ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 1
ZADANIE : dla ciała obciążonego na powierzchni Sq i posiadającego więzy na powierzchni Su
wyznaczyć tensor naprężenia TÃ, tensor odksztaÅ‚cenia Tµ i wektor przemieszczenia u.
1. NARZ
DZIA : komplet równań liniowej (fizykalnie i geometrycznie) teorii sprężystości
równania równowagi - równania Naviera
à + X = 0 3 równania, 6 niewiadomych Ãij
i j, j i
+ statyczne warunki brzegowe na Sq
q = Ã Ä…
½i i j ½ j
liniowe równania geometryczne - równania Cauchy 'ego
1
µ = u + u 6 równaÅ„, 3 niewiadome ui
i j ( i, j j,i )
2
+ kinematyczne warunki brzegowe na Su
liniowe równania fizyczne - równania Hooke 'a
1
µ = 1+ ½ à - ½ à ´ 6 równaÅ„, 6 niewiadomych µij
i j ( ) i j kk i j
[ ]
E
Zadanie do rozwiązania: układ 15 równań rózniczkowo - algebraicznych o 15 niewiadomych,
równań które muszą spełniać narzucone statyczne i kinematyczne warunki brzegowe.
Dowód istnienia rozwiązania: dowód istnienia i jednoznaczności istnienia zadania
brzegowego liniowej teorii sprężystości podał Kirchhoff (1859) (szczegóły - patrz FUNG Y. C.,
Podstawy Mechaniki Ciała Stałego, rozdz. 7.4.)
2. METODY REDUKCJI LICZBY RÓWNAC
LTS
Metoda sił
eliminacja przemieszczeń z
równań Cauchy ego
2
1

równania Hooke ' a

równania nierozdzielności
odkształceń
równania Naviera

3
4

równania Beltramiego (1892) - Michella (1900)
(równania nierozdzielności odkszt. w naprężeniach)
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 2
µ + µ - µ - µ = 0
i j,kl kl,i j i k , j l j l,i k
1+ ½ ½
µ = Ã - Ã ´
i j i j kk i j
EE
½
à + à - à - à = Ã,k l ´ + Ã,i j ´ - Ã, j l ´ - Ã,i k ´
i j,k l k l,i j i k , jl j l,i k ( i j kl i k j l )
1+ ½
gdzie à = Ãkk
à + X = 0 Ò! à = - X
i j, j i i j,jk i,k
zrównujemy wskaz
niki k = l
1 ½
22
" à + Ã,i j - " ô,i j = - ( i, j j,i )
X + X
i j
1+ ½ 1+ ½
2 2 2
" " "
2
gdzie " = + +
2 2 2
" x " x " x
1 2 3
1+ ½
2
zrównujemy wskaz
niki i = j Ò! " Ã = - X
i,i
1- ½
1 ½
2
" Ã + Ã = - ´ X - ( )
X + X
i j kk ,i j i j i,i i, j j,i
1+ ½ 1- ½
+ statyczne i kinematyczne warunki brzegowe
Metoda przemieszczeń
1
równania Hooke ' a
równania równowagi

równania geometryczne

3
2

równania Naviera (1820 ?)
(równania równowagi w przemieszczeniach)
à + X = 0
i j, j i
à = 2G µ +  µ ´
i j i j kk i j
2G µ +  µ ´ + X = 0
i j, j kk,j i j i
1
µ = u + u
(
i j i, j j,i )
2
Gu + G +  u + X = 0
i, j j ( ) j, ji i
"u "u "u
1 2 3
dywergencja pola wektorowego u div u = + + = u
j, j
" x " x " x
1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
"Õ "Õ "Õ
gradient pola skalarnego Õ grad Õ = , , = Õ,i
ïÅ‚ śł
" x " x " x
1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2 2
" Õ " Õ " Õ
2
laplasjan pola skalarnego Õ " Õ = + + = Õ,i i
2 2 2
" x " x " x
1 2 3
2
G " u + G +  grad div u + X = 0
( )
ii
+ statyczne i kinematyczne warunki brzegowe
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 3
3. METODY ROZWI
ZANIA ZADANIA BRZEGOWEGO
metoda bezpośrednia rozwiązania równań Beltramiego-Michella lub Naviera : metoda
ogólna, ale b. trudna,
metoda "półodwrotna" : możliwa do wykorzystania jedynie w szczególnych przypadkach,
niekiedy "zadowala się" przybliżeniami, ale stosunkowo prosta
METODA PÓA
ODWROTNA
Podejście statyczne Podejście kinematyczne
(analogia do met. przemieszczeń) (analogia do met. sił)
"wymyÅ›lić" TÃ
u u2 u
"wymyślić" , ,
sprawdzić stat. war. brzeg. 1 3
sprawdzić kinematyczne war. brzeg.
sprawdzić równ. Naviera
wyznaczyć odkształcenia
wyznaczyć odkształcenia
1
µ µ ( )
Ã
=
µ
( u u )
=
+
i j i j
i j
i, j j, i
i j
2
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
wyznaczyć naprężenia
wyznaczyć przemieszczenia
à à ( )
µ
=
i j i j
1 i j
µ
( u u )
=
+
i, j j, i
i j + statyczne war. brzegowe
2
+ równania Naviera
+ kinematyczne war. brzegowe
Jeżeli przemieszczenia wynikające z
rozwiązania równań geometrycznych nie
spełniają kinematycznych warunków
brzegowych, to przyjęta macierz naprężeń
nie opisuje rzeczywistego pola naprężeń.
Należy znalez
ć inną macierz i ponownie
przebyć całą procedurę.
4. ZASADA SUPERPOZYCJI
ZADANIE : ciało o ustalonych więzach kinematycznych obciążono układem obciążenia
(1) (1)
(1) (1) (1)
q ,X i otrzymano rozwiÄ…zanie zadania brzegowego Tà ,Tµ ,u . NastÄ™pnie to samo
( )
( (
(2) (2) (2)
ciaÅ‚o obciążono ukÅ‚adem obciążenia q ,X i uzyskano rozwiÄ…zanie TÃ2) ,Tµ2) ,u . Jakie
( )
jest rozwiązanie zadania brzegowego przy łącznym obciążeniu ciała obydwoma układami
obciążeń ?
ROZWI
ZANIE : rozwiązanie dla łącznego układu obciążenia
(1) (2) (1) (1)
q = q + q X = X + X
jest sumą rozwiązań dla układu (1) i (2), tzn.:
(1) ( (1) (
(1) (2)
TÃ = TÃ + TÃ2) Tµ = Tµ + Tµ2) u = u + u
DOWÓD : wszystkie równania teorii sprężystości, łącznie z warunkami brzegowymi są
równaniami liniowymi, a dla zależności liniowych zawsze obowiązuje zasada superpozycji.
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 4
PRZYKA
AD : równania Naviera
(1) (1) (2) (2)
ZaÅ‚ożenie : à + X = 0 à + X = 0
i j,j i i j, j i
(1) (2) (1) (2)
Teza : Ã + Ã + X + X = 0
( ) ( )
i j i j i i
, j
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
Dowód: Ã + Ã + X + X = 0 Ò! Ã + Ã + X + X = 0
( ) ( )
i j, j i j, j i i i j i j i i
, j
5. ZASADA de SAINT-VENANTA (1855)
Zasada intuicyjno - empiryczna, bez istnienia ogólnego dowodu teoretycznego jej
słuszności,
Dla bryły obciążonej na niewielkiej powierzchni w porównaniu z całkowitą powierzchnią
ciała znane jest rozwiązanie zagadnienia brzegowego. Zmieniamy obciążenie na tej
powierzchni, ale tak, aby oba obciążenia były statycznie równoważne (S(1)=S(2), M(1)=M(2)).
Zasada de Saint-Venanta mówi, że rozwiązanie dla nowego obciążenia różni się od
wyjściowego dowolnie mało, poza niewielkim obszarem w pobliżu obciążonej powierzchni.