10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 1
10. ����Ł�
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI
10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego
"2 �ąx�ą�ą =0 (10.1)
śą źą
y
Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące warunki (przy założeniu p =0 oraz
x
istnienia siły masowej skierowanej przeciwnie do osi Y):
"2 F
�ąx= (10.2)
" y2
"2 F
�ą = (10.3)
y
" x2
"2 F
(10.4)
�ąxy= �ąqx
" x " y
(10.5)
"4 F śą x , yźą=0
"4 "4 "4
"4 a" �ą2 �ą (10.6)
" x4 " x2 " y2 " y4
"�ąx "�ąxy
�ą �ą px=0 (10.7)
"x " y
"�ąxy "�ąy
(10.8)
�ą �ą py=0
" x " y
Sprawdzamy czy funkcja Airy'ego spełnia te warunki.
"3 F "3 F
- -q=0 (10.9)
" y2 " x " x " y2
-"3 F "3 F
�ąq�ą -q=0 (10.10)
" x2 " y " x " y2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 2
Zadanie 1.
Znalez
ć stan naprężeń w dowolnym punkcie tarczy.
py
px
h
x
h
px
1
y
py
l
l
Rys.10.1. Rysunek do zadania 1.
Przyjmujemy taką funkcję by spełniała równania biharmoniczne  warunek konieczny.
(10.11)
F śą x , yźą=ax2 �ąbxy�ący2
Warunek dostateczny:
"2 F
�ąx= =2 c (10.12)
" y2
"2 F
�ą = =2 a (10.13)
y
" x2
�ąxy=-b (10.14)
Warunki brzegowe:
1 (10.15)
x=l -h ąą yąąh
�ąx= px �ąxy= p (10.16)
(10.17)
2 c= p -b= p
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 3
px
(10.18)
c= b=- p
2
2 (10.19)
x=-l -h "" y""h
�ąx= px �ąxy= p (10.20)
Warunki zgodne.
3 (10.21)
y=-l -h"" x""h
�ąy= py �ąxy= p (10.22)
py
(10.23)
a= b=- p
2
1
F = py x2- p xy�ą px y2 (10.24)
2
Zadanie 2.
Zginanie belki
y
q
ql
ql
h
l
ql
ql
2
x
h
2
b=1
l
l
Rys.10.2. Rysunek do zadania 2.
przyjmujemy funkcję F(x,y)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 4
y5
(10.23)
F śą x , yźą=a2 x2 �ąb3 x2 y�ąd x2 y3 -
5
śą źą
5
(10.24)
"2 F =0
"4 F
=0 (10.25)
" x4
"4 F
=-24 d y (10.26)
5
" y4
"4 F
2 =24 d y (10.27)
" x2 " y2 5
Warunek jest spełniony.
"2 F
1 �ąx= =d śą6 x2 y-4 y3 źą (10.28)
" y2 5
"2 F
2 �ąy= =2 a2 �ą2 b3 y�ą2 d xy3 (10.29)
5
" x2
"2 F
3 (10.30)
�ąxy= =-2 b3 x-6 d xy2
5
" y " x
Warunki brzegowe (wyrażone w naprężeniach).
h
1 y=ą -ląąxąąl �ąxy=0 (10.31)
2
h
2 y=�ą -ląąxąąl �ąy=-q (10.32)
2
h
3 y=- -ląąxąąl �ą =0 (10.33)
y
2
h
2
h h
4a (10.34)
x=�ąl - ąą yąą �ąxy dy1=ql
+"
2 2
h
-
2
h
2
h h
4b (10.35)
x=-l - ąą yąą �ąxy dy1=-ql
+"
2 2
h
-
2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 5
h
2
5 (10.36)
x=ąl �ąx dy1=0
+"
h
-
2
h
2
6 (10.37)
x=ąl �ąx ydy1=0
+"
h
-
2
�ą =-q
#"
y h
(10.38)
y=�ą
2
�ą =0
#"
y h
(10.39)
y=-
2
Po podstawieniu do wzoru (10.29) otrzymamy:
h3
2 a2�ą2 b3 h �ą2 d =-q
5
2 8
(10.40)
{ -2 d =0
2 a2-2 b3 h 5 h3
2 8
Z układu otrzymamy:
a2 =-q (10.41)
4
�ąxy h=0
#"
(10.42)
y=Śą
2
Po podstawieniu do wzoru (10.30) otrzymamy:
h2
(10.43)
x -2 b3 -6 d - =0
5
śą źą
4
Z równań (10.40) i (10.43) otrzymujemy:
q
d =
10.44)
5
h3
3 q
b3 =- (10.45)
4 4
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 6
q
�ąx= śą6 x2 y-4 y3 źą
(10.46)
h3
q 3 q 2 q
�ą =- - y�ą y3
(10.47)
y
2 2 h
h3
3 q
�ąxy= x-6 q x y2
(10.48)
2 h
h3
(10.49)
I =I =1 h3
z
12
Zatem
1 q 2
�ąx= x2- y2 y (10.50)
śą źą
I 2 3
1 q y3 - h2 y- h3
(10.51)
�ąy=
śą źą
I 2 3 4 12
1 q h2 - y2 x
(10.52)
�ąxy=
śą źą
I 2 4
Sprawdz
my warunki brzegowe (10.34)-10.37):
(10.53)
�ąxy dy=ąql
+"
Warunek spełniony.
(10.54)
�ąx dy=0
+"
Warunek spełniony.
h
2
1 q l2 h3 h2
(10.55)
�ąx ydy= - `"0
+"
śą źą
I 2 12 10
-h
2
Warunek nie jest spełniony czyli z
le przyjęto funkcję F do przyjętej funkcji dodajemy F
1
F=F�ąF1 (10.56)
gdzie
(10.57)
F1=d y3
3
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 7
(10.58)
�ą1=6 d y
x 3
(10.59)
�ą1=0
y
(10.60)
�ą1 =0
xy
Po zmodyfikowaniu � wszystkie dotychczasowo spełnione warunki brzegowe są spełnione.
x
Wprowadz
my zmienione �
x
x2
1 q
2
(10.61)
�ąx= y2 y�ą6 d y
3
śą źą
I 2 3
do ostatniego warunku brzegowego, którego spełnienie prowadzi do relacji:
-q h2
(10.62)
d = l2-
3
śą źą
2 I 10
Ostatecznie � ma postać:
x
-q q 2 h2
(10.63)
�ąx= śąl2-x2 źą y- y2- y
śą źą
2 I 2 I 3 10
Rys. 10.3. Naprężenia
M śą xźą
�ąx=- y (10.64)
I
q
M śą xźą= śąl2-x2 źą (10.65)
2
� jest krzywą trzeciego stopnia.
x
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 8
�ądokł.
x
przybl.
�ąx
h Rys. 10.4. Naprężenia �
x
Porównajmy maksymalne naprężenia w włóknach skrajnych:
p
�ąd-�ąx
#" #"
x
max �ąx= (10.67)
�ąd
#" #"
x
h
1 =0,1 0,3 promil (10.68)
1l
h
2 =0,25 1,7 promil (10.69)
2 l
h
3 =0,5 6,7 promil (10.70)
2 h
Przyjęte do rozważań wzory określające zginanie belki są wystarczająco dokładne.
Rys. 10.5. Naprężenia � , �
y xy
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 9
q
Ekstremalne wartości � =q << � zatem możemy je zaniedbać w obliczeniach. � liczymy z wzoru
y x xy
znanego z wytrzymałości materiałów:
�ąg
y
(10.71)
T śą xźą=-qx
TS
�ąxy= (10.72)
Ib
q
2
9.2 Wyznaczenie przemieszczeń w belce.
�ąxy
�ąd
y
Płaski stan naprężeń:
1 " u
�ąx= �ąx-�ą�ą �ąx= (10.73)
śą źą
y
E " x
1 " v
�ąy= �ą -�ą�ąx �ąy= (10.74)
śą źą
y
E " y
1 1 " u " v
�ąxy= �ąxy �ąxy= �ą (10.75)
śą źą
2G 2 " y " x
W celu otrzymania u i v wykonujemy obustronne całkowanie nieoznaczone:
" u
�ąx= �! uśą x , yźą= �ąx dx=...�ą f śą yźą (10.76)
+"
1
" x
Dla x w środku belki ze względu na symetrię geometryczną i obciążenia:
uśą0, yźą=0 �! f śą yźą=0 (10.77)
1
" v
�ąy= �! v śą x , yźą= �ąy dy=...�ą f śą xźą (10.78)
+"
1
" y
Wyznaczenie stałej całkowania:
q h2 - y2 x= 1 " u " v
�ąxy= �ą
śą źą śą źą
4 EI 4 2 " y " x
(10.79)
df śą xźą
-q x3 h2 h2 1
1
�ąxy= l2 x- �ą 2 q2- x�ą�ą 2 y2- x �ą
śą źą śą źą
[ ]
4 EI 3 10 4 2 dx
df śą xźą
q 8 h4 x�ąl2 xi x3
1
= �ą�ą (10.80)
śą źą
[ ]
dx 2 EI 5 4 3
f śą xźą=...�ą f (10.81)
1 0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 10
q y4 - h2 y2 - h3 y�ą�ą y2 y4 h2
vśą x , yźą= śąl2-x2 źą �ą - y2
{ [ ]
}
2 EI 12 4 2 12 2 6 20
(10.82)
�ą
q l2 x2 - x4 - h2 x2 �ą 1�ą h2 x2 �ą f
�ą
0
śą źą
[ ]
2 EI 2 12 20 2 4
przyjmijmy następujące warunki:
x=ąl
v=0
(10.83)
}
y=0
Wówczas otrzymamy:
2
�ą
4 h4
(10.84)
f =-ql 5 �ą2�ą �ą
0
śą źą
[ ]
2 EI 12 5 3 4
W wyniku podstawienia f do f otrzymamy wzory na ugięcie w dolnych punktach belki (tylko w
0 1
poziomie).
5 ql4
(10.85)
v=
24 EI
9.3 Płaskie zadania osiowo symetryczne (współrzędne biegunowe)
Zadanie osiowo symetryczne to zadanie tak skonstruowane, że funkcja miejsca i obciążenia są zależne
tylko od jednej zmiennej ( promień).
Ś=Ś(r)  funkcja naprężeń
d �ą
1
1 (10.86)
�ąr=
r dr
2
d �ą
�ą�ą= (10.87)
dr2
�ąr �ą=0 (10.88)
2
d 1 d
2 "2= �ą (10.89)
śą źą
d r2 r dr
4 3 2
d 2 d 1 d 1 d
"4= �ą - �ą (10.90)
śą źą
dr4 r dr3 r2 dr2 r3 dr
(10.91)
"4 �ąśąrźą=0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
10. ROZWI
ZYWANIE ZADAC
Z TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 11
Istnieje tylko jedna funkcja która spełnia to równanie.
(10.92)
�ąśąrźą=Alnśąrźą�ąBr2 lnśąrźą�ąCr2 �ąD
Stan naprężeń i odkształceń łatwo możemy określić z definicji.
A
�ąr= �ąB 1�ą2 lnśąrźą �ą2C
[ ] (10.93)
r2
A
�ą�ą=- �ąB 3�ą2 lnśąrźą �ą2C
[ ] (10.94)
r2
�ąr �ą=0 (10.95)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater