 + 1 X2 + 1
K = Q K = R K = C
�ł łł
a 1 0 � � � 0 0
�ł śł
0 a 1 � � � 0 0
�ł śł
�ł 0 0 a � � � 0 0 śł
�ł śł
A - XI A =
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � a 1
0 0 0 � � � 0 a
K
�ł łł
a 1 0 � � � 0 0
�ł śł
0 a 1 � � � 0 0
�ł śł
�ł 0 0 a � � � 0 0 śł
n
�ł śł
A " Kn k
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 � � � a 1
0 0 0 � � � 0 a
a (X - a)k
A - XI
�ł łł
�ł łł �ł łł
2 -1 0 1
3 1 -3 6 -6 -3
�ł śł
0 3 -1 0
�ł �ł �ł �ł �ł śł
-7 -2 9 1 1 -1
�ł �ł
0 1 1 0
-2 -1 4 1 -2 2
0 -1 0 3
C
a � " End(V )
{v " V : " [(� - a � idV )n(v) = �]}
n"N
�
 �
� V
V �
a
� V a
�
V
�
V (a, �) = {v " V : �(v) = av}
a � V
a
V1, V2, . . . , Vk
� V
U � U )" V1, U )" V2, ..., U )" Vk
�
A A
�ł łł �ł łł
6 2 -2 6 2 2
�ł �ł �ł �ł
A = -2 2 2 A = -2 2 0
2 2 2 0 0 2
� V a �
(v1, v2, . . . , vs) V (a, �) = {v " V : �(v) = av}
(r1, r2, ..., rs)
(w1, w2, ..., wm) m = r1 + r2 + � � � + rs i
(w1, w2, . . . , wm) t
v1, v2, . . . , vs (r1, r2, . . . , rs) t = 1 i = 1
wi = vt
wi �(x) = ax + wi
x " V wi+1 = x i
1
rt = i - (r1 + � � � + rt-1)
i t 1
�
�
wi �
a
(w1, w2, ..., wm) (w1, w2, . . . , wm, wm+1, . . . , wn)
�ł łł
A1 0 � � � 0
�ł 0 A2 � � � 0 śł
�ł śł
"
�ł śł Aj
V �
�ł śł
�ł
0 0 � � � As �ł
0 "
rj a
w1, w2, . . . , wm
u �
a h (� - a � idV )h(u) = � (� - a � idV )h-1(u) = �

wi = (� - a � idV )h-i(u) i = 1, 2, . . . , h w1 = (� - a � idV )h-1(u)
� a �(wi+1) = awi+1 + wi
�
(w1, w2, ..., wm) �
a
6
(X2 + 1)(X - 2)2
5
(X2 + i)(X - 1)2
V v, v1, v2 " V
"
v = � �! f " V f(v) = 0

"
v1 = v2 �! f " V f(v1) = f(v2)

"
f, f1, f2 " V
f = 0 �! v " V f(v) = 0

f1 = f2 �! v " V f1(v) = f2(v)

3
f "
�ł łł(R )" Ker(f) = U
x
�ł
U = {�ł y " R3 : x + 2y - z = 0}
z
�ł łł �ł łł
1 -1
�ł �ł �ł)
U = lin(�ł 2 , 0
1 2
"
U < V v " V \U f " V f(v) = 0

f(u) = 0 u " U f
x -2
V = R2 U = { " R2 : x + 5y = 0} v =
y 3
4 1
V = R2 U = lin( ) v =
-1 1
�ł łł �ł łł
x 1
�ł �ł �ł
V = R3 U = {�ł y " R3 : x - 3y + z = 0} v = -2
1
ńł �ł �ł łł
�łz łł
�ł x żł 0
x - 3y - z = 0
�ł �ł �ł �ł
V = R3 U = y " R3 : v = 1
-x + y + z = 0
ół �ł
2
�łz łł �ł łł �ł łł
1 -2 1
�ł �ł �ł) �ł �ł
V = R3 U = lin(�ł 2 , 0 v = 1
3 1 1
U V dim V < "
"
W V
"
U� := {f " V : f(ą) = 0 ą " U}
�
W := {ą " V : f(ą) = 0 f " W }.
" �
U� < V W < V
U < V dim U + dim U� = dim V
� �
U1, U2 < V U1 = U2 �! U1 = U2
� �
U, U1, U2 < V (U�)� = U, (U1 + U2)� = U1 )" U2 (U1 )" U2)� =
� �
U1 + U2
ńł U�
�ł x + y + 2z = 0
V = R3 U = Sol( 2x - y + z = 0 )
ół
x
�ł łł+ z = 0
1
�ł)
V = R3 U = lin(�ł 3
-1
V = Kn U
ai1x1 + � � � + ainxn = 0, i = 1, . . . , m.
V = Kn (ą1, . . . , ąm) U
f1, . . . , fk n V
"
V dim(ker f1 )" � � � )" ker fk) =
"
n - k f1, . . . , fn V ker f1 )" � � � )"
ker fk = {�}
A V
1 0
V = R2 A = ( , )
1
�ł łł �ł1 łł �ł łł
1 0 2
�ł �ł �ł �ł �ł)
V = R2 A = (�ł 1 , -1 , 1
0 0 1
V = R[X]2 A = (1, X - 1, (X - 1)2)
 f1, f2 V
� " Aut(V ) f1 = f2 ć% �
"
V W f " V � " W
� : V W �(ą) := f(ą)� ą " V �
r(�) �
V W ą " V � " W
" "
� : V W �(f) := f(ą)� " V �
r(�)
(v1, . . . , vn) (w1, . . . , wm) V W
K aij " K i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n f : V W
n m
"
�(v) = aijvj (v)wi.
j=1 i=1
�
� (v1, . . . , vn) (w1, . . . , wm)
n m
"
�"(f) = aijf(wi)vj
j=1 i=1
� : V W aij " K i =
n m
"
1, . . . , m j = 1, . . . , n �(v) = aijvj (v)wi
j=1 i=1
V = W vi = wi � = idV
(v1, . . . , vn) V (f1, . . . , fn)
" "
V aij := fi(vj) (f1, . . . , fn) V
[aij]
"
(f1, . . . , fn) V (v1, . . . , vn)
V bij := fi(vj) (v1, . . . , vn) V
[bij]
� : V W
� (v1, . . . , vn) V (w1, . . . , wm) W
"
[wi (�(vj)]
" " " "
(V �" W )" <" V �" W (V � W )" <" V � W
= =
� : V W r(�) = r(�")
� " End(V ) � �"
� : V W
Coim � := V/ker �, Coker � := W/im �.
<"
Im � Coim �
=
� �! Coim � = V � �!
Coker � = {�}
<" <"
Ker (�") (Coker �)", Im (�") (Coim �)",
= =
<" <"
Coker (�") (Ker �)", Coim (�") (Im �)".
= =
U, W < V
" "
� : (U + W )" U" � W , � : U" � W (U )" W )"
�(f) = (f|U, f|W ), �(f, g) = f|U)"W - g|U)"W .
� � �
� im � = ker �
CR R
� : CR C"
R
1
�(z) = f �! " f(u) = (zu + zu) .
u"CR
2
�
� : V W
r(�) = 1 �! " " " [�(v) = f(v)w] .
"
f"V w"W v"V
f : V W dim W = m f1, . . . , fm "
"
V w1, . . . , wm " W
m
" �(v) = fi(v)wi .
v"V
i=1
� : R3 � R3 R
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x x x x
�ł �ł �ł �ł
�(�ł y , y �ł) = xx + x2y + z �(�ł y , y �ł) = xz + yx + 2
z z z z
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x x x x
�ł �ł �ł �ł
�(�ł y , y �ł) = xx + 2yz + zz �(�ł y , y �ł) = xx + xy + z
z z z z
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x x x x
�ł �ł �ł �ł
�(�ł y , y �ł) = 0 �(�ł y , y �ł) = 1
z z z z
V = R[X]n d" n R
b : V � V R
1
b(f(X), g(X)) = f(x)g(x)dx.
-1
 b
b 1, X, . . . , Xn
(Q3, �) �
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 1
�ł �ł �ł �ł �ł)
B = (�ł 0 , 0 , 1
-1 3 1
�ł łł �ł łł �ł łł
2 1 -2 1 1 3 2 1 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 -1 1 0 -1 1 3 2
-2 -1 2 3 -1 2 0 1 2
�ł łł �ł łł
x x
�ł �ł �ł)
�(�ł y , y V
z z
� : Q4 � Q4 Q (�1, �2, �3, �4)
�ł łł
1 0 0 -1
�ł śł
0 2 1 0
�ł śł
�ł �ł
0 1 3 1
-1 0 1 4
W = lin(�1, �1 + �2) W
�ł łł
2 1 -2
�ł �ł
(K3, �) � (�1, �2, �3) 1 1 -1
-2 -1 2
� : V � V K V
�ł łł
a 1 1 � � � 1 1
�ł śł
1 a 1 � � � 1 1
�ł śł
�ł 1 1 a � � � 1 1 śł
�ł śł V Ą"
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
1 1 1 � � � a 1
1 1 1 � � � 1 a
char(F ) = 2

1
� F q(ą) = �(ą, ą) ś(ą, �) = (q(ą +
2
�) - q(ą) - q(�)) ś = �
1
q F �(ą, �) = (q(ą+�)-q(ą)-q(�)) N(ą) = �(ą, ą)
2
N = q
 Z52
x
q = x2 + y2.
y
Ą"
2 2
1 1
2
lin
1
Z22 �
a c a c
� , = .
b d b d
(Z22, �)
R2
x x
q = x2 + 2xy + y2 q = x2 + y2.
y y
1
-1
1
lin
-1
(V, �) q�
�(ą, �) = 0 q�(ą + �) = q�(ą) + q�(�)
q�(ą + �) + q�(ą - �) = 2(q�(ą) + q�(�)) ą, � " V
q�(ą) = q�(�) �(ą + �, ą - �) = 0
� ą, �
q(ą)(q(ą)q(�) - �(ą, �)�(�, ą)) = q(q(ą)� - �(ą, �)ą);
ą �
(V, �)
�(ą, �)2 d" q(ą)q(�).
�ł�ł łł�ł
x
�ł�ł �łłł
(Q3, �) q y = yz + xz + xy
z
(V, �) F v1, . . . , vn
W = {x1v1 + � � � + xnvn " V : x1 + � � � + xn = 0}.
 char(F ) n
Ą"
W
Ą"
W �" W
W
�ł łł � : R3 � R3R (�1 + �2 + �3, �1 + �3, �3)
-1 0 1
�ł �ł
0 1 1
1 1
�ł łł1
1
�ł �ł
2
0
�ł łł
1
�ł)
lin(�ł 1
1
Sol(X - Z = 0)
n
� F A m
n
n W F
A A� v A � v
Ą"
W = Ker(A�) (Ker(A�))Ą" = W dimW + dim(Ker(A�)) = n
n
F m, n F =
W �" Ker(A�)
�ł łł
a 1 1 � � � 1
�ł śł
1 a 1 � � � 1
�ł śł
�ł 1 1 a � � � 1 śł
�ł śł
�ł �ł
1 1 1 � � � a
n
Fn n F
n
q(A) = tr(A2) - (tr(A))2 Fn
An(F ) Sn(F )
2
F2 2 F
2
q(A) = det(A) F2
S2(F ) A2(F )
n
Fn n F
n
q(A) = tr(A � A) Fn
Sn(F ) An(F )
 (v1, v2, . . . , vk) (w1, w2, . . . , wk) (V, �)
0 i = j

�(vi, wj) = .
1 i = j
(v1, v2, . . . , vk) (w1, w2, . . . , wk)
(v1, v2, . . . , vk)
2
(�1, �2) (F , �)
x x x
q( ) = x2 + y2 q( ) = 2x2 + xy + y2 q( ) = xy
y y y
(v1, v2, . . . , vk) (w1, w2, . . . , wk)
(V, �)
�, � " End(V ) (�(v1), �(v2), . . . , �(vk))
(�(w1), �(w2), . . . , �(wk)) det(�) det(�) = 1;
� " End(V ) (�(v1), �(v2), . . . , �(vk)) (�(w1), �(w2), . . . , �(wk))
n
A " Fn �(X, Y ) = tr(X AY )
n
Fn
R3 � : R3 � R3 R
�ł łł �ł łł
x1 y1
�ł
�(�ł x2 �ł , y2 �ł) = x1y1 + x2y2 + x2y1 + x1y2 + x3y3
x3 y3
�ł łł �ł łł
x1 y1
�ł
�(�ł x2 �ł , y2 �ł) = (x1 - x2)(y1 - y2) + (x1 - x3)(y1 - y3) + x3y3
x3 y3
R3 � :
R3 ��ł
R3 łłR�ł łł
x1 y1
�ł
�(�ł x2 �ł , y2 �ł) = x1y1 + x2y2
x3 y3
�ł łł �ł łł
x1 y1
�ł
�(�ł x2 �ł , y2 �ł) = x2y1 + x1y2 + x3y3
x3 y3
�ł łł �ł łł
x1 y1
�ł
�(�ł x2 �ł , y2 �ł) = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x2y1 + x1y2 + x3y1 + x1y3
x3 y3
R3 �
� : R[X]n � R[X]n R
1
�(f, g) = f(t)g(t)dt.
-1
(R[X]n, �) �
(1, X, X2, . . . , Xn) n = 1, 2, 3, 4
I V
C(I)
�(f, g) = f(t)g(t)dt.
I
(V, �)
ą Ą" � �! q(ą + �) = q(ą) + q(�)
(V, �)
F 1 + 1 = 0

(V, �)
V �
"
V �
V �
"
det(x) = -c2 c " F
(V, �)
ą
dim(Ker(� (ą))) � " V \Ker(� (ą))
�ł łł
x
�ł)
(Q3, �) q(�ł y = yz + xz + xy
z
 (V, �) Z5 v1
v2 v3 v4 U V
�ł łł
a
�ł)
(Z33, �) (Z33, ś) q�(�ł b =
c
�ł łł
a
�ł)
a2 + b2 + c2 qś(�ł b = a2 - b2 - c2
c
5
q(ą) = q(�) ą + � Ą" ą - � ą =
5
1
� = R2
7
0 5 1 5 1
P = Q = R = S = + P Q P R RS QS
0 5 7 5 7
- -

P S RQ P S RQ
ą � a, b aą+b�
aą - b�
(V, �)
(V, �)
2
(V, �)
(V, �) U V
U = UĄ"
(V, �) U, W V
V = U �" W �|U�U �|W �W
ąĄ"
Z34
f : (V, �) (W, ś)
Ker(f) �" rad(V )
x
(R2, �) (R2, ś) q�( ) = x2 - y2
y
x
qś( ) = x2 + 2xy + y2
y
1 0 1 0
Z7 R
0 1 0 2
Z3 Q
n n
A n F Ć : F F
A ś A
�
Ć
ś �
n
v1, . . . , vn F ś �
Ć
F
1 0 a 0
a
0 1 0 a
F
1 0 3 0 1 0 7 0
R
0 1 0 3 0 1 0 7
Q 3 7
r
(Q4, �) (Q4, ś)
I rI
�ł łł �ł łł �ł łł r = a2 + b2 + c2 + d2
a -b -d
�ł śł �ł śł �ł śł
b a -c
�ł śł �ł śł �ł śł
I
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
c -d b
d c a
�, � " End(R[X]5)
1
�(f(X)) = f(-X); �(f(X)) = X5 � f( )
X
(R[X]5, �)
1
�(f, g) = f(t)g(t)dt
-1
5
�(a0+a1X +a2X2+a3X3+a4X4+a5X5, b0+b1X +b2X2+b3X3+b4X4+b5X5) = aibi
i=0
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 3 0
�ł �ł �ł �ł
2 0 -1 3 1 1
3 -1 3 0 1 5
"
a, b " F aI bI 2 F
ab F
"
a " F I aI 4 F
a F
�ł łł
a 0 0 0
�ł śł
0 a 0 0
"
�ł śł 4 F
a, b " F I
�ł �ł
0 0 b 0
0 0 0 b
a ab
(V, �) (W, ś) Z3
�ł łł �ł łł
1 0 0 1 0 0
�ł �ł �ł �ł
� ś 0 -1 0 0 1 0
0 0 -1 0 0 1
� V = Z3 4 qś(xw1 +yw2 +zw3 +tw4) = xy +zt
(w1, w2, w3, w4) W
�ł łł
x
�ł)
(R3, �) q�(�ł y =
z
x2 - 2xy + 3y2 + z2
�ł łł �ł łł
1 0
�ł �ł �ł)
lin(�ł -1 , 1 (�1, �1+
0 2
�2, �3)
Sol(X - Y + Z = 0)
X + 2Y - Z = 0
Sol
2X + Y = 0
v L R4
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
4 1 1 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
-1 2 0
�ł śł L = lin(�ł 1 śł �ł śł �ł śł)
v = , ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
-3 1 2 0
4 1 1 3
�ł łł
ńł
�ł �ł
7
�ł 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0
�ł śł
-4
�ł śł �ł łł
v = , L = Sol 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
�ł �ł
-1
ół
x1 + 2x2 + 2x3 - 4x4 = 0
2
n
� F
A n F
A2 = A �! A
 B n F
B2 = I �! B
n
F
1 -1
lin( ) lin( ) R2
-1 7
�ł łł �ł łł
1 -1
�ł �ł �ł)
R3 lin(�ł 2 , 0
1 1
�ł łł �ł łł
1 1
�ł �ł �ł)
lin(�ł 3 , -2
-2 3
�ą ąĄ"
�(�, ą)
�ą(�) = � - 2 ą
�(ą, ą)
u v
�u ć% �v = �v ć% �u
u, v
�u ć% �v = �v ć% �u

u v w = �v(u) �v ć% = �w ć% �v
�ł�u łł
-9
�ł śł
6
�ł śł
R4 u = v =
�ł �ł
2
0
�ł łł
2
�ł śł
-1
�ł śł
�ł �ł
0
2
U U lin(u) lin(v)
R4
lin(�1, �2) lin(�3, �4) Ć
�1 ąĆ(�1) �2 ąĆ(�2) Ć2 = Id
Ć
1
� (Id + �)
2
� 2� - Id
 (v1, v2, . . . , vn) (V, �)
(u1, u2, . . . , un) P = [�(vi, uj)]
(v1, v2, . . . , vn) (u1, u2, . . . , un)
(V, �)
V = R3 � : R3�R3 R (�1 + �2 + �3, �1 +
�ł łł
-1 0 1
�ł �ł
�3, �3) 0 1 1
1 1 1
�ł łł
x
�ł śł
y
V = R4 q�(�ł z śł) = 2xz + yz - xy
�ł �ł
t
�ł łł
0 1 1
�ł �ł
V = Z53 � 1 0 1
1 1 0
x
(Q2, �) q( ) = 2x2 + 2y2
y
x
(Q2, �) q( ) = 7x2 + 7y2
y
Ai = G�(v1, . . . , vi) i
v1, . . . , vk u1, . . . , uk v1, . . . , vk
v1, . . . , vk lin(v1, . . . , vk)
G�(u1, . . . , uk)
det(A2) det(A3) det(Ak)
det(A1) . . . ,
det(A1) det(A2) det(Ak-1)
A = [aij] n A1 = [a11] A2 =
a11 a12
a21 a22 . . . An = A 0 A
det(A2) det(A3) det(An)
det(A1) . . . ,
det(A1) det(A2) det(An-1)
(V, �)
�ł łł
x1
�ł śł
x2
q(�ł śł) = F (x1, x2, . . . , xn)
�ł �ł
xn
 (v1, . . . , vn)
n n
F (X1, X2, . . . , Xn) = aijXiXj.
i=1 j=i
a11 = 0

n n n
F (X1, X2, . . . , Xn) = a11X1 2 + a1iX1Xi + aijXiXj;
i=2 i=2 j=i
2
n n
1 1
a1iX1Xi Y1 = X1 + a1iXi
2a11 i=2 2a11 i=2
b1 = a11
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + F1(X2, . . . , Xn)
2
n n n
1
F1(X2, . . . , Xn) = aijXiXj - a11 a1iX1Xi
2a11 i=2
i=2 j=i
a11 = 0
n n n
F (X1, X2, . . . , Xn) = a1iX1Xi + aijXiXj
i=2 i=2 j=i
k a1k = 0 k

n
1
Zk = a1iXi - X1 Xk = (Zk + X1 -
a1k
i=k
n
a1iXi) F
i=k+1
F (X1, X2, . . . , Xn) = X1(Zk + X1) + F (X2, . . . , Xk-1, Zk, Xk+1, . . . , Xn)
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + F1(X2, . . . , Xn)
F1(X2, . . . , Xn)
lin(v2, . . . , vn) F1(X2, . . . , Xn) = b2Y2 2 + F2(X3, . . . , Xn)
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + F1(X2, . . . , Xn)
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + b2Y2 2 + F2(X3, . . . , Xn)
 1, 2, . . . , m - 1
2
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + � � � + bm-1Ym-1 + Fm-1(Xm, . . . , Xn),
Fm-1(Xm, . . . , Xn)
lin(vm, . . . , vn) Fm-1(Xm, . . . , Xn) = bmYm 2 + Fm(Xm+1, . . . , Xn)
m - 1
n
F (X1, X2, . . . , Xn) = b1Y1 2 + � � � + bnYn 2.
diag(b1, . . . , bn) �
V
n
f1, . . . , fn fi( xivi) = Yi(x1, . . . , xn)
j=1
"
i = 1, 2, . . . , n V
F (x1, x2) = x12 + x1x2 + x22 F (x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x1x3
F (x1, x2, x3) = 99x12 - 12x1x2 + 48x1x3 + 130x22 - 60x2x3 + 71x32
F (x1, x2, x3, x4) = x12 + 4x22 + 8x32 - x42 - 4x1x2 + 6x1x3 - 12x2x3 + 2x3x4
F (x1, x2, x3, x4, x5) = x12 + 4x22 + 8x32 - x42 - 4x1x2 + 6x1x3 - 12x2x3 + 2x3x4 +
x2x5 - x4x5
�ł łł �ł łł
1 1 0 0 1 0
�ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
F
P " GLn(Q) P AP
�ł łł �ł łł
1 1 0 1 1 1
1 1
�ł �ł �ł �ł
A = 1 2 2 A = 1 5 -1 A =
1 1
0 2 3 1 -1 5
�ł łł
2 1 1 0
�ł śł
1 2 0 1 2 1
�ł śł
A = A =
�ł �ł
1 0 2 1 1 2
0 1 1 2
A n
A = X X X " GLn(R)
Y = X-1
 P "�łGLn(R) P P = A
łł �ł łł
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2
�ł �ł �ł �ł
A = A = A = 1 2 1 A = 1 5 -1
1 5 2 3
1 1 3 1 -1 5
P " GL3(Q)
�ł łł
1 2 -5 -5
�ł śł
2 5 -12 -13
�ł śł
X " GL4(R) X X =
�ł �ł
-5 -12 30 33
-5 -13 33 39
n
F
a -b
n = 2
b a
�ł łł
b e
�ł łł �ł łł �ł śł
c f
�ł śł
a d
�ł śł
a d
�ł �ł �ł �ł �ł śł
n = 3 b e -
�ł śł
c
�ł f śł
c f
�ł �ł
a d
b e
n v1, v2, . . . , vn-1
v1 v2 � � � vn-1 "
u+R(v1, v2, . . . , vk) {u + x1v1 + x2v2 + � � � + xkvk : 0 d" x1, x2, . . . , xk d" 1}
v1, v2, . . . , vk
-1
+ R(2�1, 2�2) R2 8
-1
�ł �ł
-1
�ł łł
-1 + R(2�1, 2�2) R3 16
0
�ł �ł
-1
�ł łł+R(2�1, 2�2, 2�3) R3 48
-1
-1
 R4
�ł łł
0 1 0 0
�ł śł
0 0 1 0
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 1
1 0 0 0
SO(R, 2) 2
cos(x) - sin(x)
1 : x " [0, 2Ą) } O(R, 2)
sin(x) cos(x)
2
x cosh(x) sinh(x)
R2 q( ) = x2-y2 SO(R, q) = ą : x " R
y - sinh(x) cosh(x)
O(R, q)
ex - e-x
sinh(x) =
2
ex - e-x
cosh(x) =
2
sinh(x)
th(x) = .
cosh(x)
�1 �2 �3 R3
R3
�ł łł
cos(x) - sin(x) 0
�ł �ł
sin(x) cos(x) 0
0 0 1
n
� F
A n F
A2 = A �! A
 B n F
B2 = I �! B
n
F
A n F
A � A = I
n
A F
A
A
n
A F
n
A F
I
n
v (F , �)
� q(v) = 1 P = I - 2vv
P v P w w Ą" v
A
�ł łł
1 1
" "
?
3 2
1
�ł " �ł
0 ?
A =
3
1 1
"
-"2 ?
3
-1
X, Y XY
X P
P X
� " O(V, �) �! �-1 " O(V, �)
(� " O(V, �)'"� " O(V, �)) �! (� " O(V, �) �! �ć%� " O(V, �)) �! (� " O(V, �)'"�ć%� "
O(V, �))
V = R[X]n d" n R
b : V � V R
1 1
b(f, g) = f(x)g(x)dx b(f, g) = f(x)g(x)dx
-1 0
b
b 1, X, . . . , Xn n = 4
�ł łł �ł łł
x x
�ł �ł
(R3, �) �(�ł y , y �ł) = xx + xy - x y +
z z
3yy + zz
�ł łł �ł łł
0 1
�ł �ł �ł)
Sol(X1 = 0) L1, L2 L1 = 1 + lin(�ł 1
0 1
�ł łł �ł łł
0 2
�ł �ł �ł)
1 + lin(�ł 1
1 0
a " R (R6, �)
�ł łł
x1
�ł x2 śł
�ł śł
x3
q(�ł śł) = a(x12 + x22 + x32 + x42 + x52 + x62) + 2(x1x2 + x1x3 + x1x4 + x1x5 + x1x6
�ł śł
x4
�ł śł
�ł �ł
x5
x6
+ x2x3 + x2x4 + x2x5 + x2x6 + x3x4 + x3x5 + x3x6 + x4x5 + x4x6 + x5x6)
1 2 1 0 1 1 1 0 2 0
, , , , .
2 1 0 -1 1 4 0 1 0 3
�ł łł
x
�ł)
(R3, �) q(�ł y = yz + xz + xy
z
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 3 0
�ł �ł �ł �ł
2 0 -1 3 1 1
3 -1 3 0 1 5
 a, b, c, d (R4, �)
�ł łł
x1
�ł śł
x2
q(�ł x3 śł) = a2x12 + 2ax1(x2 + x3 + x4) + (b2 + 1)x222 + (4b + 2)x2x3 + (6b + 2)x2x4
�ł �ł
x4
+ (c2 + 5)x32 + (6c + 14)x3x4 + (d2 + 19)x42.
�ł łł (R3, �) a
x1
q(�ł x2 �ł) =
x3
5x12 + x22 + ax32 + 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3
2x12 + x22 + 3x32 + 2ax1x2 + 2x1x3
x12 + x22 + 5x32 + 2ax1x2 - 2x1x3 + 4x2x3
x12 + 4x22 + x32 + 2ax1x2 + 10x1x3 + 6x2x3
-x12 + ax32 - x32 + 4x1x2 + 8x2x3
ax12 - 2x22 - 3x32 + 2x1x2 - 2x1x3 + 2x2x3
a " R (R3, �)
(R3, �)
�ł łł �ł łł �ł łł
p x x
�ł �ł �ł) �ł)
�(�ł q , y = px + qy - rz q�(�ł y = x2 + 2xy - 2xz + (3 - a)y2 + (2 - 2a)yz +
r z z
(4 - 2a)z2
�ł łł �ł łł �ł łł
p x x
�ł �ł �ł) �ł)
�(�ł q , y = px - qy + rz q�(�ł y = x2 + 2xy - 2xz + (3 - a)y2 + (2 - 2a)yz +
r z z
(6 - 2a)z2
�ł łł �ł łł �ł łł
p x x
�ł �ł �ł) �ł)
�(�ł q , y = px + qy + rz q�(�ł y = x2 + 4xy + (6 - a)y2 + (12 - 6a)yz +
r z z
2
(19 -
�ł10a)z �ł łł �ł łł
łł
p x x
�ł �ł �ł) �ł)
�(�ł q , y = px-qy-rz q�(�ł y = x2+6xy+(11-a)y2+(8-4a)yz+(1-a)z2
r z z
a " F �a �a : V V
�a(v) = av �a a
�a V �1 = idV �-1 = �a-1
a
�a ć% �b = �ab �a + �b = �a+b
�a (v1, . . . , vn) V
� V
a " F �ć%�a = �a ć% �
A
X A
V
(V, �)
V �
u Ą" v �! �(u) Ą" �(v)
(v1, . . . , vn) V (�(v1), . . . , �(vn))
q(u) = q(v) �! u + v Ą" u - v
� : V W
" "
�" : V W
� " End(V )
�ć%
Ker(�ć%) = (Im(�))Ą", Im(�ć%) = (Ker(�))Ą"
C C AC A =
�ł łł
"
0 1 1
1 3
1 1 1 2
2 2 �ł �ł
"
1 0 1
3
1 1 2 1
-1
2 2
1 1 0
�ł łł �ł łł
2 -3 -2 1 2 1 1 0
�ł śł �ł śł
-3 2 -2 -1 1 2 0 1
t t
�ł śł �ł śł 0 1 1 + t cos(2) t sin(2)
�ł �ł �ł �ł
-2 -2 1 0 1 0 2 1 1 0 t sin(2) 1 - t cos(2)
t t
1 -1 0 4 0 1 1 2
U
UĄ"
�ł łł
p 0 0 0
�ł śł
0 q 0 0
�ł śł
D = p e" q e" r e" s
�ł �ł
0 0 r 0
�ł0 0 0 s łł
2 1 1 1
�ł śł
1 2 1 1
�ł śł
P P � � P = D
�ł �ł
1 1 2 1
1 1 1 2łł
�ł
"
p 0 0 0
"
�ł śł
0 q 0 0
�ł śł
"
Q Q Q = � P
�ł �ł
0 0 r 0
"
0 0 0 s
ą � ł � Q
(R4, �) � G�(ą, �, ł, �)
(v1, v2, . . . , vn)
(V, �)
n
�(ą, �(vi))
�ć%(a) = vi.
q(vi)
i=1
Ćć% f : R[X]2 R[X]2
1
d" 2 Ć(f(X)) = X2f(X ) �(f, g) = f(0)g(0) +
f (0)g (0) + f (0)g (0)